3º ESO ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa ECUACIONES

Transcripción

1 º ESO ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. ECUACIONES.- ECUACIONES Una ecuación es una igualdad donde se desconoce el valor de una letra (incógnita o variable). El valor de la variable que hace que se cumpla la igualdad se llama solución de la ecuación. Si hay más de una variable estaremos hablando de sistemas. Hay muchos tipos de ecuaciones y sistemas, en esta unidad veremos varios modelos, algunos conocidos y otros nuevos para nosotros..- ECUACIONES POLINÓMICAS. Ecuaciones polinómicas de primer grado Poco decir sobre ellas, en este curso es una herramienta más que un fin. Recordar que desde un punto de vista teórico son la regla de suma y la regla del producto, las que nos permiten utilizar las famosas epresiones de ecuaciones: ~ Todo lo que suma y cambia de lado pasa restando. ~ Todo lo que resta y cambia de lado pasa sumando. ~ Todo lo que multiplica y cambia de lado pasa dividiendo. ~ Todo lo que divide y cambia de lado pasa multiplicando. EJEMPLO_ Resuelve y comprueba la siguiente ecuación: 9 9 Comprobación : Ecuaciones polinómicas de segundo grado Todas las ecuaciones de segundo grado (a + b + c = 0), sean completas o incompletas, se pueden resolver mediante la fórmula de la ecuación de segundo grado: b b a ac b b a ac y b b a ac * NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Dada la ecuación: a + b + c = 0 se tiene: b b ac, puede tener dos, una o cero soluciones a dependiendo del valor del discriminante = b ac de la ecuación: ~ Si >0 b ac > 0 Dos soluciones. ~ Si =0 b ac = 0 Una solución (solución doble). ~ Si <0 b ac < 0 Ninguna solución.

2 º ESO ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. EJEMPLO_ Resuelve y comprueba la siguiente ecuación: + 8 = = ( ) Comprobación: = () + 8 () = 9 + = 0 = ( ) + 8 ( ) = 88 = 0., Ecuaciones polinómicas de segundo grado incompletas Dada la ecuación a + b + c = 0 se dice incompleta cuando: ~ a=0 b + c = 0, no es una ecuación de segundo grado, es una ecuación de primer grado. ~ c=0 a + b = 0, se puede resolver aplicando factor común: (a + b) = 0 y el siguiente resultado: A 0 A B 0 ó B 0 Si, supone que a b 0 0 ó - b a b 0 c ~ b=0 a + c = 0, se puede resolver despejando c a ~ b=0 y c=0 a = 0, se puede resolver despejando = 0 EJEMPLO_ Resuelve y comprueba las siguientes ecuaciones: a) = 0 ( ) = =0 y = Comprobación: = 0 (0) (0) = 0 0 = 0 = () () = 8 8 = 0 b) 8 = 0 = =9 y = 9 Comprobación: = 9 (9) 8 = 8 8 = 0 = 9 ( 9) 8 = 8 8 = 0. Ecuaciones polinómicas de tercer grado o superior Las ecuaciones polinómicas de tercer grado o superior se pueden denotar de la siguiente manera: A + B + C + D = 0 A + B + C + D + E = 0 Estas ecuaciones se resuelven como se procedía en la factorización de polinomios, la primera solución (raíz en polinomios) se obtiene a ojo, de entre los divisores del término independiente, cuando se ha encontrado esta solución aplicamos Ruffini con ella, se hace lo mismo otra vez hasta lograr un polinomio de segundo grado y entonces es aconsejable usar la ecuación de segundo grado o las epresiones notables. EJEMPLO_ Resuelve y comprueba la siguiente ecuación: 0 = 0 - No hay término independiente, significa que =0 es una solución y que se puede sacar factor común a. es decir, A 0 - Debemos resolver la ecuación resultante: ( 0) = 0, aplicando A B 0 B 0 0 Si,, probamos con los divisores de 0, {,,,,, 0}, para ver cuál da cero, P( ) = ( ) ( ) ( ) 0 = + 0 = 0, supone que = es otra solución de la ecuación y aplicando Ruffini nos queda:

