Física II. Potencial Eléctrico. Ing. Alejandra Escobar UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA
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- Esteban Blázquez Crespo
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1 Físic II Potencil Eléctrico UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA Ing. Alejndr Escor
2 Energí Potencil Eléctric Se puede socir un energí potencil todo un sistem en el que un prtícul crgd esté situd en un cmpo eléctrico y reci l cción de un fuerz electrostátic. El cmio de l energí potencil electrostátic, cundo un prtícul de crg q se mueve en un cmpo eléctrico E, está ddo por l ecución: Donde: U U = F. ds E = F q F = qe Entonces, U U = F. ds = q E. ds En donde l integrl se reliz pr l tryectori de un prtícul desde el punto inicil hst el punto finl. Consideremos dos prtículs crgds q 1 y q 2 seprds un distnci r, como se muestr en l figur. Si suponemos que ls crgs son de signo opuesto, de modo que l fuerz entre ells es de trcción, si desplzmos q 2 hci l derech, l fuerz eléctric reliz un trjo negtivo y l energí potencil del sistem ument. Si soltmos l prtícul desde es posición est se moverá hst llegr su posición inicil disminuyendo l energí potencil y umentndo l energí cinétic. Ahor supongmos que ls crgs son de igul signo, l fuerz entre ells es de repulsión, si desplzmos q 2 hci l izquierd l energí potencil del sistem ument. Si soltmos l prtícul desde es posición est se moverá hst llegr su posición inicil disminuyendo l energí potencil y umentndo l energí cinétic.
3 r q 1 q 2 Clculemos hor l expresión pr l energí potencil del sistem de dos crgs puntules como se muestr en l figur nterior. Si suponemos que q 2 se mueve hci q 1 o se lej de est, cmindo su posición de r r, el cmio de l energí potencil est ddo por: r U U = q 2 E. dr = 1 r q r 4πε 1 q 2 dr 0 r r 2 = 1 q 4πε 1 q 2 ( 1 1 ) 0 r r Si elegimos un punto de referenci tl que r correspond un seprción infinit de ls prtículs y definimos l energí potencil U como cero. Dejndo que r se l seprción en el punto finl, de modo que l ecución pr el clculo de l energí potencil viene ddo por: Ejercicios U(r) = 1 q 1 q 2 r 1. Dos protones en el núcleo de un átomo de 238 U (urnio) están 6x10 15 m el uno del otro. Cuál es l energí potencil socid l fuerz eléctric que ctú entre ls dos prtículs? U(r) = 1 q 1 q 2 = K q2 r r = 9x109 Nm 2 C 2 (1.6x10 19 C) 2 6x10 15 m Energí Potencil Eléctric de un Sistem de Crgs = 3,84x10 14 J Pr clculr l energí potencil totl de un sistem de crgs, se determin l energí potencil por pres de crgs y luego relizr l sum lgeric de cd uno de los potenciles clculdos. U = 1 q 1 q 2 r q 1 q 3 r q 2 q 3 r 23
4 Ejercicio 1. En el sistem que se muestr en l figur summos que r 12 = r 13 = r 23 = r = 12 cm y que q 1 = +q, q 2 = 4q y q 3 = +2q, en donde q = 150 nc. Cuál es l energí potencil del sistem? r 12 q 1 r 13 r 23 q 3 q 2 U = 1 q 1 q 2 r q 1 q 3 r q 2 q 3 r 23 U = K 10q2 r = 1 ( (+q)( 4q) r = 9x10 9 Nm 2 C 2 + (+q)(+2q) r + ( 4q)(+2q) ) r 10 (150nC C 1nC ) = 1,69x10 1m 2 J 12cm. 100cm Potencil Eléctrico Teóricmente, el potencil eléctrico en un punto se define como el trjo que dee relizr un gente externo pr mover un crg de prue positiv dentro de un cmpo eléctrico, desde el infinito hst el punto en cuestión con velocidd constnte. Físicmente podemos decir que el potencil eléctrico est ddo como l energí potencil por unidd de crg de prue. Su unidd es el voltio (V) que es equivlente 1 V = 1 J C. Pr determinr el potencil de un conjunto de crgs en un punto P, se situ un crg de prue positiv un distnci infinit del conjunto de crgs en donde el cmpo eléctrico es cero. Luego cercmos l crg de prue l punto P y en el proceso l energí potencil cmi de 0 U p. El potencil eléctrico V p en P deido l conjunto de crgs se define como:
5 V p = U p En vez de hcer referenci un punto en el infinito, menudo desemos determinr l diferenci de potencil eléctrico entre dos puntos y en un cmpo eléctrico. Pr hcerlo movemos un crg de prue desde hst. L diferenci de potencil eléctrico se define por l siguiente ecución: V = V V = U U U = q V Ejercicio 1. En un celerdor nucler, un prtícul lf (q = +2e) se mueve desde un terminl de potencil V = +6,5x10 6 V otr de potencil V = 0 V. Clculr:. Cuál es el cmio correspondiente de l energí potencil del sistem?. Suponiendo que ls terminles y sus crgs no se mueven y que ningun fuerz extern ctú sore el sistem, Cuál es el cmio de l energí cinétic de l prtícul? Pr clculr el cmio de l energí potencil U = q V = q(v V) = (+2)(1.6x10 19 C)(0 V 6,5x10 6 V) = 2,08x10 12 J Pr clculr el cmio de energí cinétic, semos que como no ctún fuerzs externs sore el sistem, el cmio de l energí mecánic est dd por l ecución: E = K + U = 0 k = U = ( 2,08x10 12 J) = 2,08x10 12 J Clculo del Potencil Eléctrico prtir del Cmpo Eléctrico Pr clculr el potencil eléctrico prtir del cmpo eléctrico, tomemos dos puntos y, seprdos uns distnci L en un cmpo eléctrico E, y coloquemos un crg de prue positiv l cul se mueve desde hst lo lrgo de l líne que los une. Si tenemos un cmpo eléctrico uniforme, donde l prtícul de prue se mueve en un líne rect, plicmos l siguiente formul:
6 V V = EL En el cso de que el cmpo eléctrico no se uniforme, y l crg de prue se mueve en un tryectori que no es rect, plicmos l siguiente formul: V V = E. ds Es conveniente elegir el punto se el punto de referenci en el infinito, donde V = 0. Así determinmos el potencil en un punto ritrrio P según l ecución: P V P = E. ds P ó V P = E cos θ ds Ejercicios 1. En l figur dejemos que un crg de prue se llevd desde hst lo lrgo de l tryectori c. Clculr l diferenci de potencil entre y.
