Graficación. Representación Explicita. Representación Paramétrica. Representación Implícita. Representación de curvas

Transcripción

1 Graficación Como modelar y/o representar objetos reales? Problema: No hay un modelo matemático del objeto Solución: Realizar una aproximación por pedazos de: Planos, esferas, otras formas simples de modelar Se intenta que los puntos del modelo sean lo más cercano a los puntos del objeto real. 2 3 Hay tres formas de representar los objetos: Explícitamente : y = f(x) Implícitamente: f(x, y) = 0 Paramétricamente: x = x(t) y = y(t) 4 Representación Explicita En 2D, una curva será representada por y = f(x) Una línea: y = ax + b La mitad de un círculo: y = sqrt(r 2 x 2 ) En 3D, para representar una curva se requieren dos ecuaciones: y = f(x), z = g(x) Una superficie será: z = f(x, y) Representación Implícita En 2D, una curva será representada por f(x, y) = 0 # f es evaluada en el par (x, y) Una línea: ax + by + c = 0 Un círculo: x 2 + y 2 r 2 = 0 En 3D, una superficie se describe por f(x, y, z) = 0 Una esfera: x 2 + y 2 + z 2 r 2 = 0 Una curva corresponde a la intersección de dos superficies: f(x, y, z) = 0 y g(x, y, z) = 0 5 Obs: el punto (x, y, z) debe pertenecer a ambas superficies 6 El valor de cada variable espacial se expresa en términos de una variable independiente (t), llamada parámetro En 2D, una curva implícita es descrita como: [ x(t) y(t) ] T, con t <= t <= t2 La derivada representa la tangente a la curva y es perpendicular la la normal del punto dp(t)/dt = [ x(t) y(t) ] T Frecuente se normaliza de modo que: t = 0 y t2 =

2 : Una superficie paramétrica requiere dos parámetros: y = x(u,v) y = y(u,v) z = z(u,v) Donde la representación matricial es: x = cos α 0 <= α <= π/2 y = sin α 7 x = t 2 + t 2 2t y = + t 2 0 <= t <= 8 p(u,v) = [ x(u,v), y(u,v), z(u,v)] T Obs: Los puntos de la superficie son generados por la variación de los parámetros u, v. 9 Curvas polinomiales paramétrica Consideremos la curva x(t) y(t) z(t) La curva paramétrica polimonial de grado n es: n t k B k k=0 Obs: Una curva paramétrica polimonial de grado n requiere n+ puntos de control k = 0...n 0 Spline En aplicaciones gráficas, una spline es: Un conjunto de curvas que se forman con secciones polinómicas Satisfacen condiciones de continuidad en las fronteras Se definen especificando los puntos de control Los puntos de control Establecen la forma general de la curva Forman las ecuaciones paramétricas polimoniales que definen la curva Dos casos: Interpolación Aproximación Splines: Interpolación Si la spline contiene todos los puntos de control se dice que la curva interpola los puntos. Splines: Aproximación Si la spline no contiene los puntos de control se dice que la curva aproxima los puntos. Este tipo de curva es usada en herramientas de diseño para estructurar superficies de objetos Punto de control Este tipo de spline es particularmente útil en procesos de digitalización de datos y especificación de trayectos para animación. 2 Punto de control 2