3 º ESO ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Resto: R() = 0 Cociente: C() = 0 - Finalmente, resolvemos la ecuación de segundo grado que hemos obtenido:.- 0= 0 = ( ) ( 0) 0 = y = Si en polinomios al final dábamos una tabla con las raíces y los factores y debía aparecer el polinomio factorizado, en ecuaciones tan solo nos solicitan las soluciones y estas son: =0, =, = y = Comprobación: = = = 0 = ( ) ( ) ( ) 0 = + 0 = 0 = 0 = = 0 = ( ) ( ) ( ) 0 = = 0 En ocasiones al buscar una solución para aplicar Ruffini se encuentra, no la menor de ellas, sino otra de las que quedan, así en este caso si en lugar de encontrar la solución =, se hubiera encontrado la solución =, el ejercicio se terminaría: Resto: R() = 0 Cociente: C() = Finalmente, resolvemos la ecuación de segundo grado que hemos obtenido: = 0 = = y = Donde vemos que las cuatro soluciones son las mismas aunque se obtienen en diferente orden.. Ecuaciones bicuadradas Una ecuación bicuadrada sigue la epresión: A + B + C = 0. Se puede resolver como una ecuación cualquiera de cuarto grado o aplicando el método de ecuaciones bicuadradas que eponemos en el siguiente ejemplo. EJEMPLO_ Resuelve y comprueba la siguiente ecuación bicuadrada: + = 0 Aplicamos el siguiente cambio de variable: t t + = 0 t t + = 0 t = 900 t t 9 t t Ahora debemos deshacer el cambio: 9 9 Comprobaci ón : t Comprobaci ón : (-) ( ) (-) ( ) t Por tanto las soluciones son: =, =, = y =, se puede observar que en las ecuaciones bicuadradas las soluciones siempre vienen por parejas, un valor y su opuesto.

4 º ESO ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS..- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Son sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas con eponente uno (los que ya conocemos). Los sistemas se clasifican en función del número de soluciones en: S.C.D. Sistema Compatible Determinado S.C.I. Sistema Compatible Indeterminado S.I. Sistema Incompatible Una solución Infinitas soluciones No tiene solución + y = 7 y = = Solución única: y Infinitas soluciones: + y = 8 + y = 0 = 0 y y 0 y + y = 7 + y = 0 = Solución imposible Para resolverlos eisten diversos métodos: sustitución, reducción, igualación (caso particular de sustitución), gráfico, Cramer (se estudia en bachillerato, normalmente con sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas), Gauss (lo aplicaremos a la resolución de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, en.º de ESO)...- MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS...- MÉTODO DE SUSTITUCIÓN + y = - y = - Paso _ Despejamos la o la y en una de las dos ecuaciones: y Paso _ Sustituimos la letra despejada en ) en la ecuación que no se utilizó para despejar la incógnita, por y tanto debemos sustituir la en la segunda ecuación: y, hemos conseguido dejar el sistema convertido en una ecuación de primer grado con una variable, en este caso la y. Paso _ Resolvemos la ecuación que hemos obtenido en el paso ) y calculamos el valor de y : y y 0 0y 9y 0 0y 9y 9y y 9 Paso _ Una vez hallado el valor de y, volvemos a la epresión del apartado ) y calculamos el valor de y 0 En este paso hay quien prefiere sustituir el valor de y en una de las dos ecuaciones y calcular así el de : Aquí: + y = + = + 0 = = 0 = O aquí: y = = = = + = 8 8 Paso _ Dar la solución de forma clara: y Paso _ COMPROBAR EL SISTEMA. Debemos comprobar las dos ecuaciones: + y = + = + 0 = = y = = 8 = =

