RECONOCER MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

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1 OBJETIVO RECONOCER MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES directamente proporcionales cuando la razón entre dos cantidades correspondientes de ambas es constante: a b k a b k se denomina constante de proporcionalidad directa. Si cada kilo de manzanas vale 0 céntimos, averigua la relación que existe entre el peso de manzanas y el precio. Para ello, formamos una tabla de dos filas: en una de ellas representamos las cantidades de una magnitud, y en la otra, las cantidades de la otra magnitud. Peso (en kilos) 5 Precio (en céntimos) Todas las divisiones entre el precio de las manzanas y su peso dan el mismo resultado: k 5 Es decir, el peso de las manzanas y su precio son magnitudes directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad es, en este caso, k 0. La tabla representada se denomina tabla de proporcionalidad. Para hacer una tortilla se utilizan huevos. Determina la relación entre estas magnitudes. a) Completa la tabla: Huevos Tortilla 5 6 b) Comprueba el resultado de todas las divisiones entre cantidades correspondientes c) Son magnitudes directamente proporcionales? k Completa las tablas siguientes para que sean tablas de proporcionalidad directa ,5 8,5 8 MATEMÁTICAS. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L.

2 OBJETIVO RECONOCER MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Esta tabla refleja el tiempo y los kilómetros recorridos por un coche que no circula a velocidad constante, es decir, va frenando y acelerando según el tráfico. Averigua si existe proporcionalidad. Horas transcurridas Kilómetros recorridos Realizamos todas las divisiones entre las dos magnitudes: , 5 75, Podemos observar que estas divisiones no dan el mismo resultado. Por tanto, las magnitudes de las horas transcurridas y los kilómetros recorridos no son directamente proporcionales. Por cada ventana instalada nos cobran 500, pero si instalamos más de 0 ventanas nos cobran 50 por cada una. Comprueba si estas magnitudes son directamente proporcionales. a) Completa la tabla con los datos numéricos que faltan. Número de ventanas Precio b) Halla el resultado de las razones entre cantidades correspondientes c) Son magnitudes directamente proporcionales? Estudia si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales. a) El lado de un cuadrado y su perímetro. b) El volumen que ocupa un líquido y su peso. c) El número de fotocopias y su precio. 5 Observa la tabla siguiente. Comprueba que las magnitudes M y M son directamente proporcionales, y calcula y e y. Magnitud M Magnitud M 8 y y DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L. 9

3 APLICAR LA REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA OBJETIVO REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA regla de tres simple directa es un procedimiento para conocer una cantidad que forma proporción con otras cantidades conocidas de dos magnitudes directamente proporcionales. Si una docena de huevos cuesta, cuánto cuestan huevos? Como la cantidad de huevos y su precio son magnitudes directamente proporcionales, podemos expresar esta relación de la siguiente manera. Ahora despejamos la x: Los huevos cuestan. cuestan Si huevos costarán huevos x x x x x x En una panadería han pagado por 70 barras de pan. Cuánto tendrían que pagar si hubiesen comprado 85 barras? Si barras barras cuestan costarán Despejamos la x: Las 85 barras cuestan. Si dólares son euros, cuántos euros son,5 dólares? Si dólares dólares son serán euros euros Despejamos la x: Los,5 dólares son euros. 0 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L.

4 CALCULAR PORCENTAJES OBJETIVO PORCENTAJES porcentajes tantos por ciento Si el 7 % de un terreno es,6 m, cuántos metros cuadrados representan el total del terreno? % m x 7 00, 6 x x x? x Un depósito de 000 litros de capacidad contiene 05 litros. Qué tanto por ciento es? % x Litros x x 05 En época de sequía, un embalse con capacidad máxima de 00 hectómetros cúbicos estaba al 5 %. Qué capacidad de agua contenía en ese momento? Capacidad % x x x A un artículo que vale 0 se le aplica un 0 % de descuento. Cuánto cuesta el artículo? x MATEMÁTICAS. ESO

5 REALIZAR REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES OBJETIVO REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Para realizar el reparto de una cantidad n de forma directamente proporcional a unas cantidades a, b, c : a b c... n a, b, c La Unión Europea ha concedido una subvención de para tres pueblos. El pueblo A tiene 800 habitantes; el B, 700, y el C, 500. Cómo debe repartirse el dinero? A B C Pueblo A Total A B C Habitantes Euros 5000 x y z x: x 000x 800? x x x Pueblo B Total A B C Habitantes Euros 5000 x y z y: y y Pueblo C Total A B C Habitantes Euros 5000 x y z z: z DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS. ESO

