Transcripción

1 FILTRACIONDEFLUIDOS LASECUACIONESDELA ENMEDIOSPOROSOS Univ.AutonomadeMadrid Depto.deMatematicas 28049Madrid,Spain JuanLuisVazquez josenmediosporosos,presentadadesdeelpuntodevistadelamatematicaaplicada Elartculoesunaaproximacionalosproblemasmatematicosdelateoradelosu- RESUMEN modelizacion,elotroenalgunosaspectosdelateoramatematica. yenfocadahacialainvestigacionactual.constadedoscaptulos,unocentradoenla conelmedioatravesdelcualuyeeluido.seestudiandiversasaplicaciones,sededucenlosmodelosadecuadosyseformulanloscorrespondientesproblemasmatematicos conmayorfrecuenciaenlaliteraturaaplicadayenlainvestigacion.ellectornoespecializadoesinvitadoaseleccionarlosmodelosmasdesugusto,quizalosprimeros,queson cerrados.hemosconsideradoutilhacerunamplioelencodelosproblemasqueaparecen unaleydeorigenexperimental,lallamadaleydedarcy,quetieneencuentalainteraccion ujosatravesdemediosporosos.sesustituyelaleydinamicausualdenavier-stokespor Masenconcreto,enelprimercaptuloseconsideraladescripcionmecanicadelos losmodelosmasrepresentativosyestudiados,lallamada\ecuaciondelosmediosporosos", loquepermitediscutirlosconceptosdesoluciongeneralizada,regimenautosemejantey conceptualmentemassimples. fronteralibre.sepresentanalgunasdelaslneasdeinvestigacionmatematica. Enelsegundocaptuloseestudianalgunasdelaspropiedadesmatematicasdeunode analisisdesuefectividadyenelcalculoconcreto,aspectosqueenningunmododeben orientadomashacialapresentacionycoherenciadelateoramatematicaquehaciael deinteresqueescapanaestasnotasyalosconocimientosdelautor.eltextoseha Siendoelpresenteuncampoenplenaactividad,existensindudamultituddeaspectos queeltextoseautilcomoinvitacionalecturasmasdetalladasyprofundas. serdescuidadosyqueellectorhabituadoalestilodetrabajoeinteresesdelaingeniera echaraenfalta.entodocasoelautoragradeceloscomentariosysugerenciasyespera 0

2 Captulo1 ECUACIONESDELOSMEDIOS POROSOS 1.1 LaecuaciondeNavier-Stokeseslaleyfundamentalquedescribeladinamicadelosuidos viscososmasusuales,losuidosnewtonianos,yjuntoconlasleyesdeconservaciondemasa Introduccion seaplicaaunaenormevariedaddesituacionespracticasdeuidosreales.sinembargo, sumovimientoapartirdeunascondicionesinicialesydecontornodeterminadas.estaley (ydeconservaciondelaenergaydeestadosieluidoescompresible)permitedescribir noesdeaplicacioninmediataparadescribirladinamicadelosuidosquediscurrena ofrecidaporlaestructura.losuidosenmediosporosossondegranimportanciaen matriz)solidayesprecisotenerencuentalamuycomplejageometraylaresistencia travesdemediosporosos,pueseluidoavanzaporloshuecosquedejalaestructura(o diversosproblemasdeinteresindustrialosocial,comosonlaextracciondepetroleoo ejemplosanteriores,elanalisisdelujosegunlasleyesclasicasdelosuidossuplementadas diversosusos.dadalagranirregularidadqueofrecelamatrizsolidaenmuchosdelos problemasdecontaminacionotratamientoderesiduosylaconstrucciondeltrosde gas,elcontrolydistribuciondelasaguassubterraneas,lahidraulicadelosdiques,los darunasideassobreelestadodelacuestionylosprogresoshabidosensuvertiente nuevaproblematicadentrodelamecanicadeuidos,asaber,hallarunprocedimiento alternativoquepermitadescribirdeformaecaztalesujos.pretendemosenestasnotas conlainteraccionuido-estructuraresultaimpracticableyaunirreal.seplanteaasuna matematica. puessedaunfenomenodepromedio.porotrapartetalesujos,oltraciones,sucedena tornamasfacilcuandoseconsideranescalasgrandesconrespectoaltama~nodelosporos, aescalainferioralosporos(pongamosaescalasdelordende10 5cmparajarideas),se Ladescripciondelujoenelmedioporoso,quecomohemosdichoesmuycomplicada tanpeque~nasvelocidadesquelosterminosdeinerciasondespreciablesencomparacioncon losdepresionyviscosos.lafuerzaexternaesusualmentelagravedadysetieneencuenta 1

3 villa",comodicelamemoria.estaley,quedescribeadecuadamenteladinamicadelujo cuandoeluidoesunlquidoyelmovimientonoeshorizontal.elingenierofranceshenri deunuidoincompresibleenunmedioporoso,abrioelcaminoalanalisisracionaldelos Dijon,propusoen1856unaleybasadaensusexperimentosenlas\fuentespublicasdela Darcy( ),quetrabajabaparaelconsorciodeaguasdelaciudadfrancesade leyhasidoampliadaposteriormenteparacubrirlasdiversassituacionesqueaparecenen ujosdelasaguassubterraneasyotrosuidosqueuyenatravesdemediosporosos.la lateoradelaltracion. poroso.laleypropuestapordarcyrelacionaenformalineallasdosmagnitudesfundamentalesdelujo,lavelocidad,u=u(x;t),ylacadadepresion,p(x;t)segunla (1.2.1) hoydallamadaleydedarcy.aqux=(x;y;z)eslaposicion,zeslacoordenada vertical,reseloperadorgradienteespacial,geslaaceleraciondelagravedad,es u= kr(p+gz); Supongamospuesqueunuidoincompresible,porejemploelagua,uyeporunmedio 1.2 LeydeDarcy formula ladensidad,aqusupuestaconstante,eslaviscosidaddinamica,unamagnitudtpica serunltroarticial.loscoecientesykpuedenserenprincipiovariables,peroesen coecientedepermeabilidaddelmedio,engeneralsepiensaenelsueloperotambienpuede viscosos.porelcontrario,kesunnuevoparametrofsico,tpicodelmedioporoso,llamado decadauidoviscoso.todasellassonmagnitudesestandarenelestudiodelosuidos quesedeterminanexperimentalmente,locualpreocupapocoalmatematicoaunqueno muchoscasosaceptablesuponerunmediohomogeneoyentoncesambossonconstantes, deareaefectivadelporo,esextremadamentevariableconelmedioysudeterminaciones unodelostemasdedebateenelestudiopracticodelosuidosenmediosporosos.tales dearea,semideencm2.elsignicadofsicodekesunpococomplicado,esunaespecie asalingeniero.mientrasquetienedimensionesdegr=cmsg,ktienedimensiones conceptosvienendiscutidosendetalleentextoscomo[ber],[be],[bv],[mu]o[pk]. dominiosdelaingenieraantesmencionados,enformadesistemascerradosdeecuaciones torno,laleydedarcypermiteplantearlosprincipalesproblemasdeltracionenlos enderivadasparcialesnolineales.cuandoestosproblemasfueronformuladosenclave Suplementadaporadecuadasleyescomplementariasycondicionesinicialesydecon- lamecanicadeuidoshansidounamotivacionimportanteeneldesarrollodediversas siglohanhechoaccesibles.hablandomasengeneral,esdese~nalarquelosproblemasde paraatacartaltipodeproblemas,quesololosavancesdelasmatematicasalolargodel matematicaenlaprimeramitaddeestesiglofaltabanlosmetodosteoricosypracticos ramasdelasmatematicas,notablementelasecuacionesdiferenciales,elanalisisfuncional 2

