Movimiento oscilatorio Movimiento armónico simple (MAS) Dinámica

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Gonzalo Barbero Fuentes
hace 6 años
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1 Moviiento oscilatorio Dináica IES a Magdalena. Avilés. Asturias a aceleración de un punto que oscila con MAS puede epresarse coo: a A sen ( t) En función del tiepo. a En función de la distancia al origen. Por tanto, un cuerpo de asa que oscile con MAS estará soetido a una fuerza que varía con el tiepo en la fora: F a A sen ( t) A sen ( t) Si elegios coo variable la distancia al origen () podeos epresar la fuerza actuante coo: F a Donde = - A Generalente esta es la fora ás usada y nos indica que en un MAS la fuerza es proporcional al desplazaiento y opuesta a él. Cuando el punto se coloque a la derecha del origen (en oviiento de ida o de vuelta), la fuerza apunta hacia la izquierda; ientras que cuando esté a la izquierda, la fuerza apunta hacia la derecha. Es decir la fuerza apunta siepre hacia el origen (punto de equilibrio) =A a constante recibe el nobre de constante elástica y se ide en N/ en el S.I. a constante elástica en el caso de uelles perite cuantificar "la dureza" del iso. Muelles "uy duros" (que cuesta trabajo estirarlos) tienen una constante elástica elevada, ientras que los uelles "blandos" (los que se estiran con facilidad) tienen constantes elásticas pequeñas. A partir de la ecuación de definición de la constante elástica, (ver ás arriba), podeos relacionar periodo (o frecuencia) de oscilación con : 4 T T 4 T f T Si se auenta la asa del cuerpo las oscilaciones serán ás lentas (ayor periodo). Una asa enor provocará una disinución del periodo de oscilación (oscilaciones ás rápidas) El periodo de oscilación de un cuerpo colgado de un resorte depende de la asa del cuerpo y de la constante elástica del resorte. Para un iso cuerpo el periodo será ayor (oscilará ás lentaente) cuanto enor sea la constante elástica (cuanto "ás blando" sea el uelle). Un uelle blando producirá un oviiento oscilatorio con un periodo largo (oscilación ás lenta). Un uelle duro provocará que las oscilaciones sean ás rápidas (periodo corto) Más inforación en FisQuiWeb: aboratorio Física º Bachillerato, Estudio de un uelle real.

2 Física º Bachillerato. IES a Magdalena. Avilés. Asturias Ejeplo (Oviedo, 000) Se engancha un uelle de 30 c de longitud y constante elástica 5,0 N c - a un cuerpo de asa,0 g, y el sistea se deja colgado del techo. a) En qué porcentaje se alargará el uelle? b) Se tira ligeraente del cuerpo hacia abajo y se suelta, cuál será el periodo de oscilación del sistea? c) Se desengancha el uelle del techo y se fija a la pared, poniendo el uelle horizontal y el cuerpo sobre una esa, siendo el coeficiente de rozaiento entre abos despreciable. Cuál será el nuevo periodo de oscilación? Solución: Cuando se cuelga el cuerpo el uelle se estira y ejerce una fuerza elástica hacia arriba igual a que equilibra el peso d F e = d P= g F P 0; F P e g d g ; d e, 0 g 0 s 0, 04 4, 0 c 500 g s 4 c 00 c c Porcentaje : 3, 3 3, 3% 30 c 00 c 00 c Una vez puesto en oviiento el sistea oscilará con un periodo:, 0 g T 0, 40 s 500 g s El periodo de oscilación de un uelle sólo depende de la asa del cuerpo y de su constante elástica, coo ninguno de ellos varía al pasar de la posición vertical a la horizontal el periodo será el iso. Ejeplo (Oviedo, 00) Un bloque de,5 g, colocado sobre una esa y unido a un uelle de constante elástica = 500 N/, oscila sin rozaiento. a velocidad áia que alcanza en su trayectoria es de 70 c/s. Calcular: a) a frecuencia de oscilación b) a aplitud de la oscilación Solución: a) El periodo de oscilación viene dado por: T a frecuencia será: f, 94 s T 0, 34 s a velocidad áia se alcanza cuando el cuerpo pasa por = 0 (ver apuntes MAS I) y tiene una valor: vmax A A f A T A v MAX 0, 70 s f, 94 s, 5 g 500 g s 0, 34 s 0, 038 3, 8 c

