Introducción a la Matemática Discreta

Transcripción

1 Introducción a la Matemática Discreta Aritmética Modular Luisa María Camacho Camacho Introd. a la Matemática Discreta 1 / 39

2 Introducción a la Matemática Discreta Temario Tema 1. Teoría de Conjuntos. Tema 2. Lógica proposicional y álgebras de Boole. Tema 3. Técnicas de contar. Tema 4. Recursión. Tema 5. Aritmética entera. Tema 6. Aritmética modular. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 2 / 39

3 Tema 6. Aritmética Modular Números congruentes módulo m. Clase de equivalencia módulo m. El conjunto Z m. Aritmética en Z m. Divisores de cero y números invertibles. División Z m : cálculo del inverso. Resolución de congruencias lineales. Solución particular y solución general. Resolución de sistemas de congruencias lineales: Teorema chino del resto. Teorema chino del resto generalizado. La función φ de Euler. Propiedades. Teorema de Euler. Test de primalidad: Test de Wilson. Test de pseudoprimalidad de Fermat. Números pseudoprimos y de Carmichael. Aplicaciones: Dígitos de Control. Sistema criptográfico RSA. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 3 / 39

4 Aritmética Modular. Resultados Previos. Aritmética Entera. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 4 / 39

5 Cómo averiguar si un número es divisible por 7 o por 11? Si contamos 100 días a partir de hoy en qué día de la semana caerá? Dígitos de control: NIF, Dígitos de control de las cuentas bancarias, ISBN de los libros...

6 Criptografía: RSA.

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8 Aritmética Modular. Números congruentes. Números congruentes Sean a, b y m enteros, diremos que a es congruente con b y lo denotaremos por a b (mod m) si a y b dan el mismo resto cuando se divide entre m. Ejemplos (mod 3) (mod 5) Propiedades Sean a, b y m números enteros, se tiene que: a b (mod m) a b (mod m) a b (mod m) m (a b) La congruencia a b (mod 1) siempre es cierta. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 8 / 39

9 Aritmética Modular. Números congruentes. Propiedades. Sean a, b, c, d y m números enteros, se tiene que: a b (mod m) = a c b c (mod m) a b (mod m) y c d (mod m) = a + c b + d (mod m) y a c b d (mod m) a b (mod m) y c d (mod m) = a c b d (mod m) a b (mod m) = a k b k (mod m) y k > 0 a b (mod m) y d m = a b (mod d) a c b c (mod m) y d = mcd(c, m) = a b (mod m d ) Si mcd(m, n) = 1, a b (mod m) y a b (mod n) a b (mod m n) Camacho Introd. a la Matemática Discreta 9 / 39

10 Aritmética Modular. Números congruentes. Relación de equivalencia. Sean a, b y m números enteros, se tiene que: a a (mod m) reflexiva. a b (mod m) b a (mod m) simétrica. a b (mod m) y b c (mod m) = a c (mod m) Camacho Introd. a la Matemática Discreta 10 / 39

11 Aritmética Modular. Clases de equivalencia. Clases de equivalencia En nuestro caso, cada elemento a Z define la clase de equivalencia: [a] m = {x Z : x a (mod m)} = {..., a 2n, a n, a, a + n, a + 2n,... } quedando Z dividido en m clases de equivalencia correspondientes a los posibles m restos de dividir un número cualquiera entre m : [0] m, [1] m, [2] m,..., [m 2] m, [m 1] m Ejemplos (mod 3) [9] 3 = [27] 3 = [0] (mod 5) [16] 5 = [21] 5 = [1] 5 Para m = 2 el conjunto Z queda dividido en las clases [0] y [1] que se corresponden con los números pares y los impares respectivamente. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 11 / 39

12 Aritmética Modular. El conjunto Z m. Enteros módulo m Para cada m 1, el conjunto de las m clases de equivalencia lo denotamos por Z m y se conoce como el conjunto de los enteros módulo m. Z m = {0, 1, 2,..., m 1} donde los elementos a Z m representan a sus respectivas clases de equivalencia módulo m. Los elementos de Z m son subconjuntos de Z. Z 2 = {0, 1} Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4} Camacho Introd. a la Matemática Discreta 12 / 39