4 yelcalculonumerico,yhandadoademaslugarasubdisciplinascongranvigorcomolos problemasdefronteralibre. conbajonumerodereynolds,enquelosefectosdeinerciasondespreciablesfrentealos permitearmarquelaleydedarcysustituyeajustadamentealadenavier-stokesenlos mediosporososaunquesoloencircunstanciasadecuadas.enparticular,seaplicaaujos Encuantoalaaplicacionalamecanicadeuidos,unadilatadaevidenciaexperimental porladensidadylavelocidadylongitudtpicasdelmedio,re=ul=:continuaremos estadiscusiondeestetemaenlaseccion1.14. numeroadimensionalquerepresentaunaespeciedeinversodelaviscosidadnormalizado viscosos.comoesbiensabidoenmecanicadeuidos,elnumerodereynolds,re,esun ElmontajeexperimentalconsisteenunacolumnaverticaldeseccionAylongitudL 1.3 rellenadeunmedioporoso(arena)porelquesehacepasaragua.semideelvolumen ElexperimentodeDarcy deaguaqqueatraviesalacolumnaporunidaddetiempoylasalturaspiezometricas medidasporunmanometroenlosextremosdelacolumna,h1yh2.elfamosoresultado dedarcyseexpresaenlaforma Q= KA(h1 h2) hidraulica.laalturapiezometricaesunmedidadelallamadapresionnohidrostatica, (1.3.1) ElpuntoimportantedelaformulaesqueKesunaconstante,llamadaconductividad L : normalizadaparaquetengadimensiondelongitud,h==(g):utilizandoestasdenicionespodemostransformar(1.3.1)alaforma(1.2.1)pues (x;t)=p(x;t)+gz; (1.3.2) Sesuponequeelincrementovaralinealmente,conloqueelgradientehidraulico h1 h2= g; (=incremento): J=h1 h2 queesunaformademedirlavelocidadmediadeluido.sellegaasa(1.2.1)con (1.3.3) seidenticacon r=g.porotraparte,q=a=qeslallamadadescargaespecca, L (1.3.4) K=kg 3:

5 Unmontajesimilarserealizaenunacolumnainclinada,cf.[Be],[BV]. hidraulicaseutilizacomounidadeldarcy=9:8710 9cm2. ksemideencm2enelsistemac.g.s.enhonoralgraningenierofranceseningeniera EllectorcomprobaraqueKsemideenunidadesdem=sgocm=sg.Comodijimos, 1.4 Revisiondelasmagnitudesyecuacionesbasicas Figura1.1.MontajeexperimentalparalaleydeDarcy Comoesbiensabido,lamecanicadeuidossebasaenlahipotesisdelcontinuoespaciotemporalylasmagnitudesbasicas:densidad,velocidad,presion,temperatura,etc.,estan EnelestudiodelosujosenmediosporososlaescaladelVERresultademasiadona,de denidascomopromediosidealizadosdelcomportamientodeluidoenunvolumenelementalrepresentativodeluido,ver,queseasimilaidealmenteaunapartculauida. modoquesesustituyenestospromediosporlospromediosenunvolumenelementalrepresentativodelmedioporoso,vermp,quesesuponemuchomayoryabarcaunnumero sucientedeporosparaquetengasentidoelnuevopromedio. elvolumentotalvdeunvermptomadoentornoaunpuntox.esdecir,mesla fracciondelvolumennoocupadoporlamatrizsolidaydisponibleparaelpasodeluido. sedenecomoelcocientedelvolumenocupadoporlosporosvp(ovolumenvaco)por Paraempezar,seintroduceunanuevamagnitudmedialocal,laporosidadm,que EstevalorhadeentendersecomounlmitecuandoelVERMP(x)espeque~nodentro notablementelasmatematicas,peroestahipotesisnoesrealistaenmuchoscasosdado primeraaproximacionpodemossuponerquelaporosidadesconstante,loquesimplica delordendemagnitudqueescogemos.aspues,pordenicion0<m<1ydepende delpunto,m=m(x).enunmedioporosocompresibledependetambiendet.en 4

6 quelossuelossonaltamenteheterogeneos.paraalgunosmediosporososmesfuncionde denecomoelcocienteentrelamasadeuidompcontenidaenelespaciovacop(x)de lapresionmediap. unvermpconrespectoalvolumenvpdeeseespacio, Encuantoalasmagnitudes\clasicas",ladensidaddeluidoenelmedioporosose (x)=mp Vp=Rp(x)0(x0;t)dx0 mecanicadeuidosestandar(aunniveldeescalainferior,pues).denuevosesuponeque (1.4.1) dondeindicamoscon0lamagnituddensidadtalcomoesdenidayutilizadaenla Rp(x)dx0 ; lacantidaddelsegundomiembrotieneunlmitecuando(x)esunvermppeque~noen tornoax.encuantoalavelocidad,estaesunpromedioenelvolumenquepodemos referenteelareatotaldelasupercieayentoncessedenelavelocidaddeltracion denirmedianteelujodemasaatravesdeunasupercies.sesueletomarcomo (seepageowvelocity)odescargaespecca(specicdischarge)mediantelaformula (1.4.2) dondeneslanormalalasupercie.denuevolaprimasindicancantidadesdenidas qn= (x)azs(x0)u0(x0)n(x0)ds(x0); 1 idealizada,cuyajustezahadesercomprobadaexperimentalmente.tambienseutilizala alniveldeescalainferior.elhechodequeexistelacantidadqfunciondexytenel velocidadintrnsecavqueestareferidaalareaapocupadaporlosporos, sentidodelmiteparaspeque~noenlaescaladelosvermpesunahipotesisdelateora (1.4.3) Recordemosqueambassonconceptosmediosynorepresentanlavelocidaddeninguna vn= (x)apzs(x0)u(x0)n(x0)ds(x0): 1 partcula(inclusoenelsentidodepartculauidahabitualenmecanicadeuidos).entre (1.4.4) puessedemuestraquelarelaciondeareaseslamismaquelarelaciondevolumenes.en ambasvelocidadessetienelarelacionq=mv; unaciertasupercietotalporunidaddetiempo,yenterminosdeqseescribelaley dedarcy.porotraparte,vesconvenienteparaexpresarelmovimientodelasfronteras libresyotrosfenomenosquesepuedenvercomomovimientode\partculas".entodo losprocesosdeltracionesmasconvenienteutilizarq,elvolumendeaguaqueatraviesa caso,paraporosidadconstanteladiferenciaesmatematicamenteirrelevante,peroellector (1.4.5) quedaraprevenidodediferenciasnotablesdenotacionenlostextos,quehacensulectura laboriosa.demanerasimilarlapresionsedenecomo p(x;t)= Vp(x)Zp(x)p0(x0;t)dx0; 1 5

