Tema 2. CONTRASTE DE HIPÓTESIS EN LOS DISEÑOS DE UNA MUESTRA ÍNDICE

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1 Tema. CONTRASTE DE IPÓTESIS EN LOS DISEÑOS DE UNA MUESTRA ÍNDICE.. Itrducció.. Objetivs del tema.3. Ctraste sbre la media pblacial.3.. Ccida la variaza pblacial.3.. Desccida la variaza pblacial.4. Ctraste sbre la prprció pblacial.5. Ctraste sbre la variaza pblacial..6. Cálcul de la ptecia del ctraste.7. Nivel crític p y errres de ls ctrastes.8. Resume.9. Ejercicis de autevaluació

2 Diseñs de Ivestigació y aálisis..- Itrducció E las ivestigacies que parte del ccimiet prprciad pr ls dats recgids de ua muestra el bjetiv es iferir las características de la pblació, de la cual ls dats recgids cstituye ua muestra represetativa. E este tip de ivestigacies la hipótesis a ctrastar especifica ua característica de la pblació, cm las siguietes: Si u determiad parámetr pblacial puede tmar u valr ccret. Si etre las variables medidas e la muestra existe crrelació e la pblació. La frma de la distribució de la variable e la pblació. Si ls dats bservads e la muestra s idepedietes etre sí, etc. Ls ds primers cass se icluye detr de ls ctrastes paramétrics que, e ua primera aprximació direms que s tds aquells que se relacia c el estudi de u parámetr pblacial (media, variaza, prprció, crrelació, etc.) y siempre que la variable de estudi prvega de ua pblació c ua fució de desidad de prbabilidad ccida. Pr su parte, las ds hipótesis siguietes se eglbaría detr de ls ctrastes paramétrics que se relacia c parámetrs pblaciales se ecuetra referidas a dats que prviee de ua pblació c ua fució de desidad de prbabilidad desccida. E cualquiera de ests cass s ectrams ate u diseñ de ivestigació e el que se utiliza la ifrmació prprciada pr ua muestra. E el tema aterir se ha vist ls prcedimiets de iferecia estadística basads e la determiació del iterval de cfiaza de algus parámetrs pblaciales (media, variaza y prprció) que se apya e el ccimiet de la distribució muestral del crrespdiete estadístic bteid e la muestra. Igualmete se ha expuest la metdlgía de ls ctrastes de hipótesis describied y explicad ua serie de pass que s cduce a la tma de ua decisió a partir del cálcul de u estadístic de ctraste csiderad cm ua medida de la discrepacia etre us dats teórics frmulads e la hipótesis ula a ctrastar y us dats empírics bteids e ua muestra. Cm verems, tat la estimació pr itervals cm el estadístic de ctraste puede utilizarse para ctrastar hipótesis sbre parámetrs pblaciales, auque e la práctica de la ivestigació es más habitual calcular esta discrepacia estadístic de ctraste. E cualquier cas, tat u prcedimiet cm el tr se apya e el ccimiet de la distribució muestral (que crrespde a la fució de distribució de prbabilidad de ests estadístics) e la que s basarems para tmar decisies respect a u valr hiptétic que plateems e la hipótesis ula para el parámetr pblacial. Al fializar este capítul el estudiate deberá alcazar ls bjetivs que se expe e el siguiete epígrafe:..- Objetivs Platear las hipótesis e fució de ls bjetivs de la ivestigació. Distiguir etre el ctraste uilateral y bilateral. Selecciar el estadístic de ctraste más adecuad a las hipótesis plateadas. Ccer la distribució muestral del estadístic selecciad. Realizar ls cálculs prtus para smeter a ctrastació empírica las hipótesis plateadas. Relaciar el iterval de cfiaza c el estadístic de ctraste Iterpretar el ivel crític p. Determiar e iterpretar el, ls, valres crítics de la distribució muestral. Tmar ua decisió respect a las hipótesis plateadas. P á g i a

3 Diseñs de Ivestigació y aálisis.3.- Ctraste sbre la media pblacial Pr l que vims e el tema aterir, sabems que el iterval de cfiaza de u parámetr pblacial es u rag de valres defiid a partir del estadístic bteid e la muestra y delimitad pr sus límites iferir y superir. Este iterval cubrirá el valr del parámetr pblacial c ua prbabilidad de, demiada ivel de cfiaza. E ccret, el iterval de cfiaza de la media s delimita etre qué ds valres se ectrará la media pblacial,, c ua prbabilidad ivel de cfiaza, previamete fijad. E el tema aterir se realizó el siguiete ejempl (Ej..4) para calcular el iterval de cfiaza de la media pblacial: Ejempl.: E u experimet sbre ateció, u psicólg preseta durate 3 mseg u grup de 6 letras del alfabet (c ua dispsició de 4 filas y 4 clumas). Cada u de ls sujets que participa e el experimet debe verbalizar tatas letras cm recuerde. El prmedi de letras bie recrdadas es de 7 y la desviació típica isesgada (cuasi-desviació típica) es de,3. Supied que la distribució e la pblació es rmal. Etre qué límites se ectrará el verdader úmer de palabras bie recrdadas, c ua prbabilidad de,95? E las cdicies que se platea e este ejercici, recrdará el lectr que el iterval de cfiaza cstruid e tr a la media muestral, y que ctedrá el valr del parámetr c ua prbabilidad de,95, se cstruye a partir de la distribució muestral de la media, la cual sabems que es ua distribució t de Studet. E térmis frmales, para calcular este iterval de cfiaza utilizams la expresió del iterval de cfiaza: P( t t ) Pdems bservar ls límites superir e iferir que se represeta e la Figura. y que se S btiee sumad y restad a la media de la muestra el errr máxim de estimació ( t / ): l i L s S,3 t,5 7. 6,74 S,3 t, ,86 Figura.: Iterval de cfiaza par la media El iterval de cfiaza bteid es (6,74; 7,86). Pdems afirmar al 95% de cfiaza que la media pblacial (desccida) para el úmer de letras recrdadas se ecuetra etre ls valres 6,74 y 7,86. Es decir, el iterval de cfiaza de la media s idica el cjut de valres que pdría teer la media pblacial c el ivel de cfiaza fijad previamete e el 95%. Pr tat, este iterval se puede utilizar tambié para ctrastar hipótesis sbre el valr que puede tmar este parámetr e la pblació. Así, si frmulams las hipótesis: 3 P á g i a

