A N A L E S Tercera Época Número 14 Año 2008

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1 ANALES Tercera Época Número 4 Año 008

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3 EDITORIAL El presene número de Anales del IAE, incluye 8 colaboraciones de auores esudiosos de la Ciencia Acuarial y Financiera. Un problema que se presena habiualmene en la prácica acuarial es el de ajusar las disribuciones básicas del número de siniesros y del cose individual del siniesro a parir de los correspondienes daos empíricos. El arículo La disribución binomial-eponencial runcada con aplicaciones en el secor del seguro de Auomóviles, de los profesores, Emilio Gómez y José Mª Sarabia, raa de dar una solución prácica a ese problema en el primer caso, supueso en el que las disribuciones discreas más conocidas Binomial; Poisson; Binomial Negaiva; geomérica; hipergeomérica...) no superan, generalmene, el es clásico de la X de Pearson. Los auores obienen la disribución del número de siniesros en el seguro de auos ponderando el parámero p de la binomial por la disribución eponencial runcada en el inervalo 0,), es decir, mediane el modelo binomialeponencial runcada. El rabajo Risk level upper bounds wih general risk funcions, de los profesores Alejandro Balbás, Beariz Balbás y Anonio Heras, analiza un problema de gran acualidad consisene en la obención de coas superiores del nivel de riesgo en banca, seguros, reaseguro, ec., a parir de funciones de riesgo definidas de forma muy general y mediane la aplicación de écnicas de opimización lineal de dimensión infinia, a fin de minimizar el riesgo. Una aplicación significaiva consise en epresar las ciadas coas superiores en érminos de capiales mínimos, o de requerimienos de capial, para disinos niveles de solvencia. El arículo concluye resolviendo un problema financiero hedging ópimo) y un problema de seguros reaseguro ópimo). En el arículo Seguro de fallecimieno con anicipación parcial de la presación por dependencia de los profesores Anonio Alegre, M.A. Pons, F.J. Sarrasi y J. Varea, se planea y resuelve un problema asociado al seguro de fallecimieno consisene en anicipar la presación en caso de que el asegurado devenga dependiene o se agrave una siuación previa de dependencia. Los auores abordan el cálculo de primas y reservas maemáicas en disinos supuesos - persona auónoma sin carencia y con carencia; persona dependiene moderada; persona dependiene severa- e incluyen un ineresane análisis comparaivo con el seguro de fallecimieno radicional, odo ello, ilusrado con ejemplos numéricos. Una versión preliminar de ese rabajo no publicada, obuvo recienemene el premio Muua Pelayo del área emáica Previsión Socioeconómica. En cuano al rabajo de los profesores Crisina Lozano y José Luís Vilar, La disribución de Pareo ponderada por la familia inversa gaussiana generalizada. Aplicación a la modelización de los grandes siniesros, consiuye una coninuación por pare de esos invesigadores del esudio de las disribuciones de probabilidad de Pareo, ponderadas por disribuciones de la familia IGG con objeo de modelizar grandes siniesros, invesigación en la que esán consiguiendo imporanes logros. Los resulados del arículo se basan en la obención de disribuciones de cola supergruesa, como es la log-pareo, si bien para calcular sus principales momenos se consideran las disribuciones del parámero de Pareo como disribución inversa gaussiana generalizada runcada que, a su vez, queda demosrado

