Cuaderno I: MOVIMIENTOS EN EL PLANO

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1 á Cuaderno I: MOVIMIENTOS EN EL PLANO

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3 á MOVIMIENTOS EN EL PLANO Las transformaciones geométricas ha sido una de las constantes de la mayoría de las culturas, presentándose en los elementos decorativos de las primeras vasijas de barro, en los tejidos y en los distintos adornos de todo tipo. La simetría se ha asociado frecuentemente con las ideas de equilibrio y armonía a lo largo de la Historia. En la actualidad, en pleno auge del diseño, basta observar los logotipos de las marcas, empresas o acontecimientos diversos para encontrar simetrías, reflexiones, traslaciones, giros, etc., es decir, transformaciones geométricas. Imagina que estás manipulando un mapa en un móvil con los dos dedos: Puedes desplazarte, girar el mapa, ampliarlo, reducirlo... pero el mapa siempre es básicamente el mismo. Estas manipulaciones son "transformaciones geométricas", porque mantienen las propiedades geométricas más básicas de los objetos: longitudes, ángulos, áreas, volúmenes, o la proporción entre las longitudes, la forma... Una transformación geométrica es una relación que a una figura F le hace corresponder otra F. La figura que se le hace corresponder se llama homóloga. Un elemento invariante o doble en una transformación es el que se corresponde consigo mismo. Aplicando a la pajarita F la simetría axial que tiene como eje la recta r, se obtiene la pajarita F, que se llama homóloga de F. También el punto A es el homólogo del punto A. La recta r es un elemento doble o invariante porque su homóloga es ella misma. Una isometría es una transformación que conserva las distancias y la amplitud de los ángulos. Se denomina isometría directa si conserva la orientación de los ángulos, y es inversa si la invierte. Las traslaciones y los giros en el plano son isometrías directas. Las simetrías axiales o respecto de una recta son isometrías inversas. misma amplitud. En la figura del margen observa que una flecha se transforma en la otra mediante la simetría de eje la recta punteada. Los ángulos formados tienen la misma amplitud, pero su orientación es distinta. Los que en una figura giran en el sentido de las agujas del reloj, en su homóloga tiene sentido contrario a las agujas del reloj, aunque mantienen la La isometría de la derecha es un giro de 180º, también conocida como simetría central. Observa que en ella las longitudes de los lados y la amplitud de los ángulos son iguales. Además, la orientación de los ángulos se mantiene también, ya que si observas el sentido de cualquiera de sus ángulos, puede comprobarse que su homólogo gira en el mismo sentido. á Movimientos en el plano 1

4 Si haces zoom en el móvil con los dos dedos en el mapa, las longitudes cambian, así que no es una isometría, pero el mapa sigue siendo el mismo: los ángulos y sus sentidos sí que se conservan, y las proporciones entre las medidas también (la calle que era el doble de larga que otra lo sigue siéndolo). Estos cambios de escala se denominan "semejanzas". Las figuras de la imagen son semejantes. Es el mismo pentágono sólo que ampliado. Se mantiene la misma proporción en todas las direcciones. Se mantiene la forma, pero no el mismo tamaño. A estas transformaciones las llamamos semejanzas, o si tienen una determinada posición: homotecias. Las homotecias tienen un centro de homotecia, O, y un punto A se transforma por una homotecia en el punto A que está en la recta OA, si se verifica que: OA = r OA donde r es un número llamado razón de homotecia. Aunque muchos autores utilizan la palabra movimientos para hablar de las isometrías únicamente, nosotros llamaremos movimiento en el plano a cualquiera de las transformaciones geométricas analizadas. de esta forma, podemos obtener el siguiente esquema: Traslaciones Mantienen las distancias y la amplitud de los ángulos Directas Inversas Giros Simetría central o respecto a un punto Simetría central No mantienen las distancias, aunque sí los ángulos y las proporciones Un vector es un segmento orientado que tiene su origen en el punto y su extremo en el punto. Las coordenadas del vector se obtienen hallando la diferencia entre las coordenadas del extremo y del origen : Dado un vector, podemos considerar las siguientes características: Módulo: Es la longitud del segmento que lo forma. Para calcularla utilizamos el teorema de Pitágoras: Dirección: Está determinada por la recta que lo contiene. Sentido: Está determinado por su orientación en la recta mediante la punta de la flecha. Si conocemos las coordenadas del punto origen y del punto final podemos calcular las coordenadas del vector. Observa el dibujo del margen y comprueba que si A (2, 3) y B (6, 5) las coordenadas del vector fijo son. á Movimientos en el plano 2