4 Diseñs de Ivestigació y aálisis : 8 : 8 teems que cmprbar si el iterval de cfiaza cubre (se slapa) al valr de la media pblacial plateada e la hipótesis ula. E cas egativ tmarems la decisió de rechazar la c u ivel de sigificació, previamete fijad, que e este ejempl es, 5. E cas ctrari, direms que teems evidecia suficiete para rechazar la c u ivel de sigificació de,5 y la matedrems cm prvisialmete verdadera hasta que reuams evidecia suficiete para rechazarla. De acuerd c esta frma de prceder pdems bservar que el iterval de cfiaza (6,74; 7,86) cubre el valr de la media pblacial platead e la hipótesis ula ( : 8 ) ya que el valr 8 platead e esta hipótesis se ecuetra etre 6,74 y 7,86. Pr tat, rechazams la hipótesis ula c u ivel de cfiaza del 95% ( c ua prbabilidad de,95). Auque el iterval de cfiaza es u prcedimiet para estimar parámetrs pblaciales puede tambié aplicarse para el ctraste de hipótesis. Si embarg, cm se adelataba e el tema aterir, es más frecuete aplicar tr prcedimiet alterativ y que suele utilizarse habitualmete e ls ifrmes de ivestigació publicads. Este prcedimiet alterativ csiste e bteer el estadístic de ctraste cm ua medida más exacta de la discrepacia etre el valr platead e la hipótesis ula y el valr bteid e la muestra cm estimació del parámetr. Esta medida de la discrepacia tiee ua distribució de prbabilidad ccida pr l que suele ir acmpañada de ua prbabilidad, a la que s referirems c el térmi de ivel crític p, y que utilizarems para tmar ua decisió respect a la hipótesis ula. Este ivel crític p NO idica la prbabilidad de que la sea verdadera, si que s ifrma sbre la prbabilidad de bteer u resultad cm el bteid e la muestra, más extrem, baj el supuest de que la hipótesis ula es verdadera. Se trata, pr tat, de ua prbabilidad cdiciada: e el cas de que sea cierta (cdició) s idica la prbabilidad de bteer u valr del estadístic de ctraste igual más extrem que el bteid efectivamete e uestra muestra. Est se represeta simbólicamete cm: P( yi ) p. L que sigue a la barra vertical idica la cdició de esta prbabilidad (e este cas, la cdició es que es cierta) y se lee cm: la prbabilidad de que, sied cierta, se btega u valr del estadístic muestral igual más extrem que el bteid (y i ) es igual a p (el ivel crític). Tégase e cueta que la es más que ua cjetura sbre u valr del parámetr pblacial y difícilmete será verdadera. La fialidad de la ivestigació (y del ctraste de hipótesis) es reuir ifrmació y evidecias suficietes para pder rechazarla Ccida la variaza pblacial Cm se ha expuest e ls apartads aterires, la iferecia estadística trata de estimar ls parámetrs pblaciales a partir de la ifrmació bteida e la muestra. Si embarg, e la actividad de la ivestigació real es pc prbable que se czca la variaza pblacial ya que ccerla supe que pdems acceder a tds ls dats de la pblació e cuy cas tambié pdríams calcular su media y sbraría cualquier tip de iferecia ctraste sbre su valr. N bstate, existe cass e ls que apyads pr ls resultads de trabajs previs pdems asumir u determiad valr para la variaza pblacial cm razable. Si además pdems asumir que la distribució pblacial es rmal, bie trabajams c muestras c, etces la distribució muestral de la media es ua distribució rmal, y el estadístic de ctraste para la media pblacial es: Z El estadístic Z se distribuye segú la distribució rmal tipificada, N(;). E esta ecuació: 4 P á g i a

5 Diseñs de Ivestigació y aálisis es la media bteida e la muestra. es el valr de la media pblacial frmulad e la hipótesis ula. es el errr típic de la media desviació típica de la distribució muestral de la media. es la desviació típica pblacial que supems ccida. es el tamañ de la muestra que estams utilizad para ctrastar la hipótesis. E csecuecia, el estadístic Z cuatifica la distacia de la media de la muestra,, a la media pblacial,, e uidades del errr típic de la distribució muestral,. Ejempl.: Pr estudis previs ccems que la pblació masculia de la tercera edad de ua determiada Cmuidad Autóma, tiee u gast medi e medicamets de 5 eurs/añ c ua desviació típica de 36 eurs y querems saber si la pblació femeia tiee el mism gast. C tal fialidad aalizams el gast medi de ua muestra de 34 mujeres de la tercera edad de esa misma cmuidad bservad que la media es de eurs/añ. Asumims que esta variable se distribuye rmalmete e la pblació. Fijad u ivel de cfiaza del 95%, ctraste si el gast de las mujeres es sigificativamete distit de 5 eurs/añ. Cdicies y supuests: El estudi utiliza u diseñ de ua muestra de mujeres e la que la variable gast medi se mide c escala de razó (variable cuatitativa) y sabems que se distribuye rmalmete e la pblació (auque e este cas haría falta este supuest prque ). Adicialmete ccems la desviació típica pblacial que es de 36 eurs. Se trata de u ctraste paramétric bilateral ya que, a priri, sabems si el gast de las mujeres es mayr mer de eurs/añ. Es decir, sl querems ctrastar que el gast de las mujeres es diferete a esa catidad, per si asumir que el setid de esta diferecia sea psitiv egativ. Pr tat, debems ctemplar la psibilidad de que pueda serl e u setid u tr. U ctraste de este tip se dice bilateral pr razes bvias. E defiitiva, ls supuests que ecesitams e este cas s: - Distribució rmal e la pblació, bie,. - Variaza pblacial ccida. - Variable depediete c u ivel de medida de iterval razó. Frmulació de las hipótesis: La hipótesis de ivestigació es que las mujeres tiee u gast medi e medicamets distit a ls 5 eurs/añ. Es decir, el ivestigadr se ha platead este estudi prque tiee razes para super que el gast de medicamets etre hmbres y mujeres es distit (v.g., sabems que pr térmi medi las mujeres disfruta de ua mayr lgevidad que ls hmbres per c per salud) y pr ell platea esta hipótesis de ivestigació. Si embarg, rmalmete la hipótesis estadística ula que platea debe ser la ctraria a su hipótesis de ivestigació. Pr ell, la hipótesis ula debe platearse e el setid de que el gast de las mujeres es de 5 eurs/añ, igual al de hmbres, y la hipótesis alterativa que el gast medi de las mujeres es u valr distit a éste, es decir: : 5 : 5 Partims de que, prvisialmete, la hipótesis ula es verdadera, es decir, que las mujeres tiee u gast de 5 eurs/añ y se trata de ectrar evidecia ctra esta hipótesis a partir de la ifrmació prprciada pr ua muestra represetativa. Iicialmete se bserva que, efectivamete, las mujeres parece que tiee u gast diferete, per la preguta es: la diferecia de 5 eurs etre el valr bservad e la muestra y el que plateams e la hipótesis ula evidecia realmete u gast distit s debidas a fluctuacies aleatrias? El rechaz de la hipótesis ula y la csiguiete aceptació de la hipótesis 5 P á g i a