4 perenece a la familia de Pareo conjugada. Las valores numéricos calculados se comparan con los obenidos omando como único valor de la media de la disribución a poseriori. Diseño de sisemas bonus-malus. Transparencia del sisema, original de los profesores José Anonio Gil, Anonio Heras y José Luís Vilar, recoge mediane écnicas de opimización lineal el diseño de SBM que cumplan propiedades fundamenales como la equidad, suficiencia écnica, eficiencia y ransparencia. En concreo, ese arículo aborda de forma eplícia la propiedad de ransparencia, aspeco de gran relevancia eórico-prácica, pero sólo recienemene esudiado en profundidad en la lieraura acuarial. Los auores incluyen una serie de ejemplos numéricos donde se analizan las posibilidades que brinda la programación por meas en el esablecimieno de SBM y se raa el problema de ransparencia, es decir que la carera asegurada no sufra incremenos de primas no previsos derivados de la necesidad por pare del asegurador de manener el equilibrio écnico del sisema. Los profesores Juan Escuder, Robero Escuder, José Manuel Pavía y Monserra Guillén abordan un aspeco esencial en la elaboración de ablas de moralidad y supervivencia, consisene en lograr que los anos bruos de moralidad reflejen adecuadamene la realidad. El rabajo Deerminación de los anos bruos de moralidad es úil en la consrucción de ablas generales considerando poblaciones abieras e incluyendo, por ano, movimienos migraorios alas y bajas). Desaca, en consecuencia, por combinar el rigor eórico con la operaividad de sus posibles aplicaciones prácicas. La coberura de dependencia es ambién objeo del arículo de los profesores Eduardo Sánchez; Juan Manuel López y Sonia de Paz, en ese caso mediane el análisis de la moralidad específica de la población dependiene. Con el íulo La corrección de los anos de moralidad de los dependienes: Una aplicación al caso español, el arículo aborda la esimación de los anos de moralidad o de supervivencia asociados a población dependiene, a parir de ablas acuariales ordinarias. Se esudia, en primer érmino, la corrección adiiva para pasar a coninuación a la corrección de carácer muliplicaivo. Finalmene, la corrección mia supone aplicar lo que los auores denominan fórmula de Rickayzen-Walsh modificada, la cual presena venajas comparaivas frene a la fórmula original, lo que supone un imporane valor añadido a esa invesigación. El arículo Esimación de los pasivos de seguros de vida con paricipación en beneficios mediane árboles recombinanes de los docores Emiliano Pozuelo y Fernando Ricoe presena modelos esocásicos que surgen en el análisis de la esrucura emporal de los ipos de inerés. Su principal objeivo es la valoración de pólizas de seguros de vida con paricipación en beneficios y son modelos que consideran simuláneamene el riesgo de moralidad sisemáico y el riesgo de ano inerés. Una aplicación prácica a ese respeco incluye el ajuse del modelo Lee-Carer 99) a ablas de moralidad de una región española Andalucía). Finalmene, quiero agradecer a odos los auores su colaboración en ese número y animar a los acuarios y demás profesionales vinculados al área financiero-acuarial, que envíen originales de carácer académico y/o profesional. Jesús Vegas Direcor

5 LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL-EXPONENCIAL TRUNCADA CON APLICACIONES EN EL SECTOR DEL SEGURO DE AUTOMÓVILES Emilio Gómez-Déniz y José María Sarabia Absrac In his paper we presen a new claim coun disribuion wih overdispersion. The new disribuion is obained by miing he p parameer in he binomial disribuion wih a 0,) runcaed eponenial disribuion. The new disribuion can be considered as an alernaive o he classical Poisson, binomial and geomeric disribuions. Some properies of he new disribuion and some applicaions in he field of auomobile insurance are given, by fiing empirical claim daa and obaining bonus-malus premiums. Key words: Miure disribuions, Bonus-malus Sysems, Binomial disribuion, Truncaed Eponenial Disribuion, Confluen Hypergeomeric Funcion, Insurance. Resumen En ese rabajo se presena una nueva disribución de coneo que puede presenar sobredispersión. La disribución se obiene como mezcla del parámerro p de la disribución binomial con la disribución eponencial runcada en el inervalo 0,). La nueva disribución puede considerarse una alernaiva a las disribuciones clásicas de Poisson, binomial y geomérica. Se muesran algunas propiedades de esa nueva disribución, así como aplicaciones en el ramo de seguro de auomóviles mediane el ajuse de daos empíricos de reclamaciones y cálculo de primas bonus-malus. Palabras Clave: Mezcla de disribuciones, Sisemas Bonus-Malus, Disribución Binomial, Disribución Eponencial Truncada, Función Confluene Hipergeomérica, Seguro. Deparameno de Méodos Cuaniaivos en Economía y Gesión. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, 3507-Las Palmas de Gran Canaria, España. Deparameno de Economía. Universidad de Canabria, Avda. de los Casros s/n, Sanander, España. 3