13 Aritmética Modular. Aritmética en Z m. Clases de equivalencia En nuestro caso, cada elemento a Z define la clase de equivalencia: [a] m = {x Z : x a (mod m)} = {..., a 2n, a n, a, a + n, a + 2n,... } quedando Z dividido en m clases de equivalencia correspondientes a los posibles m restos de dividir un número cualquiera entre m : [0] m, [1] m, [2] m,..., [m 2] m, [m 1] m Enteros módulo m Para cada m 1, el conjunto de las m clases de equivalencia lo denotamos por Z m y se conoce como el conjunto de los enteros módulo m. Z m = {0, 1, 2,..., m 1} donde los elementos a Z m representan a sus respectivas clases de equivalencia módulo m. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 13 / 39

14 Aritmética Modular. Aritmética en Z m. Sean a, b Z. Definimos las siguientes operaciones: Operaciones [a] m + [b] m = [a + b] m [a] m [b] m = [a b] m [a] m [b] m = [a b] m Camacho Introd. a la Matemática Discreta 14 / 39

15 Aritmética Modular. Aritmética en Z m. Teorema Sean a, b y c números enteros. [a], [b] Z m [a + b], [a b] Z m [a] + ([b] + [c]) = ([a] + [b]) + [c], [a]([b][c]) = ([a][b])[c] [a] + [b] = [b] + [a], [a][b] = [b][a] Ejemplo [a]([b] + [c]) = [a][b] + [a][c] [0], [1] Z m, [x] + [0] = [0] + [x] = [x], [x] [1] = [1] [x] = [x] [a] Z m, [ a] Z m [a] + [ a] = [ a] + [a] = [0] En Z 7, tomamos 5 y = = 4. Por otro lado, como 8 = 1, 5 1 = 5. [a] [b] [a b ] Camacho Introd. a la Matemática Discreta 15 / 39

16 Aritmética Modular. Aritmética en Z m. Tablas de multiplicar: Z 5, Z 6, Z 7 : Z Z Z Camacho Introd. a la Matemática Discreta 16 / 39

17 Aritmética Modular. Divisores de cero. Divisores de cero Los divisores de cero son elementos no nulos (distintos del elemento neutro) tal que su producto por otro elemento no nulo da como resultado el elemento neutro. Teorema En Z m, los divisores de cero son precisamente aquellos elementos a (distinto del elemento neutro) que verifican que mcd(a, m) 1. Demostración d = mcd(a, m) a m d Corolario En Z p con p primo no hay divisores de cero. = a m = 0 (es múltiplo de m) a es un divisor de cero. d Camacho Introd. a la Matemática Discreta 17 / 39

18 Aritmética Modular. Números invertibles. Números invertibles Un elemento a es invertible módulo m si existe a en Z m tal que a a = 1. Diremos que a es el inverso de a en Z m y se denota a 1 = a. Teorema Un entero a es invertible módulo m si y sólo si mcd(a, m) = 1. Si a posee inverso, entonces éste es único. Demostración Existencia. d = mcd(a, m) 1. mcd(a, m) = 1 α, β Z tal que aα + mβ = 1 aα = 1 en Z m Unicidad. Corolario Si m primo, todos los elementos de Z m son invertibles, salvo el cero. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 18 / 39

19 Aritmética Modular. Cálculo del inverso. Cálculo del inverso. 1 Aplicamos el AEE para calcular mcd(a, m). Si mcd(a, m) 1 entonces a no es invertible. Si mcd(a, m) = 1 entonces se tiene la Identidad de Bezout: α a + β m = 1. 2 En Z m, α a = 1 lo que implica que α es el inverso de a módulo m. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 19 / 39

20 Aritmética Modular. Congruencias lineales. Congruencias lineales Una congruencia lineal es una ecuación lineal en Z m. Proposición. Sea d un divisor de a, de b y de m. Entonces ax b (mod m) a d x b d (mod m d ) Si a y m son primos entre sí y c es un divisor de a y de b, entonces ax b (mod m) a c x b c (mod m) Camacho Introd. a la Matemática Discreta 20 / 39

21 Aritmética Modular. Resolución. Problema. Sean a, b enteros y m entero positivo. Resolver la congruencia lineal ax b (mod m). Relación entre congruencia lineal y ecuación diofántica. ax b (mod m) m divide a ax b ax b = km ax km = b ax + my = b (ecuación diofántica) Tiene solución si y sólo si mcd(a, m) divide a b. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 21 / 39

22 Aritmética Modular. Resolución. Teorema Si a, b enteros y m entero positivo, la congruencia lineal ax b (mod m) tiene solución si y sólo si el máximo común divisor de a y m (d = mcd(a, m)) divide a b. En este caso, si x 0 es una solución particular, entonces todas las soluciones vienen dadas por: x x 0 + k m d (mod m); con k {0, 1, 2, 3,..., d 1} Encontrar la solución particular x 0. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 22 / 39

