CAPÍTULO 3: POTENCIACIÓN EN R. Definimos la potenciación de base real y exponente natural mayor que uno de la siguiente manera:

Transcripción

1 Potecició e R Fctoreo Mteátic º Año Cód. 0-6 P r o f. M r í d e l L u j á M r t í e z P r o f. V e r ó i c F i l o t t i P r o f. J u C r l o s B u e Dpto. de M t eátic

2 CAPÍTULO : POTENCIACIÓN EN R. Poteci de epoete etero. -. Poteci de epoete turl. Defiios l potecició de bse rel y epoete turl yor que uo de l siguiete er:... fctores ; R N Epresió que leeos: poteci de bse y epoete Adeás se coviee que: Ejeplos: Coo ultiplicció Coo potecició Leeos. Meos tres l cudrdo PROBLEMAS Meos u edio l cubo Meos uo l curt.. Ríz cudrd de dos l cubo ) Resuelve ) 5 b) c) d) 5 e) 6 f) g) 7 7 h) 5 5 P O L I T E C N I C O

3 Potecició - Fctoreo Mteátic ) Epres coo ultiplicció cd u de ls siguietes potecis: ) b) c) 5 d) 6 5 e) f) g) 5 h) 0 i) j) k). l) ) y y ) b b ) Coplet cd eucido ) El resultdo de tod poteci de bse y epoete turl es... b) El resultdo de tod poteci de bse (-) y epoete turl pr es... c) El resultdo de tod poteci de bse (-) y epoete turl ipr es... Propieddes. ) L potecició de bse rel y epoete turl es distributiv respecto de l ultiplicció. E síbolos: Si,b R y N se tiee que: b b P O L I T E C N I C O

4 Deostrció: Teiedo e cuet l defiició propuest result: Si > fctores fctores fctores () () () () b b b... b bb... b... b b... b b () Defiició de potecició. () Propiedd socitiv de l ultiplicció. () Propiedd couttiv y socitiv de l ultiplicció. Si = Result iedito que: Luego, cocluios que: Ejeplos:. b. b. b b b b) L potecició de bse rel y epoete turl es distributiv respecto de l divisió, co el divisor distito de cero. E síbolos: Si, b R, b 0 y N etoces se tiee que: b b P O L I T E C N I C O

5 Potecició - Fctoreo Mteátic Deostrció Si > () ()... b b b b () Defiició de potecició. () Propiedd socitiv de l ultiplicció. () Producto de cocietes de úeros reles Si = fctores L deostrció es iedit, pues: b b ()... ()... b b b b... b b c. c ; b 0; d 0. b d b. d b b Heos probdo que: N y b 0 ; b b Ejeplos:. fctores fctores b ) b) 5 5 c) L poteci, de epoete turl de otr poteci es l poteci de l is bse cuyo epoete es l ultiplicció de los epoetes de ls potecis dds. E síbolos: Si, b R y, N etoces:. P O L I T E C N I C O

6 Deostrció: Si > y > fctores fctores fctores fctores fctores () () fctores (), () () () Defiició de potecició. () Propiedd socitiv de l ultiplicció. () Defiició de ultiplicció de turles. Si = o = Se debe cosiderr tres opcioes:. =. =. = = Ejeplos: d) ) b) 0, ( 0,).5 ( 0,) 0 L ultiplicció de potecis de igul bse, de epoete turl, es otr poteci de l is bse cuyo epoete es l su de los epoetes ddos. E síbolos: Si, b R y, N etoces:. P O L I T E C N I C O 5

7 Potecició - Fctoreo Mteátic Deostrció: Si > y > fctores fctores + fctores () () () () Defiició de potecició. () Propiedd socitiv de l ultiplicció. Cosideros coo ejeplo =. Si o so igules fctores + fctores () () () Luego result que:. Ejeplos: 6 6 ) ( ) b) Resuiedo ls propieddes vists result: Si, br y N etoces: o b b o, b 0 b b. o o. 6 P O L I T E C N I C O

