INFORME PME. Conocimiento especializado del profesor de matemáticas en relación con. las oportunidades de aprendizaje

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1 INFORME PME Conocimiento especializado del profesor de matemáticas en relación con Diana Zakaryan las oportunidades de aprendizaje Instituto de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Priscilla Valenzuela Colegio San Ignacio, Viña del Mar 1 Antecedentes En los últimos años, teniendo en cuenta las recomendaciones de varios organismos internacionales (e.g., UNESCO, OCDE) a la luz de los resultados poco satisfactorios de las evaluaciones docentes en Chile (e.g., TEDS-M, INICIA), las universidades chilenas, particularmente, la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso (PUCV) a través del Plan de Mejoramiento Institucional (PMI), tratan de revisar los planes de estudio en las carreras de Pedagogía, procurando aumentar el nivel de las competencias profesionales de los titulados de los programas de formación inicial de profesores, con el fin de poder impactar en la mejora de los resultados de aprendizaje de los alumnos del sistema escolar. Esa revisión tiene por objetivo mejorar diversos aspectos importantes asociados a la formación inicial docente (e.g., rediseñar el currículo de formación con foco en el aprendizaje de los alumnos, fortalecer la vinculación entre la universidad y el sistema escolar, renovar y fortalecer el cuerpo académico). Consideramos que uno de los aspectos a tener en cuenta para la mejora de la enseñanza de las matemáticas es sin duda la preparación sólida e integral de futuros profesores y de profesores en ejercicio (Llinares, Valls, & Roig, 2008) que les posibilita proporcionar oportunidades de aprendizaje significativas a sus alumnos. Los resultados de estudios que examinaron cómo la enseñanza se relaciona con el aprendizaje de los alumnos establecen que la enseñanza no influye directamente en el aprendizaje de los alumnos, sino más bien en los procesos cognitivos o en el pensamiento de los alumnos, que a su vez, influyen en el aprendizaje (Carpenter, Fennema, Franke, Levi, & Empson, 2000). La necesidad de aumentar el nivel de las competencias profesionales de los titulados de los programas de formación inicial de profesores, asociada a la influencia de la práctica en los procesos cognitivos y razonamiento de los alumnos, y la intención de contribuir de manera activa para esa mejora, nos lleva a cuestionar Qué conocimientos necesita un profesor para que esa influencia sea lo más provechosa posible para sus alumnos? Asumimos que estos conocimientos del profesor están vinculados con el conocimiento disciplinar y didáctico del contenido del profesor. Desde la relevante aportación de Shulman (1986), se han elaborado varios modelos del conocimiento del profesor que, en general, mantienen estos dos dominios, pero especificando algunos subdominios en cada uno de los dominios (e.g., Ball, Thames, & Phelps, 2008; Carrillo, Climent, Contreras, & Muñoz-Catalán, 2013). Compartimos que el conocimiento acerca de los procesos cognitivos y del pensamiento que sustentan el aprendizaje de alumnos se hace imprescindible para el profesor (Mochón, 2010), aún más asumiendo el cambio del papel del profesor desde enseñar hacia el de ayudar a aprender (Morales Vallejo, 2006). En este contexto, se cambia el foco de cómo enseñamos a cómo aprenden las matemáticas los alumnos

2 y las cuestiones como qué es aprender matemáticas, cómo se aprende, cómo sabemos que aprendieron dependen, en gran parte, de las concepciones y creencias de los profesores, y de sus conocimientos al respecto. Coincidimos con Llinares et al. (2008), que conocer y analizar todos los aspectos del pensamiento matemático de los alumnos permite al profesor valorar y seleccionar las tareas o los ejemplos, y su orden de presentación (Rowland, 2008), representaciones apropiadas y formas de navegar entre ellas (Ribeiro, 2011). De este modo, considerando la importancia de los diferentes componentes del conocimiento del profesor y asumiendo la especificidad del conocimiento del profesor para la actuación docente, consideramos esencial centrarnos en uno de los subdominios del Mathematics Teachers Specialized Knowledge MTSK (Carrillo et al., 2013) que se refiere al conocimiento acerca de las características de aprendizaje de las matemáticas en general y en particular, en el contenido de los números racionales. 