x = 1 Asíntota vertical

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1 EJERCICIO Sea la función f ( ). a) Indique el dominio de definición de f, sus puntos de corte con los ejes, sus máimos mínimos, eisten, sus intervalos de crecimiento decrecimiento. b) Obtenga las ecuaciones de las asíntotas horizontales verticales de f, las tiene, represente la gráfica de la función. a) Domf { } Puntos de corte con los ejes: Con el eje X ( 0): 0 0 Con el eje Y ( 0): (0, ) (, 0) Para máimos mínimos, eisten, sus intervalos de crecimiento decrecimiento necetamos la derivada primera: ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) > 0, para todo del dominio de f f es creciente en todo su dominio. Por tanto, la función no tiene máimos ni mínimos. b) Asíntotas: lim f ( ) lim Asíntota vertical lim f ( ) lim lim Asíntota horizontal ±

2 EJERCICIO Sea la función f ( ) < a) Analice su continuidad su derivabilidad. b) Estudie la monotonía, determine sus etremos analice su curvatura. c) Represente la gráfica de la función. a) Continuidad: En (, ) (, ) es continua. Falta ver en : C.- f () lim f ( ) lim C.- lim ( ) f lim f ( ) lim( ) C.- f ()) lim f ( ). Luego f es continua en Derivabilidad: < ) > En (, ) (, ) es derivable. Falta ver en : f (). Luego es derivable en. f () b) 0 0 ) 0 0 (, 0) 0 (0, ) (, ) (, ) Signo de f Decr. Crec. Crec. Decr. En 0, Mínimo relativo: (0, 0) En, Máimo relativo: (, ) Curvatura: f ( ) se hace cero. <, que nunca > (, ) (, ) Signo de f Convea Cóncava c) En, Punto de infleión: (, ) -

3 EJERCICIO Sea la función f ( ) 6 9. a) Estudie la monotonía calcule los etremos relativos de f. b) Estudie la curvatura calcule el punto de infleión de f. c) Represente gráficamente la función. a) ) 9 ) Las soluciones de esta ecuación son,. Mínimo relativo: (, ) Máimo relativo: (, 0) b) f ( ) 6 f ( ) La solución de esta ecuación es. (, ) (, ) (, ) Signo de f Decr. Crec. Decr. (, ) (, ) Signo de f Convea Cóncava Punto de infleión: (, ) c)

4 EJERCICIO a) Halle la función derivada de la función f ( ) L mplifique el resultado. b) Obtenga las asíntotas de la función f ( ). c) Obtenga los intervalos de concavidad conveidad de la función f ( ). a) f ( ) ( ) ( ) b) Asíntota vertical: Asíntota horizontal: c) ) lim ± ( ) es AH ) 0 0. Las soluciones de esta ecuación son 0,. (, 0) 0 (0, ) (, ) Signo de f Crec. Decr. Crec. f ( ) 6 f ( ) La solución de esta ecuación es /. (, /) / (/, ) Signo de f Cóncava Convea Punto de infleión: (/, /)

5 5 EJERCICIO 5 Sea la función f ( ). a) Determine su dominio, los puntos de corte con los ejes, sus asíntotas, represéntela gráficamente. b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva f() en el punto de abscisa 0. a) Domf {} Puntos de corte con los ejes: Con el eje X ( 0): 0 0 Con el eje Y ( 0): (0, /) (/, 0) Asíntotas: lim f ( ) lim Asíntota vertical lim f ( ) lim lim Asíntota horizontal ± b) La ecuación de la recta tangente es: f ( a) a)( a) a 0 f ( 0) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 6 6 0) ( 0 ) Recta tangente en 0: ( 0)

