Ejercicios Resueltos de Estadística: Tema 5: Inferencia: estimación y contrastes

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1 Ejerccos Resueltos de Estdístc: Tem 5: Iferec: estmcó y cotrstes

2 . S X ~ N (40,0), clculr Pr (39 X 4) pr 0. E qué tervlo se obtedrá el 95% de los resultdos? X Pr (39 X 4) Pr ( ) Pr( X 0.363) 0 0 Z X 40 0 N (0,); Pr (39 X 4) Pr (Z 0.363) - Pr (Z ) Pr (Z 0.363) Y por tto, Pr (39 Z 4) Pr (µ-ε X µε)0.95 ε Pr (µ-ε X µε) Pr( Z ) 0 ε Pr (Z 0 ) Z ε Por tto, el tervlo es: (33.80,46.98). S el cotedo e gr. de u determdo medcmeto X sgue u dstrbucó N(7.5,0.3), clculr l probbldd de que pr u muestr de tmño 5, se obteg medo meor que 7, Pr ( X 7). A prtr de u muestr de tmño 5 de u poblcó orml N(µ7.5,σ0.3), teemos que:

3 Pr( X ) Pr X Pr( Z ) Dode Z tee u dstrbucó orml estádr, y por tto, Pr ( X 7) S l ltur de u grupo de poblcó sgue u dstrbucó orml N(76,), clculr l Pr(S 0) pr u muestr de tmño 8. Cosderdo u muestr letor de tmño de u poblcó orml N(µ,σ), por el teorem de Fsher teemos que: ( ) S σ ~ χ E prtculr, pr u muestr de tmño 8 de u poblcó orml N(76,), el estdístco 7 S sgue u dstrbucó 7 44 χ, y por tto Pr ( S 0) Pr( S 00) Pr S Pr( T 4.86) Dode l vrble T sgue u dstrbucó χ 7, es decr, ( S 0) Pr 4. U scesor lmt el peso de sus cutro ocuptes 300Kg. S el peso de u dvduo sgue u dstrbucó N( 7,7 ), clculr l probbldd de que el peso de 4 dvduos supere los 300Kg.

4 Teedo e cuet que el peso de cd dvduo tee u dstrbucó orml N(µ 7,σ 7), s seleccomos u muestr letor de 4 dvduos, teemos que: Pr Pr 4 X > 300 Pr X 300 > Pr 4 4 ( Z >.49) Pr( Z.49) 4 ( X > 75) Pr X > dode Z tee u dstrbucó orml estádr, y por tto, Pr 4 X > Clculr l probbldd de que l med µ se ecuetre etre X ± 3S pr poblcoes ormles y 5. A prtr del teorem de Fsher, e el muestreo sobre poblcoes ormles, teemos que los estdístcos X y S so depedetes, sedo l dstrbucó del estdístco X µ T u t - (t de Studet de - grdos de lbertd). E prtculr, s cosdermos S u muestr letor de tmño 5, l probbldd de que l med esté etre X ± 3S vee dd por: Pr < S S 5 dode T tee u dstrbucó t 4, y por tto: µ X ( 3 3 ) Pr 3 3 Pr X µ X S < µ < X S < < 3 5 < < 3 5 Pr( 3 5 < T 3 5) ( X 3S < µ < X 3S ) Pr( 3 5 < T < 3 5) Pr( T < 6.708) Pr 6. Clculr u tervlo de cofz l vel 0.05 pr l probbldd de p de que u recé cdo se ño s e u muestr de tmño 3 se h obtedo 67 ños.

5 Teedo e cuet que l proporcó de vroes recé cdos puede modelzrse por u vrble Beroull de prámetro p (probbldd de que u recé cdo se vró), el tervlo de cofz l vel 0.05 vee ddo por: pˆ z pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ), pˆ z Dode pˆ y z z , es decr, 3 ( , ) y por tto, el tervlo ( ,0.6375) cotedrá l proporcó de vroes cdos co u probbldd del 95%. 7. Clculr u tervlo de cofz l vel 0.00 pr el peso ecto medte los resultdos obtedos co 0 básculs: 7.0, 7.0, 7.36, 6.9, 7., 7.03, 7., 7., 7.03, 7.05 Supoedo que ls medds del peso de ls básculs sgue u dstrbucó orml N ( µ,σ ) co med el peso ecto, estmos teresdos e ecotrr u tervlo de cofz que coteg l med de est dstrbucó, que u vel 0.00 y desvcó típc descoocd, est determdo por: X t ; S X t, ; S ( X X ) X dode 0, X 7.040, S 0.86, y utlzdo l tbl de l dstrbucó t de Studet t t Por tto, el tervlo de cofz l ; vel 0.00 es: ( ,7.984) 9;0.9995

6 Y represet que l med del peso estrá e dcho tervlo co u probbldd de certo del 99.9%. 8. Clculr u tervlo de cofz l vel 0.05 pr σ medte ls desvcoes que se produce e u proceso de fbrccó cuy dstrbucó es N ( 0,σ ) prtr de l muestr., -., -3., -0., 0.5, 0.6, -.,.,.3 Sbedo que el proceso de fbrccó sgue u dstrbucó orml de med coocd µ 0, u tervlo de cofz pr l vrz σ l vel 0.05 es el sguete: T χ ; T, χ ; ( X µ ) dode 9, T tee χ χ ; 9; , y utlzdo l tbl de l dstrbucó χ, se, es decr, (.44458,0.763) Es el tervlo que cotedrá co u 95% de certo ls desvcoes que se produce e el proceso de fbrccó. 9. Clculr qué tmño muestrl debemos tomr pr obteer µ co u precsó de 0.00 prtr de u muestr de u poblcó N ( µ,3). Teedo e cuet que el tervlo de cofz que cotee l med µ de u poblcó orml co vrz coocd es de l form

7 X z σ, X z σ es decr, el error que cometemos l estmr µ medte u tervlo de cofz l vel 0.05, es error z σ.96 3 Por tto, s e est estmcó desemos obteer l med co u precsó de 0.00, teemos que clculr tl que el error que se comet esté cotdo por est ctdd, error 0. 00, es decr: Pr estudr l efectvdd de u medcmeto cotr l dbetes se mde l ctdd de glucem e sgre tes y después de l dmstrcó de dcho medcmeto, obteédose los resultdos sguetes: Ates Después Estmr l reduccó producd por el medcmeto. Supoedo que ls ctddes de glucem sgue u dstrbucó orml, ls muestrs obteds medte ls medccoes terores y posterores l dmstrcó del medcmeto so preds, es decr, sobre cd dvduo de l poblcó se obtee u observcó de l vrble y posterormete se repte l observcó u vez que el dvduo h tomdo el medcmeto sedo est últm observcó depedete de l prmer. Pr estudr el efecto de dcho medcmeto, result de gr terés l vrble dferec etre mbs medcoes, puesto que os permtrá estmr l reduccó o cremeto de l glucem provocd por este medcmeto.

8 E este cso, l dferec de mbs observcoes sgue u dstrbucó orml de med l dferec de mbs y desvcó típc descoocd, ( µ,σ ) de cofz l vel 0.05, vee ddo por: S S ( X ) ( ) A X D t, X A X D t ; ; dode 7, X ( X X ) X A D A D 0.60 y (( X X ) ( X X )) A D S A D.7473 N, por lo que u tervlo µ A D y utlzdo l tbl de l dstrbucó t de Studet, t t6, , es decr, l reduccó ; de glucem por el medcmeto estrá coted u vel 0.05 e el tervlo ,.68645, sedo l reduccó estmd 0.6. ( ). Se h hecho u estudo sobre l proporcó de efermos de cácer de pulmó detectdos e hosptl que fum, obteédose que de 3 efermos 4 de ellos er fumdores. Obteer u tervlo de cofz pr dch proporcó. Estudr s dch proporcó puede cosderrse gul l proporcó de fumdores e l poblcó s ést es de u 9%. Como l proporcó de fumdores e l poblcó de los efermos de cácer de pulmó detectdos e u hosptl puede modelzrse por u vrble Beroull de prámetro p, etoces: pˆ z pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ), pˆ z es u tervlo de cofz l vel 0.05, y prtr de ls observcoes relzds, 4 3, teemos que p ˆ y z. 96 3, es decr: ( , ) Por otr prte, s cosdermos l proporcó de fumdores e l poblcó globl, p 0.9, observmos que est proporcó se ecuetr detro del tervlo de cofz obtedo pr u vel 0.05, es decr, como l proporcó de fumdores e l poblcó perteece l tervlo que cotee l proporcó de fumdores etre los efermos de cácer co u probbldd de