6 La disribución binomial-eponencial runcada con aplicaciones en el secor Inroducción Las disribuciones de coneo aparecen de manera naural en diversos problemas prácicos en el mundo de los seguros. En el ramo de seguro de auomóviles aparecen como el número de reclamaciones en una carera de seguros. Tradicionalmene los modelos de esa nauraleza se comienzan modelando por medio de la disribución clásica de Poisson. Sin embargo, ese modelo generalmene infraesima la varianza de los daos debido a la presencia de sobredispersión varianza mayor que la media). De ahí que se propongan oros modelos que sean capaces de recoger ese fenómeno. Tomando como puno de parida la disribución de Poisson, numerosos auores han propueso alernaivas a la misma mezclando dicha disribución con alguna ora. En ese senido desacamos los modelos Poisson-gamma Lemaire, 979, 985, 995) que genera la disribución binomial negaiva; la disribución Poisson-lognormal Aichison y Ho, 989); la disribución Poisson-inversa Gaussiana Tremblay, 99 y Willmo, 987); la disribución Poisson-bea Gurland, 958; Kai, 966 y Sarabia y Gómez-Déniz, 007); la disribución Poisson-uniforme Bhaacharya y Holla, 965); la disribución Poisson-gamma-gamma Gómez-Déniz e al., 008b) y la disribución Poisson-gamma general basada en especificación condicional Sarabia e al., 004); enre oros. Una revisión deallada sobre los disinos modelos basados en mezclas de disribuciones pariendo de la disribución de Poisson aparece en Karlis y Xekalaki 005) y con aplicaciones en esadísica acuarial en Willmo 993). Eisen oros modelos consruídos mediane mezclas de disribuciones que oman como puno de parida oras disribuciones discreas disinas de la disribución de Poisson. Algunos modelos imporanes son: la disribución binomial-bea Griffihs, 973); la disribución binomial-gamma Alanko y Duffy, 996); la disribución binomial-inversa Gaussiana Alanko y Duffy, 996); la disribución binomial negaiva-inversa Gaussiana Gómez-Déniz e al., 008a) y la disribución binomial negaiva-pareo disribución binomial negaiva-bea, Meng e al., 999); enre oros. Una de las venajas de esas nuevas disribuciones de probabilidad obenidas mediane mezclas es que las disribuciones obenidas suelen ser sobredispersas y con colas más largas que la disribución de parida por lo que dan lugar a mejores ajuses para disribuciones empíricas de frecuencias. Diferenes propiedades sobre mezclas de disribuciones y su uso en diferenes disciplinas pueden ser consuladas ambién en Gómez-Déniz y Sarabia 007), 4