2 Marco de referencia El modelo MTSK entiende el conocimiento núcleo del conocimiento profesional del profesor de matemáticas dividido en seis subdominios de naturaleza diferenciable (Figura 1). El Conocimiento del contenido Matemático (MK) del profesor conforman tres subdominios: conocimiento de los temas y sus fundamentos (KoT); conocimiento de estructuras y conexiones entre los temas (KSM); y conocimiento de las formas de producir y proceder en matemáticas (KPM). El dominio del Conocimiento Didáctico del Contenido (PCK) contiene otros tres subdominios: conocimiento del contenido matemático como objeto de aprendizaje (KFLM), como objeto de enseñanza (KMT) y desde el punto de vista de los estándares que se pueden/deben alcanzar en un determinado momento escolar (KMLS). Figura 1. Dominios del Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas (Carrillo et al., 2013, p. 2989) Dado el enfoque de nuestro trabajo, nos centramos solamente en el KFLM (aun siempre considerando que los subdominios se influencian y se relacionan). Como hemos mencionado anteriormente, el KFLM, al similar de los demás subdominios de esta conceptualización del conocimiento del profesor, no pone al alumno en el foco principal del proceso cambiando la mirada hacia el contenido matemático como objeto de aprendizaje. Esto no implica que se quite importancia al papel del alumno en el proceso (por el contrario, ya que las aprendizajes de los alumnos son el fin último de la práctica), sino que interesa el conocimiento relacionado con las características de aprendizaje derivadas de su interacción con el contenido matemático y no las características del alumno en sí mismo.

3 De este modo, asumimos que en este subdominio del conocimiento didáctico del profesor, se pueden considerar las siguientes dimensiones (Flores-Medrano et al., 2014): (i) formas de aprendizaje; (ii) fortalezas y dificultades asociadas al aprendizaje; (iii) formas de interacción de los alumnos con el contenido matemático; (iv) concepciones de los alumnos sobre matemáticas. 3 Propósito del estudio El propósito de nuestra investigación es estudiar el conocimiento del profesor relacionado con las características de aprendizaje derivadas de su interacción con el contenido matemático de los números racionales y comprender sobre el contenido del conocimiento del profesor, con el fin de contribuir a su mejora y, consecuentemente a la mejora de la práctica y de los resultados de aprendizajes de los alumnos. 4 Diseño de la investigación Realizamos nuestra investigación desde un enfoque interpretativo a través de un estudio de caso (Stake, 2007) considerando que el conocimiento del profesor es un objeto de estudio complejo y multidimensional. A través de un estudio, teniendo como informante a una profesora (Ana) del 8 grado de la educación básica chilena (alumnos de años), recolectamos información a través de observaciones no participante de aula (Cohen & Manion, 2002) mientras la profesora imparte la unidad relacionada con los números racionales, complementadas con grabaciones en video de las siete sesiones de clases dedicadas al tema. Posteriormente, la profesora ha contestado de manera secuencial algunos cuestionarios referentes a aspectos profesionales (e.g., formación, experiencia) y a algunas cuestiones relativas a conocimientos especializados incluidos en los subdominios del MTSK en relación al tema tratado. Asimismo, de manera complementaria, realizamos una entrevista semi-estructurada con el fin de profundizar la comprensión sobre sus modos de proceder. Las transcripciones de las sesiones grabadas en video han constituido la fuente principal de información. Dividimos las sesiones en episodios fenomenológicamente coherentes y en cada uno de ellos identificamos las dimensiones del KFLM reveladas. Una vez hecha la modelización de las clases, se han analizado los cuestionarios y la entrevista, buscando aspectos que permitieran complementar la información ya obtenida y que nos proporcionan datos relevantes respecto al objetivo de nuestra investigación, es decir, en cuanto a identificar y profundizar en la comprensión del contenido del subdominio KFLM que la profesora pone en acción. 