Especialización en Métodos Estadísticos (EME) CURSO PROPEDÉUTICO ESTADÍSTICA BÁSICA

Transcripción

1 Especialización en Métodos Estadísticos (EME) CURSO PROPEDÉUTICO ESTADÍSTICA BÁSICA Enrique Rosales Ronzón, Patricia Díaz Gaspar, mayo 2015

2 Estadística??? Ciencia, Técnica, Arte Reunir, Organizar, presentar, analizar e interpretar datos con el fin de obtener determinados resultados que dan pauta a ciertas conclusiones para posteriormente determinar decisiones. 2

3 Población Muestra 3

4 La unidad de análisis es el elemento del cual se predica una propiedad y característica La variable es la característica, propiedad o atributo que se predica de la unidad de análisis La categoría es cada una de las posibles variaciones de una variable 4

5 Población Muestra Total de sujetos, amínales, objetos, plantas, etc., con características similares para su estudio. Subconjunto de la población que se selecciona aleatoriamente para su respectivo análisis. Parámetro Unidad de medida desconocida de la población Estadísticos Unidad de medida de la muestra y se utiliza para realizar inferencias acerca de la población 5

6 Formulación del Problema Hipótesis, objetivos, alcance población Diseño de Experimento Seleccionar técnica -mínimo costo y tiempo Tamaño de muestra, Solución Recolección de Datos Calidad de obtención Proceso de Datos y su descripción Tablas de estadísticas Gráficas Inferencia Estadística Y Conclusiones Definición confianza y significancia Toma de decisiones Sugerencias 6

7 Estadística univariada (estudia una sola variable), bivariada (estudia la relación entre dos variables), y multivariada (estudia tres o más variables). Descriptiva Describir la muestra Estadística La diferencia radica en que la estadística descriptiva procede a resumir y organizar esos datos para facilitar su análisis e interpretación, y la estadística inferencial procede a formular estimaciones y probar hipótesis acerca de la población a partir de esos datos resumidos y obtenidos de la muestra. Inferencial Infiere conclusiones a partir de los datos que describen la muestra 7

8 Variables Cuantitativas Cualitativas Discretas Continuas Nominales Ordinales 8

9 NIVEL DE MEDICIÓN NIVEL NOMINAL NIVEL ORDINAL NIVEL CUANTITATIVO DISCRETO NIVEL CUANTITATIVO CONTINUO DATO UNIDAD DE ANÁLISIS VARIABLE CATEGORÍA O VALOR 9

10 Independiente Variable Dependiente 10

11 Un repaso 11

12 Estadística Población y Muestra Parámetro y Estadístico Unidad de Análisis, Variable y Categoría Proceso de investigación Estadística Descriptiva e inferencial Estadística uni, bi y multivariada Variable nominal, ordinal, discreta y continua 12

13 Estadística Descriptiva Análisis Bivariado Cajas y alambres Chi-chuadrado Regresión 13

14 Prueba chi-cuadrada Fundamentalmente se pretende estudiar la dependencia y/o independencia entre dos variables cualitativa. Pretende determinar si existe una relación entre dos variables No indica el grado o tipo de relación entre las variables. 14

15 Regresión Lineal Simple 15

16 Conceptos Básicos de Probabilidad Conjunto: es una colección de objetos bien definida que tiene algo en común Elemento: Son los objetos comprendidos en un conjunto Notación básica A = { 0, 2, 4, 6, 8} Conjunto de números dígitos pares 16

17 Conceptos Básicos de Probabilidad Número Finito A = {Domingo, Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, sábado} Infinito Numerable B = {1, 3, 5, 7, 9, 11,..} Infinito no Numerable C = { x 0 x 1 } Método de Extensión A = {0, 1, 2, 3, 4,.} Método de Comprensión A = {X x es un número dígito } 17