8 PROBLEMAS ) Relcio cd epresió de l prier colu co l equivlete de l segud colu. b 5 b 8 b 5 b 6 5b 5 6 b 8 5 b b 5) Por qué si 0 y N? 6) Sbiedo que:, b z, c z, ecuetr l epresió resultte e fució de y de z, utilizdo ls propieddes coocids: ) b). b c) b c d) b c 7) Resuelve ls siguietes epresioes, idicdo l o ls propieddes de l potecició que utilizs e cd cso. ) b) 5 c) d) e) 5 f) P O L I T E C N I C O 7

9 Potecició - Fctoreo Mteátic 8) Descubre lgus regulriddes que se d e l potecició Cuál es el sigo del úero obteido cudo el epoete de l poteci u úero pr? Clcul: ; ; ; ; ; Clcul: ; ; ; ; ; ; Cuál es el sigo del úero obteido cudo el epoete de l poteci es u úero ipr? Elbor u coclusió respecto l sigo de los resultdos de u poteci de u úero rel segú l pridd del epoete. Por lo visto teriorete, deuestr cotiució ls siguietes propieddes de l potecició: Tod poteci de epoete turl pr es o egtiv. E síbolos: Si R, N y es pr, etoces 0 Tod poteci de epoete turl ipr es u úero del iso sigo que el de l bse E síbolos: Si R 0, N es ipr Not: Si 0, N es ipr 0 8 P O L I T E C N I C O

10 ) Resuelve plicdo propieddes ) y y h) b b y Sugereci: i) b c b) c) y d) y y e) y Es coveiete epresr lguos úeros coo producto de fctores prios. Por ejeplo: 7 =. j) 5 c g g k) l) ( 0.) y ( ) y f) y y ) g) 7 ) 6 b b 0) Escribe P o N e cd cudrdito segú el resultdo se positivo o egtivo siedo > 0. 7 ( ) N; ( ) P O L I T E C N I C O

11 Potecició - Fctoreo Mteátic - Poteci de epoete etero Nos propoeos ecotrr hor u propiedd referete l cociete de potecis de igul bse. Es decir : co 0 Estudireos tl cociete tediedo ls distits posibiliddes de y y supoiedo que y so turles yores que. Así, pltedo e for literl, result: Si >, es: ()... ()... ()... fctores Si < es: fctores - fctores Desfío: De quí e delte, oitireos l deostrció pr el cso e que los epoetes se igules por ser triviles. fctores ()... () () fctores - fctores Si =, es: () = () Defiició de poteci de epoete turl. () Siplificció. () 0 Teer distits epresioes pr el cociete de potecis de l is bse, o os result coveiete. Nos propoeos uificr todos los csos. Etoces: 0 P O L I T E C N I C O

12 Pr el cso e el que > result que el cociete de ls potecis de igul bse es u poteci de l is bse cuyo epoete es l rest etre los epoetes del dividedo y el divisor. - = Pr el cso e el que < : Si defiios Result - - co 0 y N - () Pr el cso e el que = : Si defiios 0 co 0 y N Result Observció: o está defiido Heos logrdo u sol epresió pr el cociete de potecis de igul bse culesquier se los epoetes turles. Est es: dode N y 0. Coloquilete epresos: El cociete de potecis de igul bse, de epoete turl, es otr poteci de l is bse cuyo epoete es l difereci de los epoetes ddos. P O L I T E C N I C O

13 Potecició - Fctoreo Mteátic Coo heos visto, l defiició de poteci se h ido plido. Defiició de l poteci de bse rel y epoete etero : fctores..., N, 0, 0 0, Z 0 Te cotos que, ls propieddes que coocís pr potecis de epoete turl tbié se verific pr potecis de epoete etero. Es decir, si y Z etoces:. b. b b b.. co b 0 co 0 co 0 PROBLEMAS ) Por qué co N y 0? Ejeplific. P O L I T E C N I C O