7 Emilio Gómez-Déniz y José María Sarabia Johnson e al 005), Klugman e al. 998), Sarabia e al. 004) y Willmo 987). Basándose en el proceso de mezclas de disribuciones de probabilidad, en ese rabajo se presena una nueva disribución de probabilidad discrea cuya función de cuanía aparecerá epresada en érminos de la función confluene hipergeomérica y que depende de dos parámeros. Esa disribución puede ser uilizada como una alernaiva a las disribuciones clásicas de Poisson, binomial y geomérica. La nueva disribución se obiene mezclando la disribución binomial clásica con la disribución eponencial runcada en 0,) Bain y Weeks, 964 y Gómez-Déniz y Sarabia, 007). El rabajo esá organizado del siguiene modo. La Sección presena las disribuciones binomial clásica y la disribución eponencial runcada, así como algunas de sus propiedades. En la Sección 3 se consruye la disribución binomial-eponencial runcada. Se obiene la función de cuanía así como las principales caracerísicas incluyendo la media y la varianza y se prueba su carácer unimodal. En la Sección 4 se presenan los méodos de esimación de momenos y de máima verosimiliud. La Sección 5 esá dedicada a esudiar el modelo Bayesiano binomial-eponencial runcada en 0,). Se calcula la disribución a poseriori para el modelo binomial-eponencial runcada en 0,), las primas neas de riesgo, coleciva y Bayes, así como la prima nea bonus-malus bajo el modelo considerado. Diferenes aplicaciones a careras de seguros que aparecen en numerosas ocasiones en la lieraura acuarial son presenadas en la Sección 6. Finalmene, en la Sección 7 se muesran las conclusiones del rabajo. Las disribuciones binomial y eponencial runcada Con objeo de hacer ese rabajo auoconenido se presenan a coninuación las disribuciones binomial clásica y eponencial runcada, así como algunas caracerísicas de las mismas que serán de uilidad más adelane.. La disribución binomial La disribución binomial permie obener la probabilidad del número de éios en una secuencia de n eperimenos independienes, con una probabilidad consane p de ocurrencia de éio en cada eperimeno. Si la variable aleaoria X sigue una disribución binomial, su función de masa de probabilidad esá dada por 5

8 La disribución binomial-eponencial runcada con aplicaciones en el secor n n f ; p) = p p), 0 < p <, = 0,,, n, ) donde p es el parámero a esimar y supondremos a lo largo de la invesigación que n es conocido. Represenaremos X B n, p) para indicar que X sigue la disribución binomial en ). La función generariz de probabilidad viene dada por y la media y la varianza son G X s) = E X ; p) Var X ; p) n p s ), = = np, np p), respecivamene. Finalmene, los momenos facoriales ver Balakrishnan y Nevzorov, 003) vienen dados por: k [ k ] X ) = E[ X X ) X k )] = n n ) n k ) p, ) con k =,,. La disribución eponencial runcada La función de densidad de probabilidad de la disribución eponencial runcada en el inervalo 0,) viene dada por e f ; ) =, > 0, 0 < <. e 3) Represenaremos X ET ) para indicar que X sigue la disribución eponencial runcada en 3). Pueso que f ' ) < 0, > 0, se deduce que la disribución 3) es unimodal con moda en =0. La figura presena algunos gráficos de la función de densidad de la disribución eponencial runcada 3) para diferenes valores del parámero. 6

9 Emilio Gómez-Déniz y José María Sarabia.005 λ=0.005 λ= λ=0.5 λ= λ= λ= 8 6 λ=6 λ= Figura. Función de densidad de probabilidad de la disribución eponencial runcada 3) para diferenes valores del parámero Esa disribución ha sido propuesa recienemene por Gómez-Déniz y Sarabia 007) a parir de una mezcla una disribución de ipo poencial con la disribución Poisson runcada en cero. La media y el momeno de segundo orden son ver Gómez-Déniz y Sarabia, 007): E X ; ) E X ; ) = = e, e ) ) e e ) ). 7

10 La disribución binomial-eponencial runcada con aplicaciones en el secor Pueso que E X ; ) es una función decreciene en y lim 0 E X ; ) = 0 y lim E X ; ) = / se desprende que 0 < E X ; ) < /. 3 La disribución discrea binomial-eponencial runcada Se propone la siguiene definición de la disribución binomial-eponencial runcada en. 0,) Definición Se dice que una variable aleaoria discrea X sigue la disribución binomial-eponencial runcada si admie la siguiene represenación esocásica: X p B n, p) p ET ), 4)-5) donde 0 < p <, > 0 y n=,,... La nueva disribución será denoada por X BET, n) y suponemos que n es un parámero conocido. El siguiene resulado proporciona una epresión cerrada para su función de masa de probabilidad epresada en érminos de la función confluene hipergeomérica. Teorema Sea X BET, n) la disribución de probabilidad discrea definida en 4)-5). Su función de masa de probabilidad viene dada por: F, n, ) f ;, n) =, = 0,,, n, n > 0, > 0, n ) e ) 6) donde F a; c; ) represena la función confluene hipergeomérica ambién conocida como función de Kummer) definida como j a) j c) a ca z F a; c; ) = = ), 0,,, )! ) ) z z e dz c c j a c a 0 j=0 j 7) 8

