Movimiento oscilatorio

Transcripción

1 Movimiento oscilatorio Física I Grado en Ingeniería de Organización Industrial Primer Curso Joaquín Bernal Méndez Curso 011/01 Dpto.Física Aplicada III Universidad de Sevilla Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Muelle vertical Péndulo simple

2 Movimiento oscilatorio Movimiento periódico Ejemplos: Barcas sobre el agua Bandera al viento Péndulo de un reloj Moléculas en un sólido V e I en circuitos de corriente alterna En general, cualquier objeto desplazado ligeramente de su posición de equilibrio 3 Movimiento oscilatorio Forma más básica de movimiento oscilatorio: movimiento armónico simple (MAS) Por qué estudiar el MAS? Ejemplo sencillo de movimiento oscilatorio Aproimación válida en muchos casos de movimiento oscilatorio Componente básico de la ecuación del desplazamiento de movimientos oscilatorios más complejos 4

3 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Muelle vertical Péndulo simple 5 Representación matemática del MAS: dinámica del MAS Cuerpo unido a un muelle 0 0 F F k k : constante del muelle Signo: fuerza restauradora Segunda ley de Newton: F ma k a k m Condición de MAS para la aceleración 6

4 Representación matemática del MAS Segunda ley de Newton: d F ma k m k d 0 con: 0 Solución: () t Acos( t) d A sen( t ) d A cos( t) Comprobación: k m 7 Representación matemática del MAS Significado físico de las constantes: () t Acos( t) A Amplitud (m) Frecuencia angular (rad/s) Constante de fase (rad) Determinación de A y (0) Acos( ) Dos ecuaciones v(0) Asen( ) con dos incógnitas 8

5 Representación matemática del MAS: Ejemplo t 0 (0) Acos( ) A0 v(0) Asen( ) 0 A 0 A 0 A 0 Solución: A A0 0 () t A cos( t) 0 t A 0 9 Representación matemática del MAS: Resumen Fuerza que provoca un MAS: F k Ecuación diferencial del MAS Ecuación del MAS d 0 () t Acos( t) Ley de Hooke 10

6 Representación del MAS: periodo y frecuencia Periodo (): iempo necesario para cumplir un ciclo completo () t ( t) ( t) Acos( t ) t Unidades: segundos (s) 11 Representación del MAS: periodo y frecuencia Frecuencia ( f ): Número de oscilaciones por unidad de tiempo (ciclos por segundo) 1-1 f Unidades: s Hz Para el resorte: m k k m 1 1 k f m La frecuencia no depende de la amplitud 1

7 Representación del MAS: aplicaciones El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependa de la amplitud tiene interesantes aplicaciones: Medida de masas a partir de periodo de oscilación El astronauta Alan L. Bean midiendo su masa durante el segundo viaje del Skylab (1973) 13 Representación del MAS: aplicaciones El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependan de la amplitud tiene interesantes aplicaciones: Medida de masas a partir de periodo de oscilación Instrumentos musicales: la frecuencia del sonido no depende de la fuerza con que se pulse la cuerda del instrumento o la tecla de un piano. 14

8 Representación del MAS: velocidad y aceleración Posición: () t Acos( t) Velocidad: vt () d Asen( t) k vma A A (para el resorte) Aceleración: m () d cos( ) () El signo indica el sentido El signo indica el sentido at A t t k ama A A (para el resorte) m 15 Representación del MAS: velocidad y aceleración A -A A -A A vt () at () () t Acos( t) Suponemos =0 vt () Asen( t) Desfase / con (t) at A t () cos( ) Desfase / con v(t) Desfase con (t) Acos( t ) A cos( t) -A 16

9 Representación del MAS: velocidad y aceleración A 3 t 0 v 0 a A -A A vt () 3 t 4 v A a 0 -A A at () 3 t v 0 a A -A 17 Representación del MAS: velocidad y aceleración A 3 t v 0 a A -A A vt () 3 t 3 4 v A a 0 -A A at () 3 t v 0 a A -A 18

10 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Muelle vertical Péndulo simple 19 Energía del MAS Si no hay rozamiento: energía mecánica constante E K U cte Energía cinética: 1 K mv Energía potencial: 1 U( ) U(0) Wmuelle Fd K d k 0 1 U( ) k 0 0

11 Energía del MAS Energía mecánica: 1 1 E mv k t () Acos( t) con: vt () Asen( t) 1 1 sen ( ) cos ( ) E ma t ka t Usando: m k (para un resorte) 1 1 E ka (sen ( t ) cos ( t )) ka 1 1 Energía del MAS E 1 ka No depende de la masa! La energía se trasvasa continuamente de cinética a potencial y viceversa 1 AE Uma ka E Kma mvma ka K E 1 ka

12 Energía del MAS Cualquier partícula que se desplaza ligeramente de su equilibrio sufre un MAS ya que cualquier curva puede aproimarse cerca del mínimo con una parábola: U() para una partícula en el fondo de un cuenco esférico 3 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Muelle vertical Péndulo simple 4

13 muelle vertical Supongamos muelle vertical Definimos eje y hacia abajo Fuerza del muelle F kyu y y 5 muelle vertical Añadimos una masa m Aparece una fuerza adicional, el peso: P mgu y Se puede hallar el alargamiento del muelle ( y 0 ): Condición de equilibrio: mg ky 0 F P 0 y 0 mg k Puede usarse para medir k 6

14 muelle vertical Hacemos oscilar el sistema: mg ky ma y y y 0 mg y y y0 y k mg ky ky d y d y ma m m d y m ky Definimos: 7 muelle vertical d y k y m Ecuación diferencial de un MAS Solución: y Acos( t) k m ; m k El único efecto de m es desplazar la posición de equilibrio 8

15 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Muelle vertical Péndulo simple 9 péndulo simple Objeto de masa m Suspendido de una cuerda ligera (m c <<m) de longitud L Etremo superior fijo Si lo desplazamos del equilibrio y lo soltamos: oscilaciones Es un M.A.S.? 30

16 péndulo simple Segunda Ley de Newton: mg sen ma ds mg sen m usando: s L d gsen L Si sen d g L Ecuación diferencial de un MAS 31 péndulo simple d g L Solución: cos( t ) con: g 0 L Periodo del péndulo simple: L g no depende de m! no depende de! 3

17 Péndulo simple: aplicaciones El hecho de que el periodo de oscilación de un péndulo simple no dependa de la masa ni de la amplitud (para amplitudes pequeñas) resulta llamativo y tiene interesantes aplicaciones: écnica sencilla para calcular la aceleración de la gravedad. Medida del tiempo: péndulo de un reloj 33 Resumen del tema El MAS tiene lugar cuando una partícula está sometida a una fuerza restauradora de valor proporcional al desplazamiento desde el equilibrio. La posición de una partícula que eperimenta un MAS varia con el tiempo de forma sinusoidal La energía total de un oscilador armónico simple es una constante del movimiento. 34