Página 267 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Dominio de definición PARA PRACTICAR UNIDAD. 1 Halla el dominio de definición de estas funciones:

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1 0 Página 7 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Dominio de definición Halla el dominio de definición de estas funciones: y = y = c) y = + ( ) d) y = e) y = f) y = Á {, 0} Á {} c) Á { /} d) Á e) Á {0, 5} f) Á {, } Halla el dominio de definición de estas funciones: y = y = c) y = d) y = ] [/, +@) c) ] d) 0] Halla el dominio de definición de estas funciones: y = 9 y = + + c) y = d) y = 5 e) y = f ) y = 9 Ó 0 8 ( + ) ( ) Ó 0 8 Dominio = (+@, ] «[, +@) + + Ó 0 8 Dominio = Á c) Ó 0 8 ( ) Ó 0 8 Dominio = [0, ] d) 5 Ó 0 8 ( + ) ( 5) Ó 0 8 Dominio = ] «[5, +@) e) > 0 8 > 8 Dominio = ) f) > 0 8 ( ) > 0 8 Dominio = 0) «(, +@) Unidad 0. Funciones elementales

2 Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición y su recorrido: Los dominios son, por orden: [, ]; ) «(, +@) y [, +@). Los recorridos son, por orden: [0, ], (0, +@) y [0, +@). 5 De un cuadrado de cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden. Escribe el área del octógono que resulta en función de. Cuál es el dominio de esa función? su recorrido? A () = Dominio: (0, ). Recorrido: (8, ) Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones, / y cm. Escribe la función que da el volumen del envase en función de. Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene l de volumen. Cuál es su recorrido? V () = Dominio: (0, 0). Recorrido: (0, 000) Gráfica y epresión analítica 7 Asocia a cada una de las gráficas su epresión analítica. y =,5 y = c) y = 0,5 d) y = I II III II c) I d) IV III IV Unidad 0. Funciones elementales

3 0 8 Asocia a cada gráfica la epresión analítica que le corresponda entre las siguientes: I y = + y = 0,75 c) y = log d) y = II II III c) IV d) I III IV Página 8 Representación de funciones elementales 9 Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de corte con los ejes de coordenadas y algún punto próimo al vértice: y = + + y = + + c) y = + 5 d) y = + + Vértice: (, 0) Cortes con los ejes: (, 0), (0, ) Vértice:, ( ) Cortes con los ejes: (0, ); ( 7 ; 0); ( + 7 ; 0) Unidad 0. Funciones elementales 5

4 c) ( Vértice:,. Cortes con los ejes: ( 5, 0) ) d) ( 9 Vértice:,. ) Cortes con los ejes: (0, ); (, 0); (, 0) 8 0 Representa las siguientes funciones en el intervalo indicado: y =, [0, ] y =, Ó y =, [0, ] y =, Ó Representa gráficamente las siguientes funciones: si < 0 si < y = si 0 Ì < y = ( 5)/ si Ó si Ó Unidad 0. Funciones elementales

5 0 Representa: (/) + si Ì ( + )/ si < y = y = (/) si > + si Ó Representa las siguientes funciones: y = y = c) y = d) y = + c) d) Representa las siguientes funciones: y = y = + c) y = + d) y = 8 Unidad 0. Funciones elementales 7

6 c) d) 8 5 Haz una tabla de valores de la función y =. A partir de ella, representa su función inversa y = log. 0 /9 / 9 /9 / 9 log 0 8 y = (0, ) y = log (, 0) Representa gráficamente las siguientes funciones: y = 0, y =, 0 y,,78,7 0, 0, 0, y = 0, 8 Unidad 0. Funciones elementales

7 0 f() =, Composición y función inversa 7 Considera las funciones f y g definidas por las epresiones f () = + y g() =. Calcula: ( f g) () ( g f ) ( ) c) ( g g) () d) ( f g) () 5 c) g (g()) = d) f (g()) = Dadas las funciones f () = cos y g() =, halla: ( f g) () ( g f ) () c) ( g g) () f [g()] = cos g[ f ()] = cos c) g[g()] = 9 Halla la función inversa de estas funciones: y = y = + 7 c) y = = y 8 y = 8 f () = = y y = 7 8 f () = 7 + c) = y 8 y = 8 f () = + Unidad 0. Funciones elementales 9

8 0 Representa la gráfica de y = log / a partir de la gráfica de y = ( ). y = ( ) 5 y = log / Comprueba que las gráficas de y= e y= ( ) son simétricas respecto al eje O. y = ( ) 8 y = (0, ) Transformaciones en una función Representa f () = y, a partir de ella, representa: g() = f () h() = f ( + ) f () = 0 Unidad 0. Funciones elementales

9 0 Esta es la gráfica de la función y = f (): Representa, a partir de ella, las funciones: y = f ( ) y = f () + A partir de la gráfica de f () = /, representa: g() = f () h() = f ( ) c) i() = f () d) j() = f () f() = g() = f() Unidad 0. Funciones elementales

10 c) h() = f( ) i() = f() d) j() = f() 5 Representa la función f () = y dibuja a partir de ella: g() = f ( + ) h() = f () f() = g() = + h() = Unidad 0. Funciones elementales