14 ) Escribe coo poteci de epoete positivo y resuelve: ) b) d) e) 5 g) 5 h) c) f) 5 i) j) 5 k) l) ) 5 ) 5 ) Resuelve ) - = - - = (-) - = b) = = = ) Resuelve ls siguietes ecucioes: ) b) c) d) 7 e) Not: E lo sucesivo supodreos que ls vribles sue los vlores que perite que ls diverss epresioes pued estr defiids. 5) Epres cd eucido e leguje sibólico siedo p y q o ulos; luego hll su vlor uérico pr p = - y q = -. ) el triplo del cudrdo del úero p. b) el cubo de l difereci etre el recíproco de p y el opuesto de q. c) el opuesto de l su de los cudrdos de p y q. d) el cudrdo de l su de p y el recíproco de q. e) l difereci etre los cubos del opuesto de p y el recíproco de q. f) el cociete etre el cudrdo del cosecutivo de p y l tercer prte de q. g) el cubo de l difereci etre p y q, e ese orde. P O L I T E C N I C O

15 Potecició - Fctoreo Mteátic 6) Resuelve, plicdo ls propieddes de l potecició, cudo se posible epresdo el resultdo fil co epoetes positivos: ) b) c) 5 6 d) 5 7) Resuelve hst llegr l íi epresió, idicdo el resultdo fil co epoetes positivos. ) 0 c) b b) 5 7 d) c d e) f) 6 8) Resuelve y escribe el resultdo si utilizr epoetes egtivos: ).. b) : f) g) ( ) 0, b 5 c) 0, b h) 0 ( b ) ( ) : ( b ) 5 b i) d) ( b ) : ( bc) : ( b c) e) P O L I T E C N I C O

16 ) Resuelve y siplific ls siguietes epresioes, de odo que el resultdo se eprese co epoetes positivos: b) ) : c) e) d) 6 f). g) b h) b y y i). y k) p. p p j) ( ) (5 ) l) 5 ( ) 0) Fctore todo lo posible: ) b) c) 5 8 f) y y 5 50 g) y y 5 7 b b 7b h) b b d) b b i) y y y e) y y 6y j) b.c bd ) Verddero o Flso? Justific tu respuest. ) 0 0 b) 0 0 c) ( ). y 0 0 P O L I T E C N I C O 5

17 Potecició - Fctoreo Mteátic ) Resuelve ls siguietes opercioes plicdo ls propieddes que correspod: ) b) : 0 8 p q c) p : p d) 8 p q e) 8 5 f) 0 5 f) g) b c h) 5 5 b c ) Deteri el vlor de e cd eucido: ) b) e) 6 f) 5 i) y y. 6 j) 0, 5 y ( ) c) g) d) h) 5 : , k) l) 6.( 7 ) : : P O L I T E C N I C O

18 PRODUCTOS ESPECIALES que: El cudrdo de l su E cpítulos teriores hbíos probdo geoétric y líticete siedo Q0 e y Q 0. Se puede probr que el cudrdo de l su tbié es válido si R e yr. Es decir: y y y El cudrdo de u su es igul l cudrdo del prier tério ás el doble producto del prier tério por el segudo ás el cudrdo del segudo tério. A est epresió se l deoi Trioio Cudrdo Perfecto PROBLEMAS ) Trsfor e su: ) c) b) 5 d) 7 7 5) Deuestr los siguietes teores válidos pr, y R. ) y y y b) y y y c) y y y P O L I T E C N I C O 7

19 Potecició - Fctoreo Mteátic 6) Resuelve : ) d) 7 7 b) e) 5 y f) 6 y c) 5 g) y 5 h) y y 7) Coplet de odo que l epresió se u trioio cudrdo perfecto y luego fctorélo ) b b) y c) d) 8) Fctore los trioios cudrdos perfectos ) Respuest: Cudo se quiere lizr si l su de tres térios es el cudrdo de l su de otros dos, hbrá que observr si eiste e ell dos térios que se cudrdos y u tercero, el doble producto de l bse de esos cudrdos, siedo éste el úico tério que puede estr precedido por el sigo eos. o tbié. ( ). ( ) El resultdo o h vrido, pues los vlores bsolutos de l su de los dos térios que so bses de los cudrdos so igules. 8 P O L I T E C N I C O

20 b) b b Respuest: b b ( b) ( b) ( b ) o tbié b b (b)( ) (b) ( ) (b ) El resultdo o h vrido pues c) d) e) f) g) h) 0,0 0,0 0, b b i) CUBO DE UNA SUMA. Deostrreos que: ( b) b b b Etoces: () Defiició de poteci () Propiedd Asocitiv de l ultiplicció () Propiedd distributiv de l ultiplicció co respecto l su () Su de térios seejtes P O L I T E C N I C O