11 Emilio Gómez-Déniz y José María Sarabia donde c > a > 0 y a) j = a a ) a j ) represena el símbolo de Pochhammer. Demosración: El resulado se obiene calculando la disribución incondicional de X mediane la siguiene fórmula: f ;, n) = = n p p) 0 n ) e ) n 0 e e d n ) n ) ) p ) p) n ) e d, de donde uilizando 7) se obiene el resulado. Haciendo uso del primer Teorema de Kummer Johnson e al., 005, p.4) la función de masa de probabilidad en 6) puede reescribirse como: F n, n, ) f ;, n) =, = 0,,, n, > 0. n e Oras propiedades de la función confluene hipergeomérica pueden consularse en Johnson e al. 005). Las probabilidades aneriores pueden obenerse de manera recursiva a parir de la relación: f ;, n) = F, n, ) F, n, ) f ;, n), = 0,,, n, donde F, n, ) f 0;, n) =. 8) n ) e ) A coninuación presenamos algunas propiedades de la nueva disribución. Teorema 3 Sea X BET, n). Se verifican las siguienes propiedades: El momeno facorial de orden k viene dado por 9

12 La disribución binomial-eponencial runcada con aplicaciones en el secor, ),! ) ) = )] ) [ = ), ; ] [ k k k k e k n n n k X X X E n X con y siendo la función gamma incomplea. =,, k d e z a a z = ), La media y la varianza vienen dadas por:. ) ) ) ) ) ) ) ) = ), ; 9), ) = ), ; e e n e e n e e n n n X Var e e n n X E Demosración: El momeno facorial se obiene de forma inmediaa eniendo en cuena el momeno facorial de la disribución binomial dado en ) y uilizando la esperanza condicionada. La varianza se obiene eniendo en cuena que el momeno facorial de orden dos es:. ) ) ) ) = ) ) = )) = ) [] e e n n p E n n X X E X Puede probarse empíricamene que la nueva disribución es infradispersa o sobredispersa dependiendo de los valores de n y. El siguiene resulado prueba que la función de masa de probabilidad 6) es unimodal. Teorema 4 La función de masa de probabilidad dada en 6) es unimodal. Demosración: A parir de 0

13 Emilio Gómez-Déniz y José María Sarabia n n = B, n, n n p p ) dp ) = 0 en la que B a, b) es la función bea, el resulado se desprende de forma inmediaa eniendo en cuena que la disribución eponencial runcada 3) es unimodal y haciendo uso del Teorema 3 en Al-Zaid 983). En la figura aparece represenada la función de probabilidad de la disribución binomial-eponencial runcada para diferenes valores de los parámeros n y. Como se aprecia en odos los casos, la moda esá en cero λ= λ= λ= λ= λ= λ=50 Figura. Función de probabilidad de la disribución binomial-eponencial runcada para diferenes valores de n y