9 certo del 955, podemos cosderr que est proporcó de fumdores e los efermos de cácer se correspode co l de los fumdores e l poblcó globl.. Sospechmos que uestro cromtógrfo está estropedo, y queremos determr s los resultdos que os proporco so lo sufcetemete precsos. Pr ello, relzmos u sere de 8 medcoes del cotedo de u solucó de referec que, sbemos, cotee 90% de u determdo compuesto. Los resultdos que obteemos so: 93.3, 86.8, 90.4, 90., 94.9, 9.6, 9.3, 96.5 Costrur u tervlo de cofz l vel de 95% pr l vrz poblcol. Que coclusoes podemos relzr? Se l vrble letor X que represet el vlor medo del cotedo, s modelzmos el error cotrolble de medcó por u vrble letor ε orml de med 0, y de vrz σ descoocd, teemos que X ~ (vlor rel, σ ), dode coocemos el vlor rel del cotedo de l solucó que es gul 90. Por lo tto, estmos e el cso e que l medd poblcol es coocd e gul 90, y teemos que costrur u tervlo de cofz pr l vrz poblcol, por lo que usmos el estdístco: T ( X µ ) σ Cuy dstrbucó e el muestreo es u tervlo de cofz del 00( ) med coocd, está ddo por: ( X µ ) σ χ χ ; ; ( X µ ) χ co grdos de lbertd. Así, se deduce que, u %, pr l vrz de u dstrbucó orml co E uestro cso, pr u vel de cofz del 95%, observmos e l tbl de l dstrbucó χ que χ χ 8; y χ χ 8; ; ; ( µ ) ( )... ( ) 95.4 por lo que obteemos que el tervlo de cofz peddo es:, y clculmos el umerdor teror:

10 5.44 σ Esto represet que el tervlo pr l dspersó es.33 σ 6. 6 (es u dspersó grde), de dode deducmos que l precsó del cromtógrfo es sufcete. 3. E el deprtmeto de cotrol de cldd de u empres, se quere determr s h hbdo u desceso sgfctvo de l cldd de su producto etre ls produccoes de dos sems cosecutvs cosecuec de u cdete ocurrdo durte el f de sem. Decde tomr u muestr de l produccó de cd sem, s l cldd de cd rtículo se mde e u escl de 00, obtee los resultdos sguetes: Sem Sem Supoedo que ls vrzs de l putucó e ls dos produccoes so gules, costruye u tervlo de cofz pr l dferec de meds l vel de 95%. Iterpret los resultdos obtedos. E prmer lugr, observmos que se dspoe de dos poblcoes, l prmer correspode l produccó de l prmer sem metrs que l segud correspode l de l segud sem. E este setdo, troducmos ls dos vrbles X que mde l putucó de cldd de u rtículo de l prmer sem, y X pr l segud. Además, e el cso e el que ls vrzs e ls dos poblcoes so descoocds pero gules, X y X se sume ormles e depedetes, utlzmos el estdístco: T X X S p ( µ µ ) ( ) S ( ) S Dode S p, el cuál sgue u dstrbucó t de Studet de grdos de lbertd. Así, u tervlo de cofz l 00 ( )% pr l dferec etre meds de dos dstrbucoes ormles, co vrzs descoocds pero gules es:

11 cs µ dode c t p µ cs p ;. E prtculr, pr los dtos de este problem, se tee 9.5, S 90., 8, 8, 89.9, S 7.8, por lo que: S p ( ) S ( ) S 7 * 9. 7 * Y c t t. 45, obteedo el tervlo de cofz: ; 4; µ µ es decr, el tervlo de cofz l vel del 95% pr l dferec de meds es:.3 µ µ Por últmo, podemos coclur que, co los dtos de l muestr, es posble que l dferec de ls meds poblcoles se gul o muy prómo cero, e cosecuec o podemos frmr que h hbdo u desceso sgfctvo de l cldd etre ls dos sems. 4. Eres el ecrgdo de u deprtmeto de produccó e u fábrc y recbes u lote de 000 pezs ecesrs pr l fbrccó de u rtículo. Tees l resposbldd de ceptr o rechzr el lote, s estms que l cldd de éste o es sufcete. El fbrcte te segur que, e este lote, o hy más de 00 pezs defectuoss, pero decdes tomr u muestr pr estmr l proporcó de ls msms. ) Cuáts pezs decdes emr pr que, co u vel de cofz del 95%, el error que comets e l estmcó de l proporcó poblcol de defectuoss o se myor que 0.05? b) S decdes tomr u muestr de 00 rtículos escogdos l zr e el lote y relzs el recueto de pezs defectuoss e est muestr, ecotrdo 4 rtículos defectuosos. Costruye pr l proporcó de defectuosos e el lote, u tervlo de cofz l vel de 95% de cofz. Se debe rechzr el lote?

12 Observr que el tmño de l poblcó (el lote de pezs) es de 000, por lo que podemos cosderr que dcho tmño es lo sufcetemete grde como pr que l podmos trtr como u poblcó ft. ) Pr determr el tmño muestrl ecesro pr estmr l proporcó poblcol s queremos que el error cometdo se meor que 0.05 co u vel de cofz de 00( )%, vee ddo por: z ( p) p error Dode o coocemos el vlor de l proporcó ect p, puesto esto es precsmete lo que queremos ecotrr. Por lo tto, debemos utlzr u promcó de p, usdo u muestr ploto o elgedo el p más pesmst posble, es decr, el p que collev l eleccó del tmño muestrl más grde, p0.5. sí teemos dos posblddes: 00 ) el vlor que, segú el vededor, es l proporcó poblcol, p E este 000 cso, el error mámo dmsble es error y el vel de cofz 95%, 0.05 y utlzdo ls tbls de l orml estádr z. 96. Por lo que se lleg: z es decr, el vlor de que covedrí usr es 73. ) el vlor más pesmst, p0.5, y e este cso, de form smlr l teror, se tee: Por últmo, observr que tedremos que escoger etre ls dos opcoes terores segú el tempo, y/o el dero, que os llevrá emr cd rtículo de l muestr. b) e el cso de tomr u muestr de tmño 00, e l cuál hemos ecotrdo 4 pezs defectuoss, teemos que determr u tervlo de cofz pr l proporcó poblcol. Pr ello, s cosdermos l vrble letor Pˆ que desg el estdístco proporcó muestrl, y p l proporcó e l poblcó, teemos que l dstrbucó el sguete estdístco: Z Pˆ p p ( p)

13 Es promdmete u dstrbucó orml estádr. A prtr de esto, deducmos que u tervlo de cofz de vel 00( )% pr l proporcó p de l poblcó, es de l form: pˆ z pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) pˆ pˆ z 4 Y plcádolo los dtos del problem, p 0. 04, 0.05 y z z , por 00 lo que el tervlo de cofz l 95% pr l proporcó es: p es decr; 0.00 p y teedo e cuet que el fbrcte os segurb que l proporcó de defectuosos e el lote er de 0.05, coclumos que o está e cotrdccó co los resultdos que hemos ecotrdo e uestr muestr, por lo que decdmos cofr e el fbrcte y ceptmos el lote. 5. Los tempos de reccó, e ml segudos, de 7 sujetos frete u mtrz de 5 estímulos fuero los sguetes: 448, 460, 54, 488, 59, 490, 507, 53, 49, 534,53, 45, 464, 56, 584, 507, 46 Supoedo que el tempo de reccó se dstrbuye Normlmete, determe u tervlo de cofz pr l med u vel de cofz del 95%. Medte los cálculos báscos obteemos que l med muestrl vle 505,35 y l desvcó típc 4,54. Buscdo e ls tbls de l t de Studet co 6 grdos de lbertd, obteemos que el vlor que dej por debjo u probbldd de 0,975 es,. Susttuyedo estos vlores e l epresó del tervlo de cofz de l med teemos: (505,35 -, * 4,54 / 4,, 505,35, 4,54 / 4) Operdo ( 48,80,, 57,90 )