11 0 Página 9 Representa las funciones: y = + y = Utiliza la gráfica de y =. 0 8 y = + y = y = 0 8 y = y = y = 7 Representa las siguientes funciones: y = ) y = ( + c) y = d) y = 0 8 (0, ) (0, ) 8 Unidad 0. Funciones elementales

12 c) d) y = (0, ) 8 Representa estas funciones a partir de la gráfica de y = log : y = + log y = log ( ) c) y = log d) y = log ( ) y = + log (, 0) y = + log y = log 5 y = log ( ) = y = log 5 y = log ( ) Unidad 0. Funciones elementales

13 0 c) y = log y = log 5 y = log d) y = log ( ) y = log ( ) = y = log La epresión analítica de esta función es del tipo y = + b. a Observa la gráfica y di el valor de a y b. a = b = Valor absoluto de una función 0 Representa la función y = 5 y comprueba que su epresión analítica en intervalos es: y = + 5 si < 5 5 si Ó Unidad 0. Funciones elementales 5

14 Representa las siguientes funciones y defínelas por intervalos: y = y = y = si < + si Ó 8 0 y = + si < si Ó 8 0 Representa y define como funciones a trozos : y = y = + c) y = d) y = si < y = y = si Ó si < + si Ó c) y = + si < d) y = si Ó si < + si Ó Unidad 0. Funciones elementales

15 0 Representa la función: si < y = + si Ó Puedes definirla como valor absoluto? 8 0 Sí. y = Representa estas funciones: y = y = c) y = + d) y = + Mira el ejercicio resuelto número 5. 5 c) d) 5 Unidad 0. Funciones elementales 7

16 PARA RESOLVER 5 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: si Ì si < y = y = si > si Ó c) y = si Ì si < < si Ó c) dividendo resto Utilizando la relación = cociente + podemos escribir la divisor divisor + función y = de esta forma: y = Comprueba que su gráfica coincide con la de y = / trasladada unidad hacia la izquierda y hacia arriba. y = y = Unidad 0. Funciones elementales

17 0 7 Representa las siguientes funciones utilizando el procedimiento del problema anterior. y = y = c) y = d) y = y = = + y = = c) y = = + d) y = = Unidad 0. Funciones elementales 9

18 8 Con las funciones: f () = 5 g() = h() = hemos obtenido, por composición, estas otras: + p () = 5 ; q() = 5; r() = + Eplica cómo, a partir de f, g y h, se pueden obtener p, q y r. p = g f q = f g r = h g 9 La gráfica de una función eponencial del tipo y = k a pasa por los puntos (0; 0,5) y (;,7). Calcula k y a. Representa la función. 0,5 = k a 0 0,5 = k 8,7 = k a,7 = k a k = 0,5 a =, La función es y = 0,5 (,) 0 Halla la función inversa de las siguientes funciones: y = y = + = y ; = y ; log = y y = + log 8 f () = + log = + y ; = y ; log ( ) = y 8 f () = log ( ) 0 Unidad 0. Funciones elementales

19 0 Página 70 Busca la epresión analítica de estas funciones: f () = si Ì f () = si > si Ì si > Utiliza la calculadora en radianes para obtener el valor de y en cada una de estas epresiones: y = arc sen 0,8 y = arc sen ( 0,9) c) y = arc cos 0, d) y = arc cos ( 0,75) e) y = arc tg,5 f ) y = arc tg ( 7) 0,9 rad 8 5 7' 8", rad 8 9' 9" c),0 rad 8 8 5' 59" d), rad 8 8 5' 5" e),9 rad 8 7 ' 7" f), rad 8 8 5' " Obtén el valor de estas epresiones en grados, sin usar la calculadora: y = arc sen y = arc cos c) y = arc tg d) y = arc sen ( ) e) y = arc cos ( ) f ) y = arc tg 0 0 c) 5 d) 90 e) 0 f) 0 La factura del gas de una familia, en septiembre, ha sido de,8 euros por m, y en octubre, de,8 por m. Escribe la función que da el importe de la factura según los m consumidos y represéntala. Cuánto pagarán si consumen 8 m? y =,8 + 0,( ) y (8) =,9 euros Unidad 0. Funciones elementales

20 IMPORTE (euros) CONSUMO (m ) y =,8 + 0,( ) = 0, + 7, 5 Midiendo la temperatura a diferentes alturas, se ha observado que por cada 80 m de ascenso el termómetro baja C. Si en la base de una montaña de 800 m estamos a 0 C, cuál será la temperatura en la cima? Representa gráficamente la función altura-temperatura y busca su epresión analítica. TEMPERATURA ( C) 0 h T (h) = 0 ; T (800) = 5,5 C ALTURA (m) Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula h = 80 + t t (t en segundos y h en metros). Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5]. Halla la altura del edificio. c) En qué instante alcanza su máima altura? 80 metros. ALTURA (m) c) segundos. 5 TIEMPO (s) Unidad 0. Funciones elementales