7 deduceenlaformahabitualenlamecanicadeuidos(verreferencias)ysellegaala formula ydelmismomodolatemperatura.conestasdenicioneslaconservaciondelamasase existenfuentesosumiderosdeuidodistribuidos,deintensidadr=r(x;t).entonces (1.4.6) conlanovedaddelam.estaleybasicaadmiteunavariantedeinterespracticocuando (1.4.7) Alaleydeconservaciondemasasea~nadelaleydinamicadeDarcy.Esta,originalmente formuladaparauidosincompresibles,hasidoextendidaalosuidoscompresiblesenla forma elultimosumandotomaunaformauntantodistintadelaenunciadaen(1.2.1).lasleyes (1.4.8) Estaeslaformausualconcampodefuerzasgravitatorio.Observesequealservariable q= k(rp+grz): hipotesisdegranutilidadalahoradesimplicarelproblemamatematicoperoqueno siempreseajustanalarealidad.lafaltadehomogeneidadsereejamedianteladependenciadek,yrespectoax.lafaltadeisotropasetieneencuentaenlaformamas anterioresseescribensuponiendoqueelmedioeshomogeneo,anisotropoeindeformable, (1.4.9) generaldelaleydedarcy dondelapermeabilidadesahorauntensork=(kij)yeselpotencialhidraulico,que sedeneporintegracionde q= Kr deltipouido-estructuraqueexcedenelrangodeestasnotas.contodo,unaprimera confuncampodefuerzasexterior.finalmente,ladeformabilidadllevaaproblemas r=rp f; hipotesisconsisteensuponerquelaporosidaddependedelapresionm=m(p)enforma aproximadamentelineal. sionytemperaturarespectoalosvaloresmediosseanpeque~nasencadaelementovp,lo lasleyesderivadasanteriormente,quesonnolineales,salvoquelasuctuacionesdeprecionesenlosuidoscompresibles,hemosdeobservarquelosvaloresmediosnocumplen Encuantoalasmagnitudestermodinamicas,necesariasparacerrarelsistemadeecua- cualsupondremosenloquesigue,peropuedeafectaralavalidezdelosrazonamientos ensituacioneslmite. 6

8 conlageometradelamatrizsolida. 1.5 Losinvestigadoreshandescubiertodiversasformulasquerelacionanlapermeabilidadk Signicadodelapermeabilidad laminarcorrespondienteeselllamadoujodepoiseuille.veamosendetalleelcalculoen suponeformadoportubitoshorizontalespuestosenparaleloendimension2o3.elujo plicado,peroaunasilustrativoyajustadoalfenomeno)enqueelmedioporosose Ejemploilustrativo.Esrelativamentefacilcalcularkenelcaso(tremendamentesim- Bajolahipotesisdenoturbulenciasesuponeunavelocidadlaminardeltipo 2Denunplanohorizontal.Tomemosntubosysead=2aeldiametrodecadatubo. Stokesensucomponenteyseobtienepy=0,esdecirlapresionhadetenerlaforma (1.5.1) Laincompresibilidadimplicaqueux=0,luegou=u(y).AplicandolaleydeNavier- u=(u;0): p=p(x).paraobtenerlarelacionentrepyurecurrimosalacomponentexdelas ecuacionesdelimpulsoquedan0= px+uyy=0: (1.5.2) Entonces,siLeslalongituddeltuboy2asuanchura: Dadaslasdependenciasdepyuestollevaalaseparaciondevariables px=uyy= c;constante: (1.5.3) Condatosdecontorno0paraueny=aquedauyy= c=,u(a)=u( a)=0;loque px= c;p= cx+c1 y c=p0 p llevaa L = rp: u=c (1.5.5) (1.5.4) Seobtienepues umax=ca2 2(a2 y2): mientrasquelavelocidadmedia(atravesdetodoslostubos,elesquemaserepite)es u=1 ndzu(y)dy=1 2;umin=0; =c 2aZa 0(a2 y2)dy=ca2 2aZa ac 2(a2 y2)dy Conellopodemosescribir u=a2 3c= d23=23umax: (1.5.6) 712rp;

9 queeslaleydedarcyconpermeabilidad (1.5.7) Estaesunaformulanotable.Laformulaysucoecienteaparecenenotroscontextosde k=a2 3=d2 losuidosviscosos. 12: deseccioncilndricaocuadradayahallarlasformulasteoricascorrespondientesdela permeabilidad. Seinvitaallectoraconsiderarelproblemaen3D,tomandotubostridimensionales Nota1.Enlosejemplosanteriorescongeometralineallapermeabilidadesfuncion delareadelaseccionelementaloporo.peroengeometrascurvilneasseobservaque Nota2.LateoradelahomogeneizacionpermiteobtenerleyesdeDarcyparamedioscon disposiciondeluido,queesunparametroatenerencuenta. lapermeabilidaddisminuyeconlatortuosidadoenrevesamientodelastrayectoriasa estructuraperiodica,pasandoallmitecuandoeltama~nodela\celulaelemental"tiende acero(yconelloelnumerodecelulasainnito).untrabajopioneroenestadireccion sedebeal.tartar,[ta].elloesdeutilidadenelestudiodemediosarticiales, comolosltros,quetienenunaestructuraaceptablementeperiodica.enlosmedios naturales,conunadistribucionbastantecaoticadetama~nos,formaydisposiciondelos difcilyestacomparativamentepocoavanzada.matematicamente,ellosetraduceenla introducciondemetodosestocasticosjuntoalascitadastecnicasdehomogeneizacion.de poros,unanalisisestadsticodelmedioesnecesarioylateoracorrespondienteesmuy ujo,loquellevaainteresantestratamientosmatematicos. granimportanciaeslaconsideraciondelassuras,quesondireccionesprivilegiadasde sentidodeq) 1.6 Enestecasocomparativamentemassimplesetienenlasecuaciones(conutomadaenel Flujoincompresibleenunmedioporoso (1.6.1) donde=p+gzeslallamadapresionnohidrostatica(opresioncorregida).tenemos 4ecuacionescon4incognitas(siestamosen3D;n+1ecuacioneseincognitasenn ru=0; u= kr; (1.6.2) dimensionesdeespacio).setieneentoncesque Supongamosquekysonconstantes.Llegamosalaecuacion r kr!=0: (1.6.3) =0: 8

10 Aspues,laecuacionparalapresiondeunuidoincompresibleenunmedioporosoes laecuaciondelaplace,lamasclasicadelaecuacionesenderivadasparciales.enel casoenqueelmedionoeshomogeneoniisotropo,sisustituimosk=pork==(aij(x)) estudioformapartedeloscursosavanzadosdeedps,cf.[gt].deexistirfuenteso (1.6.4) sumiderosdeuidodeintensidadr=r(x)llegamosalaecuacionmasgeneral noeslaunicadicultadmatematicadeunateoraaparentementesimple,comoveremos acontinuacion. 1.7 Filtracionenundique. libre Problemadefrontera Elejemplomastpicodeaplicaciondelmodeloprecedentesucedecuandotratamosde cierra.setrataevidentementedeuncasodeltraciondeunuidoincompresible(elagua) describirelprocesodeltraciondelaguadeunembalseatravesdelapareddeldiquequelo espaciales(x;z),esdecirignoramoslaanchuradelfrentedeldiquequesuponemostan simplicada,el\diquerectangular",ysuponemosunproblemabidimensionalenvariables atravesdeunmedioporoso(elcemento).paramassencilleztomaremosunageometra quetambienpuedeserotroembalse.suponemosademasunlechoinferiorimpermeable segmento0<x<aalapareddeldiqueylasemirrectax>aaldesagueexterior perpendicularaldique,deformaquelasemirrectax<0correspondealembalse,el grandequenoafectaesencialmentealoscalculos.elejexestasituadohorizontalmente horizontalsituadoenz=0yqueeldiquetieneunaaltural>0.porultimo,nos restringimosadescribirelestadoestacionario. ambosladosdeldique.dadoquelaltracionatravesdeldiqueesmuylentapodemos suponerquelasituacionfueradeldiqueesaefectospracticosestacionariayportantola alturadelaguaesconstante Lasituaciones(enprimeraaproximacion)trivialenlasdosregiones(embalses)a (1.7.1) z=hsix<0, z=hsix>a; 9