5 º ESO ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. Podemos observar que si se despeja otra letra en otra ecuación el resultado no cambia: y y y y MÉTODO DE REDUCCIÓN 8 y 9 8 Al aplicar el método de reducción podemos distinguir dos variantes del mismo....a.- MÉTODO DE REDUCCIÓN SIMPLE + y = - y = - Paso _ Debemos conseguir el mismo coeficiente para las o para las y. La forma más rápida de conseguirlo es multiplicar la ecuación primera por el coeficiente de las de la segunda ( en este caso) y multiplicar la segunda ecuación por el coeficiente de la de la primera ( en este caso). + y = ( ) + 0y = 0 y = ( ) 9y = Paso _ Hemos conseguido que las tengan el mismo coeficiente, además como tiene el mismo signo (+ en ambos casos) debemos restar para que se anulen, (si hubieran tenido diferente signo se hubieran sumado para anularlas). Una vez anulada una incógnita (en este caso la ), en la epresión obtenida se despeja la otra variable (en este caso la y ). _ + 0y = 0 9y = Paso _ calculamos así el de : 9y = y 9 Una vez hallado el valor de y, sustituimos el valor de y en una de las dos ecuaciones y Aquí: + y = + = + 0 = = 0 = O aquí: y = = = = + = 8 8 Paso _ Dar la solución de forma clara: y Paso _ COMPROBAR EL SISTEMA. Debemos comprobar las dos ecuaciones: + y = + = + 0 = = y = = 8 = =...B.- MÉTODO DE REDUCCIÓN DOBLE O MÉTODO DE REDUCCIÓN PURO + y = - y = - Paso _ Debemos conseguir el mismo coeficiente para las o para las y. La forma más rápida de conseguirlo es multiplicar la ecuación primera por el coeficiente de las de la segunda ( en este caso) y multiplicar la segunda ecuación por el coeficiente de la de la primera ( en este caso).

6 º ESO ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. + y = ( ) + 0y = 0 y = ( ) 9y = Paso _ Hemos conseguido que las tengan el mismo coeficiente, además como tiene el mismo signo (+ en ambos casos) debemos restar para que se anulen, (si hubieran tenido diferente signo se hubieran sumado para anularlas). Una vez anulada una incógnita (en este caso la ), en la epresión obtenida se despeja la otra variable (en este caso la y ). _ + 0y = 0 9y = 9y = y 9 Paso _ Una vez hallado el valor de y, para lograr el valor de hacemos lo mismo que en el paso ) pero aplicado a la y, es decir, multiplicamos la primera ecuación por y la segunda ecuación por : + y = ( ) 9 + y = 78 y = ( ) 0 y = 0 Paso _ Hemos conseguido que las y tengan el mismo coeficiente, además como tiene el distinto signo (+ y ) debemos sumar para que se anulen. Una vez anulada una incógnita (en este caso la y ), en la epresión obtenida se despeja la otra variable (en este caso la ). 9 + y = 78 0 y = 0 9 = Paso _ Dar la solución de forma clara: y Paso _ COMPROBAR EL SISTEMA. Debemos comprobar las dos ecuaciones: + y = + = + 0 = = y = = 8 = =...- MÉTODO DE IGUALACIÓN El método de igualación es un método poco utilizado, además se puede considerar como un caso particular del método de sustitución. Se utiliza cuando aparece despejada la misma letra en ambas ecuaciones, ocurre en los sistemas preparados para el método gráfico, pues si no hay que despejar de las ecuaciones originales y esto supone más trabajo que el propio método de sustitución. + y = - y = - Paso _ Como no tenemos despejada ninguna letra, debemos hacerlo nosotros. Habitualmente se despeja la y en ambas ecuaciones, pues esta es la forma que se utiliza en las funciones: (y=m+n) Despejamos la y en la primera ecuación: y Despejamos la y en la segunda ecuación: y Paso _ Igualamos ambas epresiones, se puede utilizar cualquiera de las formas despejadas, normalmente se prefiere la primera forma con una sola fracción, y resolvemos la ecuación en obtenida: y y y y

7 º ESO ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. Paso _ Una vez hallado el valor de, volvemos a la epresión despejada en ) y calculamos el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones, da igual en cuál de las dos se haga pues si la está bien obtenida el resultado de la y debe ser el mismo: Calculamos la y en la primera ecuación: y 0 Despejamos la y en la segunda ecuación: y 8 En este paso hay quien prefiere sustituir el valor de en una de las dos ecuaciones y calcular así el de y : Aquí: + y = + y = + y = y = y = 0 y 0 O aquí: y = y = 8 y = y = 8 y = y Paso _ Dar la solución de forma clara: y Paso _ COMPROBAR EL SISTEMA. Debemos comprobar las dos ecuaciones: + y = + = + 0 = = y = = 8 = =...- MÉTODO GRÁFICO El método gráfico nos permite calcular la solución del sistema dibujando las dos rectas que representan las dos ecuaciones que forman el sistema. Si las dos rectas se cortan en un punto, tenemos un S.C.D. con una solución, si las dos rectas coinciden, tenemos un S.C.I. con infinitas soluciones, (todos los puntos de la recta que es la misma) y si las dos rectas son paralelas, tenemos un S.I., pues al no tener ningún punto en común, no eiste solución. + y = - y = - Paso _ Aunque no es obligatorio, solemos despejar la y en ambas ecuaciones buscando la epresión y=m+n, para posteriormente dar una tabla de valores de cada recta (función), lo importante es conseguir los valores de la tabla, pero no importa tanto el cómo conseguirlo. Despejamos y en las dos ecuaciones: y y Paso _ Con los valores de la tabla representamos las dos gráficas y se halla el punto de corte. Y Y Paso _ Dar la solución de forma clara: y Paso _ COMPROBAR EL SISTEMA. Debemos comprobar las dos ecuaciones: + y = + = + 0 = = y = = 8 = = 7