23 Aritmética Modular. Resolución. Resolver ax = b en Z m Caso 1 Si mcd(a, m) = 1 tenemos que ax b(mod m) tiene solución y ésta se calcula: ax b (mod m) a 1 ax a 1 b (mod m) x a 1 b (mod m) Solución En Z m, hay una única solución x = a 1 b. En Z, hay infinitas soluciones x = a 1 b + km con k Z. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 23 / 39

24 Aritmética Modular. Resolución. Resolver ax = b en Z m Caso 2 Si mcd(a, m) 1. Sea mcd(a, m) = d. Si d no divide a b. FIN. No hay solución. Si d divide a b. Seguiremos los siguientes pasos: Simplificamos la congruencia. Dividimos todo por d, a x b (mod m ). Calculamos mcd(a, b ) = c y simplificamos de nuevo la congruencia: a x b (mod m ) Estaríamos en la situación del Caso 1. Así, x (a ) 1 b (mod m ). Llamemos x 0 = (a ) 1 b. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 24 / 39

25 Aritmética Modular. Solución general. Hay tres formas de dar las soluciones: Módulo m. Habría una única solución que sería x x 0 (mod m ). Módulo m. Habría exactamente d soluciones, con d = mcd(a, m). Esas soluciones serían: x x 0 + i m d (mod m) con 0 i d 1. En Z, sería x = x 0 + km con k Z. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 25 / 39

26 Aritmética Modular. Sistemas de Congruencias. Sistema de congruencias lineales. Un sistema de congruencias lineales es un sistema de la forma a 1x b 1 (mod n 1) a 2x b 2 (mod n 2) (1) :. a k x b k (mod n k ) con n i enteros positivos y a i, b i enteros para 1 i k. Objetivo: Encontrar las soluciones del sistema (1). Camacho Introd. a la Matemática Discreta 26 / 39

27 Aritmética Modular. Teorema Chino del resto. Teorema Chino del resto. Sean n 1, n 2, n k enteros positivos primos entre sí. Dados enteros a 1, a 2,, a k existe una única solución del sistema: módulo n = n 1 n 2 n k. x a 1 mod n 1 x a 2 mod n 2. x a k mod n k Camacho Introd. a la Matemática Discreta 27 / 39

28 Aritmética Modular. Teorema chino del resto. Demostración: Existencia. Se comprueba que: es solución del sistema. x 0 = a 1c 1d 1 + a 2c 2d a k c k d k, c i = n 1 n 2 n i n k n i = n 1 n 2 n i 1 n i+1 n k, c i d i 1 (mod n i), d i es el inverso de c i módulo n i. Unicidad. Dicha solución es única módulo n = n 1 n 2 n k. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 28 / 39

29 Aritmética Modular. Teorema chino del resto. Procedimiento para encontrar la solución de (1). Resolver cada congruencia de la forma a ix b i (mod n i) por separado y convertirla en uno del tipo x a i (mod n i). Si alguna carece de solución el sistema no la tiene. Calcular c i = n n i. Calcular el inverso de c i módulo n i, es decir, se resuelve c id i 1, mod n i. La solución será: x a 1c 1d 1 + a 2c 2d a k c k d k (mod n). Camacho Introd. a la Matemática Discreta 29 / 39

30 Aritmética Modular. Teorema chino del resto generalizado. Teorema chino del resto generalizado. Sean n 1, n 2, n k enteros positivos y a 1, a 2,, a k enteros cualesquiera. El sistema de congruencias x a 1 mod n 1 x a 2 mod n 2. x a k mod n k admite solución si, y sólo si, mcd(n i, n j) divide a a i a j para cualesquiera i j. Cuando se verifica esta condición, la solución general constituye una única clase de congruencia módulo n = mcm(n 1, n 2,..., n k ). Camacho Introd. a la Matemática Discreta 30 / 39

31 Aritmética Modular. Teorema chino del resto generalizado. Procedimiento para encontrar la solución de (1). Resolver cada congruencia de la forma a i x b i (mod n i ) por separado y convertirla en uno del tipo x a i (mod n i ). Si alguna carece de solución el sistema no la tiene. Comprobar que mcd(n i, n j ) divide a a i a j. Si falla algún caso, el sistema no tiene solución. Descomponer cada ecuación en un sistema. Si mcd(m, n) = 1 entonces { a b (mod m) a b (mod m n) a b (mod n) Eliminar las ecuaciones que no son necesarias. Si a b (mod m) y d m a b (mod d) El sistema que obtenemos verifica que los módulos son primos entre sí y se resuelve según el teorema anterior. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 31 / 39