21 0 7 La dosis de un medicamento es 0,5 g por cada kilo de peso del paciente, hasta un máimo de 5 g. Representa la función peso del paciente-cantidad de medicamento y halla su epresión analítica. y = 0,5 hasta un máimo de 5 g: 0,5 = 5 8 = 0 kg DOSIS (g) y = 0,5 0 < < 0 5 Ó PESO (kg) 8 El coste de producción de unidades de un producto es igual a (/) euros y el precio de venta de una unidad es 50 (/) euros. Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las unidades producidas, y represéntala. Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio sea máimo. Los ingresos por la venta de unidades son (50 (/)) euros. B () = 50 ( ) = El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: = = 5 Deben venderse 5 unidades. 9 Un fabricante vende mensualmente 00 electrodomésticos a 00 euros cada uno y sabe que por cada 0 euros de subida venderá electrodomésticos menos. Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros? Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos mensuales. c) Cuál debe ser la subida para que los ingresos sean máimos? En este caso vendería 90 electrodomésticos a 50 euros cada uno; luego los ingresos serían de = euros. I () = (00 + 0) (00 ) = ( = decenas de euros) c) El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: b 00 = = = euros a 0 Unidad 0. Funciones elementales

22 50 Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 0 minutos en llegar a su casa, que está a km de distancia. Está allí media hora y en el camino de vuelta emplea el mismo tiempo que en el de ida. Representa la función tiempo-distancia. Busca su epresión analítica. DISTANCIA A SU CASA (km) TIEMPO (min) f () = (/0) si 0 Ì Ì 0 si 0 < Ì 50 /0( 70) si 50 < Ì 70 5 Un cultivo de bacterias comienza con 00 células. Media hora después hay 5. Si ese cultivo sigue un crecimiento eponencial del tipo (t en minutos), calcula k y a y representa la función. Cuánto tardará en llegar a bacterias? y = ka t t = 0, y = = k a 0 8 k = 00 y = ka t t = 0, y = = 00 a 0 8 a 0 =,5 8 a =,5 /0 8 a,05 La función es y = 00,05. N.º BACTERIAS Si y = = 00,05 50 =,05 log 50 8 = 80 min log,05 Tardará 80 minutos, aproimadamente. TIEMPO (min) Unidad 0. Funciones elementales

23 0 5 Un negocio en el que invertimos 0 000, pierde un % mensual. Escribe la función que nos da el capital que tendremos según los meses transcurridos, y represéntala. Cuánto tiempo tardará el capital inicial en reducirse a la mitad? y = ,9 CAPITAL ( ) TIEMPO (meses) Si y = = ,9 0,9 log 0,5 = 0,5 8 =,98 meses log 0,9 Tardará 7 meses, aproimadamente. Página 7 CUESTIONES TEÓRICAS 5 Si f () = y g() = log, cuál es la función ( f g) ()? ( g f ) ()? ( f g) () = (g f ) () = 5 Dada la función f () = +, halla f (). Representa las dos funciones y comprueba su simetría respecto de la bisectriz del. er cuadrante. f () = ( ), Ó 8 y = ( ), y = y = + 8 Unidad 0. Funciones elementales 5

24 55 Dada la función y = a, contesta: Puede ser negativa la y? la? Para qué valores de a es creciente? c) Cuál es el punto por el que pasan todas las funciones del tipo y = a? d) Para qué valores de se verifica 0 < a < siendo a >? La y no puede ser negativa, la sí. a > c) (0, ) d) Para < 0. 5 Calcula en las siguientes epresiones: arc sen = 5 arc cos = 0 c) arc tg = 7 d) arc sen = 75 π e) arc cos = rad f ) arc tg =,5 rad c),078 d) 0,9 e) f),0 PARA PROFUNDIZAR 57 Una parábola corta al eje de abscisas en = y en =. La ordenada del vértice es y =. Cuál es la ecuación de esa parábola? y = k ( ) ( ) = k ( + ) Vértice 8 = = 8 y () = k = 8 k = La ecuación es: y = ( + ) = + 58 Halla el dominio de definición de estas funciones: + 9 y = y = + Ó 0 > > 0 + Ó 0 Dominio = ] «(, +@) + Ì 0 Ì < 0 Unidad 0. Funciones elementales

25 0 9 Ó 0 Ó 9 > 0 9 Ó 0 Dominio = 0) «[9, +@) 9 Ì 0 < 0 < 0 59 Representa y epresa en intervalos las funciones: y = y = y = si Ó 0 y = + si < 0 si Ì 0 si 0 < < si Ó 0 Las tarifas de una empresa de transportes son: 0 euros por tonelada de carga si esta es menor o igual a 0 t. Si la carga es mayor que 0 t, se restará, de los 0 euros, tantos euros como toneladas sobrepasen las 0. Dibuja la función ingresos de la empresa según la carga que transporte (carga máima: 0 t). Obtén la epresión analítica. INGRESOS CARGA (t) f () = Es decir: f () = 0 si 0 Ì Ì 0 [0 ( 0)] si 0 < Ì 0 0 si 0 Ì Ì 0 0 si 0 < Ì 0 Unidad 0. Funciones elementales 7