14 6. Se cosder u poblcó represetd por u vrte ε, de suerte que l med poblcol es gul 5,y l vrz poblcol es gul 40. Supuesto etrds muestrs de tmño 00, muestreo letoro smple, determr l probbldd de que el estdstco med muestrl, A, este compreddo etre los vlores 3,55 y 8.. El estdístco med muestrl : A X, Hbd cuet el resultdo obtedo e el problem 0, es tl que: E[ A ] 5 40 A, 4 00 V[ ] L probbldd obteer puede ser epresd e l form: P (3,55 A 8, ) y ser coocd s determmos l dstrbucó de probbldd de l vrte A. Ahor be, como quer que A vee defd como sum de vrtes X, depedetes etre s,tods co gul dstrbucó e gul l dstrbucó de probbldd de l poblcó, puesto que el muestro que se cosder es el letoro smple, y hbd cuet que el tmño muestrl es sufcetemete grde, 00, procede efectur l promcó de l dstrbucó de A medte l dstrbucó orml. De est form, pues, A ser u vrte co dstrbucó : Y por ello: Al ser: N (5,,4) P (3,55 A 8, ) F( 8,) F (3,55) 8, 5 F ( 8,) P ( A 8,) P(,4 * ε 5 8, P( ε ),4

15 3,55 5 F(3,55) P A 3,55) P(,4 * ε 5 3,55) P( ε ),4 Dode ε, represet 3 vrte co dstrbucó N(0,); ledos e tbls, los vlores: P ε P ε 8, 5 ( ) ,4 P ε 3,55 5 ( 0,93) 0.769,4 P ε Hbédose tomdo,4, 55 es por tto: P ( 3,55 ε 8,) L durco letor de ls uddes producds de u rtculo, se dstrbuye segú l ley orml, co desvcó tpc gul ses mutos. Elegds l zr ce uddes, resulto ser l durco med de 4,35 mutos.elborr el tervlo de cofz del 99% pr l durco med de ls uddes producds. S covemos e represetr por l vrte ξ, l durcó letor, dch vrte represet l poblcó de l cul sbemos posee u dstrbucó: N(0,6) Pr determr el tervlo de cofz os bsremos e l dstrbucó del estdístco med muestrl A que, sbemos, se dstrbuye como u vrte: N 0, 6 00 Puesto que l dstrbucó poblcol es orml co vrz coocd, resultdo, etoces, dcho tervlo epresdo e l form: I A ± σ *λ

16 * A 0 P σ λ 0,99 Ledo el vlor e λ result ser: λ,575 co lo que el tervlo de cofz pr el que, co u probbldd de 0,99,perteece l prámetro θ,durco med, es: ( A ( 0,6),575; A (0,6), 575) Y hbd cuet l formcó de que dspoemos,dd por l muestr,l ser: A4,35 mutos Podemos esperr que e u 99% de los csos, l durcó med este compredd etre los vlores: Esto es: Hbedo tomdo: ( 4,35 (0,6),575;4,35 (0,6),575) (,805;5,895) (0,6),575, Se cosder u poblco represetd por u vrteξ, de suerte que l dstrbuco de probbldd poblcol vee defd por u fuco de desdd: f ( ) pr f ( ) 0 pr culquer otro vlor de Determr l dstrbuco de probbldd del estdstco med muestrl, supuesto etrds muestrs de tmño 3.600, muestreo letoro smple. Del comportmeto e probbldd del estdstco, sbemos que:

17 E [ ] η, [ ] Y e uestro cso: E [ ] V [ ] σ V Vemos etoce, s podemos determr l dstrbuco de probbldd de Es defdo:.tl y como.. Es u vrte defd como sum de vrtes,, y hbd cuet el muestreo que se cosder, letoro smple, depedetes e probbldd, tods co gul dstrbuco e gul l dstrbuco poblcol,por tto co med y vrz fts.de h que, usdo del teorem cetrl del lmte, l ser el umero de vrtes,que se compoe, sufcetemete grde, puesto que el tmño muestrl es 3600, result procedete promr l dstrbuco orml.por ello el estdstco. Se comport como u vrte orml de prmetros: N, 03,9 9. Se cosder dos poblcoes represetds por ls vrtes ξ y ξ, de suerte que ls dstrbucoes de probbldd de cd u de ells so N ( η, σ ) y N ( η,σ ), respectvmete. Etrds muestrs, muestreo letoro smple, de tmño, de l prmer poblco, y de tmño m de l segud, determr l dstrbuco del estdstco:, dode: y y y m j Supuesto que ls muestrs obteds de cd poblco so depedetes.

18 Pr l determco de l dstrbuco de probbldd de l vrte y,procederemos obteer su fuco crcterstc.as l ser por defco: ϕ t( y) () t E[ e ] y De dode, l ser lsvrtes y depedetes, puesto que se supoe que ls muestrs y etrds de l prmer poblco so depedetes de ls de l segud, se tedr: ϕ y t t y [ ] E[ e ] ϕ ( t) ϕ ( ) ( t) E e t Por lo que podemos decr que: y ϕ ( t) y ( e σ tη (/ ) t )( e tη (/ )( t )( σ / m) Fuco crcterstc que epres que l dstrbuco de probbldd de l vrte u dstrbuco orml de prmetros: y,es E [ y] η η V[ y] σ σ m 0. Se cosder u poblco tl que sus elemetos so susceptbles de poseer o o u crcterstc c.supuesto etrds muestrs de tmño, muestreo letoro smple, determr:el vlor probble del estdstco proporco de elemetos de l muestr que posee l crcterstc c. Covegmos e represetr por cd elemeto de l poblco que pose l crcterstc c, por 0 los elemetos que o pose y por Π l proporco de elemetos de l poblco que pose dch crcterístc. Etrds muestrs de tmño, muestreo letoro smple,(,,3,...), ls compoetes muestrles ls compoetes muestrles tomr los vlores 0 ó, segu que el elemeto etrdo pose o o l crcterstc c, l proporco de elemetos de muestr que posee tl crcterstc vedr epresd etoces:

19 p Dode es por tto,l sum de ls compoetes muestrles, gul l sum de umeros que hy precdo e l muestr. Al ser el muestreo letoro,, represetr el umero letoro de elemetos que prece e l muestr co l crcterstc c y por ello ser u vrble letor. Defdo, pues el estdstco p psemos determr los prmetros fudmetles de su dstrbuco. ) Vlor probble de p Tl y como se h estblecdo el estdstco p, se tedr: E [ p] E E[] Y como quer que l vrte vee epresd como sum de vrtes, que solo puede tomr los vlores ó 0, depedetes etre s,puesto que el muestreo es letoro smple, su dstrbuco de probbldd ser: β (, π ) Hbd cuet que el umero mmo de veces que puede presetrse el elemeto represetdo por es, tmño muesstrl y ser π l probbldd de etrer de l poblco u elemeto represetdo por uo.por elllo pues: [ p] π E De dode: [ p] E[ ] π E /. Se estudro 40 muestrs de cete crudo de determdo proveedor co el f de detectr l presec del quel medte u prueb que uc d u resultdo erroeo.s e 5 de dchs muestrs se observo l presec de quel podemos creer l proveedos cudo segur que lo sumo el 8% de ls muestrs cotee quel?