32 Arimética Modular. Función de Euler. Función de Euler El número de elementos invertibles módulo m se representa por φ(m). Es una función de N en N tal que a cada natural m le asocia el número de unidades módulo m. A la función φ la llamaremos función de Euler. Propiedades. Si p primo, φ(p) = p 1. Si n = p r con p primo, φ(n) = p r p r 1 = p r 1 (p 1) = p r (1 1 ). p Si m y n son primos entre sí, entonces φ(mn) = φ(m)φ(n). Ejemplo φ(1000) = φ( ) = φ(2 3 )φ(5 3 ) = (2 1)5 2 1 (5 1) = 80 Camacho Introd. a la Matemática Discreta 32 / 39

33 Aritmética Modular. Teorema de Euler. Teorema de Fermat. Si p primo entonces a p a mod p. En particular, si a 0 mod p se tiene que a p 1 1 mod p. Teorema de Euler. Sean a y m enteros tales que mcd(a, m) = 1, entonces a φ(m) 1 mod m. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 33 / 39

34 Aritmética Modular. Teorema de Euler. Ejemplo 1 Probar que es divisible por 13 2 Determinar el resto de dividir entre 37 3 Hallar las dos últimas cifras de Camacho Introd. a la Matemática Discreta 34 / 39

35 Aritmética Modular. Teorema de Euler. Aplicaciones Cálculo de a r módulo m Por ejemplo a 19 Expresamos r en notación binaria Intercalamos una C entre cada dos cifras. 1C0C0C1C1. Eliminamos los ceros. 1CCC1C1. Sustituimos los unos por la letra M. MCCCMCM. Comenzando ahora por 1 y siguiendo la secuencia obtenida en la que M representa multiplicar por n y C elevar al cuadrado vamos obteniendo: 1 M a C a 2 C a 4 C a 8 M a 9 C a 18 M a 19 Camacho Introd. a la Matemática Discreta 35 / 39

36 Aritmética Modular. Test de primalidad. Test de primalidad de Wilson: Se basa en la siguiente propiedad p es primo (p 1)! (mod p) Test de pseudoprimalidad de Fermat: Se basa en la siguiente propiedad si p primo y a un entero positivo a p a (mod p). Camacho Introd. a la Matemática Discreta 36 / 39

37 Aritmética Modular. Test de primalidad. 1 Elegir un entero positivo a, al que se denomina la base del test. Basta con utilizar bases que sean números primos menores o iguales que p, (normalmente se empieza con a = 2). 2 Calcular a p mod p. 3 Si el resultado no es a entonces p no es primo (se dice que p no ha pasado el test en base a). 4 Si el resultado es a entonces p podría ser primo o podría no serlo (en ese caso se dice que p es pseudoprimo para la base a). En ese caso elegimos una nueva base a y repetimos el proceso. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 37 / 39

38 Aritmética Modular. Test de Primalidad Pseudoprimos Un entero n se dice que es pseudoprimo para la base a si, siendo n compuesto, verifica que a n a mod n. Números de Carmichael Se denomina números de Carmichael a aquellos números que, siendo compuestos, superan los test de base a. { n es compuesto n es de Carmichael a n a mod n a Z + Caracterización números de Carmichael Si n es libre de cuadrados y p 1 divide a n 1 para cada primo p que divida a n, entonces o n es primo o es un número de Carmichael. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 38 / 39

39 Aritmética Modular. Bibliografía. 1 N. L. Biggs, Matemática discreta. Editorial Vicens Vives, E. Bujalance, J. A. Bujalance, A. F. Costa, E. Martínez, Elementos de matemática discreta. Editorial Sanz y Torres, 3 a Edición F. García Merayo, Matemática Discreta. Editorial Thomson, 2 a Edición, R. P. Grimaldi, Matemáticas discreta y combinatoria. Editorial Addison Wesley Iberoamericana, G.A. Jones y M. Jones, Elementary number theory. Editorial Springer, R. Kumanduri y C. Romero, Number Theory with Computers Applications. Prenticell Hall, K. H. Rosen, Discrete Mathematics and its applications. Editorial McGraw-Hill, Camacho Introd. a la Matemática Discreta 39 / 39