5 Podemos sumar vectores de dos maneras: a) Forma analítica: se suman componente a componente. b) Forma geométrica se dibuja el segundo vector de forma que su origen coincida con el extremo del primero. El vector suma se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del segundo. La suma de los vectores y es otro vector cuyas coordenadas son la suma de las coordenadas de ambos. Una traslación de vector es un movimiento directo que lleva cada punto a otro de forma que el vector tiene el mismo módulo, dirección y sentido que el. Las traslaciones de vector las denotaremos con la expresión. Ningún punto queda invariante en una traslación. El triángulo se transforma en el triángulo mediante la traslación de vector. La composición de dos traslaciones de vectores y es otra traslación de vector suma de los vectores: Dado el rectángulo R, la composición de las traslaciones de vectores y es la traslación de vector que lo transforma en R''. VECTORES Y TRASLACIONES 1. Dados el punto y el vector, determina el punto extremo del vector. á Movimientos en el plano 3

6 2. Representa gráficamente los vectores, y la suma de si. 3. Dadas estas parejas de puntos, calcula, en cada caso, las coordenadas del vector y halla su módulo: a) y b) y c) y 4. Dadas los vectores, y, realiza con ellos las siguientes operaciones: a) b) 5. Traslada sobre la cuadrícula la pajarita dibujada mediante el vector. 6. Calcula el vector que transforma el trapecio en su homólogo : á Movimientos en el plano 4

7 7. Halla el vector correspondiente a la composición de los vectores y y aplícalo al triángulo sobre la cuadrícula. Un giro o rotación de centro O y ángulo (amplitud) es un movimiento directo que a un punto le hace corresponder otro homólogo de forma que: Lo denotaremos. Un giro es positivo cuando va en sentido contrario de las agujas del reloj, y es negativo cuando va en el mismo sentido. El único punto que queda invariante por un giro es el centro de giro. Un giro de centro y ángulo transforma el punto en su homólogo : Dado el rectángulo definido por los puntos, su transformado por el giro de amplitud y centro es el rectángulo. Qué coordenadas tienen esos nuevos puntos? Observa que el único punto que ha quedado invariante en el giro ha sido el punto, centro del giro. á Movimientos en el plano 5

8 La composición de dos giros con mismo centro es otro giro de igual centro y amplitud la suma de los ángulos. Observando el giro de una figura se detecta que el centro está en la mediatriz del segmento que forma cada punto con su homólogo. Para calcular el centro del giro es suficiente con trazar dos mediatrices; su punto de corte es el centro buscado. El ángulo de giro será el formado por los puntos homólogos con vértice en. El centro del giro que transforma el trapecio ABCD en el A B C D es el punto de corte de las mediatrices de los segmentos y. El ángulo de giro es el formado por Un figura tiene centro de giro si al girarla respecto de un punto un ángulo determinado, se obtiene la misma figura. Un octógono regular tiene en su centro un centro de giro de ángulo 45º. Observa que el ángulo central de giro no es el mismo que el ángulo interior del polígono: La siguiente figura tiene en su centro un centro de giro de 90º: á Movimientos en el plano 6