20 Llmemos p l proporco de muestrs que cotee quel.s l pruebe uc d u resultdo erroeo l vrble P 0, que represet l proporco de pruebs postvs l lzr 40 muestrs stsfce. P p p 0 ( p) 40 Z N(0,) Cotrstmos l hpotess ul H 0 : p 0,08 Frete l ltertv H : p 0,08 Al trtrse de u cotrste ulterl, co l rego crtc l derech, est correspode vlores de l dstrbuco muestrl superores z 0,95, 645, s cosdermos u vel de sgfcco 0, 05 5 E uestro cso p0 0, 5 de modo que 40 0,5 0,08,049,645 0,08.0,9 40 Co lo que o podemos rechzr l hpotess ul. LLmremos N l suceso que represet l presec de quel.como l prueb es postvq e el 80% de los csos e que hy quel pero tmbe e su usec, co probbldd gul 0,0, l probbldd de que u prueb resulte postv es p 0,79 p 0,0 Y hor l vrble P 0, que represet l proporco muestrl de pruebs postvs y o l de cotedo rel de quel, stsfce P p 0 p ( p) 40 N(0,) L hpotess ul ps ser H 0 : p 0,073

21 Frete l ltertv H : p 0,073 Cosderdo el msmo vel de sgfcco, teemos que o,5 0,073 0,073 0,968 40,578,645 Llegdo l msm cocluso. L resstvdd electrc de certs brrs de leco de Cromo- molbdeo es u vrble N(,5 ;4,).U vestgdor cb de clbrr u prto que mde dch resstvdd y pr comprobr que lo h hecho be utlz el sstem coss tete e medr cutro brrs y ceptr qu el clbrdo es bueo s ecuetr l meos u vlor feror y otro superor,5. Determr el vel de sgfcco del cotrste que est llevdo cbo. Es sesble el cotrste u myor o meor dsperso de l vrble resstvdd? Pltemos l hpotess ul: H 0 : µ,5 Cotr l ltertv H : µ,5 Se X el umero de vlores myores que,5 e u muestr de eteso 4.S l hpotes ul es cert, X es u vrble B(4 ;0,5) depedetemete del vlor de l vrz. Rechzr l hpotess ul equvle X4 o be X 0 Por lo tto, el vel de sgfcco es: P(X4)P(X0)0,5

22 El cotrste o es sesble l dsperso de l vrble resstvdd pues est dsperso o fect l vrble X, utlzd como estdgrfo, que es B(4,0,5) l mrge del vlor de l vrz de l vrble resstvdd. 3. Los rodmetos esfercos que fbrc u mqu debe de teer u dmetro uform pr ser ptos pr su uso.el resposble de l mqu segur que l vrz esσ 0, 05.Meddos 50 rodmetos se obtuvo u vrz muestrl s 0,07. Es comptble este resultdo co l frmco prev? Pltemos l hpotess ul: H 0 σ 0,05 Frete l ltertv H : σ 0,05 Pues u vrz σ feror 0,05 o debe ser objeto de uestr preocupco, y que supoe meor dspreso y, por tto myor uformdd de l vrble dmetro de rodmetos. Apoydoos e l dstrbuco χ co 49 crdos de lbertd dd por 50S σ Obteemos pr uestros dtos 50 0,07 54,4 0,05 Teedo e cuet que, pr 49 grdos de lbertd, χ 49 ;0,95 66,33 L desguldd 54,4 meor que 66,33 Coduce ceptr l hpotess ul.

23 4. Se cosder u poblco represetd por l vrteξ, de suerte que l dstrbuco poblcol es u dstrbuco N ( η,σ ), coσ coocd.supuesto etrds muestrs de tmño, muestreo letoro smple, determor l dstrbuco de probbldd del estdstc med muestrl. Sbemos que E [ ] η, V [ ] σ Vemos, etoces, s el coocmeto del modelo de dstrbuco de probbldd poblcol permte determr, o solo los prmetros fudmetles de l dstrbuco de probbldd del estdstco, que y los coocemos como cbmos de ver,so tmbe su dstrbuco de probbldd. Pr ello, usremos del cocepto de fuco crcterstc y trss u obteco, detfcremos el modelo que correspode l vrte. As por defco: t / t / t / t / [... e ] E[ e ]... E[ e ] ϕ ( t) E e Por ser el muesrteo que se emple letoro smple De dode por, defco d fuco crcterstc es: E t / [ e ] ϕ ( t / ) Co ello: ϕ ( t) ϕ ( t / )... ϕ ( t / ) Como quer que tods ls vrtes posee gul dstrbuco e gul l dstrbuco poblcol, ser: ϕ ( t / ) ϕ ( t / ) ξ Co lo que l fuco crcterstc result ser l correspodete u dstrbuco: σ N( µ, ) Por tto, el estdstco med muestrl se comport como u vrte orml de prmetros σ µ y

24 5. Se cosder u poblco represetd por u vrte ξ, de suerte queϑ y σ, represet los prmetros med y vrz poblcol, respectvmete.s estmmos l med poblcol,ϑ, trve de l med muestrl comprobr que dcho estmdor es cosstete(supuesto etrds muestrs de tmño, muestreo letoro smple). Por defco, ser estmdor cosstete deϑ,s: ϑ P ( ϑ ε ) 0 Es decr, s l med muestrl coverge e probbldd l med poblcol. Como del comportmeto e probbldd de l med muestrl sbemos que; E V se tedr que, hbd cuet l desguldd de tchebucheff de dode: P [ ] ϑ [ ] σ ( ϑ ε ) 0 Por tto, es estmdor cosstete de l med poblcol.notese que este resultdo es vldo culquer que se el tpo de dstrbuco poblcol,sempre que o crezc de vlor medo y vrz,hbd cuet que, l plcr l desguldd de tcheybycheff,solo hemos hecho uso de l formco que proporco el vlor probble y l vrz. 6. Se cosder u poblco represetd por u vrte η, de suerte que l dstrbuco de probbldd de l poblco vee defd por l fuco de desdd: ( θ ) f ( ) pr 0 ϑ θ f ( ) 0 pr culquer otro vlor Determr el estmdor, por el metodo de los mometos, del prmetro poblcol. θ

25 Teedo e cuet que solo es uo el prmetro estmrθ, el estmdor por el metodo de los mometos, vedr ddo como soluco de l ecuco: E df( / θ ) [ ξ ] Ecuco obted l gulr le mometo de orde de l poblco, l mometo de orde de l muestr. E uestro cso, l ser l dstrbucuo poblcol de tpo cotuo y teedo e cuet l defco de l fuco de desdd,ser: θ ( θ ) d θ 0 Determremos l tegrl teror.se tedr: θ ( θ ) d θ / θ 0 3 Co lo queϑ / 3 Co ello: θ 3 Ser el estmdor, por el metodo de los mometos del prmetroθ 7. Se cosder u poblco represetd por u vrbleξ, de suerte que l dstrbuco de probbldd de l poblco es orml, co desvco tpc gul 0.Determr l probbldd de que el estdstc med muestrl supere el vlor m edo poblcol e, por lo meos 0,, supuesto etrds muestrs de tmño 00, muestreo letoro smple. S covemos e represetr por µ el vlor medo poblcol, el suceso cuy probbldd vmos obteer puede ser epresdo e l form: η 0,. L dferec : η es letor, por ser u vrble letor, y su dstrbuco de probbldd podemos obteerl trves de l fuco crcterstc: t( η ) tµ [ ] e ( t) ϕ ( t) E e ϕ η Dode:

26 ϕ ( t) e tµ (/ ) t ( σ / ) As l fuco crcterstc: ϕ ( ) η t e / t σ / Epres que l vrte η se comport co rregl l dstrbuco de probbldd: N0, σ Coocd l dstrbuco( η ) e uestro cso, N 0, 0 00 L probbldd obteer ser determd e l form: P 0 ι ι ( η 0,) P ξ 0, P( ξ 0,) 00 dodeξ, es u vrte N ( 0,).Led e tbls de probbldd: P ( ξ ι 0,) 0,40 Result pues: P ( η 0,) 0, E u muestr de 65 sujetos ls putucoes e u escl de etroversó tee u med de 3,7 putos y u desvcó típc de,64. ) Clcule prtr de estos dtos el correspodete tervlo de cofz, u vel del 90%, pr l med de l poblcó. b) Idque, co u vel de cofz del 95%, cul serí el mámo error que podrímos cometer l tomr como med de l poblcó el vlor obtedo e l estmcó putul.