21 Potecició - Fctoreo Mteátic Coloquilete result: El cubo de u su es igul l cubo del prier tério, ás el triple producto del prier tério l cudrdo por el segudo, ás el triple del prier tério por el cudrdo del segudo ás el cubo del segudo tério. A est epresió se l deoi Cutrioio Cubo Perfecto El cubo de bioio se puede iterpretr geoétricete coo el cálculo del volue de u cubo de rist ( b). PROBLEMAS ) Aplic lo deostrdo e los siguietes cubos de l su: ) 5 b) c) d) y 0) Deuestr los siguietes teores válidos pr, y R : ) y y y y b) y y y y c) y y y y 0 P O L I T E C N I C O

22 ) Resuelve : ) b) c) y d) 6 y ) Escribe V (verddero) o F (flso) segú correspod justificdo sólo ls flss: ) b) c) ( ) 8 6 ( ) ( ) d) ( ) e) 7 7 ( ) ) Fctore cudo l epresió se cutrioio cubo perfecto ) 7 7 Respuest: ( 7) b) c).( ).( ) b 8 b b d) e) 8 f) g) P O L I T E C N I C O

23 Potecició - Fctoreo Mteátic EL PRODUCTO DE UNA SUMA POR SU DIFERENCIA. Trbjeos pr ecotrr u epresió que clcule fácilete el producto de u su por u difereci de igules térios, esto es e síbolos: Deostrreos que: Result: b b b b b b b b 0b b () () () () () Propiedd distributiv de l ultiplicció respecto de l su y de l rest. () Propiedd couttiv de l ultiplicció. c c c R () 0 ; () Por ser 0 el eleeto eutro de l su de reles. Coloquilete: El producto de u su por u difereci de igules térios es igul u Difereci de Cudrdo Iterpretció geoétric: P O L I T E C N I C O

24 PROBLEMAS ) Resuelve ls siguietes ultipliccioes de sus por diferecis: ) d) y y b) c) 5 5 b b e) 6 6 5) Fctore ls diferecis de cudrdos ) 5b d) 5 b) 0, 0 e) 5 6 y 00 c) y 6 6) Verific ls siguietes igulddes ) b b b b 0 b) 0 b b b c) d) e) f) g) ( b) ( b) (7 b b) ( y) ( y) y ( y ) ( ) ( ) ( ) ( y) ( y) ( y) ( y ) y( y) 7) Ecotrr dos úeros tles que su su se 0 y l difereci de sus cudrdos se 0. 8) L su de los cudrdos de dos úeros es 70 y l difereci etre los cudrdos de esos isos úeros es 7. Hll esos úeros. P O L I T E C N I C O

25 Potecició - Fctoreo Mteátic ) Fctore ls siguietes epresioes lgebrics ) y y E est epresió, ecepto scdo u fctor coú uérico, o se puede trsforr e producto co l sol plicció de l propiedd distributiv. Pero si se plic l propiedd socitiv e l su (si es ecesrio prierete se plic l propiedd couttiv e l su) grupdo los térios coveieteete se puede etrer veces, otros fctores coues coo se idic cotiució c+ bc+ d+ bd =(c + bc) + (d + bd) =c (+b) + d (+b) = (+b).(c+d) Propiedd socitiv E l epresió propuest result: Propiedd Distributiv Propiedd Distributiv y y y y y y Est for de fctoreo se l ll Fctor Coú por Grupos Noteos que puede eistir ás de u for pr grupr térios b) y y i) c bc dbd c) 5 b j) 5 b d) y by b b k) y y e) y 5 y 0 l) y y 6 f) y y z z ) 6b y 8yb g) b b ) y 7 y 8 h) y 5b 5by o) p p b bp 0) Fctoreos cobidos ) 6 Respuest Debido que este últio polioio serí u trioio cudrdo perfecto si o fuese que dos de los tres térios está precedidos por el sigo eos se puede logrr u trsforció coveiete por plicció cobid de propieddes vists tl coo se idic cotiució. P O L I T E C N I C O