6 Diseñs de Ivestigació y aálisis alterativa, se deberá a que la diferecia bservada es estadísticamete sigificativa, es decir, es ua diferecia real y evidete que puede atribuirse al azar, a fluctuacies aleatrias debidas al muestre. Estadístic de ctraste: Para ctrastar uestra hipótesis vams a calcular la discrepacia etre la evidecia bservada de que el gast medi es de eurs e la muestra de mujeres c el valr hiptéticamete establecid para la pblació geeral que platea u gast medi de 5 eurs. Calcularems primer el errr típic de la media (es decir, la desviació típica de la distribució muestral de tdas las medias psibles e muestras de tamañ = 34): Cm la variable gast aual e medicamets se distribuye rmalmete e la pblació y ccems la desviació típica pblacial, la distribució muestral de la media es rmal y el estadístic de ctraste, cm medida de esta discrepacia, es: Z 5,5 ( p,4) Regla de decisió: E este ctraste bilateral y trabajad c u ivel de cfiaza del 95%, ls valres crítics a partir de ls cuales rechazams la hipótesis ula s Z, 96 (Figura.). Ests valres represeta la máxima diferecia, e u setid e tr, atribuible al azar que puede existir etre ls dats empírics bservads e la muestra y ls dats teórics que plateams e la hipótesis ula. E la muestra el valr bservad es eurs/añ y el valr hiptétic platead es de 5 eurs/añ. Esta diferecia crrespde a,5 desviacies típicas de la distribució muestral. Figura.: Distribució muestral de la media y regies de decisió de la : μ=5 para u ivel de cfiaza del 95% Cclusió: C u ivel de cfiaza del 95%, el valr de este estadístic de ctraste (Z =,5) sbrepasa la máxima diferecia que cabe esperar pr simple azar que es de,96. Pr tat, debems rechazar la hipótesis ula c u ivel de cfiaza del 95%. De tra frma, al valr del estadístic de 6 P á g i a

7 Diseñs de Ivestigació y aálisis ctraste bteid de Z=,5 le crrespde u ivel crític p de,4 (Figura.3). Esta prbabilidad idica que, supied verdadera la hipótesis de que las mujeres tiee u gast medi de 5 eurs/añ, la prbabilidad de bservar u gast medi de eurs/añ más extrem e ua muestra de 34 mujeres es de,4. Esta prbabilidad es muy pequeña y mer que el ivel de sigificació alfa fijad e,5 (,4, 5 ) l que s lleva a rechazar la hipótesis ula. Figura.3: Nivel p-crític para u ctraste bilateral Iterpretació: a la vista de ls cálculs y de uestra cclusió pdems decir que, c u ivel de cfiaza del 95%, el gast de las mujeres difiere sigificativamete de 5 eurs/añ, que es el que realiza ls hmbres. Observe el lectr que igual de lícit sería afirmar que, c u ivel de cfiaza del 99%, hay evidecia suficiete para rechazar la hipótesis ula ya que el valr de p=,4 es mayr que el ivel de sigificació alfa de,. Es decir que la diferecia ectrada es sigificativa c alfa =,5 per l es c u ivel de sigificació de,. Dejams al lectr que llegue a la misma cclusió calculad uevamete y cmparad el valr del estadístic de ctraste c ls valres crítics para u ivel de cfiaza del 99%. Estas cclusies, aparetemete ctradictrias, pe de maifiest la imprtacia de la replicació de la ivestigació para añadir más evidecia a favr e ctra de la hipótesis y, pr tra parte, la exigecia de reflejar -e cualquier trabaj de ivestigació- el valr del estadístic de ctraste y el ivel crític p ( Z=,5; p=,4) c la fialidad de que el lectr pueda iterpretar pr si mism la magitud de la discrepacia etre ls dats y la hipótesis ula plateada y la seguridad a la hra de aceptar rechazar la hipótesis Desccida la variaza pblacial a se ha cmetad que, e la práctica de la ivestigació scial y de la Psiclgía, habitualmete se descce ls parámetrs pblaciales pr l que hay que estimarls a partir de ls estadístics muestrales. Se estudió e el Tema 8 de Itrducció al Aálisis y tambié e el tema aterir de este mism text, que si se descce la variaza pblacial y la frma de la distribució de la variable X e la pblació etces la distribució muestral de la media es la distribució t de Studet, siempre que pdams asumir que la distribució e la pblació es rmal,. E estas circustacias el estadístic de ctraste, cm medida de la discrepacia, es: t ˆ Se busca e la tabla de la distribució rmal, la prbabilidad de P(Z -,5) que es,6. Al tratarse de u ctraste bilateral teems que sumar la P(Z,5) =,6. La suma de estas ds prbabilidades es el ivel p-crític resultate. E este put remitims al lectr al últim epígrafe del Tema que expe la relació etre el ivel crític p y ls errres del ctraste. 7 P á g i a

8 Diseñs de Ivestigació y aálisis Que se distribuye segú la t de Studet c - grads de libertad y dde ˆ es el estimadr de la desviació típica pblacial que se puede realizar a partir de la variaza de la cuasi-variaza de la muestra, cm se expía e el put.3.3 del Tema y que s cduce a las siguietes expresies fiales: t ˆ t t S S Aplicarems a ls dats del ejempl. el ctraste de hipótesis crrespdiete: Ejempl.3: E u experimet sbre ateció, u psicólg preseta durate 3 mseg u grup de 6 letras del alfabet (c ua dispsició de 4 filas y 4 clumas). Cada u de ls sujets que participa e el experimet debe verbalizar tatas letras cm recuerde. El prmedi bteid de letras bie recrdadas es de 7 y la desviació típica isesgada (cuasi-desviació típica) de la muestra es de,3. Sabied que el recuerd es ua variable que se distribuye rmalmete e la pblació y fijad el ivel de sigificació e,5, Puede ser 8 la media de letras recrdadas?. Cdicies y supuests: ua muestra aleatria e la que recgems dats medids al mes c escala de iterval y sabems que la variable se distribuye rmalmete e la pblació c variaza desccida. E geeral, las cdicies ecesarias para aplicar este ctraste s: - Variable depediete c u ivel de medida de iterval razó. - Distribució rmal e la pblació. - Variaza pblacial desccida. Frmulació de hipótesis: Se platea u ctraste bilateral : 8 : 8 Partims de que la es verdadera, es decir, que la media de palabras recrdadas e este tip de pruebas es de 8, y se trata de ver si ls dats recgids e ua ivestigació bie diseñada y utilizad ua muestra aleatria arrja evidecia a favr e ctra de la hipótesis ula. El estadístic de ctraste discrepacia etre el estimadr (media de la muestra) y el valr del parámetr frmulad e la hipótesis ula,, es : 7 8 t,66,3,375 Obsérvese que, al desccer la variaza pblacial, hems utilizad S - =,3 muestral para calcular el estadístic de ctraste. 8 P á g i a