27 ) Buscdo e ls tbls de l t de Studet obteemos que el vlor que dej por debjo u probbldd del 95% es,67 (promdmete). Susttuyedo los vlores de est muestr e l epresó del tervlo de cofz obteemos: ( 3,7 -,67 *,64 / 8,, 3,7,67 *,64 / 8 ) operdo ( 30,06,, 35,34 ) b) E ls tbls de l t de Studet ecotrmos que el vlor de l vrble que dej por debjo u probbldd de 0,975 es. E cosecuec u vel de cofz del 95% l med de l poblcó puede vler 3,7 ± *,64 / 8 luego el mámo error que se puede cometer, este vel de cofz, es: 3,6 9. Se cosder u poblcó represetd por u vrte ξ, de suerte que l dstrbucó de probbldd de l poblcó es N(0,).S como estmdor del prmetro poblcol θ se tom el estdstco med muestrl,determr el tmño muestrl pr que, co u probbldd de 0,95,el error de l estmco producdo o se superor 0,. S l estmco de l med poblcol θ se relz trves del estdstco med muestrl, A, el terror de l estmco vedr ddo por: θ -A Y hbd cuet el eucdo hemos de obteer el tmño muestrl pr el que: P[ θ A ] O be : P[ A 0. θ 0. A 0.95] Como quer que el tervlo de cofz pr l med poblcol obtedo e bse l dstrbuco del estdstco med muestrl es: σ A * λ; A σ * λ

28 Puesto que supoemos l poblco orml co vrz coocd, se tedr que l cot de error,0, ser gul : y por lo tto: σ 0, * λ λ^* σ ^ 0.^ teedo e cuet que l λ es tl que: A θ P * λ σ σ Leyedo e ls tbls el vlor de λ,96 co ello 384,6 co lo que l teer que ser el tmño u umero etero resultr 384. As pues tomdo muestrs de tmño 384, podemos esperr que e el 95% de los csos, ls estmcoes producds por l med muestrl produzc errores o superores 0,. 30. E u muestr letor de 90 pcetes se mde el vel de glucos e sgre e yus.se obtee X 3mg/dl y s 09.Costrur el IC l 95%. Usdo l fórmul geerl pr cudo s es descoocd: podemos, o be mrr ls tbls de l t,el vlor de t 0,05 que pr 89 grdos de lbertd es,99, o be como > 30 promr l z y usr el vlor,96.

29 3. Pr evlur u vcu pr l grpe se selecco u grupo de 00 dvduos de resgo. Se elge 00 de ellos y se les sumstr l vcu;de ellos 0 ps l grpe.costrur u IC l 95% pr l probbldd de psr l grpe s se est vcudo.e los otros 00 pcetes s vcur l ps 0. Es efcz l vcu? L fórmul pr clculr IC pr proporcoes es y promdo p y q por sus estmcoes 0.* ±.96 ( ) 00 es decr, hy u probbldd del 95% de que l probbldd de psr l grpe s se está vcudo esté compredd etre el 4% y el 6%. Pr los o vcudos 0. * ±.96 (0. 0.8) El prámetro de u dstrbucó de Posso puede tomr uo de los cutro vlores sguetes: 4; 4,5; 5,5; 6. Decídse cul de ellos puede ser, cosderdo u muestr letor smple de tmño dos, tl que 3 y 7, y bsádose e el prcpo de mám verosmltud. L muestr puede proceder de cutro poblcoes dstts, segú se el vlor que tome el prámetro de l dstrbucó de Posso; de cuerdo co el prcpo de mám verosmltud, elegremos el vlor de tl que l probbldd de obteer l ctd muestr se mám. Clculmos l probbldd pr cd vlor de : 4:

30 P 4 3! 4 7! e ( X 3; X 7) 0, 036 4,5: P e ( X 3; X 7) 0, ,5: P e 4,5 3! 4,5 7! 4,5 3 4,5 7 e 5,5 3! ( X 3; X 7) 0, : P e 5,5 7! 5,5 3 5, ! ( X 3; X 7) 0, 0457 e 6 7! e e Cudo 5,5 obteemos l myor probbldd de etrer l muestr (3; 7), por lo cul decdmos que el vlor del prámetro es 5, L fucó de desdd f(; ) e -, 0, cotee el prámetro, del cul se sbe que puede tomr uo de los tres vlores sguetes: 0,5; ;,5. Se tom u muestr letor de tmño uo, resultdo u vlor compreddo etre,7 y,6. Bsádose e el prcpo de estmcó de l mám verosmltud, determíese, prtr de l formcó sumstrd por l muestr, por cul de los tres vlores que puede tomr el prámetro debemos optr. Segú el método de l mám verosmltud, elegremos el vlor de que proporcoe l myor probbldd de obteer l muestr. 0,5: P,6 / 0,85,3 (,7 X,6) e d e e,7 0,549 :

31 ,6,7,6 (,7 X,6) e d e e P,7 0,084,5: P,6 3 /,55 3,90 (,7 X,6) e d e e,7 3 0,0578 Al ser 0,5 el vlor del prámetro que proporco l myor probbldd, decdmos e / que 0,5, y l fucó de desdd es ( ) f 34. S u vrble letor tee por fucó de desdd f 3 ( : ) 0 ; > 0 hállese el estmdor del prámetro por el método de mám verosmltud, e muestrs letors smples de tmño. L fucó de verosmltud es: L L( ),..., ; Tommos logrtmos eperos: 3 l L l l() l( - ) l ( ) ( ) Clculmos l dervd prcl de l L respecto y l gulmos cero, resolvedo l ecucó: l L ( ) l 0

32 ( ) ( ) ; l l â l 35. Clcúlese los estmdores mámo verosímles de los prámetros y b de ls fucoes de desdd ) ( ) ( ) y e y f ; ;, 0; y 0 b) ( ) ; ; ; b y b b y f, 0 ; 0 y e muestrs letors smples de tmño. ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y u e e e y y L L ; ;...; ( ) y L l l ( ) y L 0 l ( ) y y â b) ( ) ( ) ( ), ;,..., ;,..., b y y b b y y L L ( ) ( ) y b b L l l l l l L 0 l l

33 y b b L 0 l l ; l â y b ^ l 36. Dd l vrble letor X, co fucó de desdd ( ) e f ; ; 0 ; 0 <, Clcúlese l dstrbucó e el muestreo del estmdor mámo verosíml del prámetro, e muestrs letors smples de tmño. L fucó de verosmltud es ( ) ( ) ; ; e e e L L ( ); l l L ( ) ; 0 l L â El estmdor mámo verosíml es el verso de l med muestrl. Fucó de dstrbucó del estmdor: ( ) ( ) y X X P y P y P y P y â P y G ( ) ( ) y y y y y e y d d e d d L / ; ; L fucó de desdd es

34 4 y 0 3 y / y ( y) G' ( y) e ; g 37. E u poblcó de tmño 64 se estud u crcterístc X medd sobre sus dvduos de l que se sbe que su med es 0 y su desvcó típc es 5. Hllr tervlos de cofz pr el vlor medo de l crcterístc X co coefcetes de cofz del 90% y 95%. Estmos te u cso de cálculo de tervlo de cofz pr l med de u poblcó orml co vrz coocd. E est stucó sbemos que: µ σ N (0,) lo que os llev l tervlo de cofz pr l med sguete: ± Z σ Pr u coefcete de cofz del 90% se tee que: 0,9 0, 0,05 Z,645 El tervlo de cofz será etoces: 5 0 ±,645 [006,86 07,4] 0 Podemos coclur etoces que hy u probbldd del 90% de que el vlor medo de l crcterístc esté etre 006,86 y 07,4. Pr u coefcete de cofz del 95% se tee que: 0,95 0,05 0,05 Z,96 El tervlo de cofz será etoces: 5 0 ±,96 [005,875 08,5] 0

35 Podemos coclur etoces que hy u probbldd del 95% de que el vlor medo de l crcterístc esté etre 005,875 y 08,5. Se observ que l umetr el coefcete de cofz umet l mpltud del tervlo de cofz. 38. Se lz 9 zumos de frut y se h obtedo u cotedo medo de frut de mg por 00 cc de zumo. L vrz poblcol es descoocd, por lo que se h clculdo l cusdesvcó típc de l muestr que h resultdo ser 6,3 mg de frut por cd 00 cc de zumo. Supoedo que el cotedo de frut del zumo es orml, estmr el cotedo medo de frut de los zumos tto putulmete como por tervlos l 95% de cofz. Pr l estmcó putul sbemos que e poblcoes ormles u estmdor lel sesgdo pr l med poblcol es l med muestrl, luego se puede estmr el cotedo medo e frut de los zumos e mg por cd 00 cc de zumo. Pr l estmcó por tervlos estmos te u cso de cálculo de tervlo de cofz pr l med de u poblcó orml co vrz descoocd. E est stucó sbemos que: µ S t lo que os llev l tervlo de cofz pr l med sguete: t, S ± Pr u coefcete de cofz del 95% se tee que: 0,95 0,05 0,05 t,05,9 t0,05, 8 El tervlo de cofz será etoces: 6,3 ±,307 [7,5 6,84] 9 0,0307 Podemos coclur etoces que hy u probbldd del 95% de que el vlor medo del cotedo e frut del zumo esté etre 7,5 y 6,84 mg por cd 00 cc de zumo.