18 Conceptos Básicos de Probabilidad Subconjuntos: Sean A y B dos conjuntos. Si todo elemento de A es también elemento de B, diremos que A es subconjunto de B. Simbólicamente se escribe A B Dos conjuntos A y B son iguales (A=B) si y solo si A B y B A El conjunto Vacío es aquel que no tiene elementos y se representa por φ El conjunto vacio es un subconjunto del cualquier otro conjunto 18

19 Diagramas de Venn U C A B 19

20 Operaciones con conjuntos Unión Intersección Conjuntos mutuamente excluyentes Complemento Diferencia 20

21 Probabilidad de Eventos 21

22 Propiedades de la Definición Clásica de Probabilidad a) P(S) = 1 b) P(O)= 0 c) 0 P(A) 1 d) P (AUB) = P(A) + P(B) sí AB = O e) P(AUB) =P(A) + P(B) P(AB) f) SI A B, P(A) P(B) g) P (ABC) = P(A) P(AB) 22

23 Variable Aleatoria Experimento aleatorio Espacio Muestral Variable Aleatoria: Una Variable Aleatoria (VA) es una función en la que a cada resultado posible de un experimento aleatorio le asocia un número real 23

24 Distribución de Probabilidad de una Variable 24

25 Representación gráfica 25

26 Dos medidas 26

27 Distribución Normal Fue desarrollada por Jakob Bernoulli (Suiza, ) es la principal distribución de probabilidad discreta Algunos experimentos consisten en la observación de una serie de pruebas idénticas e independientes, las cuales pueden generar uno de dos resultados posibles, los cuales por conveniencia se denotan como éxito (e) o fracaso (f). ensayo Bernoulli Un evento A relacionado con el experimento podría ser considerado como éxito y su complemento como fracaso. 27

28 Características de la Distribución Binomial El experimento consta de n pruebas idénticas e independientes (llamados ensayos de Bernoulli). Cada prueba tiene dos resultados posibles. A uno de ellos se le llama éxito y al otro fracaso. La probabilidad de tener éxito en una sola prueba es igual a p y permanece constante de prueba en prueba. La probabilidad de un fracaso es igual a 1-p. La variable aleatoria bajo estudio es X, que representa el número de éxitos observados en las n pruebas. 28

29 Si repetidas pruebas idénticas e independientes pueden resultar en un éxito con una probabilidad y en un fracaso con una probabilidad de, entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, que representa el número de éxitos observados en las n pruebas, está dada por: n x n x x, n, p p q, x 0,1,, n x Los parámetros de la distribución son n y p. b 29

30 Media y varianza de la distribución binomial La media y la varianza de la distribución binomial dadas por: b x, n, p están X np 2 E Var X npq Ejemplos 30

31 Distribución Normal Fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre ( ) Carl Friedrich Gauss ( ) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se le conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media y su desviación estándar La distribución continua de probabilidad más importante de toda la estadística es la distribución de probabilidad normal. Es de vital importancia para la estadística debido a que existe un número elevado de variables cuya distribución se parece o se aproxima a una curva normal, sobre todo, variables de poblaciones relativamente homogéneas La curva normal es la representación gráfica de la distribución normal, que es una distribución con mayor densidad en el centro de la distribución la que luego disminuye gradual y simétricamente 31

32 Modelo teórico de la curva normal 32

33 Distribución Normal Las curvas normales varían entre sí con respecto a su media y/o a la desviación estándar. La media determina la posición de la curva sobre el eje de las abscisas y la desviación estándar determina la variabilidad de los datos alrededor de la media La notación que usaremos para identificar a una variable normal X cualquiera es, X~N (µ, σ 2 ). 33

34 Propiedades de la Distribución Normal Si X~N (µ, σ 2 ), entonces: La distribución es simétrica alrededor de la media. Los valores correspondientes a la media, mediana y moda son iguales y constituyen el punto central o de equilibrio de la distribución. La distancia horizontal entre la línea vertical erigida sobre la media µ y el punto de inflexión de la curva es la desviación estándar σ de la distribución. El área total bajo la curva es igual a uno. 34