11 donde0<h<hl.consecuentementelapresionvienedadaporlaformula hidrostatica (1.7.2) p(x;z)+gz=gh+paparax<0;0zh; (desplazandoelorigendemediciondepresiones).pasemosahoraadescribirlasituacion (1.7.3) Podemossuponerquelapresionatmosfericapaesconstanteeinclusoigualarlaacero p(x;z)+gz=gh+paparax>a;0zh: bastanteevidentenoseratodoelrectangulor=[0;a][0;l]sinounaciertasubregion precisohacerunaimportanteobservacion:aefectoshidrodinamicoseldiquesecompone dedosregiones,unaregionocupadaporeluido(regionmojada),quecomoresulta enlaregionnotrivial,eldique,para0<x<ay0<z<l.alrealizaresteestudioes presionatmosferica,p=pa=0(pueslosporosestanllenosdeaire).nuestrointeres,yotraregionseca,endondesupondremosconaproximacionrazonablequerigela secircunscribepuesaladescripciondelujoenlaregion.lavariableaconsiderares (1.7.4) DeacuerdoconlateoradelaecuaciondeLaplace,siconocemoseldominioydamos =p+gz,quecomohemosvistoenlaseccionanteriorhadesatisfacerlaecuacion datosdecontornosucientespodremoshallar,yconellapyu.ahorabien,laregion =0: puedeserdescritadelaforma Lacurvaz=(x),fronteralibredelproblema,esunaincognitadelproblema,lomismo queson,pyu.nosencontramospuesconunproblemadedominiovariableo,porusar (1.7.5) =f(x;z)2r:z(x)g: laterminologausual,unproblemadefronteralibre. aplicaremoslaleydecontinuidaddelapresion.as,enlaparedverticalizquierda, condicionesdeltipodirichletoneumann.atravesdelaseparaciondelosmedios mente.enlostrozosdefronterajaprocedemosdelaformausualeimponemos Procedamosahoraalexamendelascondicionesdecontornoquedeterminenunvoca- 1=fx=0;0zLg,impondremoslacontinuidaddelapresionatravesdelcambio demedio,loqueimplicaque(0;z)=ghpara0zh: (1.7.6) Estotambiennosdiceque(0)=H.Enlaparedderecha, 2=fx=a;0zLg, tendremosporunrazonamientoanalogo (1.7.7) Porotrapartehemosdepreverlaposibilidad(quesedemuestracorrecta)deque(a)>h, esdecirquehayaunapartedeparedexternamojada.enesaparte, 3=fx=a;h (a;z)=ghpara0zh: z(a)g,lapresionpescerodeformaque (1.7.8) (a;z)=gzsihz(a): 10

12 Enelfondo 4=f0xa;z=0gimpondremoscondicionesdeujodeslizanteono penetracion,esdecirlacomponenteverticaldelavelocidadesnula,w=0,queporlaley dedarcyllevaa escerotenemosporlahipotesisdecontinuidaddelapresion (1.7.9) cientedecondicionesdecontornoquepermitecalcularsi esconocida.perohabamos (1.7.10) Condicionextraenlafronteralibre.Hemoscompletadoasunconjuntosu- =g(x): ciondeujotangencial:uhadeuirtangentealacurvaz=(x),ousandodarcy, dichoque esdesconocida.necesitamospuesnuevosdatosquedeterminen.estos tomanlaformadeunacondiciondecontornoextrasobre,queenestecasoeslacondi- (1.7.11) dondeeslanormala,enotraspalabras sedayestedominioeselquebuscamos. Teora.Lateorarigurosademuestraqueelproblema(1.7.4)-(1.7.11)estabienpropuestoenelmarcodelassolucionesdebilesutilizandocomotecnicalasdesigualdades generalsolucion.elhechocrucialesqueexisteununicodominioenquetalcasualidad consultarseen[f]o[ks].diversascuestionesdeunicidadengeometrasgeneralesypara obtenidaen1972porc.baiocchi,[ba].losprincipalesresultadosmatematicospueden variacionalesintroducidasporg.stampacchiaenlosa~nos60,cf.[ks].lasolucionfue elproblemadeevolucionfueronresueltaspornuestrocolegaj.carrillo,cf.[ca]. Modelizacion.Examinemosahoralateoradelaltraciondeunlquido(enelcasotpico 1.8 agua)atravesdeunestratoporoso.denuevoimpondremoshipotesissimplicadoras,a Filtracionesenelsuelo.EcuaciondeBoussinesq ltraocupaunaregiondeltipo saber:1)elestrato,dealturah,seasientasobreunlechoimpermeablehorizontalque suponemosesz=0,2)ignoramoslavariabletransversalyy3)lamasadeaguaquese Esteesunmodelodeevolucion.Setieneporsupuesto0h(x;t)Hylafrontera librehestambienunaincognitadelproblema.enestascondicionesllegamosaunaun (1.8.1) =f(x;z)2r:zh(x;t)g: 11

13 condicionesinicialesydecontorno. dosecuacionesdeeulerparalaconservaciondelimpulsoenxyz,todoellojuntoconlas complicado:ecuacionparalaconservaciondelamasadeunuidoincompresiblemaslas sistemade3ecuacionesconincognitasu;wypenundominiovariable,innecesariamente Elcalculopracticoesmuchomassencillotrasunassimplicacionesqueseadaptan Figura1.2.Filtracionconinyeccionlateral dadcasihorizontalu(u;0),deformaqueenlacomponenteverticaldelasecuaciones delimpulso bienalarealidad.paraellointroducimoslahipotesisdepeque~nainclinacion,esdecir suponemosquehtienepeque~nosgradientes,loquesetraduceenqueelujotieneveloci- aproximacionp+gz=constante.calculamosestaconstanteenlasupercielibre sedespreciaelterminoinercial(elprimermiembro)eintegrandoenzsetieneenprimera g; z=h(x;t)enquep=0(lapresionatmosferica)paraobtener (1.8.2) Enotraspalabras,lapresionsedeterminaporlaaproximacionhidrostaticaynosresulta ungradientedepresionesverticalenprimeraaproximacion.ellectorobjetaraqueeste p=g(h z): metodonoesexactoytendrarazon.pero,siexaminalosresultadoscomputados,habra Estedifcilequilibrioesprecisamenteelmeollodelamodelizacion.Reescribamosahora deadmitirquelaaproximacioncometeerroresmnimosalahoradecalcularlaaltura laleydeconservaciondemasa.tomamosunaseccions=(x;x+a)(0;c).setiene h(x;t),queesnuestroobjetivo,ysimplicaelsistemahastahacerlofacilmenteintegrable. x Zh yueslavelocidaddadaporlaleydedarcy (1.8.3) dondemeslaporosidaddelmedio,fracciondevolumendisponibleparaelpasodeluido, 0dydx= (1.8.4) u= kr(p+gz): 12