7 ds c E ds L θ E E Pr l tryectori c tenemos: (identidd trigonométric cos(π θ) = cos θ) c V c V = E. ds L integrl es l longitud de c l cul es: Entonces: c = E cos π θ cos θ = L c c = L cos θ V c V = E cos θ L cos θ = EL c ds = E cos θ ds Pr l tryectori c el potencil es cero y que el ngul entre E y ds es 90. Por lo tnto; V V = (V V c ) + (V c V ) = 0 + EL = EL Potencil deido un Crg Puntul Supongmos que, y q se encuentr en un líne rect. Clculemos el potenci entre los puntos y suponiendo que un crg positiv de prue se mueve lo lrgo de l líne desde hst.
8 ds E r V V = E. ds r = E. dr r = K. q dr r r r 2 = K. q ( 1 1 ) r r Est ecución se cumple pr l diferenci de potencil entre dos puntos unque no se encuentren sore l mism líne rdil. En l figur siguiente figur se muestr el cso donde l crg de prue se mueve lo lrgo de un rco de circunferenci, el potencil entre los puntos y es cero deido que E y ds tienen un ángulo de 90. c ds E Si queremos clculr el potencil en culquier punto, tommos el punto en el infinito donde el potencil es cero, y utilizmos l siguiente ecución: V = K q r Ejercicio 1. Cuál dee ser l mgnitud de l crg puntul positiv isld pr que el potencil eléctrico 15 cm de l crg se +120 V? V = K q r 1 m Vr (+120 q = K = V). (15 cm. 100 cm ) 9x10 9 Nm 2 C 2 = 2x10 9 C
9 Potencil deido un conjunto de Crgs Puntules El potencil en culquier punto deido un grupo de N crgs puntules se encuentr l clculr el potencil V i, deido cd crg como si ls demás crgs no estuviern presentes, pr luego sumr ls cntiddes otenids de l siguiente mner: V = V 1 + V 2 + V V N N V = V i i=1 N = K q i r i i=1 Ejercicio 1. Clculr el potencil en el punto P, uicdo en el centro del cudrdo de crgs puntules mostrdo en l figur. Supong que d = 1,3 m y que ls crgs son: q 1 = +12 nc, q 2 = 24 nc, q 3 = +31 nc y q 4 = +17 nc. q 1 d q 2 R P q 3 q 4 Clculemos l distnci R El potencil en el punto P es: 2 1,3 m R = 2 ( 2 ) = 0,919 m 4 V P = K q i r i i=1
10 V P = 9x10 9 Nm 2 C 2 ( ((+12 nc) + ( 24 nc) + (+31 nc) + (+17 nc)) C 1 nc ) 0,919 m V P = 3,526x10 2 V Potencil Eléctrico de ls Distriuciones de Crg Continu Pr el cálculo del potencil eléctrico en distriuciones de crg continu se deen seguir los siguientes psos: Seleccionr un diferencil de crg propido dq, de cuerdo con l geometrí del prolem. dq = λds, dq = σda, dq = ρdv Uicr el sistem de referenci. Uicr l distnci desde el dq hst el punto P. Utilizr l siguiente formul: V = K dq r o V = K dq r Escriir los prámetros vriles en función del prámetro integrl. Plnter y resolver l integrl. Ejercicio 1. Clculr el potencil eléctrico en el punto sore el eje de un disco circulr de plástico de rdio R, en el cul un superficie tiene un densidd de σ. Consideremos un elemento de crg dq que const de un nillo circulr de rdio w y nchur dw, pr el cul: dq = σ(2πw)dw
11 En donde (2πw)dw es el áre superficil del nillo. L contriución de este nillo l potencil en P est dd por l ecución: dv = K dq r xdx = K σ(2πw)dw w 2 + z 2 Integrndo est ecución ( = x 2 ± 2 x2 ± 2 ) V = 2Kσπ 0 R wdw = 2Kσπ w 2 + z 2 R = 2Kσπ ( R 2 + z 2 z) w 2 + z 2 0
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