9 Diseñs de Ivestigació y aálisis Figura.4: Valres crítics de la distribució muestral para u ivel de cfiaza del 95% Figura.5: Nivel crític p asciad al estadístic de ctraste t=,66 e u ctraste bilateral Regla de decisió: C u ivel de cfiaza del 95% e u ctraste bilateral, la máxima discrepacia que cabe esperar pr simple azar etre el estimadr y el valr platead e la hipótesis ula es, (valres crítics). El valr del estadístic de ctraste bteid, supera este valr máxim (véase la Figura.4) l que s lleva a rechazar la hipótesis ula. El ivel crític p asciad a este estadístic de ctraste aparece explícitamete e la tabla de la distribució t c grads de libertad, per pdems ver que es mer de,5 que resulta mer que el ivel de sigificació fijad e,5 (véase la Figura.5). La frma de buscar esta prbabilidad e la tabla es la siguiete: g.l.,55,6,65,7,75,8,85,9,95,975,99, ,89,6,3966,545,6998,879,93,37,8,8,764 3,69,86,596,3956,5399,6974,8755,88,363,796,,78 3,6,83,59,3947,5386,6955,876,83,356,78,79,68 3, C gl, el valr,66 se ecuetra etre, y,78, (fig:.5 y tabla de t) pr tat:,5>p>, e ua cla de la distribució y,5>p>, utilizad las ds clas de la distribució Iterpretació: A partir de la evidecia que prprcia ls dats de la ivestigació, debems rechazar la hipótesis de que el úmer medi de palabras recrdadas es de 8 c u ivel de cfiaza del 95%..4.- Ctraste sbre la prprció pblacial El ctraste paramétric de hipótesis para ua prprció pblacial sigue la misma lógica y prcedimiet que el seguid para el ctraste de la media. Sabems que la prprció, frecuecia relativa de aparició de ua bservació, es el cciete etre el úmer de veces que aparece la bservació y el úmer ttal de bservacies. E el tema aterir se ha vist que la distribució muestral de la prprció es ua distribució bimial y cm se expus e la asigatura de Itrducció al Aálisis de Dats, de primer curs, la distribució bimial se aprxima a la rmal cuad el tamañ de la muestra es grade ( 5 p 5 ). E esta distribució muestral, la media y desviació típica ( errr típic de la prprció) vale: 9 P á g i a

10 Diseñs de Ivestigació y aálisis p p ( ) A partir de este supuest y csiderad, cm se ha vist e el tema aterir, que la prprció bservada e la muestra, p, es el estimadr isesgad de la prprció pblacial,, el iterval de cfiaza para la prprció pblacial a partir de la prprció bservada e ua muestra se btiee sumad a la prprció bservada e la muestra el errr máxim de estimació (Figura.6): l i L s p Z p Z p p Z p p Z p ( p) p ( p) Figura.6: Iterval de cfiaza para la prprció pblacial, π. Igual que razábams para el cas de la media, para ctrastar ua hipótesis referida a u valr hiptéticamete establecid cm prprció pblacial,, pdems determiar el iterval de cfiaza y cmprbar si el valr platead e la hipótesis ula se ecuetra icluid pr el iterval. De frma similar se puede determiar u estadístic de ctraste para cuatificar la discrepacia etre el valr bservad e la muestra y el platead e la hipótesis ula. Para el cas de la prprció y sabied que la distribució muestral del estadístic, p, se aprxima a la rmal cuad las muestras s grades ( 5 p 5 ), este estadístic es: Z p p p ( ) Si la hipótesis ula es falsa esta discrepacia debe superar el valr crític de la distribució muestral. De igual frma, el ivel crític p asciad a esta discrepacia debe ser mer que el ivel de sigificació,, para pder rechazar la hipótesis ula. E cas ctrari tedrems evidecia suficiete para pder rechazar la hipótesis ula plateada. P á g i a

11 Diseñs de Ivestigació y aálisis Ejempl.4: U ivestigadr de estudis de mercad cree que más del % de ls adlescetes cambia de móvil cada añ. C esta fialidad realiza ua ecuesta sbre ua muestra de 5 adlescetes bservad que 39 de ells afirma haber cambiad de móvil e el últim añ. C u ivel de cfiaza del 99%, pdems admitir la hipótesis del ivestigadr? Cdicies y supuests: El estudi utiliza u diseñ de ua muestra de 5 adlescetes e la que la variable cambiar de móvil, es cualitativa y dictómica ya que la respuesta sl puede ser si. Cuad ctabilizams e cada muestra el úmer de participates que ctesta sí, etces esta variable tiee ua distribució bimial que, e las cdicies de este ejempl, se aprxima a la rmal pr tratarse de ua muestra grade. El ivestigadr quiere demstrar que el prcetaje de adlescetes que cambia de móvil cada añ es superir al %. Plateamiet de las hipótesis: Se trata de u ctraste uilateral ya que si la hipótesis alterativa dice que la prprció supera el,, la hipótesis ula dice que la prprció es igual supera el,. Pr tra parte, bservams que a partir de ls dats de la muestra el prcetaje de adlescetes que cambia de móvil es del 6% ( ua prprció de,6). La hipótesis ula frmula que la diferecia etre el valr bservad e la muestra (6%) y el valr platead para la prprció pblacial (%) es ula. E tras palabras, que esta diferecia se debe a las fluctuacies aleatrias prque la prprció pblacial es del % mer. :, :, Estadístic de ctraste: Calculams la discrepacia etre p y medida e uidades de errr típic de la prprció (asumied que es cierta). Z p p p ( ),6,,,8 5,837,84 Sied la prprció pblacial p=,6 u valr de la distribució muestral de la prprció, el estadístic Z=,837 idica que la distacia de p=,6 a, es de,837 desviacies típicas de la distribució muestral. Regla de decisió: C u ivel de cfiaza del 99% y e u ctraste uilateral, el valr crític para rechazar la hipótesis ula es,33 (véase la Figura.7). De tra frma, el ivel crític p 3 asciad al estadístic de ctraste bteid es,39 que es ua prbabilidad mayr que el ivel de sigificació establecid a priri,. 3 Debe buscarse e las tablas de la distribució rmal la prbabilidad de bteer putuacies Z mayres que, 84. Recuérdese que las tablas de la distribució rmal prprcia prbabilidades pr debaj de ua putuació Z determiada. Pr tat, este valr es P(Z,84)=-P(Z,84)= -,967=,39 P á g i a

12 Diseñs de Ivestigació y aálisis Figura.7: Estadístic de ctraste, ivel de sigificació y ivel crític p para el ctraste uilateral derech de : π=, Cclusió. Cm el estadístic de ctraste - discrepacia ectrada etre ls valres p=,6 y, de,837 supera la máxima diferecia que puede esperarse pr simple azar (el valr crític,33), teems evidecia suficiete para rechazar la hipótesis ula. De tra frma, el ivel crític p de,39 es mayr que el ivel de sigificació, pr l que pdems rechazar la hipótesis ula. Iterpretació: A la luz de ls dats bteids pr el ivestigadr hay evidecia suficiete para asumir que más del % de ls adlescetes cambia de móvil cada añ..5.- Ctraste de hipótesis sbre la variaza pblacial a sabems que la iferecia y el ctraste de hipótesis sbre cualquier parámetr requiere ccer cóm es su distribució muestral. E el tema aterir, vims que si de ua pblació dde la variable se distribuye rmalmete c media y variaza, se extrae tdas las psibles muestras del mism tip y tamañ, y e cada muestra calculams sus variazas aleatria: S, etces se puede demstrar que la variable S Sigue ua distribució chi-cuadrad c - grads de libertad (véase la Figura.8). Figura.8: Distribució muestral de la variaza y ivel de cfiaza P á g i a