36 39. U frm comercl ecuest 00 dvduos pr coocer sus opoes sobre l eleccó de dos productos ltertvos A y B recetemete fbrcdos. El resultdo de l ecuest rroj que el producto A lo h elegdo 55 dvduos y el producto B 45. Hllr u tervlo de cofz l 95% pr l proporcó de dvduos que elge cd producto. Estmos te el cso del cálculo de tervlos de cofz pr proporcoes, y que este problem es justble l cso e que pˆ / es l proporcó estmd del úmero de veces que prece u suceso de Beroull (los ecuestdos elge A o B eclusvmete) de etre repetcoes de u epermeto ( desg el úmero de veces que prece el suceso, es decr el úmero de veces que los ecuestdos elge A o B). E este cso el tervlo de cofz pr l proporcó se bs e el sguete estdístco: pˆ p pˆ( p) N(0,) lo que os llev l tervlo de cofz pr p defdo por: pˆ( p) pˆ Z p pˆ Z pˆ( p) E uestro cso, pr el producto A teemos el tervlo: 55 0,45* 0,55 [ -, ,45* 0,55,96 ] [0,45 0,65] Pr el producto B teemos el tervlo: 45 0,55* 0,45 [ -, ,55* 0,45,96 ] [0,35 0,55] Como coclusó podemos decr que hy u probbldd del 95% etre 0,45 y 0,65 de que el producto elegdo se el A, y hy u probbldd etre 0,35 y 0,55 de que el producto elegdo se el B. 40. E u proceso de fbrccó de pls lcls se sbe que su durcó med es de 00 hors y que dch durcó sgue u dstrbucó orml. El uevo proceso busc reducr l dspersó de l durcó de ls pls por lo que se hce ecesro costrur

37 tervlos de cofz pr l ctd dspersó co coefcetes de cofz 90% y 98%. Costrur dchos tervlos prtr de u muestr de tmño 0 cuy dspersó es 40 hors. Estmos te el cso del cálculo de tervlos de cofz pr l desvcó típc de u dstrbucó orml co med coocd. E este cs el tervlo de cofz pr l desvcó típc se bs e el sguete estdístco: ˆ σ σ X lo que os llev l tervlo de cofz pr l desvcó típc defdo por: ˆ σ X,, ˆ σ X, E uestro cso, pr el vel del 90% teemos: 0,9 0, 0,05 X 0,05;0 3,4, X 0,95;0 0, 9 El tervlo de cofz será etoces: 0* 40, 3,4 0* 40 [9,4 03,] 0,9 Pr el vel del 95% teemos: 0,98 0,0 0,0 X 0,0;0 37,6, X 0,99;0 8, 6 El tervlo de cofz será etoces: 0* 40, 37,6 0* 40 [09, 3,88] 8,6 Podemos coclur etoces que hy u probbldd del 90% de que l dspersó de l durcó de ls pls e el uevo proceso de fbrccó esté etre 9,4 y 03, hors, y hy u probbldd del 98% de que l dspersó de l durcó de ls pls e el uevo proceso de fbrccó esté etre 09, y 3,88 hors.

38 4. Se sbe que l logtud de los dámetros de los torllos fbrcdos por u máqu sgue u dstrbucó orml y se busc u tervlo e el cul se ecuetre l vrbldd de ls logtudes de los torllos fbrcdos por l máqu co u probbldd del 80%. Costrur dcho tervlo sbedo que u muestr de 6 torllos preset u vrbldd cutfcd e 30. Estmos te el cso del cálculo de tervlos de cofz pr l vrz de u dstrbucó orml co u med descoocd. E este cso el tervlo de cofz pr l vrz se bs e el sguete estdístco: ( ) S σ X lo que os llev l tervlo de cofz pr l vrz defd por: ( ) S ( ) X,, X S, σ X, E uestro cso, pr el vel 90% teemos: σ, X, 0,8 0, 0, X 0,;5,3, X 0,9;5 8, 55 El tervlo de cofz será etoces: 6*30 6*30, [,43 56,4],3 8,55 Luego el tervlos e el cul se ecuetre l vrbldd de ls logtudes de los torllos fbrcdos por l máqu co u probbldd del 80% es [,43 56,4]. 4. U grjero dspoe de dos eplotcoes dferetes A y B co vrs grjs cd u pr l crí de pollos. Co el objetvo de estudr l mortldd de los pollos e ls dos eplotcoes observ el úmero de pollos muertos tomdo u muestr de 4 grjs e l eplotcó A y otrs 4 grjs e l eplotcó B obteedo los sguetes resultdos: Nº de pollos muertos e ls grjs de l eplotcó A: Nº de pollos muertos e ls grjs de l eplotcó B: 8 8 9

39 Supoedo ormldd e ls eplotcoes, se trt de estudr s l mortldd de los pollos puede cosderrse dferete e ls dos eplotcoes co u vel de cofz del 95%. Resolver el problem bjo l hpótess dcol de vrzs gules e ls eplotcoes. Pr resolver este problem hllremos u tervlo de cofz pr l dferec del úmero medo de pollos muertos e mbs eplotcoes l 95% y comprobremos s dcho tervlo cotee el vlor cero, e cuyo cso se puede ceptr l hpótess de que l mortldd med es smlr e mbs grjs co u probbldd del 95%. Estmos etoces te el cso del cálculo de tervlos de cofz pr l dferec de meds de dos dstrbucoes ormles co vrzs descoocds y e geerl desgules. E est stucó el tervlo de cofz pr l dferec de meds se bs e el sguete estdístco: ( ) ( µ ) µ S S t f co f ( S ) ( S ) S S lo que os llev l tervlo de cofz pr l vrz defdo por: S S ± t, f Los vlores de f y t /, f pr uestro cso result ser: f 3, t t ( 3,333 4) ( 4) 5 5, f 0,05;6,365 El tervlo de cofz será etoces: 3, ±,365 [,7 6,73] 4 4 Como este tervlo o cotee el vlor cero, o se puede ceptr co u probbldd del 95% que 0, es decr,. Por tto, ceptmos l hpótess de que ls mortlddes e ls dos grjs so sgfctvmete dstts co u coefcete de cofz del 95%. Además, como los dos etremos del tervlo so postvos, pr todos sus vlores > 0 >, lo que dc que l mortldd med es myor e l grj A co u probbldd del 95%.

40 S supoemos hor que ls vrzs e ls dos eplotcoes so gules, estmos te el cso del cálculo de tervlos de cofz pr l dferec de meds de dos dstrbucoes ormles co vrzs descoocds e gules. E est stucó el tervlo de cofz pr l dferec de medds se bs e el sguete estdístco: ( ) ( µ µ ) S p t co S p ( ) S ( ) S lo que os llev l tervlo de cofz pr l vrz defd por: ± ( t ) S, p El vlor de S p pr uestro cso result ser: S p ( 4 ) ( 4 ) 3, ,656 Además, t, 447, t0,05;6 El tervlo de cofz será etoces: 3, ±,447,656 [-6,8 -,8] 4 4 Como este tervlo o cotee el vlor cero, o se puede ceptr co u probbldd del 95% que 0, es decr,. Por tto, ceptmos l hpótess de que ls mortlddes e ls dos grjs so sgfctvmete dstts co u coefcete de cofz del 95%. Además, como los dos etremos del tervlo so egtvos, pr todos sus vlores < 0 <, lo que dc que l mortldd med es myor e l grj B co u probbldd del 95%. Es coveete observr e este problem que l hpótess de guldd de vrzs e ls dos poblcoes jueg u ppel muy mportte, pues l usec de est hpótess llev u resultdo cotrro l obtedo co su presec. 43. Al lzr 40 muestrs de u lecó de bjo puto de fusó de tpo wood se h detectdo usec de cdmo e de ells. Determr u tervlo de cofz pr l proporcó de muestrs de dch lecó que o cotee cdmo.