5 Resultados y discusión A partir del análisis de las situaciones de la práctica de la profesora, asociadas a la categoría fortalezas y dificultades asociadas al aprendizaje, observamos que se manifiesta conocimiento acerca de las concepciones erróneas de los alumnos respecto a la idea que tienen de los números racionales (su asociación con la fracción). Eso sucede dado que frecuentemente solo se trabaja con los racionales como parte-todo (e.g., Lamon, 2007) y los alumnos quedan con una idea parcial y limitada de los números racionales, lo mismo ocurriendo con los profesores, en ejercicio o futuros (e.g., Pinto y Ribeiro, 2013). Asimismo, Ana se da cuenta de que los alumnos se quedan con una idea errónea a partir de solo un ejemplo respecto a la posición y el número de cifras que podría tener el período. En ambos casos se trata de un obstáculo didáctico. Ana ha mostrado saber que ciertos conceptos y procedimientos no son apropiados para tratar en el cierto nivel de la escolarización (e.g. la formalización del concepto de densidad o trasformaciones de decimales periódicos o semiperiódicos a fracción en el 8 o básico) debido a las limitaciones del alumno en algún momento de su desarrollo (obstáculo ontogenético). Por otra parte, en cuanto a la categoría formas de interacción de los alumnos con el contenido matemático, que se ha evidenciado respecto a las formas de razonar y proceder de sus alumnos, Ana normalmente se da cuenta de los razonamientos erróneos de sus alumnos y trata de subsanarlos dando la explicación apropiada y

4 corrigiendo sus errores. No obstante, en el periodo de la práctica analizada, son escasas las oportunidades donde los alumnos expresan sus razonamientos. Relativo al conocimiento de Ana asociado a la categoría formas de aprendizaje, la profesora ha expresado no aplicar ninguna teoría en particular en su práctica, no obstante, su manera de proceder en las clases revela una enseñanza tradicional con la introducción de contenidos, fórmulas y algunos ejemplos para facilitar la comprensión de los alumnos y posteriormente aplicación de dichos contenidos y fórmulas, que implícitamente supone que de esta manera los alumnos aprenden matemáticas. Por último, observamos el conocimiento de Ana acerca de las concepciones de los alumnos sobre matemáticas cuando propone jugar el dominó de números racionales, haciendo explícito el hecho que la Matemática puede ser entretenida. Una vez que el KFLM se refiere al conocimiento del profesor acerca de las características del proceso de aprendizaje y comprende las habilidades para identificar los errores, conceptos previos, las dificultades de aprendizaje y concepciones inadecuadas que traen los alumnos acerca de un contenido matemático particular, además se relaciona estrechamente con otros subdominios del conocimiento matemático especializado del profesor, particularmente con el conocimiento que se refiere a aspectos de la enseñanza de la matemática (KMT). Un conocimiento profundo asociado a los indicadores del KFLM permitirá al profesor, entre otros, aprovechar los comentarios y dudas de los alumnos, y anticipar sus posibles errores (conocimiento los porqués matemáticos que los pueden sustentar) de modo a crear situaciones de aprendizaje asociadas a la selección y exploración de estrategias apropiadas para favorecer la superación de los mismos, posibilitando la adquisición (y desarrollo) de un nuevo conocimiento por parte de sus alumnos. 