6 6 EJERCICIO 6 a) Dada la función f ( ) a b, calcule a b para que la función tenga un etremo relativo en el punto (, ). b) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g ( ) L en el punto de abscisa. a) f ( ) a b ) a b La función pasa por (, ) f() Tiene un etremo relativo en (, ) f () 0 f ( ) a b a b a ) 0 a b 0 a b 0 b 8 b) La ecuación de la recta tangente es: f ( a) a)( a) a g( ) Ln g ( ) g ( ) Recta tangente en : ( ) EJERCICIO 7 9 Sea la función f ( ) 6 0 > a) Estudie su continuidad derivabilidad. b) Estudie su monotonía calcule sus etremos relativos. c) Represéntela gráficamente. a) Continuidad: Continua en (, ) (, ). Veamos en : lim f ( ) lim (9 ) 0 Es continua en, por lim f ( ) lim ( 6 0) tanto, en todo. Derivabillidad: Derivable en (, ) (, ). Veamos en : < ) 6 > f () 6 No es derivable en. f () 6 b) Puntos críticos: las soluciones de f () ) 0 6 0

7 7 (, 0) 0 (0, ) (, ) (, ) Signo de f Crec. Decr. Crec. Decr. Etremos relativos: (0, 9) Máimo (, ) Máimo (, 0) Mínimo (Pasa de creciente a decreciente es continua). c) EJERCICIO 8 La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epreón: T ( t) 0t 0t con 0 t. a) Represente gráficamente la función T determine la temperatura máima que alcanza la pieza. b) Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida hora? Volverá a tener esa misma temperatura en algún otro instante? b 0 a) Vértice: v 0 0 v 0. a 0 El vértice de la parábola es (, 0) t 0 Cortes con eje X: T ( t) 0 0t 0t 0 t

8 8 T(t) t La temperatura máima se alcanza en el vértice. Es 0ºC. También podemos obtenerlo usando las derivadas: T ( t) 0 0t 0 t. Como T ( ) 0 < 0, ha un máimo en (, 0). b) T () 0 0 0º C Volverá a tener esa temperatura en el punto métrico de, es decir, t, que está dentro del dominio. También podemos calcularlo: T ( t) 0º 0t 0t 0 0t 0t 0 0 t ± t 0 t 6 ± t t EJERCICIO 9 a) Halle los valores de a b para que la función f ( ) a b tenga un etremo relativo en el punto (, ). b) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva en su punto de infleión. a) ) a Etremo relativo en (, ) ) 0 ( ) a ( ) 0 a 0 a Como la función pasa por el punto (-, ) f ( ) ( ) ( ) b 8 b b b) Calculamos primero el punto de infleión: Punto de infleión: (0, ) 0 0 Recta tangente en 0: ( 0)

9 9 EJERCICIO 0 a) Calcule la ecuación de la recta tangente a en el punto de abscisa. b) En qué punto de la gráfica de la función f ( ), la recta tangente es paralela a 5? c) Sea g ( ) 8 a. Halle a para que el valor mínimo de g sea. a) La ecuación de la recta tangente es: ( a) ( a)( a) a ( ) ( ) ( ) ( ) Recta tangente en : ( ) b) Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. Como la pendiente de la recta tangente es la derivada, la derivada de f debe ser : ) 0 Luego ocurre en 0. c) En el mínimo la derivada es 0: g ( ) 8 g ( ) La coordenada del vértice es ; la coordenada debe ser : g() 8 a 8 6 a a EJERCICIO a) Estudie la continuidad derivabilidad de la función: f ( ) b) Calcule la derivada de g ( ) ( ) e. 7 > a) Continuidad: Continua en (, ) por ser un polinomio en (, ) por ser función racional (el denominador se anula en ). Veamos en : C.- f () 7 lim f ( ) lim( 7) C.- lim f ( ) lim f ( ) lim C.- f () lim f ( ). Luego f es continua también en. Derivabilidad: Derivable en (, ) por ser un polinomio en (, ) por ser función racional (el denominador se anula en ). Veamos en : < f () ) No es derivable en. > f () ( ) ( ) b) g ( ) e ( ) e e ( )