9 Una simetría central de centro es un movimiento directo que a un punto le hace corresponder otro de forma que y además están en la misma recta. y están uno a cada lado del centro y a igual distancia de él. Es decir, una simetría central es lo mismo que un giro de centro y ángulo de. La denotamos como. Observa el transformado del triángulo al aplicarle una simetría central de centro el punto. Cada punto son simétricos de su correspondiente respecto al punto : Cuestiones: Cuál o cuáles serán los puntos invariantes por una simetría central? Qué ocurre con la composición de dos simetrías centrales de igual centro? Un figura tiene centro de simetría si al unir cada punto de la figura con el centro de simetría y prolongarlo se obtiene, a igual distancia, otro punto de la misma figura. Es decir, la simetría central transforma la figura en ella misma. Un rombo tiene como centro de simetría el punto donde se cortan sus diagonales: Sin tener en cuenta los colores, el antiguo logotipo de PEPSI tiene también un centro de simetría en el centro de la circunferencia: GIROS Y SIMETRÍA CENTRAL 1. Aplica un giro de 90º al rombo y una simetría central del cuadrado respecto de O: á Movimientos en el plano 7

10 2. Dibuja el homólogo del cuadrado de vértices en un giro de centro el origen de coordenadas y amplitud 120º. Qué coordenadas tienen los puntos homólogos? 3. Calcula el centro y el ángulo de giro que transforma la pajarita F en F': Una simetría axial de eje la recta r es un movimiento inverso que a un punto le hace corresponder otro de forma que la recta r es la mediatriz del segmento. Igualmente, para hallar el simétrico de un punto A respecto de una recta r, se traza una perpendicular a r por el punto A y se sitúa el punto A' a la misma distancia por el otro lado de la recta. La denotamos como. Los únicos puntos invariantes de una simetría axial son los del eje de smetría. Observa el transformado del triángulo al aplicarle una simetría axial de eje la recta t. Cada punto son simétricos de su correspondiente respecto a la recta: La composición de dos simetrías axiales de ejes paralelos es una traslación cuyo vector tiene por módulo el doble de la distancia que hay entre los dos ejes, dirección perpendicular a los ejes y sentido desde el primer eje al segundo. á Movimientos en el plano 8

11 Dado el triángulo T, la composición de las simetrías de ejes las rectas y es la traslación de vector. Observa que 14 es el doble de la distancia que hay entre los dos ejes, pues. La dirección es perpendicular a los ejes y el sentido va desde el primer eje al segundo. Un figura tiene eje de simetría si al reflejar cada punto a través del eje, su homólogo pertenece también a la figura. Esto supone que al doblar la figura por el eje de simetría, una parte y otra coinciden exactamente. El rombo tiene dos ejes de simetría que son sus diagonales: En la naturaleza y en muchos seres vivos, incluyendo el ser humano, existen infinidad de simetrías axiales y centrales: SIMETRÍA AXIAL 1. Dibuja la figura simétrica de la cometa y el rectángulo al aplicarles una simetría axial de eje r: 2. Dibuja tres figuras que tengan, al menos, dos ejes de simetría: á Movimientos en el plano 9

12 3. Dibuja la imagen del pentágono al aplicarle, sucesivamente, las simetrías respecto a los ejes y. Qué movimiento resulta? Explícalo y detalla sus características todo lo que puedas. 4. Dibuja la imagen de la figura al aplicarle una simetría respecto al eje. Luego, dibuja obtenida al transformar mediante la simetría de eje. Qué movimiento transforma en? Explícalo y detalla sus características todo lo que puedas. FIGURAS CON SIMETRÍAS 1. Completa una tabla como la inferior incluyendo los dibujos correspondientes con los elementos que indiques. Puedes realizarlos con Geogebra o mediante papel cuadriculado. En caso de no existir alguno, pon simplemente NO TIENE. El primero se te ofrece como ejemplo: TRIÁNGULO EQUILÁTERO NO TIENE TRIÁNGULO ISÓSCELES TRIÁNGULO ESCALENO CUADRADO RECTÁNGULO ROMBOIDE ROMBO TRAPECIO ISÓSCELES TRAPECIO ESCALENO POLÍGONO REGULAR CON NÚMERO PAR DE LADOS POLÍGONO REGULAR CON NÚMERO IMPAR DE LADOS CIRCUNFERENCIA ÁNGULO DE GIRO 120º 3 EJES DE SIMETRÍA á Movimientos en el plano 10

