SISTEMAS DE CONTROL ANÁLISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA. Profesor: Adrián Peidró

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1 SISTEMAS DE CONTROL PRÁCTICAS DE SISTEMAS DE CONTROL ANÁLISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Profesor: Adrián Peidró (apeidro@umh.es) OBJETIVOS Afianzar los conocimientos sobre la respuesta en frecuencia de un sistema. Estudiar la relación entre los márgenes de fase/ganancia y el lugar de las raíces. Diseñar controladores en el dominio de la frecuencia. 1. INTRODUCCIÓN. RESPUESTA EN FRECUENCIA. MÁRGENES DE FASE Y GANANCIA Como hemos visto en prácticas anteriores, cuando introducimos a un sistema lineal e invariante en el tiempo una entrada senoidal con una determinada amplitud X y una frecuencia ω Entrada = X sin ω t entonces la salida del sistema en régimen permanente es otra señal senoidal a la misma frecuencia, pero con amplitud y fase distintas a las de entrada: Salida = g X sin ω t + φ La amplitud de la señal de salida es g veces la amplitud de la señal de entrada, mientras que φ es el ángulo de desfase de la señal de salida con respecto a la de entrada. La ganancia g y el desfase φ dependen de la frecuencia ω de la señal de entrada, y la forma de representar esa dependencia es mediante los diagramas de Bode. En los diagramas de Bode representamos la ganancia g (en decibelios) y el desfase φ (en grados) frente a la frecuencia:

2 Figura 1. Diagramas de Bode. Márgenes de fase y ganancia. A partir de los diagramas de Bode podemos definir los márgenes de fase y ganancia. Se define el margen de ganancia como la cantidad de ganancia (en decibelios) que hay que añadir a un sistema para que la ganancia del sistema sea de 0 db a la frecuencia a la que su fase es de -180º (frecuencia de cruce de fase). De forma similar, definimos el margen de fase como el desfase que debemos añadir a un sistema para que su fase sea de -180º a la frecuencia a la que la ganancia es de 0 db (frecuencia de cruce de ganancia). En sistemas de fase mínima (sistemas sin polos ni ceros en el semiplano complejo de parte real positiva), los márgenes de fase y ganancia nos proporcionan la estabilidad del sistema cuando lo controlamos mediante una realimentación negativa y unitaria. Un sistema de fase mínima es estable si ambos márgenes son positivos. En ese caso, la interpretación de los márgenes de fase y ganancia es la siguiente: el margen de ganancia (o fase) nos dice cuánto podemos aumentar la ganancia del sistema en bucle abierto (o cuánto podemos retrasar un sistema en bucle abierto, en el caso del margen de fase) antes de que el sistema se vuelva inestable en bucle cerrado (considerando que el bucle se cierra mediante una realimentación negativa y unitaria). En esta práctica vamos a analizar esta interpretación de los márgenes de fase y ganancia con algunos sistemas de fase mínima, y también vamos a estudiar su relación con el lugar de las raíces. Además, estudiaremos el diseño de sistemas de control en el dominio de la frecuencia, comprobando las limitaciones de las redes de adelanto de fase.

3 2. RELACIÓN ENTRE EL LUGAR DE LAS RAÍCES Y LOS MÁRGENES DE FASE Y GANANCIA Considera los siguientes tres sistemas de fase mínima: G 5 s = 2 s 8 + 2s 9 + 2s + 1 G 9 s = 1.151s s s s G 8 s = 1 s + 1 El sistema G 9 s es el avión estudiado en la práctica 3, mientras que el sistema G 8 s es un filtro paso-bajo con una frecuencia de corte de 1 rad/s. Para cada uno de estos sistemas, responde a las siguientes cuestiones: a) Calcula el margen de ganancia y la frecuencia de cruce de fase, usando la función margin de Matlab. b) Mediante rltool, representar el lugar de las raíces y obtener el valor límite de la ganancia a partir de la que el sistema en lazo cerrado se torna inestable. Cuáles son los polos del sistema en lazo cerrado en el límite de la estabilidad? c) Qué relación existe entre la ganancia límite obtenida en el apartado b y el margen de ganancia obtenido en el apartado a? Qué relación existe entre la frecuencia de cruce de fase obtenida en el apartado a y los polos en el límite de la estabilidad, obtenidos en el apartado b? d) A continuación, simula en Simulink el lazo de control mostrado en la Figura 2, para cada uno de los tres sistemas considerados.

4 Figura 2. Bucle de realimentación unitaria y negativa del sistema G(s), con un retardo de T segundos a la salida del sistema. En la parte superior de la Figura 2 se representa el esquema de control a simular, mientras que en la parte inferior de la misma figura se representa el modo de implementar dicho esquema de control en Simulink. La entrada al lazo de control es un escalón unitario. El bloque e CDE aplica un retardo de T segundos a la salida del sistema G(s), y en Simulink puede implementarse dicho retardo mediante el bloque Transport Delay de la librería Continuous. Para simular el anterior lazo de control, se deberán introducir los siguientes parámetros de configuración (en Simulation -> Configuration parameters): Start time = 0.0, Stop time = 100, Solver options/type = Fixed-step, Fixed-step size = 0.001, Solver = ode3. Considerando estos parámetros de configuración, simula el esquema para distintos valores del retardo T (prueba con T = 0.05, 0.10, 0.15, 0.20, 0.25, 0.30 ), y observa la salida y del lazo de control en cada caso. Cómo varía la respuesta del sistema a medida que aumentamos el retardo? Se vuelve inestable el lazo de control a partir de cierto retardo límite? En caso afirmativo, encuentra (por tanteo) el retardo límite T lim a partir del que el sistema se vuelve inestable. e) Mediante margin, obtén el margen de fase M H (en grados) y la frecuencia de cruce de ganancia ω I (en rad/s). Pasa el margen de fase de grados a segundos, realizando la siguiente operación: M H segundos = M H grados π ω I Qué relación existe entre el margen de fase M H (en segundos) y el retardo límite T lim obtenido por tanteo en el apartado anterior?

5 f) Cómo evolucionan los polos del sistema en bucle cerrado a medida que variamos el retardo T del apartado d? Para responder a esto, obtén primero la ecuación característica del sistema en lazo cerrado de la Figura 2. Seguidamente, el profesor mostrará en el proyector las soluciones de la ecuación característica. 3. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Siguiendo el procedimiento estudiado en las sesiones de teoría, diseña una red de adelanto de fase para que el sistema G 5 s (sin considerar ningún tipo de retardo T) verifique los siguientes requisitos: Error de posición en bucle cerrado 5% Margen de fase en bucle abierto 60º Tras diseñar la red de adelanto de fase, comprueba si el sistema compensado con dicha red cumple los requisitos de diseño, empleando los comandos margin (para comprobar el margen de fase del conjunto sistema + regulador) y step (para comprobar el error en régimen permanente del sistema en bucle cerrado). En caso de que la red diseñada no cumpla las especificaciones de diseño: a) A qué puede ser debido? b) Diseña una red de adelanto de fase multi-etapa (por ejemplo, de 2 etapas) que sí cumpla los requisitos de diseño.