14 Enlasupercielateralderechaun(u;0)(1;0)=uquees (k=)px,mientrasenla izquierdada u.utilizandolaformulaparapydiferenciandoenxsetiene @xzh (1.8.6) conlaconstante=gk=2m.estaecuacionfundamentalenelestudiodeluirdeaguas subterraneasfuepropuestaporj.boussinesqen1903.esunavariantenolinealdela ht=(h2)xx ecuaciondelcalor.hemosrealizadolaproezadesimplicarelproblemaconsistenteen unsistemadeecuacionesplanteadoenundominiovariableobteniendounasolaecuacion quedeterminalafronteralibre.apartirdehcalculamoslapresionpmediante(1.8.2)y como Extension.LaecuaciondeBoussinesqsegeneralizaavariasdimensionesdeespacio luegolavelocidadumediantelaleydedarcy. meablehorizontalsinlahipotesisdesimetraalolargodelejez.ellectoresinvitadoa (1.8.7) Endosdimensionesrepresentaelmovimientodeunacapadeaguasobreunlechoimper- ht=(h2): deducirlaecuaciondeltracionenestecaso. salidas(porbombeo),laecuaciontomalaforma (1.8.8) Cuandoexistenenelestratoentradasdeagua(porrecarga,naturaloarticial)o dondelafuncionf(x;z;t)reejaestosefectos,siendopositivalacontribuciondelarecarga, negativaladelbombeo,f=r P.Enuncontextoidealizadopodemossuponerefectos ht=(h2)+f; puntuales,loquedalugaramasasdedirac,conlaconsiguientedicultadmatematica. quelaslneasequipotencialessonverticales,loqueesexperimentalmentecorrectosalvo ensituacionesextremas.laaproximaciondedupuitesunutilfundamentalenelestudio paralapresion,esatribuidaalcientcofrancesdupuit,[du].comohemosvistoimplica Notas.1)Lahipotesisdepeque~nainclinacion,conlaconsiguienteformulahidrostatica delosujosdeaguassubterraneas,pueselsistemaoriginalesdedifcilanalisis. aencontrartalmodeloconexponentegeneralacontinuacionenelestudiodelosuidos caloramuyaltastemperaturas,[zr],uncontextototalmentedistinto.denuevovamos uidoselmismotipodeecuaciondelcalornolinealqueseutilizaeneltransportede 2)Noteseelcuriosohechodequehemosencontradoenunproblemadeltracionde compresibles.unapruebamasdelaversatilidaddelosmodelosmatematicos. 13

15 Modelizacion.Utilizamoslasleyesdelosmediosporososparadescribirelujodeun gasenunmedioporosodespreciandolagravedad.setienenlasecuaciones 1.9 Fluidocompresibleenunmedioporoso (1.9.1) 8><>: queenelcasomassimpleesuna-leyparaelgas: (1.9.2) Esteesunsistemaaunindeterminado.Locerramosmedianteunahipotesistermodinamica, Recordemosque=1paraprocesosisotermosy>1paraprocesosadiabaticos.Enlos gasespodemosdespreciarelterminodegravedad.conm,kyconstantesqueda: p=c;1: (1.9.4) (1.9.3) r(u)=kc m(+1)(+1): ck r(r); lasvariables.asllegamosa Lasconstantesnoinuyen,yaquepodemoshacerlasdesaparecerporcambiodeescalaen encontrarlaecuaciondeboussinesq.enelcasoadiabaticotenemos1:4demodoque deecuaciondelosmediosporosos,(emp). desi1<m<2,m=2om>2).engeneralestaecuacionconm>1recibeelnombre m2:4,aunmayor.desdeelpuntodevistamatematiconohayninguninconveniente entomarunmcualquieramayorque1(algunaspropiedadesmenosesencialesdependen Extension.Elmodeloanteriorpuedegeneralizarseaunalallamadaecuaciondeltracion comodetipoparabolicosiempreque0(u)>0.engeneralaparecenfuncionesqueno (1.9.6) dondeesunafuncionrealcontinuaycreciente.recuerdesequelaecuacionesclasicada ut=(u); esdegeneradaparabolica. sonestrictamentecrecienteseinclusopuedentenerdiscontinuidadesdesalto.aunasse mantieneenciertosentidoeltipoparabolicoyaque0(u)0,ysedicequelaecuacion suplementariocuandoenladerivacionanterior:1)nosedespreciaelterminodegravedad, Seproponeallectordeducirunaecuaciondeltraciondeltipo(1.9.6)conuntermino 14

16 Teora.Elsegundocaptulodelpresentetrabajoestadedicadoaexponerlosprincipales esfuncionde. 2)sesuponequeelgastienedeleybarotropicageneral,p=p(),y3)sesuponeque laecuaciondeboussinesqdelaseccionprecedente. resultadosycaractersticasdelanalisismatematicodeestaecuacion,cuyocasom=2es 1.10 Filtraciondedosuidosinmiscibles.Ecuaciones diversostiposdeproblemasmatematicos.veamosacontinuacionunmodelomultifasede Losproblemasenmediosporosostienenunagranvariedaddeaplicacionesydanlugara utilizadasenlaextracciondepetroleo interesenlaingeniera,asaber,elujodeaguayaceiteenlossedimentospetrolferos. Modelizacion.LasituacionsepuededescribirpormediodelesquemadeMuskaty mojayotroqueno,atravesdeunmedioporoso. Masengeneral,elmodeloseaplicaalujodemezclasdedosuidosinmiscibles,unoque Leverett(propuestoporM.MuskatyM.C.Leverettenlosa~nos30),quesebasa enlasleyesfsicassiguientes: (i)laleydeconservaciondemasaparalasdosfases,queseescribe (1.10.1) porcadafasedentrodelvolumendelosporos.setienepuesque (1.10.2) demodoquepodemostomars=s1comoincognitaydespejars2=1 s.lasuisonlas descargasespeccas(lasqidelaseccion1.4)ymeslaporosidad.ademassisuponemos s1+s2=1; ecuaciones,quequedanasparamconstante (1.10.3) losuidosaproximadamenteincompresiblespodemoscancelarlasdensidades1,2delas (ii)unaleydedarcygeneralizada s)+div(u2)=0: (1.10.4) dondeieslaviscosidaddinamica,pilapresion,klapermeabilidadabsolutadelmedio poroso,filapermeabilidadrelativa. u1= K1f1(rp1+1grz); u2= K2f2(rp2+2grz); 15

17 (iii)larelaciondecapilaridadentrelaspresiones esunfenomenoimportanteenlateoradelosuidosenmediosporososquetieneaqusu (1.10.5) dondeeslatensioninterfacialyjeslapresioncapilaradimensional.lacapilaridad p2 p1=pc; pc=rmkj=p0j; primeraaparicion. EnelmodeloclasicodeMuskatyLeverettdeuidosbifasicos,cf.[BER],sesupone quetalesfuncionessonuniversales,esdecirquesonfuncionesidenticasdelasaturacion sparatodoslosprocesosenelmismomedioporoso. Suponemosqueelmedioeshomogeneoyquetodoslosparametrossonconstantes. dos,dadoquenoexisteunateoraquededuzcatalesfuncionesdelosprincipiosfunda- mentalesdelafsica.esteesunpasofundamentalenlamodelizacionquesedaconcierta frecuenciaenlaingeniera.cuandoseadoptatalaproximacionalproblemaespuesde titutivaspostuladas.enestecasoellectorpuedeconsultartalevidenciaenlaliteratura, crucialimportanciadisponerdelasucienteevidenciaexperimentalsobrelasleyescons- cf.[be],[ber].unavezconocidas,elsistemadeecuacionesquedacerradoypermiteen datosinicialesydecontorno.assepidelacondicioninicialparalasaturaciondelagua principiohallarlasvelocidades,presionesysaturacion.porsupuestonecesitamosalgunos (1.10.7) juntoconcondicionesdecontornoparalasaturacionyunadelaspresionesocomponentes normalesdelasvelocidadesdeltracion s(x;0)=s0(x) Talesfuncionesuniversalespuedenentoncesserhalladasmedianteexperimentosadecua- (1.10.6) f1=f1(s);f2=f2(s);j=j(s): Transformacionmatematica.Ecuacionesmedias.Parasimplicarloscalculos despreciamoslosefectosdegravedad.delasecuaciones(1.10.3)-(1.10.5)seobtieneun (1.10.8) sistemadeecuacionesparaunuidocticiomedioquesemueveconvelocidad Lapresionmediaesdenidacomo P=p1F(s)+p2(1 F(s)) Z1 u=u1+u2: (1.10.9) con F(s)= f1(s)+f2(s); spc(s)f0(s)ds; complicadaperoresultaserlaeleccionconvenienteparacontinuarelcalculo.lafuncion ( ) envezdelaeleccionenprincipiomasnatural,bp=p1s+p2(1 s).laexpresion(1.10.9)es =1 2; 16