3 Física º Bachillerato. IES a Magdalena. Avilés. Asturias El péndulo siple coo oscilador arónico Cuando un péndulo oscila la fuerza que lo ipulsa es la coponente del peso según la tangente (ver fig). Si las oscilaciones tienen ucha aplitud el péndulo describe un arco. a trayectoria está bastante alejada de la propia de un MAS (sobre la recta ). El oviiento, aunque es oscilatorio, no puede considerarse arónico siple. Si las oscilaciones tienen poca aplitud (ver fig de la derecha) la trayectoria seguida por el péndulo se aproia bastante a la propia de una MAS, ya que entonces arco y cuerda se confunden. Adeás, la fuerza puede considerarse que apunta, con poco error, en la dirección de la recta. Podreos poner, por tanto: F P sen g F g (el signo enos indica que la fuerza se opone al desplazaiento, ) Coparando con : F Concluios : g ; g Para pequeñas oscilaciones (ángulo inferior a 0 0 ) un péndulo siple se coporta coo un oscilador arónico de constante = g/ Operando podeos obtener el periodo de oscilación: g g ; 4 g ; T T g El periodo de un péndulo siple sólo depende de la longitud del péndulo. Péndulos de longitudes grandes oscilaran lentaente (periodo elevado), ientras que péndulos cortos oscilarán rápidaente (periodos cortos) Ejeplo 3 (Oviedo, 007) En una catedral hay una lápara que cuelga desde el techo de una nave y que se encuentra situada a del suelo. Se observa que oscila leveente con una frecuencia de 0, Hz. Cuál es la altura h de la nave? Dato. g = 9, 8 /s El periodo de un péndulo siple depende únicaente de su longitud, por lo tanto para que las oscilaciones tengan una frecuencia de 0, Hz (T = 0 s) la longitud del péndulo deberá de ser: h T g g 9, 8 s T s 4, 8 a nave tendrá, por tanto, una altura de: 4,8 +,0 = 6,8 3

4 Física º Bachillerato. IES a Magdalena. Avilés. Asturias Estudio energético del MAS a fuerza elástica es una fuerza conservativa (ver apuntes Energía II de º de Bachillerato) ya que cuando realiza trabajo negativo resta energía cinética al cuerpo que se transfora en energía potencial elástica. a energía potencial acuulada puede volver a convertirse en energía cinética dejando que la fuerza elástica actúe (realizando trabajo positivo) Por ser una fuerza conservativa se cuplirá: E c + E p = E c + E p - En la figura superior el uelle se estira hacia la izquierda (counicándole energía cinética). a fuerza elástica apunta entonces hacia la derecha y realiza trabajo negativo (restando energía cinética) que transfora en energía potencial elástica. Si ahora se suelta el uelle la fuerza elástica realiza trabajo positivo y la energía potencial se transfora en cinética. a situación es siilar si el uelle se coprie (figura inferior) a energía potencial elástica vale: E p Tendrá su valor áio en = A y = - A y un valor nulo en =0 a energía cinética para un objeto que se ueva con MAS se puede escribir en función de la elongación en la fora: Ec v Coo v A Ec A a energía cinética adquiere un valor áio para = 0 y nulo para =A Si ahora suaos las epresiones para la energía cinética y la potencial, observaos que la sua es una cantidad constante, lo que deuestra la interconversión de abas foras de energía: Ec A Ep Ec Ep A A Ec Ep A A 4

5 Física º Bachillerato. IES a Magdalena. Avilés. Asturias Ejeplo 4 Un cuerpo de 400 g oscila con MAS de ecuación: 0, 60 sen t, 0 60 a) Calcular los valores de la energía cinética y potencial cuando está a 0,50 y a 0,60 del origen. b) Coprobar que la sua de abas energías peranece constante. c) En que punto de la trayectoria abas energías (cinética y potencial) tendrán idéntico valor? A 0, 50 del origen Ec A 0, 400 g s 0, 60 0, 50 0, 603 J 0, 60 Ep 0, 400 g,, J, Ec Ep 0, 603 J, 37 J, 974 J A 0, 60 del origen ( A) Ec A A 0 Ep A 0, 400 g 0, 60 Ec Ep 0, 000 J, 974 J, 974 J 0, 60, 974 J Según la epresión vista anteriorente la sua de la energía cinética y la potencial debe de ser constante e igual a / A. Efectivaente: Ec Ep A A A 0, 400 g s 0, 60, 974 J 0, 60 Para saber en que punto las energía cinética y potencial tienen idéntico valor igualaos abas: Ec A Ep Ec Ep ; A A ; A A 0, 60 ; 0, 44 5

6 Física º Bachillerato. IES a Magdalena. Avilés. Asturias Oscilaciones aortiguadas y forzadas. Resonancia os oviientos oscilatorios reales (por ejeplo la oscilación de un péndulo) van perdiendo aplitud hasta que, lentaente, se detienen debido a la acción de fuerzas no conservativas (rozaientos) que convierten la energía cinética en calor. Se dice que las oscilaciones se aortiguan, lo que se traduce en una disinución progresiva de la aplitud hasta la etinción total de las oscilaciones (ver gráfica a la derecha) Por otro lado a un oscilador puede aplicársele una fuerza eterna que lo fuerce a oscilar con deterinada frecuencia (la de la fuerza aplicada). De esta anera, debido a la acción eterna, se le counica constanteente energía que, una vez absorbida por el oscilador, se traduce en oviiento. a fora ás efectiva de counicar energía a un oscilador es cuando la frecuencia de la fuerza eterna coincide (aunque sea de fora aproiada) con la frecuencia natural del oscilador, que para un uelle o un péndulo siple, viene dada por las epresiones: Muelle ( f) ( 4 ) f f Pendulo siple T ; f g g Si la energía se suinistra con esta frecuencia la aplitud auenta en cada aportación pudiendo hacerse (teóricaente) infinita, aunque en la realidad esto no llega a pasar debido a los efectos de la aortiguación descritos ás arriba. Cuando se suinistra energía a un sistea oscilante con una frecuencia igual a su frecuencia de oscilación natural se dice que se produce resonancia, la energía del oscilador auenta entonces en cada aportación pudiendo adquirir valores uy altos. 6

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