13 Diseñs de Ivestigació y aálisis 3 P á g i a De la misma frma, y pr la relació existete etre variaza y cuasi-variaza, la expresió aterir tambié se puede expresar c referecia a la cuasi-variaza muestral, y sería: ) ( S que tambié se distribuye segú chi-cuadrad c - grads de libertad. C referecia a este pricipi vims que el iterval de cfiaza para la variaza pblacial viee defiid pr sus límites iferir y superir, que se calcula mediate la expresió: / / s I S l S l Ests límites delimita ls valres etre ls que se ectrará la variaza pblacial, c ua prbabilidad de. Pr tra parte, el estadístic de ctraste medida de la discrepacia etre el estimadr y el parámetr es u cciete que recge ambs valres, y adpta las siguietes expresies e fució de que realizams el cálcul c la variaza muestra c la cuasi-variaza: A partir de la variaza muestral S a partir de la cuasi-variaza muestral: ) ( S sied la desviació típica pblacial pstulada e. C esta medida de la discrepacia, y a partir de la variaza bteida e ua muestra, cmprbarems la hipótesis acerca de la variaza pblacial de ua variable rmalmete distribuida. E este ctraste se puede dar ls tres cass que puede verse e la Figura.9: Ctraste bilateral : : Uilateral derech : : Uilateral izquierd: : :

14 Diseñs de Ivestigació y aálisis Figura.9: Regies de rechaz de la hipótesis ula e ctrastes bilateral y uilaterales. siguied ls pass establecids para td ctraste de hipótesis tal y cm verems e el siguiete ejempl: Ejempl.5: El maual de u test para detectar iñs c prblemas de apredizaje afirma que las putuacies del test se distribuye rmalmete y que la variaza de las putuacies dismiuye c la edad, tmad el valr de 8, para ls iñs prmedi de 5 añs. U psicólg ifatil csidera que actualmete esta variabilidad ha aumetad y para prbarl, utiliza ua muestra de 5 iñs de 5 añs a ls que aplica el test bteied ua desviació típica sesgada de 4,9 puts. Trabajad c u ivel de sigificació de,, ctraste la hipótesis del ivestigadr. Cdicies y supuests: El estudi utiliza u diseñ de ua muestra aleatria de 5 iñs a ls que se les pasa u test. Asumims que estas putuacies se mide, al mes e ua escala de iterval, y se distribuye rmalmete e la pblació c variaza 8,, tal cm idica el barem del test. E la muestra se btiee ua desviació típica sesgada de 4,9. E geeral, las cdicies que tiee que cumplirse s: - Variable depediete c u ivel de medida de iterval razó. - Distribució rmal e la pblació, bie 3. Frmulació de hipótesis: El ivestigadr quiere prbar que la variaza del test e ls iñs de 5 añs es ahra mayr de 8, cm afirma el maual. Pr csiguiete, ccreta ua hipótesis ula ctraria a la hipótesis que él desea prbar de tal frma que si csigue rechazarla c ls dats de la ivestigació, l está hacied c u elevad grad de cfiaza. Se trata pr tat de u ctraste uilateral derech. : : 8, 8, Estadístic de ctraste: Ccied la desviació típica sesgada de la muestra, S, el estadístic de ctraste, es: S 5 4,9 8, 33,69 Regla de decisió: E la distribució chi-cuadrad c - = 5-= 4 grads de libertad y u ivel de cfiaza del 99%, el valr crític para rechazar la hipótesis ula es 4,98 (véase la Figura.). El ivel crític p hay que buscarl e la tabla de la distribució chi-cuadrad c 4 gl y u chi-cuadrad igual a 33,6 4 P á g i a

15 Diseñs de Ivestigació y aálisis y pr aprximació es p=, que crrespde al valr 33, que es el que s aparece más cerca a uestr estadístic de ctraste 33,69. Rechazarems la hipótesis ula si el estadístic de ctraste es mayr que el valr crític de 4,98 si el ivel crític p es mer que el ivel de sigificació de,. Figura.: Valr crític de la distribució chi-cuadrad c 4 gl y u ivel de sigificació de,. g.l. -,75,9,95,975,99,995, ,4 3, 35,7 38,8 4,64 44,8 49,73 4-8,4 33, 36,4 39,36 4,98 45,56 5,8 5-9,34 34,38 37,65 4,65 44,3 46,93 5, Cclusió: Cm el estadístic de ctraste bteid supera el valr crític, la evidecia aprtada pr uestra muestra de estudi resulta suficiete para rechazar la hipótesis ula. Igulamete, sied el estadístic de ctraste 3,84 buscams e la distribució chi-cuadrad c 4 gl, el valr más próxim a éste, que es 33. y que se crrespde c u ivel crític p de, que es mayr que el ivel de sigificació fijad e el,. Pr tad teems evidecia suficiete para rechazar la hipótesis ula. Iterpretació: N teems evidecia suficiete para afirmar que la variabilidad de las putuacies bteidas e el test para detectar prblemas de apredizaje e ls iñs de 5 es ahra mayr que la que figura e el maual del test. Aclaració: Si el ctraste se hubiera realizad a partir de la cuasi-variaza muestral e lugar de la variaza, el resultad del estadístic de ctraste hubiera sid el mism. Veámsl, la cuasi-variaza de la muestra es: S S 5 4,9 5 e este cas, el estadístic de ctraste, tma el mism valr: 5, ( ) S (5 ) 5, 33,6 8, 5 P á g i a