13 2. A continuación, realiza la misma actividad para los logotipos que se ofrecen a continuación. Recuerda que con Geogebra puedes insertar la imagen y trabajar sobre ella. El primero se te ofrece como ejemplo: NO TIENE ÁNGULO DE GIRO 180º 3. Busca tú otras tres figuras o logotipos diferentes de los anteriores y explica sus principales propiedades y elementos de simetría. á Movimientos en el plano 11

14 ACTIVIDADES Y PROBLEMAS FINALES CON GEOGEBRA 1. Dibuja un polígono cualquiera ABCDE y somételos, mediante Geogebra a los siguientes movimientos: a) Una traslación de vector asociado. b) Un giro siendo O un punto cualquiera del plano. Practica también al polígono inicial un giro, donde O es un punto diferente a O. Qué diferencia hay entre giros de ángulo positivo y negativo? c) Una simetría axial de eje cualquiera d) Una simetría central de centro cualquiera. 2. Qué propiedades se conservan al efectuar los movimientos anteriores (longitud, alineación, paralelismo o perpendicularidad, ángulo y área)? Vamos a practicar ahora con Geogebra la composición de movimientos; recuerda que para componer dos movimientos debes aplicar el primero de ellos al objeto inicial; obtendrás un transformado; a este transformado le aplicas el segundo movimiento y ya tienes el objeto final, resultado de la composición. 3. Empezaremos componiendo traslaciones. Dibuja un polígono ABCD (como tú quieras, regular o no, convexo o cóncavo, con el número de lados que prefieras) y somételo a dos traslaciones sucesivas, de vectores asociados y. Cuál es el movimiento resultante? Cómo queda caracterizado? Varía la cosa si aplicamos primero la traslación de vector y a continuación la de vector? 4. Composición de giros: dibuja otro polígono y aplícale ahora dos giros sucesivos del mismo centro O y diferente amplitud, por ejemplo y. Cuál es el movimiento resultante? Cómo queda caracterizado? Se cumple aquí la propiedad conmutativa? 5. Composición de dos simetrías centrales: sigue el mismo esquema que en los ejercicios anteriores y contesta a las mismas preguntas para dos simetrías de centros diferentes, y. Comprueba la conmutatividad (o la no conmutatividad) en la composición de simetrías centrales. 6. Idem para dos simetrías axiales de ejes paralelos y Se verifica la propiedad conmutativa? 7. Como el ejercicio anterior pero con ejes que formen entre sí un ángulo de 60º. 8. Pasemos a componer isometrías de distinto tipo: empezamos componiendo un giro con una simetría axial de eje. Dibuja un polígono cualquiera y aplícale: a) Primero el giro y luego la simetría. Podrías pasar directamente del polígono inicial al final mediante uno solo de los movimientos estudiados? En caso afirmativo, cuál? b) Aplica ahora primero la simetría y luego el giro. Obtienes el mismo resultado que en a)? Se cumple, por tanto, la propiedad conmutativa en la composición de un giro con una simetría axial? 9. Vamos a componer ahora un giro con una traslación de vector asociado. Se verifica aquí la propiedad conmutativa? 10. Tras componer isometrías vamos ahora a descomponerlas. Empezaremos con una traslación de vector. Estudiaste en el ejercicio 6 la composición de dos simetrías axiales de ejes paralelos. Comprobaste que el movimiento resultante en esta composición es una traslación cuyo vector asociado "mide" dos veces la distancia entre ejes y además es perpendicular a ambos. Serías capaz de encontrar una composición de simetrías axiales que te dé como resultado la traslación? Hazlo con Geogebra, sobre un polígono cualquiera ABCDE, y comprueba que esta descomposición no es única. 11. En el ejercicio 7 viste que cuando compones dos simetrías axiales cuyos ejes forman entre sí un ángulo, el movimiento resultante es un giro, siendo el punto de intersección entre los dos ejes. Vayamos en sentido contrario: descompón un giro en el producto de dos simetrías axiales. Emplea como figura inicial un polígono cualquiera ABCDE. Es única la descomposición? á Movimientos en el plano 12