14 La disribución binomial-eponencial runcada con aplicaciones en el secor 4 Esimación En esa Sección se proponen diversos méodos de esimación del parámero de la disribución binomial-eponencial runcada. Se presa especial aención al méodo de los momenos y al de máima verosimiliud. Se supone que el parámero n es conocido. Teniendo en cuena que en las disribuciones empíricas de frecuencias correspondienes a careras de seguros el valor más frecuene observado es el cero, un primer méodo que se propone es el basado en ese hecho. Para ello igualamos 8) a p0, siendo p0 la frecuencia relaiva de ceros. Por ano se necesiará resolver la ecuación n ) e ) p0 F, n, ) = 0. Para n fijo, la solución de la ecuación anerior en da lugar al esimador basado en la frecuencia de ceros. A coninuación se propone un esimador por el méodo de los momenos. 4. Esimador del parámero por el méodo de los momenos Si es la media muesral de los daos observados, el parámero puede esimarse fácilmene por el méodo de los momenos igualando la media muesral a la media poblacional dada en 9). Resula la ecuación n e ) e ) =. Pueso que el lado izquierdo de la ecuación anerior es una función decreciene en, siempre disponemos de solución única. La ecuación puede resolverse fácilmene mediane algún programa esándar que incorpore cálculo numérico. La figura 3 muesra el lado izquierdo de la ecuación anerior para algunos valores de n.

15 Emilio Gómez-Déniz y José María Sarabia Figura 3. Media de la disribución binomial-eponencial runcada como función de, para diferenes valores de. n 4. Esimador del parámero por máima verosimiliud Supongamos que disponemos de una muesra de amaño procedene de la población 6). El logarimo de la función de verosimiliud es: log log n ) log e ) log F i, n, ). 0) = i= Derivando 0) respeco a e igualando a cero obenemos la ecuación: ), 3, ) = = 0, d i F i n d e n ) F, n 3, ) i= i ) para lo que se ha enido en cuena ver Johnson e al., 005) que d d a F a, c, ) = F a, c, ). c La derivada segunda de la función de verosimiliud viene dada por, 3

16 La disribución binomial-eponencial runcada con aplicaciones en el secor d d = e i ) e ) F i n ) n 3) i= ) F F, n 3, ) F i, n 4, ). F i, n 3, ) i i i 3, n 4, ), n 3, ) La raíz cuadrada de la inversa de la epresión anerior cambiada de signo permie obener una esimación de la desviación esándar del esimador de máima verosimiliud. 5 Análisis Bayesiano Las propiedades que saisface la disribución binomial-eponencial runcada la hacen candidaa para ser uilizada en daos de seguros, en los que empíricamene esá probado que se manifiesa el fenómeno de la sobredispersión así como la ala presencia de ceros observados. En esa Sección se calculará la prima Bayes, para lo que se requiere de las primas de riesgo y coleciva y, por supueso, de la disribución a poseriori del parámero. Suponiendo que los daos provienen de la disribución binomial ) en la que se admie que el parámero p es desconocido y aleaorio, elegimos como disribución a priori del parámero p la disribución eponencial runcada en 0,) eso es: p e p) =, > 0, 0 < p <. e El siguiene resulado proporciona la disribución a poseriori del parámero p dada la información muesral. Teorema 5 Supongamos una muesra X = X, X,, X ), de amaño procedene de una disribución binomial, y una disribución a priori de ipo eponencial runcada. Enonces, la disribución a poseriori viene dada por, 4

17 Emilio Gómez-Déniz y José María Sarabia p X ) = X X n X ) p n ) p) p e. ) n X ) ) F n X ), n, ) ) Demosración: Haciendo uso del Teorema de Bayes, la disribución a poseriori es proporcional a: p X ) p X p) e n X ) p. Para la obención de la consane de normalización hacemos: p X ) = = 0 p p X X p) p) n X ) n X ) e e p p = dp p) p) X n X ) p n ) p) p e, X ) n X ) ) F n X ), n, ) 0 p p X X ) n X ) e p n X ) e p dp de donde se obiene el resulado. Si adopamos el principio de prima nea Lemaire, 979 y Gómez-Déniz e al., 00 y 003; Sarabia e al., 006; enre oros) como méodo de cálculo de prima ineresará obener las primas neas de riesgo, coleciva y Bayes que se muesran en el siguiene resulado. Proposición 6 Bajo el modelo binomial-eponencial runcada, las primas neas de riesgo, coleciva y Bayes vienen dadas por las epresiones, P P P R C B = = = np, n e e n X ) n, F X, n 3, ), F X, n, ) 3) 4) respecivamene. 5