16 Diseñs de Ivestigació y aálisis.6.- Cálcul de la Ptecia del ctraste E el tema aterir se ha expuest ls errres que se puede cmeter e td ctraste de hipótesis: rechazar ua hipótesis ula que es verdadera (errr tip I ) y rechazar ua hipótesis ula que es falsa (errr tip II ). Allí se cmetó que la ptecia de u ctraste estadístic es el cmplemetari del errr tip II ( ). U aspect imprtate de la ivestigació es ccer el valr que adpta la ptecia ya que represeta la prbabilidad de pder detectar el efect de iterés que estams buscad. E este apartad vams a ver, apyáds e el desarrll de ds ejempls, el prcedimiet para calcular la ptecia de u ctraste paramétric referid a la media y a la prprció pblacial e el diseñ de ua muestra. Per tégase e cueta que la ptecia de u ctraste se puede calcular e td tip de ctraste de hipótesis, sea de la aturaleza que sea y para td tip de diseñ de ivestigació de ls que verems a l larg de este curs. Ejempl.6: Supgams que la duració media de ua lámpara de baj csum de ua determiada marca es de hras c u desviació estádar de hras. La empresa que las fabrica itrduce u uev prces de fabricació y afirma que la vida media de las uevas es superir a las atiguas. Vams a super que cm hipótesis alterativa úica se platea u prmedi de duració de 6 hras. Tmad u ivel de sigificació del 5%, determiar el errr tip II y la ptecia de la prueba, si el estudi se realizara c u muestra de lámparas. E la Figura. se platea gráficamete la situació de este ctraste uilateral. Ua vez establecid e la distribució de la hipótesis ula el errr tip I (,5) y que se crrespde c u valr crític de Z =,64, se trata de determiar a qué valr crrespde e la distribució muestral de las duracies medias de las lámparas atiguas. El resultad se btiee de: Z,64,64 36, Pr tat, ua duració media de más de 36, hras e ua muestra de lámparas s cduciría a rechazar la. Para determiar el errr tip II (beta), debems saber la putuació típica que crrespde a esta media muestral per referid a la media de la distribució de, es decir, al valr platead cm hipótesis alterativa establecid e µ = 6. Z 36, 6,9 E la distribució de, la prbabilidad de bteer u valr de Z igual mer de -,9 es,379, que es la prbabilidad de cmeter u errr tip II. su cmplemetari -,379=,86 es la ptecia del ctraste prbabilidad de que ls resultads de la ivestigació permita rechazar la hipótesis ula cuad es realmete falsa. 6 P á g i a

17 Diseñs de Ivestigació y aálisis Figura.: Represetació gráfica del ejempl.6 Resumied: si se rechazara la hipótesis ula de que el prmedi de duració es de hras, per e realidad esta hipótesis fuera verdadera (es decir, el uev prces de fabricació alarga la duració) etces estaríams cmetied u errr (tip I) del 5%; si se acepta la hipótesis ula, per la alterativa es la verdadera, la prbabilidad de cmeter este errr (tip II) es del 3,79%. Pr tat, la ptecia de la prueba es del 86,% (,379 =,86). Realizarems tr cálcul de la ptecia del ctraste recurried al ejempl.8 del tema aterir que se reslvía aplicad la distribució bimial. Ejempl.7. Para ctrastar la presuta habilidad detectra de la dama se prepara 6 tazas de té, siguied ambs prcedimiets: e ch se vierte primer la leche, y e trs ch se vierte primer la ifusió. La presetació se realiza al azar y la dama sól tiee que decir cuál ha sid el prcedimiet (primer la leche y después el té, a la iversa). Supgams, pr ejempl, que la dama acierta e casies. Vams a utilizar este dat cm hipótesis alterativa, para calcular la ptecia de u ctraste uilateral derech c u ivel de sigificació de,5, es decir, verems qué sucede baj la hipótesis ula de que la señra puede realizar esta discrimiació (, 5) e relació a l que sucedería si la señra puede, efectivamete, realizarla c ua prbabilidad superir al azar que, e este cas, hems supuest igual a,75. :,5 :,75 Cm vims e el tema, la dama tiee esa habilidad si su prbabilidad de acertar e =6 esays es de aprximadamete 8 casies (el 5% de ls cass). A partir de qué úmer de acierts prcederíams a rechazar la hipótesis ula c u ivel de sigificació de,5?. Csultams e la tabla de la distribució bimial para =6 y p=,5 el úmer de acierts superires a 8, el 5%, y cuya suma sea al mes igual mer que el alfa fijad. Vems que sól rechazaríams la hipótesis ula si la dama acierta e más casies, ya que la suma de estas prbabilidades vale: p( y ) P( y ) P( y 3) P( y 4) P( y 5) P( y 6),78,85,8,,..,383,5 7 P á g i a

18 Diseñs de Ivestigació y aálisis x P=,5 - -,667,78 3,85 4,8 5, 6, Tabla de la distribució bimial para N=6 y p=,5 x P=,75 - -,8,5 3,79 4,336 5,534 6, Tabla de la distribució bimial para N=6 y p=,75 Sabied que la ptecia crrespde a la prbabilidad de rechazar la hipótesis ula cuad es falsa, es decir, cuad la dama sí tiee esa habilidad y que esta decisió se tma cuad es capaz de acertar e más casies, la ptecia del ctraste se calcula prcedied de la siguiete frma: Se calcula la prbabilidad de acertar e más casies cuad la dama sí tiee esa habilidad que, de acuerd c la hipótesis alterativa hems fijad e p=,75 4. Pr csiguiete, acudims a la tabla de la distribució bimial c =6, p=,75 (véase la Fig.) y sumams las prbabilidades de: p( y ) P( y ) P( y 3) P( y 4) P( y 5) P( y 6),5,79,336,534,,63 Figura.: Represetació gráfica del ejempl.7 4 La tabla de la distribució bimial refleja el valr p=,75 per la frma de razar es la siguiete: Si la prbabilidad de acertar es,75, la de fallar es,5. Pr tat, la prbabilidad de teer acierts (c p=,75) e N=6 esays es la misma que la prbabilidad de teer 4 falls (c p=,5) e ess misms 6 esays. esta prbabilidad de p=,5 sí que figura e la tabla bimial. 8 P á g i a

19 Diseñs de Ivestigació y aálisis A partir de ests ejempls, el lectr puede deducir que para calcular la ptecia de u ctraste se ecesita que la hipótesis ula y la alterativa sea simples, es decir, que establezca u úic valr cm parámetr pblacial e vez de u rag de valres cm hacíams e el ctraste de hipótesis. E ls ejempls que se ha desarrllad, y e el cas ccret de la media, ls cálculs se ha realizad para ls valres, e la,, y e la. Cuad la hipótesis alterativa es cmpuesta, es decir, platea más de u valr cm media pblacial ( : ) la ptecia del ctraste, prbabilidad de rechazar ua hipótesis ula que e realidad es falsa, varía e fució de ds factres: la distacia etre el valr de la hipótesis ula y la hipótesis alterativa, y el tamañ muestral. De este md para u mism valr del errr tip I, se puede cfecciar l que se demia curvas de ptecia, las cuales permite fácilmete lcalizar la ptecia de u ctraste segú sea el valr que puede tmar y el tamañ de la muestra. E la Figura.3 se represeta diversas curvas de ptecia para ls dats del ejempl, de acuerd a diferetes tamañs muestrales y a diferetes valres de. Se puede ver e la Figura.3 que para y u tamañ muestral de, la ptecia, efectivamete, está pr ecima de,85 e el gráfic (el valr exact es,86). Figura.3: Ptecia e fució de y tamañ muestral, c = y Errr Típic =.7.- Nivel crític p y errres e ls ctrastes E las pruebas clásicas de ctrastes que hems explicad, es precis establecer el errr tip I (ivel de sigificació ) ates de realizar el ctraste, de md que este valr ifluya e la decisió fial que se tma. Este errr es, pues, el máxim riesg que estams dispuests a admitir al tmar ua decisió respect a la hipótesis ula. N bstate, establecer previamete u ivel de errr tip I, preseta algú icveiete que puede ser decisiv e la decisió que se tme. Cm hems vist e ls ejempls. y.4 de este tema, la decisió que se tme sbre puede depeder del ivel de sigificació que se establezca, y se puede dar la circustacia de que sea rechazada c u ivel del 5% y serl c el %. Si bie es ciert que hay u acuerd e el ámbit cietífic acerca de que alfa debe ser u valr pequeñ (auque el valr ccret depede much del área de ivestigació, sied usual e Psiclgía el,5, e trs ámbits ls editres de las revistas cietíficas llega a pedir valres de ta pequeñs cm, iferires), es más difícil determiar cuá pequeñ debe ser, ya que e parte depederá de factres, algu de ls cuales, cm señala Wactt y Wactt (999), puede ser simplemete las creecias previas sbre ls prcess de tma de decisió que se ha realizad aterirmete sbre la misma parecida cuestió, y tambié sbre las csecuecias que se derive al tmar ua decisió erróea, y ésta se puede tmar tat rechazad ua hipótesis ula que es verdadera (errr 9 P á g i a