41 L proporcó observd es p 0 0,3. 40 A u vel de cofz del 95% el tervlo se obtee resolvedo l ecucó / 0,3 p / p( p) 40 <,96 Lo que equvle p( p) (0,3 p) < (,96). 40 Efectudo los cálculos obteemos 0,807 < p < 0,4543. U ltertv es dr el tervlo 0,3 0,7 0,3 ±,96 0,3 ± 0,40, e el que se utlz l proporcó observd pr 40 0,3 0,7 estmr l vrz medte l frccó. 40 El resultdo es 0,580 < p < 0, L ctdd de zufre ecotrdo e plts secs de mostz sgue u dstrbucó orml X. se h observdo u muestr de etesó 9 co los sguetes resultdos 0,7 0,8 0,6 0,95 0,65 0,9 0, 0,55. S ceptmos como vlor de σ el vlor clculdo de l cus-desvcó típc muestrl S, Cuál serí el tmño mímo de l muestr que hbrí de ser cosderd pr que el tervlo de cofz l 95% pr el vel medo de zufre teg u logtud feror 0,? Teemos los sguetes dtos muestrles

42 9, 6,35, 4,9675 de modo que 6,35 9 0,7055 y s 4, ,7055 0,054 S 8 9 s 0,0609 y S 0,468 S ceptmos que σ S 0, 448, l logtud del tervlo de cofz pr u muestr de etesó y u vel de cofz del 95% es σ,96,96 Resolvedo l ecucó 0,464 0, ,9674 < 0, Obteemos > 93, Cosderemos u grupo de cutro mgos jugdo los chos. El prmero e hblr h peddo 8. el segudo estm, por mám verosmltud, cuáts llev el prmero. Cuáts debe pedr s tee e cuet el úmero de chos esperdo pr los dos resttes y el hecho certo de que él o llev gu? Llmemos θ l úmero de chos que llev el prmer jugdor y que debemos estmr por mám verosmltud. S S es el úmero totl de chos, vemos qué vlor de θ hce mám l probbldd de que S8, que correspode l puest del prmer jugdor. Represetemos medte u ter (,, 3 ) ls puests de los jugdores segudo, tercero y curto y llmemos T l sum 3. - S θ 0, el vlor de S8 equvle T8, lo que ocurre e los sguetes csos (3,3,) (3,,3) (,3,3)

43 Y, por lo tto, co probbldd gul ,y que cd cso tee u 64 probbldd gul 3, ddo que cd jugdor tee 4 eleccoes dferetes. 4 - S θ, el vlor S8 equvle T7, lo que ocurre e los sguetes csos (3,3,) (3,,3) (,3,3) (3,,) (,3,) (,,3) Y, por lo tto, co probbldd gul S θ, el vlor S8 equvle T6, lo que ocurre e los sguetes csos (3,3,0) (3,0,3) (0,3,3) (3,,) (3,,) (,3,) (,,3) (,3,) (,,3) (,,) 0 0 Y, por lo tto, co probbldd gul S θ 3, el vlor S8 equvle T5, lo que ocurre e los sguetes csos (3,,0) (3,0,) (,3,0) (,0,3) (0,3,) (0,,3) (3,,) (,3,) (,,3) (,,) (,,) (,,) Y, por lo tto, co probbldd gul Por lo tto, l estmcó de mám verosmltud es θ 3. L sum de chos más probble pr los dos últmos jugdores es 3, que cocde co el vlor esperdo, y se obtee e los sguetes csos (3,0) (,) (,) (0,3). Cosecuetemete, el segudo jugdor debe pedr L pérdd de peso de u determdo producto detétco e 6 dvduos después de u mes fue (e kg): 3,,5 3,3 5 4,3,9 4, 3,6,7 3,5 4,,8 4,4 3,3 3, Determr u tervlo de cofz pr l vrz co vel de cofz del 99%, s l pérdd de peso es promdmete orml.

44 U tervlo de cofz pr l vrz vedrá ddo por (-)S ; (-)S X -/ X / dode los vlores X / y X -/ correspode l vlor de l fucó de dstrbucó Chcudrdo co - grdos de lbertd. E uestro cso como 6, y 0,0 teemos que mrrlo e ls tbls de percetles de l dstrbucó Ch-cudrdo co 5 grdos de lbertd X 0,005(5) 4,60087 y X 0,995(5) 3,8049 S clculmos l vrz muestrl, teemos que S 0,636958; y por tto susttuyedo los vlores e los tervlos de cofz pr l vrz teemos 5. 0, ; 5. 0, ,55437 ; 9, ,8049 4, ,8049 4,60087 Y u tervlo de cofz del 99% pr l vrz de l pérdd de peso es σ (0,979 ;,07664). 47. Se cosder lo sguetes tempos de reccó de u producto químco, e segudos:,4,,,3,5,3,,4, Obteer u tervlo de cofz del 90% pr el tempo de reccó. Supoer l vrble orml co desvcó típc poblcol coocd σ 0,4. Pr clculr u tervlo de cofz pr med de u poblcó orml de l que coocemos l vrz poblcol, teemos que usr el estdístco Z X - µ ~ N (0,) σ/ Por tto, ecestmos clculr l med de l muestr. Que uestro cso es: X,4,,,3,5,3,,4,,4. 9 Como queremos obteer u tervlo co vel de cofz del 90%, teemos que 0,. Así u tervlo de cofz del 90% pr l med obtedrá:

45 (X - z -/. σ/ ; X z -/. σ/ ) E uestro cso, s mrmos e l tbl de l fucó de dstrbucó de l N(0,), teemos que z -/ z 0,95,64 es el vlor orml estádr que correspode l percetl 95. U tervlo de cofz del 90% pr l med µ será: (,4 -,64. 0,4/3 ;,4,64. 0,4/3 ) (,83;,686) 48. El tempo, e mutos, que esper los cletes de u determdo bco hst que so teddos sgue dstrbucó orml de med descoocd y desvcó típc gul 3. Los tempos que esperro dez cletes elegdos l zr fuero los sguetes:,5- -, ,5-4, Determr u tervlo de cofz de coefcete de cofz 0,95, pr el tempo medo de esper. Se pde determr el tervlo de cofz pr l med de u poblcó orml de vrz coocd, σ; [X - z / σ/, X z / σ/ ] sedo X l med muestrl, el tmño y z / el vlor de l bscs de u orml N(0,) que dej l derech u áre de probbldd /. De los dtos del eucdo se desprede que es X 3,, 0, σ 3 y, prtr de l tbl 3 de l dstrbucó orml, z / z 0,05/ z 0,05,96. El tervlo peddo será, por tto, [3,-,96. 3/ 0, 3,,96. 3/ 0] [,4, 4,959]. 49. L cotzcó del dólr frete l peset sgue u dstrbucó orml de med y vrz descoocds. Elegdos 9 dís l zr, l cotzcó del dólr e esos dís fue: 45,3-46,- 45, ,- 44,5-45, ,. Determr u tervlo de cofz, de coefcete de cofz 0,95, pr l cotzcó med del dólr frete l peset. El tervlo de cofz solctdo es el de l med de u poblcó orml de vrz descoocd y muestrs pequeñs, que pr los dtos del problem qued gul [X t -;/. S/, X t -;/. S/ ]