18 La disribución binomial-eponencial runcada con aplicaciones en el secor Demosración: La prima de riesgo es P R = E X ), y por ano será la media de la disribución binomial. Ahora la prima de riesgo es P R = E E X ) que es como en 9). Finalmene la prima Bayes es la media a poseriori de la prima de riesgo. Por ano se calculará del siguiene modo. P B = = np p X ) dp 0 n n ) X ) n X ) ) F X, n, ) 0 p X p) n X ) e p dp, y después de algunos cálculos se obiene el resulado. Resula bien conocido que un sisema de arificación bonus-malus es un méodo en el que la prima inicial se va modelando a medida que se incorpora la eperiencia de siniesralidad. Eisen diversas meodologías desarrolladas para consruir un sisema de esa nauraleza: méodos Bayesianos, méodos markovianos y méodos basados en programación maemáica. El lecor ineresado en profundizar acerca de las diferenes meodologías para consruir un sisema de arificación bonus-malus puede consular a Lemaire 985, 995) y Sarabia e al. 006). En ese rabajo adoparemos la meodología Bayesiana. Bajo ese procedimieno la prima se consruye como la relación enre la prima Bayes y la prima coleciva calculadas ambas bajo el mismo principio de cálculo de prima. Escribiendo X = k, enemos que la prima nea bonus-malus bajo el modelo binomial-eponencial runcada en 0,) será igual a 4) enre 3), de donde: e k ) F k, n 3, ). P BM = 5) e n F k, n, ) De ese modo se asegura que pariendo de un nivel neuro P BM = ), si el asegurado no eperimena reclamación la prima a pagar se verá reducida en el siguiene período. Por el conrario, si el asegurado eperimena reclamación se verá penalizado mediane un incremeno en la prima a pagar. 6

19 Emilio Gómez-Déniz y José María Sarabia 6 Aplicaciones numéricas Presenamos en esa Sección algunas aplicaciones del modelo binomial-eponencial runcada. En paricular, se presará aención, primero al ajuse de daos de seguros de disribuciones de frecuencias de reclamaciones, y en segundo lugar, al cálculo de primas neas bonus-malus para dichos daos. La aplicación preende ser únicamene ilusraiva y no presenaremos comparaciones con oros modelos eisenes en la lieraua. Se ajusará el nuevo modelo propueso y se obendrán las correspondienes medidas de bondad de ajuse. Hemos seleccionado res conjunos de daos, correspondienes a las siguienes careras de seguros: Bélgica ), que aparece en Denui 997); Gómez-Déniz e al., 008b); Kesemon y Paris 985); Klugman e al. 998); Lemaire 979), 985), 995); Meng e al. 999); Sarabia e al. 006) y Willmo 987) enre oros. Alemania 960), que aparece en Denui 997); Gómez-Déniz e al. 008b); Kokonendji y Khoudar 004); Willmo 987) enre oros. Bélgica 993), que aparece en Denui 997). Se han ajusado dichos daos mediane la disribución discrea binomial-eponencial runcada en 0,) que aparece en 6) uilizando el méodo de máima verosimiliud. Para ello se ha hecho uso de la ecuación ) que permie esimar el valor del parámero y se ha comprobado que la solución corresponde a un máimo. Los valores observados y predichos bajo el nuevo modelo aparecen en las Tablas, y 3. Número de Reclamaciones Observadas Ajusadas Tabla. Ajuse de daos sobre reclamaciones en la carera de seguros correspondiene a Bélgica,