20 Diseñs de Ivestigació y aálisis tip I) cm aceptad ua hipótesis ula que es falsa (errr tip II). Además, es precis teer e cueta que ua dismiució del primer ( ) prvca u aumet autmátic del segud ( ). Debid, pues, a ests icveietes, e el aálisis mder hace ya u tiemp que se ha itrducid el demiad ivel crític p, que se defie cm el ivel de sigificació más pequeñ al que ua hipótesis ula puede ser rechazada c la medida de discrepacia bteida. Es decir, el ivel crític p es la prbabilidad asciada a la medida de discrepacia que hems bteid a partir de la ifrmació bteida e uestra muestra y cuatifica la prbabilidad de bteer us dats cm ls bteids e la ivestigació más extrems baj el supuest de que la hipótesis ula es verdadera. E ls ctrastes bilaterales de parámetrs ( tw tail e iglés que, literalmete, sigifica ds clas hacied referecia a ls ds extrems de la distribució de prbabilidad crrespdiete) de ua distribució muestral simétrica (v.g. la distribució rmal, la t de Studet la bimial cuad p=,5), el valr del ivel crític p se btiee multiplicad pr ds la prbabilidad asciada a ls valres mayres meres (segú e qué parte de la cla caiga el valr del estadístic de ctraste cm medida de discrepacia). Al utilizar cm criteri para la decisió el ivel crític p hay que establecer previamete u ivel de sigificació, y ésta se tma e fució del valr de p. Si p es pequeñ se rechazará, y si es grade se aceptará. Obviamete, cm señala Pard y Sa Marti (994), persiste el prblema de determiar qué es grade y qué pequeñ. Etces para tmar ua decisió hay que recurrir al criteri del grad de cercaía alejamiet de p a, pr ejempl, el valr,5. Si es claramete iferir, se rechaza, si es claramete superir se acepta, y si está e tr a ese valr, se vuelve a tmar ueva evidecia muestral y se repite el ctraste. N bstate, el emple del ivel crític p cm criteri de decisió tampc está exet de prblemas, ya que, al igual que las medidas de discrepacia bservada etre y la evidecia muestral, depede del tamañ de la muestra utilizada, y es pr ell, que, desde la década de ls cheta del sigl pasad se ha explrad uevas medidas, idepedietes del tamañ muestral, que explicams e trs temas..8.- Resume Cm se ha explicad e ls diseñs de ua muestra, td ctraste de hipótesis tiee us pass que se puede fijar c más mes detalle. De acuerd c ls que se ha establecid e este text, para determiar el prcedimiet de aálisis más adecuad que se debe utilizar para ctrastar ua hipótesis de u diseñ de ivestigació, ls pass a seguir sería: Cdicies y supuests: Ls prcedimiets para el ctraste de hipótesis que verems a l larg del prgrama de este curs requiere el cumplimiet de us supuests a la hra de selecciar el estadístic de ctraste más adecuad al diseñ de la ivestigació, y se refiere al úmer de muestras utilizadas y su tamañ, el ivel de medida de la las variables icluidas e la hipótesis, la frma de su distribució e la pblació, la variaza pblacial ccida desccida, etc. Frmulació de hipótesis: Las hipótesis de ivestigació se traduce e hipótesis estadísticas. Pr l geeral, la hipótesis del ivestigadr trata de ectrar resultads sigificativs, es decir, diferecias sigificativas etre la tería y ls dats, y pr esta razó se crrespde c la hipótesis alterativa. Pr el ctrari, la hipótesis ula afirma que tales diferecias existe y es la hipótesis que se supe prvisialmete verdadera y que se ctrasta c la evidecia que prprcia ls dats de la ivestigació. Si las hipótesis se refiere a parámetrs pblaciales pdems platear ua hipótesis direccial bidireccial (e dde represeta u parámetr pblacial geéric): P á g i a

21 Diseñs de Ivestigació y aálisis Ctraste bilateral Uilateral derech Uilateral izquierd : : : : : : Regla de decisió: Selecciams el estadístic de ctraste que represeta la discrepacia etre el estadístic bteid a partir de ls dats bservads e la muestra y el valr platead e la hipótesis cm parámetr pblacial. Este estadístic de ctraste tiee ua determiada distribució de prbabilidad (su distribució muestral) que s permite fijar ls valres crítics que determia la za de rechaz de la hipótesis ula. Se ha explicad que ests valres crítics represeta la máxima diferecia que puede bservarse etre ls dats bservads e la muestra y ls dats teórics plateads e la hipótesis ula, baj el supuest de que ésta es cierta. Esta diferecia discrepacia etre ls dats teórics y ls dats empírics se puede cuatificar igualmete, e térmis de prbabilidad: el ivel crític p. Calculams el estadístic de ctraste y el ivel crític p asciad a este valr, que idica la prbabilidad de que, sied cierta la hipótesis ula, btegams us dats iguales más extrems a ls bservads e la muestra. Ccluims respect al rechaz de la hipótesis ula, bie cmparad el estadístic de ctraste c el valr crític cmparad el ivel crític p c el ivel de sigificació. Si el ivel crític p es mer que el ivel de sigificació establecid a priri, rechazams la hipótesis ula. E esta situació tambié bservarems que el estadístic de ctraste supera la máxima diferecia que cabe esperar pr simple azar. E cas ctrari direms que hay evidecias suficiete para rechazar la hipótesis ula pr l que la cservams mateems c u determiad ivel de cfiaza. Iterpretams esta cclusió c referecia a ls bjetivs e hipótesis de la ivestigació. P á g i a