10 0 EJERCICIO Calcule las derivadas de las guientes funciones (no es necesario mplificar el resultado): a) f ( ) ( 5 ). b) g( ) ( ) L. c) h 5 ( ). i ( ) 6. d) ( ) ( ) ( ) a) ) (5 )(5 ) (5 )(5 ) b) g ( ) L 5 c) h ( ) 5 ln d) i ( ) ( 6) ( ) ( 6) ( ) EJERCICIO De una función f se sabe que su función derivada es ) 9 6. a) Estudie la monotonía la curvatura de f. b) Sabiendo que la gráfica de f pasa por (0, ), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto. a) Monotonía: ) ± (, ) (, ) (, ) Signo de f 9 ± 6 En máimo. En mínimo. Curvatura: f ( ) 6 9 f Crec. Decr. Crec. 9 ( ) (, /) / (/, ) Signo de f Cóncava Convea En / punto de infleión. b) Recta tangente en (0, ): 0) 6 Recta tangente en (0, ): 6( 0) 6

11 EJERCICIO Sea la función f ( ). a) Obtenga la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa. b) Halle su punto de infleión. c) Dibuje la gráfica de la función, estudiando previamente la monotonía los etremos relativos. a) ) 6 ) ( ) 6( ) 6 f ( ) ( ) ( ) Recta tangente en : ( ) b) f ( ) 6 6 f ( ) Punto de infleión: (, ) (, ) (, ) Signo de f Cóncava Convea c) f ( ) 6 ) ( 6) 0 (, ) (, 0) 0 (0, ) Signo de f 0 Máimo: (, ) Mínimo: (0, 0) Crec. Decr. Crec

12 EJERCICIO 5 a) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f definida de la forma f ( ) L( ) en el punto de abscisa. b) Deduzca razonadamente las asíntotas de la función g, definida de la forma g( ) c) Determine la poción de la gráfica de la función g respecto de sus asíntotas. a) ) ) f ( ) L( ) L() 0 Recta tangente en : ( ) b) Asíntotas verticales: hace 0 el denominador lim g( ) lim lim g( ) lim La recta es una asíntota vertical de g. Asíntotas horizontales: lim g( ) lim ± ± es una asíntota horizontal. c) lim g( ) lim g( ) - - lim g( ) lim g( )

13 EJERCICIO 6 < Sea la función f ( ) a) Estudie la continuidad la derivabilidad de f. b) Calcule sus asíntotas. c) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. a) Continuidad: es continua en (, ). / es continua en (, ) (el denominador se anula en 0). Veamos en : C.- f ( ) / lim f ( ) lim C.- lim f ( ) lim f ( ) lim C.- f () lim f ( ). Luego f es continua también en. Derivabilidad: Derivable en (, ) en (, ). Veamos en : ln < ) > f () ln No es derivable en. f () b) Asíntotas horizontales: lim f ( ) lim 0 0 es AH por la izquierda. lim f ( ) lim 0 0 es AH por la derecha. Luego 0 es asíntota horizontal. Asíntotas verticales no tiene (en 0 la función tiene la forma ). c) ) f ( ) Recta tangente en : ( )

14 EJERCICIO 7 El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por: f ( t) t t, t 7 a) Represente la gráfica de la función f. b) Para qué valor de t alcanza la empresa su beneficio máimo a cuánto asciende? Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo cuál es éste? a) b v 6 a Vértice: (6, 5) v Corte con eje Y (t 0): (0, ) (6 Cortes con eje T ( 0): t t 0 (6 f (t) 6 5, 5, 0) 0) 5 t b) t) t 0 t 6 Para t 6 se alcanza el beneficio máimo, que es 5 millones de. El beneficio mínimo se obtiene en t, es f ( ) millón de.

15 5 EJERCICIO 8 < 0 Sea la función f ( ) 0 a) Dibuje la gráfica de f estudie su monotonía. b) Calcule el punto de la curva en el que la pendiente de la recta tangente es. c) Estudie la curvatura de la función. a) lim f ( ) lim 0 0 lim f ( ) lim 0 0 Luego 0 es asíntota vertical. lim f ( ) lim 0 lim f ( ) lim 0 Luego 0 es asíntota horizontal f ( ) < 0 > 0 < 0 > 0 f f decreciente en (.0) creciente en (0, ) b) La pendiente de la recta tangente es la derivada de la función en ese punto:

16 ) ( f. En la función está definida de otra forma por lo que este valor de lo descartamos. Luego la solución es. c) > < 0 0 ) ( f Si < 0 0 < f es cóncava en (, 0) Si > 0 0 < f es cóncava en (0, ) EJERCICIO 9 Sea f la función definida por: < ) ( b a f. Determine los valores que deben tener a b para que f sea derivable. > < ) ( b a f Para que sea derivable en deben coincidir la derivada por la izquierda por la derecha: b a b b f a a f () () Si es derivable entonces también ha de ser continua: ) ( lim ) ( lim b a b a b f a f b a b a b a 6

17 7 EJERCICIO 0 a) Determine a b en la ecuación de la parábola a b 5 sabiendo que ésta tiene un máimo en el punto (, 9). b) Calcule las asíntotas de la función f ( ). a) Pasa por el punto (, 9) 9 a b 5 a b Tiene un máimo en (, 9) ( ) 0 a b ( ) a b 0 a b 0 Resolviendo el stema obtenemos los valores de a b: a b a a b 0 b b) Asíntotas verticales: hace 0 el denominador lim lim La recta es una asíntota vertical. Asíntotas horizontales: lim es una asíntota horizontal. ± EJERCICIO Halle ), g () h (0) para las funciones definidas de la guiente forma 6 f ( ) ; g ( ) ( 9) ; h ( ) L( ). ) ) 0 8 g ( ) ( 9) 6( 9) g () 6 ( 9) h ( ) h ( 0) 0 0

18 8 EJERCICIO El valor, en miles de euros, de las eistencias de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por la función f ( t) t 60t 5, t 8. a) Cuál será el valor de las eistencias para t? Y para t? b) Cuál es el valor máimo de las eistencias? En qué instante se alcanza? c) En qué instante el valor de las eistencias es de 85 miles de euros? a) f () f () b) t) 8t t) 0 8t 60 0 t 7,5 8 El valor máimo de las eistencias se alcanza a los 7,5 años. f (7,5) 7,5 60 7,5 5 0 El valor máimo de las eistencias es de c) f ( t) 85 t 60t 5 85 t 60t 00 0 t 5t ± ± 5 t 0 t t 5 Como t 0 está fuera del dominio de la función, la solución es t 5 años. EJERCICIO Sea la función f ( ). 8 > a) Estudie la continuidad la derivabilidad de esta función. b) Represéntela gráficamente e indique, a la vista de la gráfica, su monotonía sus etremos. a) Continuidad: Continua en (, ) por ser un polinomio en (, ) por ser también un polinomio. Veamos en : C.- f () lim f ( ) lim ( ) 0 C.- lim f ( ) 0 lim f ( ) lim ( 8) 8 0 C.- f () 0 lim f ( ). Luego f es continua también en. Derivabilidad: Derivable en (, ) por ser un polinomio en (, ) por ser también un polinomio. Veamos en : < f () ) No es derivable en. > f ()

19 9 b) 5 Monotonía: Creciente en: (, ) (, ) Decreciente en: (, ) Etremos: Máimo relativo: (, ) Mínimo relativo: (, 0) EJERCICIO 0 Sea la función f ( ). a > 0 a) Para a represente gráficamente la función f, e indique sus etremos relativos. b) Determine el valor de a para que la función f sea derivable. a) Para a f ( ) Se trata de dos parábolas 0 > 0 No tiene etremos relativos porque los vértices de cada una de las parábolas queda fuera de su campo de definición. b) f ( ) a < 0 > 0 f (0) 0 a f (0) 0 a

20 0 EJERCICIO 5 Sea la función f ( ). a) Determine su dominio, puntos de corte con los ejes, las asíntotas la monotonía. b) Represente gráficamente esta función. a) Domf { } Puntos de corte con los ejes: Con el eje X ( 0): 0 0 Con el eje Y ( 0): (0, /) (, 0) Asíntotas: lim f ( ) lim Asíntota vertical lim f ( ) lim lim Asíntota horizontal ± Monotonía: ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) > 0 en todo su dominio, luego f() es creciente en todo su dominio. b)

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