20 La disribución binomial-eponencial runcada con aplicaciones en el secor Número de Reclamaciones Observadas Ajusadas Tabla. Ajuse de daos sobre reclamaciones en la carera de seguros correspondiene a Alemania, 960 Número de Reclamaciones Observadas Ajusadas Tabla 3. Ajuse de daos sobre reclamaciones en la carera de seguros correspondiene a Bélgica, 993 La Tabla 4 muesra enre oros daos de inerés, el esimador de máima verosimiliud del parámero, el valor del esadísico, el logarimo de la función de verosimiliud. Como se aprecia, el modelo ajusa correcamene los daos. Merece desacarse que el ajuse resula saisfacorio eniendo en cuena que únicamene se ha ajusado un solo parámero. De hecho el modelo propueso supera a la disribución de Poisson en bondad de ajuse. Tabla 3 ˆ s g.l. p -valor 49.65%.08% 0.% Lma Tabla 4. Resumen 8

21 Emilio Gómez-Déniz y José María Sarabia Finalmene, para los daos aneriores y uilizando el valor esimado del parámero para cada uno de los conjunos de daos, se han calculado de acuerdo a la epresión 5) las primas bonus-malus. Esas aparecen en las Tablas 5, 6 y 7. k Tabla 5. Primas neas bonus-malus. Bélgica, k Tabla 6. Primas neas bonus-malus. Alemania, 960 k Tabla 7. Primas neas bonus-malus. Bélgica, Conclusiones En ese rabajo se ha obenido una nueva disribución de coneo, que puede presenarse como alernaiva a las disribuciones clásicas de Poisson, binomial y geomérica. La nueva disribución es unimodal, con moda en cero, sobredipersa o infradispersa, y no presena dificulad para la esimación del parámero de la que depende. Esas propiedades la hacen candidaa, como aquí se ha mosrado en diversos ejemplos, para ser uilizada en daos de 9

22 La disribución binomial-eponencial runcada con aplicaciones en el secor seguros, en los que empíricamene esá probado que se manifiesa el fenómeno de la sobredispersión así como la ala presencia de ceros observados. Agradecimienos Los auores agradecen al Miniserio de Educación y Ciencia proyecos SEJ EGD) y SEJ JMS)) por la financiación parcial de ese rabajo. Referencias - Aichison, J., Ho, C.H. 989). The mulivariae Poisson-Log normal disribuion. Biomerika, 76, Alanko, T., Duffy, J.C. 996). Compound binomial disribuion for modelling consumpion daa. The Saisician, 45, Al-Zaid, A.A. 983). On he unimodaliy of miures. Pakisan Journal of Saisics, 5, Bain, L.J., Weeks, D.L. 964). A Noe on he Truncaed Eponenial Disribuion. The Annals of Mahemaical Saisics, 35, Balakrishnan, N., Nevzorov, V. 003). A primer on saisical disribuions. John Wiley and Sons, New York. - Bhaacharya, S.K., Holla, M.S. 965). On a Discree Disribuion wih Special Reference o he Theory of Acciden Proneness. Journal of he American Saisical Associaion, 60, 3, Denui, M. 997). A new disribuion of Poisson-ype for he number of claims. Asin Bullein, 7, Gómez-Déniz, E., Hernández, A., Pérez, J.M., Vázquez, F. 00). Measuring Sensiiviy in a Bonus-Malus Sysem. Insurance: Mahemaics and Economics, 3, Gómez-Déniz, E., Sarabia, J.M. 007). Soluciones eplícias para la función de probabilidad de ruina en el modelo clásico de riesgo. En: Invesigaciones en Seguros y Gesión de Riesgos: RIESGO 007, Gómez-Déniz, E., Sarabia, J.M., Calderín-Ojeda, E. 008a). Univariae and mulivariae versions of he negaive binomial-inverse Gaussian disribuions wih applicaions. Insurance, Mahemaics and Economics, 4, Gómez-Déniz, E., Sarabia, J.M., Pérez, J.M., Vázquez, F. 008b). Using a Bayesian hierarchical model for fiing auomobile claim frequency daa. Communicaions in Saisics: Theory and Mehods, 37, Gómez-Déniz, E., Vázquez, F. 003). Robusness in Bayesian Model for 0

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