26 b) d) 6 pero 6 6 es u difereci de cudrdos, etoces: y y c) e) b b b b b 8 f) g) h) i) 6 y y y j) y y k) 8y l) 6 b b ) y 6 6y y 6 5 ) o) 5 0y 5y 7 7 p) y y q) r) 0 5 b 5 5 b s) y y y y y t) u) y y y y y v) ) 5 5 w) y y y y) 8 y 8 6 y 8 ) Deteri el cojuto solució de ls siguietes ecucioes, teiedo e cuet l codició de ulció del producto d) 0 ),. 6 0 b) e) ( 8 6).( ) 0 c) 50 0 f) ( ).( 0,) 0 P O L I T E C N I C O 5

27 Potecició - Fctoreo Mteátic ) Siplific si es posible (supoeos que los vlores que puede suir ls vribles so tles que ls epresioes quede siepre defiids) - y b ) b) ( y ) 7 c) 5 5 d) - y y y e) f) y g) ( ) ( ) -b h) : b - y i) : ( y) j) -6+y. 6 y-. z t z t y ( )( ) k) ( y).( y) ) y l) ) 5 y 0 y y z ( y z).( y z) 6 P O L I T E C N I C O

28 - Notció cietífic. Pr resolver probles los cietíficos debe relizr, ás de u vez, tediosos cálculos coo el que te ostros: Por supuesto, coo estás pesdo, se yud co clculdors o coputdors. Pero, veos qué sucede si itetos resolver osotros este producto utilizdo u clculdor cietífic. Puls, pr ello, ls tecls que os perite obteer el producto pltedo Qué observs e el visor de tu clculdor?.. L clculdor h utilizdo u for de escritur lld otció cietífic. 7, úero etre poteci y 0 de 0 que cosiste e escribir u úero coo el producto de u úero etre y 0 por u poteci eter de 0. Así, so ejeplos del uso de este tipo de escritur ls siguietes epresioes: =, =,7. 0 No sólo este tipo de escritur es útil pr escribir úeros grdes. Los cietíficos tbié ecesit, veces, trbjr co úeros uy pequeños coo lo es, por ejeplo, el resultdo de l operció. 0,: Qué os ifor l clculdor e este cso l efectur co ell este cálculo? Pulseos uevete ls tecls que perite obteer el cociete que buscos. Qué observs e el visor?... Qué idic, e este cso, ests epresioes? P O L I T E C N I C O 7

29 Potecició - Fctoreo Mteátic Epres que el úero buscdo es: El -07 que prece e el visor os idic que debeos correr l co 7 lugres l izquierd, =,00500 = 7 0 = 0, L otció cietífic os provee u for de siplificr l escritur. Adeás o es sólo útil pr epresr resultdos de opercioes, es ú ás útil cudo epresos los úeros co los que operos, y se e el cálculo ul, e el etl o e el cálculo ecizdo E geerl cocluios: PROBLEMAS. U úero se epres e otció cietífic cudo se lo escribe coo el producto etre u úero yor que uo y eor que 0 y u poteci de bse 0 co epoete etero. ) Epres cd úero si epler potecis ).5 0 b) c) d).5 0 ) Epres e otció cietífic ) b) c) 0, d) e) 0, f) 0, g) 0, h) i) 0,5 0 j) ) Epres los siguietes úeros si utilizr otció cietífic ) -,5.0 b),8.0 6 c) -,5.0-8 d), e),8.0 f), P O L I T E C N I C O

30 6) Sbiedo que el icróetro es l ilési prte del ilíetro, escribe e otció cietífic,5 icroes epresdos e etro 7) L estrell Alf Ceturo está u distci de l Tierr de proidete,5 ños luz. Epres es distci sbiedo que l luz recorre.0 5 k por segudo (u ño 65,5 dís proidete) Respuests ) )- b) - c) d) - e) f) - g) 5 ) ) ( ) ( ) ( ) b) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( 6) ( 6) ( 6) e) ( ) ( ) ( ) f) ( ) g) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h) i) ( ) j) ( ) ( ) ( ) ( ) k) l) ) ( y) ( y) ( y) ( y) ( y) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b b b b h) 5 ) ) b) c) - ) A crgo del luo 5) Deostrció crgo del luo 6) ) z b) z 6 c) 8 c) 7 5 7) ) b) 8 6 c) d) e) 7 8) A crgo del luo ) P O L I T E C N I C O