6 Implicancias para la formación inicial y continúa de profesores Los resultados de la investigación nos permiten reflexionar sobre como refinar cada una de las categorías en el subdominio del KFLM, por otro lado, nos lleva a cuestionar y reflexionar, en particular, sobre formas de acceder y desarrollar ese conocimiento en los profesores, y en formas de estructurar la formación de profesores para potenciar ese desarrollo. De ahí, son las siguientes las implicancias para la formación inicial y continua de profesores: Analizar y reflexionar sobre episodios de clase (videograbados o transcritos) y producciones de alumnos de sistema escolar con posibles respuestas alternativas, con el foco en distintos aspectos del conocimiento del profesor (tanto lo que se refiere al conocimiento involucrado, como lo que se configuraría el conocimiento ideal) para explorar esas situaciones de modo que los futuros profesores puedan entender lo que hacen y porqué lo hacen en cada momento. Consideramos que de este modo se configura una de las formas de contribuir al desarrollo de las competencias profesionales de los titulados de los programas de formación inicial de profesores y para su formación continua. Como formadores de profesores, preparar e implementar tareas que permitan comprensión significativa de las matemáticas (amplitud, profundidad y rigurosidad) que le permitiría al futuro profesor aprovechar las oportunidades para favorecer un aprendizaje significativo de sus alumnos. Desarrollar tareas que sean un puente entre teoría y práctica. Fortalecer la vinculación entre la universidad y el sistema escolar, a través de coinvestigación entre los formadores de profesores y profesores en ejercicio, difusión y discusión de los resultados de las investigaciones que se han llevado a cabo. 7 Agradecimientos Agradecemos el apoyo del Convenio de Desempeño, MECESUP (CD UCV-1203)

5 Referencias y bibliografía Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: what makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), Carpenter, T., Fennema, E., Franke, M., Levi, L. & Empson, S. (2000). Research and cognitively guided instruction: A Research-Based Teacher Professional Development Program for Elementary School Mathematics. University of Wisconsin-Madison: National Center of Improving Student Learning & Achievement in Mathematics & Sciences. Carrillo, J., Climent, N., Contreras, L. C., & Muñoz-Catalán, M. C. (2013). Determining Specialized Knowledge for Mathematics Teaching. In B. Ubuz, C. Haser & M. A. Mariotti (Eds.), Proceedings of the VIII Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME 8) (pp ). Antalya: Middle East Technical University, Ankara. Cohen L. & Manion L. (2002). Métodos de investigación educativa. Madrid: La Muralla. Flores-Medrano, E., Escudero-Ávila, D., Montes, M., Aguilar, Á., & Carrillo, J. (2014). Nuestra modelación del conocimiento especializado del profesor de matemáticas, el MTSK. En J. Carrillo, N. Climent, L.C. Contreras, M. Montes, D. Escudero-Ávila, & E. Flores-Medrano (Eds.), Un marco teórico para el conocimiento especializado del profesor de Matemáticas. Universidad de Huelva Publicaciones: Huelva. Jakobsen, A., Ribeiro, C. M. & Mellone, M. (2014). Norwegian prospective teachers MKT when interpreting pupils productions on a fraction task. Nordic Studies in Mathematics Education, 19(3-4), Llinares, S., Valls, J., & Roig, A.I. (2008). Aprendizaje y diseño de entornos de aprendizaje basado en videos en los programas de formación de profesores de matemáticas. Educación Matemática: Santillana 20(3), Lamon, S. (2007). Rational numbers and proportional reasoning. In F. Lester (Ed.), Second handbook of mathematics teaching and learning (pp ). Greenwich, CT: Information Age Publishing. Mochón, S. (2010). La relación del comportamiento del profesor con el avance cognitivo de los estudiantes al introducir un software educativo en el aula. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 13(4-II), Morales Vallejo, P (2006). Implicaciones para el profesor de una enseñanza centrada en el alumno. Miscelánea Comillas, 64 (124), pp Disponible en: [Consulta realizada ] Pinto, H., & Ribeiro, C. M. (2013). Conhecimento e formação de futuros professores dos primeiros anos - o sentido de número racional. Da Investigação às Práticas, 3(1), Ribeiro, C. M. & Carrillo, J. (2011). The role of beliefs and knowledge in practice. In B. Roesken & M. Casper (Eds.) Current state of research on mathematical beliefs XVII MAVI 17 (pp ). Bochum: Professional School of Education, Ruhr-Universität Bochum. Rowland, T. (2008). The purpose, design and use of examples in the teaching of elementary mathematics. Educational Studies in Mathematics, 69, Shulman, L. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15 (2), Stake, R. E. (2007). Investigación con estudio de casos. Madrid: Morata.