Distribuciones de Probabilidad

Transcripción

1 Distribuciones de Probabilidad Parte : La distribución binomial MATEMÁTICAS º Bach Tema : Distribuciones de Probabilidad José Ramón Experiencia Dicotómica Si en una experiencia aleatoria destacamos un suceso A y solo prestamos atención a si ocurre A o su contrario, se llama experiencia dicotómica Ejemplos:.-Lanzar una moneda: A = cara A= cruz.-lanzar un dado: A = sale 5 A = no sale 5.-Extraer una carta de la baraja: A = es figura A = no es figura

2 Distribución Binomial Si se repite n veces una experiencia dicotómica (en condiciones idénticas) y nos plateamos por el número de éxitos (nºde veces que sale nuestro suceso A). La distribución de esta variable se llama BINOMIALy se representa por B ( n, p ) Donde nrepresenta el número de veces que se repite la experiencia Y pla probabilidad de éxito en cada una de las experiencias Ejemplo: Lanzamos una moneda 0 veces y nos preguntamos cuántas veces va a salir cara Al lanzar la moneda tenemos dos opciones: Cara o Cruz (e. dicotómica) que se repite 0 veces (n) y la probabilidad de que salga cara es (0.5) Escribimos que es B (0, 0.5) MATEMÁTICAS º Bach Tema : Distribuciones de Probabilidad José Ramón Supongamos el siguiente ejemplo: Se extraen, con reemplazamiento, 5 cartas de una baraja española, cómo calculamos, por ejemplo, la probabilidad de que salgan figuras? En primer lugar razonamos que se trata de una variable binomial puesto que al ser con reemplazamiento, cada experiencia es idéntica a la primera. Por otro lado, la probabilidad de extraer una figura es = = Tenemos que tener en cuenta que sacamos 5 cartas, luego nuestro éxito (figura) puede salir en cualquier orden, es por lo que:

3 Las probabilidades de los sucesos son: NOTACIÓN: FF00F 0FFF0 p (FF 00F) = (0.) ( 0. ) ( 0.7 ) ( 0.7 ) ( 0. ) = ( 0. ) ( 0. 7 ) p (0FFF0) = (0.7) ( 0. ) ( 0. ) ( 0. ) ( 0.7 ) = ( 0. ) ( 0. 7 ) Sale figura la primera, segunda y quinta carta Sale figura la segunda, tercera y cuarta carta Es fácil darse cuenta que para cada suceso de los que queremos ( figuras) su probabilidad es: ( 0. ) ( 0. 7 ) Solo nos queda saber cuántos sucesos con figuras tenemos MATEMÁTICAS º Bach Tema : Distribuciones de Probabilidad José Ramón Es decir, vamos a sacar 5 cartas (una a una y con reemplazamiento) y nos interesa saber en cuántas de las opciones vamos a obtener figuras. Esto en matemáticas se expresa de alguna de las siguientes maneras: 5 Aunque seguramente en tu calculadora lo pondrá como: 5C Si la usamos para calcularlo nos sale como resultado 0 Entonces: 5 p(x = ) = (0.) C 5 ( 0.7 ) = = 0. En otro archivo PDF intento explicar qué significa eso de 5C, solo para los interesados

4 Cálculo de la probabilidad En general, en una variable binomial de parámetros n y p; es decir B(n,p) Las probabilidades se calculan así: n r p(x = r) = (p) r ( p ) n r Nº éxitos Nº fracasos Probabilidad de éxito Probabilidad de fracaso MATEMÁTICAS º Bach Tema : Distribuciones de Probabilidad José Ramón Cálculo de los parámetros Los parámetros son ahora más fácil de calcular La media (también llamada esperanza matemática) µ =n p Y la desviación típica σ = n p q Donde por q entendemos q = -p 4

5 Ejemplo De una urna que contiene bolas blancas y 4 bolas negras se extraen, con reemplazamiento, 7 bolas a) Es una binomial la variable que contabiliza el número de bolas blancas extraídas? Si porque, en cada extracción tenemos solo dos posibilidades, que sea bola blanca o que no lo sea. La probabilidad de que lo sea (éxito) es /6 = / y es la misma las 7 veces que realizamos la prueba. La probabilidad de fracaso es q = /, se trata entonces de B(7;/) b) Calcula la probabilidad de obtener bolas blancas p(x 7 5 ) = = = = MATEMÁTICAS º Bach Tema : Distribuciones de Probabilidad José Ramón Ejemplo c) Calcular la probabilidad de obtener al menos 5 bolas blancas p (x 5) = p(x = 5) + p(x = 6) + p(x = 7) 7 5 ( ) 7 6 ( ) ( ) = d) Calcula la esperanza matemática y la desviación típica µ = n p = 7 = 7 =. σ = n p q = 7 = 4 =.5 9 5