31 Potecició - Fctoreo Mteátic ) 6 y 5 b) 5 6 y c) y d) 6 y e) y 8 f) 5 y g) 7 h) 7 b i) b 0 c 8 j) k) g l) y ) 6 5 ) b 5 0) N N P N P N ) A crgo del luo ) 5 ) b)- c) d) e) 8 ) 5 ) 6 5 f)- 8 5 g) h) i)6 j)- k) l) ) ) 6 ; - 6 ; 6 b)5; -5; -5 ) ) b) c) d)-6 e)- 5) ) p Sol : c) p q Sol : 5 e) p Sol : f) q 8 g) p q Sol : p b) q Sol : 7 d) p q p q Sol : Sol :0 6 6) ) b) 7 c) d)- 7) ) b) 8 c) b c d) d 6 e) 7 f) 5 0 P O L I T E C N I C O

32 8) ) i) 7 7 b 0 c b) c) 6 b d) 5 b 6 e) f) g) 6 b h) 8 ) ) b) c) d) e) f) g) h) i) b j) 5 k) p p l) 0) ) 5 5 f) b) y y o y y y y 5 5 c) 7 b h) b b d) b y y g) i) e) y y j) bc d ) )Flso b)verddero c)flso ) ) d) g) 87 7 b) 8 6 q 5 56 h) 0 8 c) 7 e) 7 f) 5 b 6 c p 5 ) ) 6 b) 7 c) d) e) f) 5 g) h) 6 i) j), y k) ; l) 0 0 P O L I T E C N I C O

33 Potecició - Fctoreo Mteátic ) ) d) b) c) 5 ( 0) 5) A crgo del luo 6) ) b) d) g) e) 8 h) y y 6 c) y y f) 6 6 y y y 0 8 y 8 6 y 6 7) A crgo del luo 8) Se ostrrá u sol respuest por ite: c) d) e) f) g) h), 0, 0 i) ) ) b) d) 7 7 0) A crgo del luo c) 8 y 6 y y 8 ) ) b) c) y y y d) 6 08 y 8 y 8 ) ) Flso, pues b) Verddero c) Flso, pues o es el cudrdo de u bioio. d) Verddero e) Flso, pues 7 7 y 6 P O L I T E C N I C O

34 b ) b) c) d) o es e) f) g) ) ) b) 5 c) b d) y e) 6 b) ) ) d) 8 e) y 6 y 6 6) A crgo del luo 7) y 8) y 7; - y 7; y 7; - y 7 c) y y y ) b) y c) d) y b e) y 5 f) y z g) b y b h) 5b y i) b c d j) 5 b k) y l) y ) ) y 7 o) p b 0) b) 5 5 y c) d) e) b b f) b b g) h) i) y j) y k) y y l) 6b b b ) y ) 5 o) 5 y p) 7 y 7 y y q) r) b b b 5 s) y y t) u) y y y v) w) y y ) y y) P O L I T E C N I C O

35 Potecició - Fctoreo Mteátic ) ) 0 b) c) d) e) f) ) ) b) e) i) f) y j) ) y ) b c) y y z t z t 5 d) g) h) k) y z l) ) ) b) c)0 d)500 ) ) f) 0 b) 7,70 0 g),8 0 c),8 0 h) 0,8 0 d) 5,6 0 i), 0 e),5 0 j), 0 0, ) ) b) c)-0, d)0, e)8.000 f)0, ),5 icroes =,5 0 - =, =, ) 0 5 K ,5,5 =, 0 K BIBLIOGRAFIA *PREM 8 (Buschizzo,Ctteo,Gozlez,Hirische,Filiputti,Lgrec) *Mteátic Activ II(Msco,Ctteo,Hirische) * Mteátic 8 de Juli Seveso y otros.serie Vértice. Editoril Kpeluz * Mteátic de Juli Seveso y otros. Serie Vértice. Editoril Kpeluz *Álgebr Iteredi de Alle R. Agel (Set Edició). Editoril Perso P O L I T E C N I C O