22 Diseñs de Ivestigació y aálisis.9.- EJERCICIOS DE AUTOEVALUACÓN. La distribució muestral de la media es ua distribució t de Studet, cuad: a) se descce la variaza pblacial y el tamañ de la muestra es ; b) se cce la variaza pblacial per se utiliza muestras pequeñas; c) la variable de estudi se distribuye rmalmete e la pblació y se utiliza muestras grades.. La distribució muestral de la media es ua distribució rmal, cuad: a) La distribució e la pblació es rmal y ccems su variaza; b) se descce la variaza pblacial per se utiliza muestras pequeñas; c) la variable de estudi se distribuye rmalmete e la pblació y se utiliza muestras pequeñas. 3. El ivel crític p, represeta: a) la prbabilidad de rechazar ua hipótesis ula que es verdadera; b) la prbabilidad de errr al tmar ua decisió sbre la hipótesis ula; c) la prbabilidad de bteer us resultads cm ls bteids e uestra ivestigació más extrems, supied cierta la hipótesis ula. 4. Cuál de las siguietes alterativas es INCORRECTA: a) el valr crític puede ser egativ; b) el estadístic de ctraste puede ser egativ; c) el ivel de sigificació puede ser egativ. Para dejar cstacia real de las preferecias de ls padres sbre la legua vehicular e la que prefiere que se eduque a sus hijs, ua determiada asciació de padres realiza ua ecuesta sbre ua muestra de 8 familias residetes e ua determiada autmía biligüe, ectrad que 8 familias s partidaris de que tdas de las asigaturas se eseñe e castella y 68 maifiesta su dese de que la mayría de las asigaturas se imparta e castella. Se fija u ivel de sigificació alfa del,5 (5%) y la asciació de padres quiere dejar evidecia de que más de la mitad de ls padres quiere esclarizar a sus hijs e clegis e ls que la presecia del castella e la eseñaza sea, al mes, mayritaria: 5. La hipótesis ula es: a) :, 5 ; b) :, 5; c) :, El valr del estadístic de ctraste, es: a),8; b),96; c) 3,39 7. La máxima diferecia atribuible al azar etre ls dats bservads e la muestra y ls dats teórics plateads e la hipótesis ula es: a),96; b),64; c), Supied cierta la hipótesis ula, la prbabilidad de ectrar us resultads cm ls bservads e la muestra es: a),9997; b),3 ;c),6 9. La cclusió de este estudi, es: a) Rechazar la hipótesis ula prque p<α; b) N se puede rechazar la hipótesis ula prque p>α; c) N rechazar la hipótesis ula prque el estadístic de ctraste supera la máxima diferecia que cabe esperar pr simple azar.. De ua pblació e la que la variable de estudi tiee ua distribució rmal c variaza 5, se extrae ua muestra aleatria de 5 bservacies. Si fijams el ivel de sigificació e,, cuát valdrá la ptecia del ctraste de : 3 free a :, para u ctraste uilateral derech: a),663; b),3887; c),65.. De ua pblació e la que la variable de estudi tiee ua distribució rmal c variaza 5, se extrae ua muestra aleatria de 5 bservacies. Si fijams el ivel de sigificació e,, cuát valdrá la ptecia del ctraste de : 3 frete a :, para u ctraste bilateral: a),65; b),7348; c),3887. SOLUCIONES:. Si se descce la variaza pblacial, la distribució muestral de la media es la distribució t de Studet si. La respuesta crrecta es la a). Cuad la pblació se distribuye rmalmete y se cce su variaza, la distribució muestral de la media es rmal. La respuesta crrecta es la a) P á g i a

23 Diseñs de Ivestigació y aálisis 3. El ivel crític p idica la prbabilidad de bteer us determiads resultads supuesta verdadera la hipótesis ula. Si esta prbabilidad es muy pequeña se rechaza la hipótesis ula. La respuesta crrecta es la c) 4. Tat el ivel crític p cm el ivel de sigificació s prbabilidades que uca puede ser egativs. Sus valres, expresads e tat pr u, está cmpredids etre y. La respuesta crrecta es la c) 5. La hipótesis del ivestigadr es la hipótesis alterativa que pretede demstrar que más de la mitad de ls padres desea esclarizar a sus hijs e clegis e ls que la presecia del castella es mayritaria. Pr tat la hipótesis ula, egació de la aterir crrespde la la alterativa a)- 6. La respuesta crrecta es la c) 68 8 P,56 8 p,56,5 Z ( ), La respuesta crrecta es la b). La distribució muestral de la prprció es ua distribució bimial que tiede a la rmal. El valr de z que deja pr debaj ua prbabilidad de,95 es z=,64 que crrespde al valr crític de este ejempl. 3, La respuesta crrecta es la b). Para z=3,39 ectrams que e la distribució rmal: P(z 3,39),9997 P(Z 3,39) P(Z 3,39).9997, Pr tat: 3 3 P á g i a

24 Diseñs de Ivestigació y aálisis 9. La slució crrecta es la a). a que supied cierta la hipótesis ula, la prbabilidad de ectrar e ua muestra de 8 persas a 448 a favr de esta pció es de u 3 pr.. Esta prbabilidad es ta pequeña que s lleva a rechazar la hipótesis ula. De tra frma, la discrepacia etre la prprció bteida e la muestra y el valr teóric platead e la hipótesis ula (3,39) es mayr que la máxima discrepacia que se puede admitir pr simple azar (,64) l que s lleva rechazar la hipótesis ula..- Para calcular la ptecia del ctraste: : frete a : 3 el primer pas es buscar e la distribució muestral de la media frmulada e la el valr de Z que deja pr debaj ua prbabilidad de,9, (ivel de cfiaza e u ctraste uilateral) y es Z=,8. A esta putuació le crrespde, e la distribució de la, ua media muestral de 3,84. Segud pas: E la distribució de, c media de 3, a la putuació 3, 84 le crrespde ua putuació típica de,8. Buscams e la tabla de la distribució rmal las prbabilidades crrespdietes a esta putuació típica que vale,63. De frma gráfica, el razamiet es el siguiete:.- De ua pblació c distribució rmal y variaza de 5 se extrae ua muestra de =5 sujets y c u alfa=, querems calcular la ptecia de u ctraste bilateral, sied las hipótesis ula y alterativa, las siguietes : frete a : 3 Cm e la situació aterir, per ahra c u ctraste bilateral, el primer pas es buscar e la distribució muestral de la media frmulada e la ls valres de Z que deja etre ambs ua prbabilidad de,9, y es Z, 64. A cada ua de estas putuacies le crrespde, e la distribució de la, ua media muestral de 5,8 y 4,9 respectivamete. Segud pas: E la distribució de, c media de 3, calculams la putuació típica que crrespde a cada ua de estas medias y s: Z=-,64 y Z=,64. El errr tip II (beta) es la prbabilidad etre ambas putuacies típicas Z, y la ptecia del ctraste su cmplemetari. De frma gráfica, el razamiet es el siguiete: 4 P á g i a

25 Diseñs de Ivestigació y aálisis 5 P á g i a