46 [45,59-,306*0,88/3, 45,59,306*0,88/3] [44,94, 46,66] l ser X 45,59, S 0,88 y obteerse, prtr de l tbl 5 de l t de Studet el vlor t -;/ t 8;0,05, L durcó e mutos de u determdo vje es u vrble letor co dstrbucó orml de med descoocd y desvcó típc gul 3. E u muestr tomd l zr de dez relzcoes del vje e cuestó se obtuvero los sguetes tempos: 0., 6.5, 5.5, 7.9, 8., 6.5, 7.0, 8., 6.9 y 7.7. Se pde: ) Relzr l estmcó de mám verosmltud de l durcó med del vje. b) Clculr l probbldd de que, e vlor bsoluto, l dferec etre med estmd l rel se meor que muto. Llmdo X l vrble letor durcó e mutos del vje e cuestó se tee que es X N ( µ,3) ) Pr u muestr de tmño de X, l fucó de verosmltud será (CB-seccó 5. o EII-seccó.) L ( µ ) f µ ( χ,., χ, ) L cul tee por logrtmo epero f µ ( χ, ) (8π ) ep. { - 8 ( χ, - µ ) } Log L ( µ ) - log( 8 π ) - 8 ( χ, - µ ) 0 L dervd de est solucó ˆ µ χ ; por tto, el estmdor de mám verosmltud de µ será l med muestrl. L estmcó de mám verosmltud será, por tto, b) L probbldd pedd será P { χ - µ < } χ De dode, como l dstrbucó de l medd muestrl pr u muestr procedete de u poblcó orml de vrz coocd es (CB-seccó 5.4 o EII-seccó.4) ( µ,3/ 0 / 3 ), tpfcdo será χ N

47 P { χ - µ < } P { Z < 0 / 3 } P { Z <.054} E dode Z N (0, ) y dode l ultm probbldd se h clculdo co yud de terpolcó: De l tbl 3 de l orml N (0, ) obteemos que es P {Z.05} y P {Z.06} 0.446, lo que os dce que l derech de.05 y bjo l curv de desdd de l N (0, ) hy u áre de probbldd y l derech de.06 u áre de probbldd Es decr, que pr u cremeto de bscs de 0.0 hy u dsmucó de probbldd de Pr u cremeto de bscs de es decr, l derech de.054- hbrá (medte u regl de tres) u dsmucó de probbldd de / Es decr, P {Z.054} Por tto, P { Z <.054} - P { Z.054} - P { Z.054} - P { Z.054}. P { Z.054} Por l smetrí de l desdd N (0, ). 5. El tempo de vd de u determd espece ml sgue u dstrbucó epoecl Ep. ( Θ ) L cul tee por fucó de desdd co X>0 y sedo Θ >0 u prámetro descoocdo. Co objeto de estmr el prámetro Θ y, e cosecuec, l ley de probbldd que rge su tempo de vd, se tomo l zr u muestr letor de dez mles de l espece e estudo, obteédose los sguetes tempos de vd e dís: 456, 900, 450, 650, 666, 943, 790, 840, 790, 840 y 500. Determr l estmcó de mám verosmltud del prámetro Θ. L vrble letor e estudo, X, es tempo de vd de l espece. Pr u muestr letor smple de tmño de X l fucó de verosmltud es (CB-seccó 5. o EII-seccó.) L ( Θ ) f Θ ( χ,, χ, ) f Θ χ ) Θ ep. { - Θ (, Χ }

48 L cul tee por logrtmo epero Log L (Θ ) log Θ - Θ Χ Cuy dervd respecto Θ guld cero es Θ log L ( Θ) - Χ 0 Θ Obteédose de l ultm guldd el estmdor de mám verosmltud ^ Θ Χ Χ De los dtos se obtee u med muestrl Χ 006., por lo que l estmcó de mám verosmltud del prámetro Θ será ^ Θ Χ 5. Los sltmotes de l regó frc de Asyut se crcterz por teer u logtud med de cm pudedo dmtrse u dstrbucó orml pr l logtud de tles ortópteros. Elegd u muestr letor de 0 de ellos, sus logtudes es cm fuero ls sguetes:.90,.85,.0,.95,.05,.00,.97,.0,.89,.0.05,.95,.87,.05,.97,.85,.0,.95,.98,.05 Utlzdo estos dtos, se pde: ) Determr l estmcó de mám verosmltud de l desvcó típc poblcol σ. b) Clculr l probbldd de que el estmdor de mám verosmltud de σ subestme el verddero vlor de dcho prámetro S llmmos X l logtud de los sltmotes es estudo, del eucdo se desprede que puede dmtrse pr X u dstrbucó N (, σ ), sedo l estmcó de σ el objeto del problem

49 ) Pr determr el estmdor de mám verosmltud de σ comezremos clculdo l fucó de verosmltud (CB-seccó 5. o EII-seccó.) L (σ ) f σ ( χ,, χ, ) f χ ) / σ (π ) σ (, ep. {- σ ( Χ - ). Su dervd guld cero (ecucó de verosmltud) será 4σ ( Log L (σ ) - 4 σ σ 4σ ) 0 De dode se obtee el estmdor de mám verosmltud. σ ( Χ ). (Hcemos quí l observcó de que los estmdores de mám verosmltud respet ls trsformcoes byectvs; es decr, que s T es el estmdor de mám verosmltud pr Θ, etoces g (T(es el estmdor de mám verosmltud pr g (Θ ) sempre que g se u fucó byectv. E este setdo, podí hberse determdo el estmdor de mám verosmltud pr l vrz poblcol σ - ms hbtul y y determdo e CB-seccó 5. o EII-seccó.- y etryedo l ríz cudrd obtedrímos el d l desvcó típc σ, l ser l fucó g() u fucó byectv). A prtr de los dtos del eucdo obteemos que l estmcó de mám verosmltud será, ^ 0 σ ( Χ ) b) L probbldd pedd será 0 ^ P { σ < σ} P { ( ) < σ } 0 0 X P { ( X ) < 0} P{ χ 0 < 0} σ Al teer 0 ( Χ ) / σ u dstrbucó X 0 por estr te u cso estmcó de l vrz de u poblcó orml de med coocd (CB-seccó 5.6 o EII-seccó.6), y e dode l ultm probbldd se h clculdo por terpolcó prtr de l tbl 4: De ell se obtee que es P{ X < 6.7} 0.3 y P{ X 0 0 <.78}0.7, por lo que pr u umeto de bscss de se obtee u umeto de probbldd de 0.4; pr u umeto de bscs de se obtedrá u umeto de probbldd de / Por tto, P {X 0 <0}

50 53. El tempo de vd e dís X de los dvduos de u poblcó fectdos de u uev efermedd es u vrble letor cotu co fucó de desdd 3 fφ ( ) φ s > 0 Y f φ ( ) 0 s φ sedo φ > 0 u prámetro descoocdo. Co objeto de estmr el prámetro φ, se etrjo u muestr letor smple de dch poblcó, obteédose los sguetes tempos de vd, e dís, de los 0 dvduos seleccodos, todos los cules fllecero por l efermedd e estudo. 398, 356, 65, 65, 650, 35, 400, 3, 368, 680 Determr l estmcó de l mám verosmltud de φ. L fucó de desdd de l vrble letor e estudo X, tempo de vd de os dvduos de l poblcó fectdos por l efermedd e estudo, os dc que dchos dvduos cotre l efermedd de u mometo descoocdo, φ, ( puesto que e este puto l fucó de dstrbucó F() empez crecer desde cero, o lo que es lo msmo l fucó de supervvec S() F() vle, lo que quere decr que todos los dvduos está vvos), mometo prtr del cul, y por l form de dch fucó de desdd, l probbldd de sobrevvr v dsmuyedo. Es precsmete el co de ls efermeddes objeto de l estmcó. Pr ello, utlzremos el método de l mám verosmltud ( CB-seccó 5. o EII-seccó.). L fucó de verosmltud de l muestr será: L(φ ) f σ ( χ,, χ, ) fσ ( χ, ) φ ( ) χ, χ, > φ S, Como sempre, el método de l mám verosmltud se bs e sgr φ el vlor que mmce l fucó L(φ ); el problem es que hor φ prece e el recorrdo de l vrble, es decr, que L( χ, ) tom u vlor dstto de cero s φ < χ,, χ, y s lgú χ, es tl que χ, φ será L(φ ) 0. E l estmcó de φ hbrá que teer tmbé e cuet, por tto, el recorrdo de L (φ ) L fucó L (φ ) φ crece l crecer φ, por lo que será tto myor 3 cuto myor se φ, y esto hst que φ llegue l prmer χ, prtr de dode, por los cometros terores, L (φ ) vle cero. Por tto, el vlor de φ que hce mám L (φ ) es el mímo de los vlores { χ,, χ, } el cul se suele deotr por ( ).