18 ensconunpuntodeinexion,yderivadasconceromultipleens=sys=s, deujofraccionalf(s)esmonotonanodecrecienteytieneunaformacaracterstica 0s<s1,F(s)=0,F(s)=1.Entoncessetieneque p1=p+z1 p2=p+z1 spc(s)f0(s)ds pc(s)(1 F(s)); Llegamosasalasecuacionesparalasvariablesmedias.De(1.10.3)sesiguequeues incompresible spc(s)f0(s)ds+pc(s)f(s): ( ) ( ) De(1.10.4),(1.10.5)y(1.10.9)sederivauna\leymediadeDarcy" u= K(s)rP; ru=0: (s)=f1 1+f2 2: Figura1.3.FuncionesdepermeabilidadrelativayfunciondeBuckley-Leveretttpicas ( ) Aellosea~nadelaleydeevolucionparalasaturacionquetomalaforma (s)= Zs 2(s); ( ) esunafuncionmonotonanodecreciente,identicamenteigualaceropara0ss,que tienemultiplesderivadasnulasens=sys=s.deestesistemapodemoseliminaru 0F()f2()J0()d delmodosiguiente.de( )y( )sededuceque ( ) div(k(s)rp)=0: 17

19 1rP]+Kp0 denominadosistemasaturacion-presion,problemamatematicoformidablequecombina ( ) Quedapuesreducidoelproblemaaresolverelsistema( ),( )paraPys, 2(s): ecuacionesdetipoelpticoyparabolicodegenerados. ( ) Situacionlmite.Normalizandolafuncionypasandoavariablesadimensionales,de modoque reducimoselsistema( ),( )alaforma '(s)=(s) (s);u=ltv;=tt;=xl; adimensional"estadeterminadocomo ( ) dondelosoperadoresrysonexpresadosviavariablesadimensionalesyelparametro divv=0; "=Kp0T Enelrestodeldominiotendremosenellmite"=0unaecuacionhiperbolicadeprimer ( ) Lasestimacionesmuestranque"esunparametropeque~noloquedalugaracapaslmite. 2L2(s): ordendeltipo comolasencontradasenlacineticadegases.sepuedeverentonces( )comouna ecuacionregularizadade( )porviscosidad. Entonceslaecuacion( )quedaenlaforma lavelocidadmediaesnula,comoenlosujosqueprocedenporembebimientocapilar. Casodevelocidadmedianula.Encircunstanciasespecialessepuedesuponerque =Kp0 2(s); Referencias:[BER],[CJ],[Ew1],[GMT]. 18

20 elplanteamientomatematicodadaladiferenciadecomportamientodelosdosmedios.se 1.11 Queremosahoraanalizaruntipodeujobifasicoenquepodemossimplicarnotablemente Ecuacionesdelmedionosaturado zonasaturadaenqueelmedioporosoestacompletamenteocupadoporelaguayde sueledistribuirenprimeraaproximacionendoszonasdiferenciadas,unainferiorllamada saber,laltraciondeaguasenelmedionosaturado.elujodeaguaenlosacuferosse tratadeunproblemaqueseoriginaenelestudiodelujodeaguassubterraneas,a coexistenelaireyelagua.estaultimaesunazonadegranimportanciaparalasciencias cuyadescripcionnoshemosocupado,yunasuperiorllamadalazonanosaturadaenque paralavida. Modelizacion.Sedeseadescribirunaltracionnoestacionariaconsiderandoalagua aplicadasporqueenellasucedenfenomenosfsicos,qumicosybiologicosdegraninteres hemosvisto, presionenlasinterfasesentreambosmedios,lapresioncapilar,demodoque,comoya detemperatura.lacoexistenciadeambasfasesdalugarafenomenosdediferenciade comoincompresible.despreciamoslosposiblesefectosenergeticosdebidosadiferencias intersticialesmenorquelaatmosferica.alahoradedescribirelmedioseintroduce (1.11.1) ypc>0dependedelacurvaturasdelmeniscoformado.sesiguedeelloquelapresion paire pagua=pc lavariable,contenidodeaguadelmedio,queeseltantoporcientodeaguaencada volumenelementalrepresentativo (1.11.2) yserelacionaconlasaturaciondeaguaporlaformula =VolumendeaguaenunVERMP VolumentotaldelVERMP (1.11.3) conscontenidodehumedaddelmediosaturadoyrhumedadensaturacionirreductible. s= r Aefectosmatematicosladiferenciaesinesencial.Evidentemente,enelmedionosaturado s r hablamosenlaseccion1.4suponemosidealmentequeesunafuncioncontinuadenida enelmedionosaturado.setienelaleydecontinuidad entodoelmedionosaturado.veamosahoraelsistemadeecuacionesquerigenlosujos 0<<1.Deacuerdoconlashipotesisfundamentalesdelmediocontinuodeque (1.11.5) q= K()rH; 19H= +z;

21 unaleydedependenciaentreysllamadacurvaderetencion, potencialcapilardesuccion ydelpotencialgravitacional.elsistemasecierracon dondek()eslaconductividadhidraulica,heselpotencialtotal,queessumadel (1.11.6) derivadadelestudiodelainuenciadelaspresionescapilares,quejuntocon(1.11.3) permiterelacionary.assellegaalaecuacionderichards despreciaelterminoconvectivodegravedad,elterminofuenteyescribimosenfuncion (1.11.7) queesunageneralizaciondelaecuaciondeltracion(1.9.6),lacualseobtienecuandose de: cond()=k()0()yf0()=d().laformulacionmasdetalladatieneencuentalos respectoaltratamientodelosujosbifasicosquesehaexpuestoenlaseccionprecedente presionconstante(atmosferica),p1=0. laecuacionderichardspuedeversecomounlmitecuandosuponemosqueelaireestaa sistemadeecuaciones. potencialcapilarydelgravitacionalsedebeal.richards,1931,quienescribioel ingham,fsicoamericano,en1907.ladeniciondelpotencialtotalcomosumadel ElconceptodepotencialcapilarparamediosnosaturadosfueintroducidoporBuck- Referencias:[Be],[G],[R],[Sm] Veamosacontinuacionunsistemasimplequedescribeeltransportedeuncontaminante disueltoenaguaqueuyeatravesdeunmedioporoso(comoelsuelo)enregimensaturado.encondicionesestacionariastenemoslasecuacionesdeconservaciondemasayde Darcyparaelujodeagua Transportedecontaminantes (1.12.1) dondelasnotacionessoncomoenseccionesprecedentes,conrunafuenteosumiderode uido.eltransportedecontaminantedisueltoenelaguaestagobernadoporunaecuacion r(u)=r; u= K(rp+grz); r(drc)+c=f(c): 20