35 Distribución normal estándar 35

36 Propiedades La media de los valores z es igual a cero. La varianza y consecuentemente la desviación estándar de los valores z es igual a uno. Nota! La distribución de probabilidad normal asociada al valor de Z recibe el nombre de distribución normal estándar Ejemplos 36

37 Aproximación de la distribución normal a la binomial Las probabilidades que se asocian con experimentos binomiales pueden obtenerse fácilmente cuando n es pequeña, de la formula b(x, n, p) de la distribución binomial. Si n es grande, resulta conveniente calcular las probabilidades binomiales por procedimientos de aproximación a una distribución discreta cuando esta última tiende a comportarse de manera simétrica. Así, para utilizar áreas bajo la curva normal para aproximar propiedades binomiales cuando n es suficientemente grande se tiene el siguiente hecho: 37

38 Aproximación de la distribución normal a la binomial 38

39 Teorema central de límite x x 39

40 Inferencia Estimación Puntual Intervalo Inferencia Prueba de Hipótesis 40

41 Estimación puntual 41

42 Propiedades deseables de los estimadores puntuales Estimador insesgado Estimador consistente Estimador eficiente Estimador suficiente 42

43 Estimación por intervalo 43

44 44

45 Prueba de Hipótesis La prueba de hipótesis comienza con una suposición, denominada hipótesis, que hacemos en torno a un parámetro de la población. Posteriormente se reúnen los datos muéstrales, se calculan las estadísticas de la muestra y en base a estos valores, con cierto grado de probabilidad, decidimos que el parámetro supuesto de la población sea razonablemente el aproximado. 45

46 Prueba de Hipótesis No podemos "aceptar" ni rechazar una hipótesis referente a un parámetro de la población por mera intuición. Por el contrario, necesitamos aprender a decidir con objetividad, basándonos en la información de la muestra. 46

47 Prueba de Hipótesis Cuál es el valor de la estadística en este procedimiento de prueba de hipótesis? Cómo se decide si una muestra no concuerda con la hipótesis del investigador? Cuándo debe rechazarse la hipótesis, cuándo debe aceptarse y cuándo no debe emitirse la decisión? Cuál es la probabilidad de tomar una decisión equivocada y en consecuencia sufrir una perdida?, y en particular, qué función de las mediciones muéstrales debe utilizarse para tomar una decisión 47

48 Elementos de una prueba de hipótesis estadística 1. Hipótesis nula H 0.- Es la hipótesis por probar. Generalmente es una aseveración en el sentido de que un parámetro poblacional tiene un valor específico. Esta hipótesis nula recibe tal nombre debido a que es el "punto de partida" de la investigación. Comúnmente se utiliza en su interpretación la frase "no existe diferencia significativa para rechazar H 0 ". 2. Hipótesis alterna H 1.- Es la hipótesis sobre la cual se enfoca la atención, es una aseveración sobre el mismo parámetro poblacional que se utiliza en la hipótesis nula. Generalmente se especifica que el parámetro poblacional tiene un valor diferente de alguna manera, al establecido en la hipótesis nula. El rechazo de la hipótesis nula implicará la "aceptación" de la hipótesis alterna. 3. Estadístico de prueba.- Variable aleatoria utilizada para tomar la decisión "no se rechaza H 0 " o bien "se rechaza H 0 ". 4. Región de rechazo.-conjunto de valores de la estadística de prueba que causan el rechazo de la hipótesis nula. 48

49 4.3 Prueba de hipótesis bilaterales y unilaterales ˆ Si se plantea la hipótesis nula de la forma, donde es el parámetro de interés y es el valor que se supone tiene el parámetro, entonces la hipótesis alterna puede plantearse de acuerdo a alguna de las tres opciones siguientes: H1 H2 H3 ˆ ˆ ˆ 49