PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE PROGRAMACIÓN LINEAL EN DOS VARIABLES.- MÉTODO GRÁFICO

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE PROGRAMACIÓN LINEAL EN DOS VARIABLES.- MÉTODO GRÁFICO

2 PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE PROGRAMACIÓN LINEAL EN DOS VARIABLES.- MÉTODO GRÁFICO 1. Un dietista está diseñando una dieta para uno de sus pacientes. La dieta debe incluir dos vegetales A y B. Suponga que cada ración de 10 g de A contiene 2 unidades de hierro y 2 de vitamina B 12, mientras que cada ración de 10 g de vegetal B contiene una unidad de hierro y 5 unidades de vitamina B 12. El número de calorías de cada porción de 10 g de los vegetales A y B es de 5 y 3 respectivamente. Si el paciente necesita por lo menos 20 unidades de hierro y 36 de vitamina B 12 en su dieta, Cuántos gramos de cada vegetal deberá incluir el dietista para satisfacer las unidades de hierro y vitaminas mientras se minimiza el número de calorías en la dieta? Tabulación de datos Vegetal Variable Hierro Vitamina B 12 Calorías A x B y Requerimiento Función Objetivo: min 5x y Z 3 Restricciones: 2x y 20 2x 5y 36 x 0 y 0 Gráfico de la zona básica factible y vértices del polígono y A(0; 20) B(8; 4) 0 C(18; 0) x w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 1

3 Soluciones Factibles Solución óptima factible: Vértice x y Z (min) A B C g de vegetal A y 4 g de vegetal B producen un valor mínimo de 52 calorías. w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 2

4 2. Un laboratorio farmacéutico desea elaborar un tónico, de tal manera que cada frasco contenga al menos 32 unidades de vitamina A, 10 de vitamina B y 40 de vitamina C. Para suministrar esta vitaminas, el laboratorio emplea un aditivos, a un costo de 20 centavos por onza, el cual contiene 16 unidades de vitamina A, 2 unidades de vitamina B y 4 unidades de vitamina C; un aditivo Y, a un costo de 40 centavos por onza, que contiene 4 unidades de vitamina A, 2 unidades de vitamina B y 14 unidades de vitamina C. Cuántas onzas de cada aditivo se deben incluir en el frasco para minimizar el costo? Tabulación de datos: Aditivo Variable Vitamina A Vitamina B Vitamina C Costo X x Y y Requerimiento Función Objetivo: Restricciones: 16x 4y 32 2x 2y 10 4x 14y 40 x 0 y 0 min 0.20x 0. y Z 40 A continuación se grafica en un solo sistema cartesiano las restricciones, se determina la zona básica factible y se señalan los vértices del polígono. 8 y A(0; 8) 6 4 B(1; 4) 2 C(3; 2) 0 D(10; 0) x -2 w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 3

5 Soluciones Factibles Solución óptima factible: Vértice x y Z (min) A B C D onzas de aditivo X y 2 onzas de aditivo Y dan un costo mínimo de $ w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 4

6 3. Dos refinerías producen tres tipos de gasolina de diferente octanaje A, B y C. Las refinerías operan de tal manera que siempre se producen en proporción fija los diferentes tipos de gasolina. La refinería I produce una unidad de A, 3 unidades de B, y 1 de C por tanda, mientras que la refinería II produce 1 unidad de A, 4 de B y 5 de C por tanda. El precio por tanda para la refinería I es de 300 y de $ 500 para la refinería II. Un comerciante necesita 100 unidades de A, 340 unidades de B y 150 de C. De qué manera debe hacer su pedio para minimizar el costo? Refinería Variable Octanaje A Octanaje B Octanaje C Costo I x II y Requerimiento Función Objetivo: Restricciones: x y 100 3x 4y 340 x 5y 150 x 0 y 0 min 300x y Z y 100 A(0; 100) 50 B(60; 40) C(100; 10) 0 D(150; 0) x w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 5

7 Soluciones Factibles Solución óptima factible: Vértice x y Z (min) A B C D Pedir 100 galones a la refinería I y 10 galones a la refinería II, con un costo de $ w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 6

8 4. Una estación de televisión se enfrenta a un problema: Sabe que el programa A, con 20 minutos de música y 1 minuto de comerciales tiene un auditorio de televidentes, mientras que el programa B, con 10 minutos de música y 1 minuto de comerciales es visto por televidentes. El patrocinador insiste en que sus comerciales se transmitan por lo menos 6 minutos por semana y la estación no puede brindar más de 80 minutos por semana. Cuántas veces debe transmitirse cada programa a la semana, para obtener el máximo número de televidentes. Solución: Tabulación de datos: Programa Variable Tiempo música Tiempo Número de comerciales televidentes A x B y Disponibilidad 80 Requerimiento 6 Con estos datos determinamos la función objetivo y las restricciones: Función objetivo: Restricciones: max 30000x y Z x 10y 80 x y 6 x 0 y 0 Con el programa Graphmatica se procede a obtener el gráfico del polígono que limita la región básica factible: 9 y 8 B(0,8) 7 6 A(0,6) 5 4 C(2,4) w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 7

9 Los vértices del polígono que limita la región básica factible entregan las siguientes soluciones factibles: Vértice x y Z (max) A B C Solución óptima: La estación de televisión deberá transmitir 2 programas tipo A (20 minutos de música y 1 minuto de comerciales) y 4 programas tipo B (10 minutos de música y 1 minuto de comerciales) para obtener un máximo de televidentes; de esta manera se cubrirán los requerimientos del auspiciante y de la disponibilidad máxima del tiempo de música. w w w. c e d i c a p e d. c o m Página 8