22 yfesunterminofuente/sumidero.elsistemaseresuelvea~nadiendocondicionesiniciales ydecontornoadecuadas. Aqu=mconmlaporosidad,Deseltensordedispersion,eslavelocidaddereaccion empleadosenlapractica. Paramasdetallesver[Ew2],tambien[BV].Estasreferenciasdiscutenlosmetodosnumericos Comoesderigor,enlamecanicadeuidoscompresiblelasecuacionesdinamicashande 1.13 seracopladasconlasleyestermodinamicasparaobtenerunsistemacompletodeecuacionesquedescribalosujoscuandolavariaciondetemperaturasypresionesimplicaque Planteamosacontinuacionunmodeloquedescribetalinteraccion.Tomamoslaleyde conservaciondemasausual (1.13.1) ylaleydedarcy (1.13.2) ylesa~nadimoslaleydeconservaciondelaenerga u= krp; Sistemasconinteraccionujo-energa existeunainteraccionnodespreciableentreeltransportedemasayelujodeenerga. (1.13.3) secierramediantelaleydeestado eslaconductividadtermicayambospuedenserfuncionesdet.finalmente,elsistema aeronauticayespacialparadescribirelujocompresiblecontransferenciadecaloren (1.13.4) dondereslaconstantedelosgases.estosmodelossondeutilidadenlaindustria P=RT; gasessonideales. simplicidadquelosmaterialessonisotropicos,homogeneosynodeformablesyquelos unmedioporososometidoapresurizacionydespresurizacion.sesuponepormordela quedandoporejemploenformanormalizada atravesdeladependenciadelosparametros,especialmente,respectoalatemperatura, escriberu=0yelacoplamientoentrelaecuaciondelaenergaylaleydedarcysucede Existenasimismomodelosincompresiblesenquelaleydeconservacion(1.13.1)se (1.13.5) (T)u= K(rp Ra(T)ez); 21

23 donderaeselnumeroderayleighdelaltracionyezeselvectorunitariovertical. Referencia:[BPB]. gransimplicacion.siendosusaplicacionesmuyvariadasesnaturalquelosestudiosos LaleydeDarcyesunaleyexperimentalysudeduccionracionalsucedebajohipotesisde 1.14 LmitesdevalidezdelaleydeDarcy velocidad,laviscosidadyeltama~nomediodelosgranos,cantidadesquesecombinanpara formalaminar,dependedelavelocidad,masprecisamentedelosvaloresrelativosdela delosuidossepreguntenporsuslmitesdevalidez.fueo.reynolds(1883)quien primeroobservoqueelhechodequeelujoprocedaenformaordenada,esdeciren darunnumerodereynoldsadaptadoalujoenunconductoporososegunlaformula Re=au desviacionesrespectoaladependencialinealdeqrespectoarparavaloresderedesde (1.14.1) siendoaeltama~nomediodelosgranosyu=juj.enlarealidadseobservanfuertes ; 100enadelante,quesesuelenexplicarporlaapariciondeunregimenturbulento.Sehan propuestoentoncesformulasdeltipo turbulento).unejemploeslallamadaleydeforchheimer (1.14.2) enquefcparare0mientrasfuparare!1(leycuadraticadelujo r= kf(re;m)u krp=u+k1=2 entreelujolaminaryelturbulento.porelcontrario,pararemenoreselujoeslaminar, (1.14.3) DehecholasanomalasempiezanparaRedelordende10enadelante,zonadetransicion uu: lasfuerzasviscosaspredominanylaleydedarcydescribeperfectamentealujo.por horizontal0raconu=0. elujoespracticamentenulo.lagracadelacorrespondenciar7!utieneuntramo apresentarseanomalasenformadeungradientehidraulicomnimopordebajodelcual ultimo,enelextremoinferiordelrangodenumerosdereynods,parare0,vuelven Referencias:[BER],[Be],[Fl],[V1]. 22

24 1.15 SiendoDarcyunnombrepococomun,resultacuriosoqueexistaotrocientcomuyfamoso denombreanalogo(condistintagrafa).setrataded'arcywentworththompson, Notacultural cuyolibroongrowthandform,1917,[dwt]esunapiedraangulardelamorfogenesis, estudiodelasformasnaturalesysuorigen.alcontrariodenuestrodarcydedijon, disciplinasestuvieronensuorigenbastantelejosdelmundodelanalisismatematicoy puedenservirdeejemplodelaamplituddeinteresesdelamatematicaactual.estas D.W.T.,escoces,fueacademico,profesordelaUniv.deStAndrews.Lateoradela hanvenidoaseralnaldelsigloxxobjetodeactivointeresdelamatematicayel ltracionylamorfogenesissonareasdelacienciaenprincipioalejadas,peroambasnos calculocientco.hacesolo30a~nosnoexistanaunlosmetodosmatematicosnecesarios paraprocederalestudioecientedeestosproblemas. lizadoparaconfeccionarelpresentetexto. Estasreferencias,seleccionadasdeunaextensabibliografa,recogenelmaterialuti- Referenciasdelcaptulo rocks",kluweracademicpubl.(1990). [BER]G.I.Barenblatt,V.M.Entov,V.M.Ryzhik,\Flowofuidsthroughnatural Textossobrelosfluidosenmediosporosos [Be]J.Bear,\DynamicsofFluidsinPorousMedia",Dover,NewYork,1972. simulation.singlephase,multiphaseandmulticomponentowsthroughporousmedia", [CJ]G.Chavent,J.Jaffre,\Mathematicalmodelsandniteelementsforreservoir Pub.Co.,Dordrecht,1987. [BV]J.Bear,A.Verruijt,\Modelingground-waterowandpollution",D.Reidel [Ew1]R.Ewing,\Themathematicsofreservoirsimulation",FrontiersinAppliedMathematics,SIAM,Philadelphia,1983. StudiesinContemporaryMathematicsanditsAppl.17,North-HollandPubl.Co.,1986. lineairesdel'ingenieuriepetroliere",springervlg,berlin,1996. [GMT]G.Gagneux,M.Madaune-Tort,\Analysemathematiquedesmodelesnon [Gr]R.A.Greenkorn,\FlowPhenomenainPorousMedia",MarcelDekker,New York,1983. [He]R.Helmig,\Multiphaseowandtransportprocessesinthesubsurface",Springer, NewYork,1996. [Le]T.C.Lee,\AppliedmathematicsinHydrogeology",LewisPub.,BocaRaton,Fa, 23

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27 Order",Springer-Verlag,NewYork,1983. [GT]D.Gilbarg,N.S.Trudinger,\EllipticPartialDierentialEquationsofSecond Sobrelateoradeecuaciones quasilinearequationsofparabolictype",izd.nauka,moscow,1967. [LSU]O.A.Ladyzhenskaya,V.A.Solonnikov,N.N.Ural'ceva,\Linearand pp [Dr]H.Darcy,\LesfontainespubliquesdelavilledeDijon",V.Dalmont,Paris,1856, Referenciashistoricas [DT]D'ArcyW.Thompson,\OnGrowthandForm",CambridgeUniv.Press,1917. Enespa~nol:\Crecimientoyforma",H.Blumeed.,Madrid,1980. [Du]J.Dupuit,\Etudestheoriquesetpratiquessurlemouvementdeseauxdansles canauxdecouvertsetatraverslesterrainspermeables",dunod,paris [R]L.Richards,Capillaryconductionofliquidsinporousmedia,Physics1(1931),pp. 26