3 3 Una spline esta compuesta por varias partes de polinomios cúbicos. La suavidad de una spline puede especificarse imponiendo condiciones de continuidad entre secciones: C n exige que las derivadas de grado n de las secciones polinomiales coincida. Continuidad geométrica G n exige que la dirección y sentido de las derivadas de grado n coincida. Obs: La continuidad paramétrica normalmente es más fuerte que la geométrica, pero existen casos especiales en que Gn no implica Cn. 4 Continuidad de orden Cero C 0 : Las curvas se intersectan El punto final de una sección de la curva es idéntico a punto inicial de la siguiente sección de la curva Continuidad de Primer orden C : La primera derivada en paramétrica (tangente) en el punto de intersección es la misma para ambas secciones de curva Continuidad de Segundo Orden C 2 : La segunda derivada (curvatura) es el punto de intersección es la misma para ambas secciones de curva Naturalmente, la primera derivada es también la misma Continuidad de orden Cero C 0 : Continuidad de Primer Orden C : Continuidad de Segundo Orden C 2 : La magnitud puede no ser la misma Continuidad geométrica Continuidad de orden Cero G 0 : Las curvas se intersectan (Idem a C 0 ) El punto final de una sección de la curva es idéntico a punto inicial de la siguiente sección de la curva Continuidad de Primer Orden G : Las tangentes son proporcionales Continuidad de Segundo Orden G 2 : La primera y segunda derivada son proporcionales 5 6 Volviendo a la representación paramétrica : x(t) = a x t 3 + b x t 2 + c x t + d x y(t) = a y t 3 + b y t 2 + c y t + d y z(t) = a z t 3 + b z t 2 + c z t + d z donde, 0 <= t <= Polinomio de Bézier: n p k B k,n (t) 0 <= t <= k=0 Donde, p k corresponde a los puntos de control p k = (x k, y k, z k ) B k,n (t) = C(n, k) t k (-t) n-k y donde, C(n,k) representa los coeficientes binomiales: C(n, k) = n! k!(n-k)! 7 8 3

4 Utilizando cuatro puntos de control (P i ), el polinomio de Bézier es: s: P 0 ( t) 3 + P 3t( t) 2 + P 2 3t 2 ( t)+ P 3 t 3 p p2 p0 p2 p3 Este polinomio tiene una representación matricial: P(t) = TBP = t 3 t 2 t P 0 P P 2 P 3 p0 p3 p Varias curvas Bézier pueden ser unidas imponiendo alguna condición de continuidad El siguiente ejemplo satisface continuidad G Hermite: un segmento de curva polinomial cúbica Sus puntos de control corresponden a: los puntos extremos P 0 y P los vectores tangentes P 0 'y P ' Usando estos valores, se despejan las incógnitas B k de la ecuación paramétrica (normalizada) y se obtiene: P(t) = THP = t 3 t 2 t P 0 P P 0 P s: Varias curvas Hermite pueden ser unidas imponiendo alguna condición de continuidad. El siguiente ejemplo satisface continuidad G : 4

5 B-Splines Una spline cúbica natural interpola todos sus puntos de control pero, cualquier cambio en uno de ellos afecta la curva completa Son difíciles de manipular B-splines son curvas de aproximación No interpolan los puntos de control Permiten una manipulación local de la curva Requieren menos cálculos para la determinación de sus coeficientes B-splines cúbicas B-splines cúbicas aproximan una serie de m+ puntos de control P 0,..., P m ; m>=3 sobre una curva consistente de m-2 segmentos polinomiales cúbicos Q 3, Q 4,..., Q m Usaremos un parámetro t secuencial de manera que Q i está definida para t i En el caso de uniform nonrational B-splines los (puntos de unión entre Q i- y Q i ) están equispaciados sobre los intervalos de t es decir, t i+ - t i = constante Asumiremos que t i+ - t i =. Cada segmento Q i (t) queda definido por la ecuación: Qi(t) = T i M Bs G bsi t i donde, T i = (t t i ) 3 (t t i ) 2 (t t i ) Cada segmento Q i (t) queda definido por la ecuación: Qi(t) = T i M Bs G bsi t i M Bs = P i-3 P i-2 G Bsi = P i- P i 27 Q i y Q i+ satisfacen continuidad C 0, C y C 2 en el knot que los une (demostración propuesta). 28 P k3 Q3 k4 P2 Q4 P5 k7 Q7 k8 P6 Q6 P0 P3 k5 Q5 k6 P4 punto de control P7 29 5