6 REALIZAR REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES OBJETIVO Vicente y José abren una cartilla de ahorros en el banco. Vicente ingresa 00 y José ingresa 800. Al cabo de unos años les devuelven 80. Cómo se los tienen que repartir? Vicente José Total Vicente José Dinero invertido Dinero ganado 80 x y = = Despejamos la x: Despejamos la y: x y Tres socios de un negocio aportan 0 000, y 0 000, respectivamente. Si obtienen unos beneficios de 0 000, cuánto le corresponde a cada uno? Total Socio Socio Socio Dinero invertido Beneficios x y z = = = Despejamos la x: Despejamos la y: Despejamos la z: x y z Un padre reparte el premio de una quiniela entre sus tres hijos de 8, y 5 años para ayudar en su formación universitaria, de forma directamente proporcional a sus edades. Si el menor obtiene 000, calcula: a) Cuánto dinero ha repartido el padre? b) Cuánto le ha correspondido a cada hijo? Total Hijo Hijo Hijo Años 8 5 Dinero DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L.

7 RECONOCER MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES OBJETIVO 5 MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes son inversamente proporcionales si el producto de dos valores correspondientes de ambas es constante: a? a b? b k Esta constante k se denomina constante de proporcionalidad inversa. 0 obreros tardan 0 horas en pintar una fachada. Si fuesen 0 obreros tardarían 80 horas, y si fuesen 5 obreros, 0 horas. Qué relación hay entre estas magnitudes? Obreros Horas ? ? ? k 600 Como los productos que obtenemos son iguales, las magnitudes número de obreros y número de horas son inversamente proporcionales. Tardamos horas en hacer el recorrido que hay de casa al colegio a una velocidad de km/h. Si fuésemos a 5 km/h tardaríamos, horas, y si fuésemos a km/h, 9 horas. Comprueba si estas magnitudes son inversamente proporcionales. Velocidad (km/h) 5 Tiempo (horas), 9 Para construir una nave en 60 días son necesarias 0 personas. Si pasados días se incorporan personas más, en cuántos días terminarán? DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L.

8 APLICAR LA REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA OBJETIVO 6 REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA La regla de tres simple inversa es un procedimiento para conocer una cantidad que forma proporción con otras cantidades conocidas de dos magnitudes inversamente proporcionales. Si trabajadores tardan 0 días en hacer un trabajo, cuánto tardarán trabajadores? Si trabajadores Si trabajadores tardan 0 días 6 x tardarán x días 0 0? 0? x 0 x x, días Los trabajadores tardarán algo más de días. En un depósito hay agua para 0 personas durante 0 días. Para cuánto tiempo durará el agua si fueran personas? Si 0 personas Si personas tienen para 0 tendrán para días6 días Despejamos la x: Las personas tendrán agua para días. Con el agua de un depósito se llenan 60 envases de 5 litros cada uno. Cuántas botellas, de tres cuartos de litro (0,75 l) cada una, se llenarían con el agua del depósito? Si 5 litros litros llenan 60 envases6 botellas llenarían Despejamos la x: Se llenarían botellas de tres cuartos de litro. DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L. 5

9 REALIZAR REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES OBJETIVO 7 REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES Repartir una cantidad n de forma inversamente proporcional a otras cantidades a, b, c es equivalente a repartirla de forma directamente proporcional a los inversos de las cantidades a, b, c n R / a/ b / c entre su cantidad correspondiente a, b, c El premio de una carrera es de 550 y se repartirá entre los tres primeros corredores en acabar la prueba de forma inversamente proporcional al orden de llegada, es decir, inversamente proporcional a, y. Qué cantidad le corresponde a cada corredor? Puestos Sumamos los inversos Dividimos la cantidad, 550, entre la suma de los inversos. Al.º le corresponde Al.º le corresponde Al.º le corresponde : 550? Un padre acude con sus dos hijos a una feria y en la tómbola gana 50 caramelos que los reparte de forma inversamente proporcional a sus edades, que son 9 y 6 años. Cuántos caramelos le da a cada uno? Edades 9 6 Sumamos los inversos Al hijo de 9 años le corresponden Al hijo de años le corresponden 50 6 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS. ESO

10 REALIZAR REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES OBJETIVO 7 Reparte 50 en partes inversamente proporcionales a los números, y. Números Dividimos la cantidad, 50, entre la suma de los inversos: A le corresponde A le corresponde A le corresponde Sumamos los inversos Comprobamos 50 El coste de la matrícula de una academia de música es menor cuantos más notables se han obtenido en el curso anterior. Tres amigos, Pedro, Sara y Leonor, han obtenido, y 5 notables, respectivamente, y entre los tres han pagado 0. Cuánto le ha costado la matrícula a cada uno? Notables 5 Sumamos los inversos Dividimos la cantidad, 0, entre la suma de los inversos: A Pedro le corresponde A Sara le corresponde A Leonor le corresponde Comprobamos 0 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L. 7