28 Captulo2 EstudioMatematicodelaEMP DedicamosestecaptuloalestudiomatematicodelaEMP paracionesconlabienconocidateoradeecuaciondelcalorclasicaydondeaparecenen comomodelodelqueexisteunaextensateoramatematica,queadmiteinteresantescom- (2.0.1) ut=(um); m>1; fronteraslibresylarelevanciadelosregmenesautosemejantescomolmitesasintoticos. delaproblematicadeuidosenmediosporosos,comolassolucionesgeneralizadas,las formamuyilustrativaalgunosdelosconceptosmatematicosmasinteresantesynovedosos n=1,paratratardemostrarlosproblemasycaractersticasmasimportantes.podemos Tomemoscomoparadigmaelcasomassimple,elexponentem=2,endimensionespacial 2.1 Primerasideassobreelanalisismatematico. hecho,laecuacionentraaprimeravistadentrodelaclasicacionusualdelasedpscomo contornoconvenientesparau,esdeesperarqueexistaentoncesunasolucionunica.de lafronteralibre,yapartirdeellavelocidadypresion).trasa~nadirdatosinicialesyde enestecasovolveralproblemadeboussinesqytratardehallarlasolucionu(alturade ecuacionparabolicaporsusemejanzaconlaecuacionclasicadelcalor,ut=uxx,ycumple enlasegundapartedeestesiglo,cf.eltextoclasico[lsu].lamentablemente,dejadeser parabolicaenlospuntosenqueu=0,comoellectorobservaraescribiendolaenlaforma dalaesperanzadeutilizarlateoradeecuacionesparabolicascuasilinealesdesarrollada dehecholacondiciondeparabolicidadentodoslospuntosenqueuespositiva,loquenos equivalente (2.1.1) Ellotieneconsecuenciasnodesde~nables.Unadeellasesquenotieneengeneralsoluciones 27

29 indicaquelaecuaciondegeneraenunaecuaciondeprimerorden.elhechodequela primerordenquesepuedeintegrarporcaractersticas,explicalasorprendentepropiedad depropagacionnita,queseenunciacomosigue: ecuaciondegeneradaes(salvoconstantes)ut=(ux)2,unaecuacionbienconocidade solucion,h(x;t),comofunciondexparatodot>0jo". \Sieldatoinicialh(x;0)tienesoportecompactotambientienesoportecompactola enunaecuacionenprincipioparabolica(puesesfalsaparalaecuaciondelcalor,modelo masadeagua)yfu=0g(laregionseca).digamosquetalpropiedadessorprendente fronteralibre IR2,queseparalosconjuntosfu>0g(hastadondeseextiendela Estesoportecrececoneltiempo.Sepuededenirenconsecuenciaunainterfazo esfsicamenteuncontratiempoenunmodeloporotrapartetanbelloyecaz. realidadlapropiedaddevelocidaddepropagacioninnitadelaecuacionclasicadelcalor detalesecuaciones),peroesbiennaturalparaelproblemafsicoquetratamos.en sucientedesolucionesexplcitasocasiexplcitas.paraelloserecurreasolucionesde estudio,previoalaconstrucciondeunateorageneral,consisteenobtenerunnumero formasespeciales.heaqulosprincipalestiposparticularesdesolucionainvestigar: Elmetododeanalisisqueadoptamoseselsiguiente:unprimernivelelementalde (A)Funcionesdeunasolavariable:u=u(t),u=u(x).Estasultimassedenominan solucionesestacionarias. (B)Tiposeparaciondevariables:u=X(x)T(t). (C)Tipoondasviajeras:u=f(x ct),x2ir. (D)Tiposolucionesautosemejantes:u=t f(xt ): lassolucionesespecialesyseestablecelaexistenciayunicidaddelasolucion,ascomo suestabilidad.porultimoseanalizanlaspropiedadesespeccasdetalessoluciones, seintroduceunconceptodesoluciongeneralizadamotivadopornuestraexperienciacon Posteriormenteseseleccionaeltipodeproblemainicialy/odecontornoqueinteresa, especialmenteaquellasquetienenunsignicadodeinteresparalasaplicaciones. 2.2 Dejandoallectorqueinvestiguelaexistenciadesolucionesdelosdosprimerostipos, veamosconalgundetallelacuriosaproblematicaplanteadaporlassolucionesenforma Ondasviajeras.Propiedaddepropagacionnita deondaviajera (2.2.1) Estetipodesolucionrepresentaunondaquesedesplazaeneltiempoparalelamentea smismaalolargodeunejecoordenado,aquelx1.elparametroceslavelocidadde u=f();=x1 ct2ir: quesonmasbientrivialescomohabracomprobadoellector.ademaspodemosreducir laonda.podemossuponerquec6=0,puesparac=0hallamosestadosestacionarios 28

30 se~nalemosquelasondasviajerassonuni-dimensionales,esdecirsetomacomovariable espacialunodelosejescoordenados,porejemploelx1.esevidentequemedianteuna elcasoc<0alc>0porunasimetraenlasolucion(sustituyendou(x;t)poru( x;t) rotacionpodemoshallarunaondaquecamineencualquierdireccionndelespacioirn. sehayaotrasoluciondelaecuacionquesedesplazaensentidoopuesto).porultimo Entoncesvaldralaformula(2.2.1)con=xn ct. llegaa (2.2.2) Poniendopuesc>0joysustituyendolaforma(2.2.1)enlaecuacionut=umse dondelasprimasindicanderivadasrespectoa:integrandounavezsetiene (fm)00+cf0=0; contraunaregionvaca,esdecirquepara0queremosquef=f0=0.estacondicion (2.2.3) conconstantedeintegracionk2ir.estamosinteresadosenhallarunondaqueavance (fm)0+cf=k; decontornopareceimponerlacondicionk=0conloque(2.2.3)sereducea (2.2.4) quesepuedeintegrarparaobtenermmfm 2f0+c=0; pletoexitoenlatareadeintegrarlaecuacion,peroesteexitoseveempa~nadoinmediata- mentecuandoobservamosquelaformula(2.2.5)esincapazdecumplirnuestracondicion (2.2.5) Problemasinesperados.Fracasodelmarcoclasico.Aparentementehemostenidocom- m 1fm 1= c+k1: motricesdelamatematicaaplicadaeslaideadequenodebemosabandonarsinmasun decontornoen=+1.masaun,nuestrasolucionsehaceinevitablementenegativa buencalculo,pueslasdicultadesencontradassonlapuertaquenosabreelcaminoa severatentadodearrojartodoelcalculoporlaborda.porelcontrario,unadelasideas paratodogrande,locualvacontralafsicadelproblema.unmatematicoconservador unnuevocontextoenquepodemossalvarloobtenidoyresolverenformanovedosay presente. combinaciondelaexperienciamatematicaylaevidenciaqueprovienedelasaplicaciones quesetienenenmente.vemosacontinuacioncomosematerializaestatareaenelcaso utilelproblemaplanteado.abordaremostalincursionenlodesconocidoguiadosporla estenuevocalculoypasemosallmite.pasarallmiteenmodelosaproximadoses,junto delproblemalmite:existeuncalculoproximoalnuestroquetienesentido,realicemos conlaintegracionporpartes,unodelosrecursosclavedelamatematicaaplicada.en Lavadesolucionesrelativamentefacil(unavezhallada).Sedenominaestrategia concretotomamoscomocondiciondecontornoen(2.2.3) (2.2.6) f(1)=";f0(1)=0; 29