8 º ESO ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS..- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS La resolución de problemas es una de las partes que os resulta más complicada. Para mejorar en esta faceta debemos practicar y además tener en cuenta unas consideraciones: ~ En primer lugar, hay de leer el enunciado varias veces de una forma comprensiva, si hay palabras que no se entienden se deben buscar en el diccionario. ~ En segundo lugar, hay que traducir a lenguaje algebraico la información etraída del enunciado, lo que llamamos plantear el problema. ~ En tercer lugar, hay que resolver la ecuación o sistema planteado. ~ Por último, hay que comprobar la solución. Aquí hay que tener en cuenta que si se comprueba sobre la ecuación planteada, puede ocurrir que la misma esté mal planteada pero bien resuelta y entonces la comprobación nos dirá que se ha resuelto bien esa ecuación, lo cual no implica que el problema esté correctamente resuelto. Realmente hay que comprobar la ecuación sobre el enunciado, es decir, volver a leer el enunciado y sustituir los número desconocidos por las soluciones halladas, de todas formas puede ocurrir que se compruebe sobre el enunciado pero que no lo hayamos interpretado correctamente y por consiguiente concluyamos que es correcto algo que no lo es. De todas formas, ánimo y a intentarlos, solo practicando podremos mejorar en la resolución de problemas. EJEMPLO_ Resuelve el siguiente problema: Antonio se ha pensado un número natural que cumple lo siguiente: Si sumas su cuadrado con el cuadrado del siguiente se obtiene el cuadrado del anterior más doce. Qué número se ha pensado Antonio? Determinamos qué es, normalmente se obtiene como respuesta a la pregunta final: : Número que ha pensado Antonio Planteamos la ecuación en función de la información que nos transmite el enunciado: + (+) = ( ) + Resolvemos la ecuación: + (+) = ( ) = = 0 ( ) 8 8 Comprobamos la solución = en el enunciado, si se hace sobre la ecuación planteada nos aseguramos de que se ha resuelto bien la ecuación planteada pero no podemos estar seguros de que esté bien planteado: Antonio se ha pensado un número natural que cumple lo siguiente: Si sumas su cuadrado con el cuadrado del siguiente = y + = = = se obtiene el cuadrado del anterior más doce = = + =. Qué número se ha pensado Antonio? En este caso la solución = no vale pues es un número no natural. 8

9 º ESO ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. NOTAS_ ECUACIONES * SÍMBOLOS: _ Implica ó quiere decir ó supone que, la relación es cierta de izquierda a derecha. _ Implica ó quiere decir ó supone que, la relación es cierta de derecha a izquierda. _ Doble implica, la relación es cierta en ambos sentidos. _ Distinto _ Infinito _ Aproimado _ Pertenece _ No pertenece / _ Tal que Π _ Tal que _ Eiste _ No eiste α _ Alfa β _ Beta _ Gamma * REGLA DE LA SUMA Y REGLA DEL PRODUCTO PARA ECUACIONES ~ Regla de suma: Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta un mismo número o epresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente. ~ Regla del producto: Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por un mismo número o epresión algebraica distintos de cero, se obtiene una ecuación equivalente. En la práctica, aplicar estas reglas tal como se eponen supondría alargar demasiado la resolución de las ecuaciones pues habría que actuar del siguiente modo: Resolver la ecuación de primer grado: = = = (Regla de la suma) = (Regla de la suma) = 8 8 = (Regla del producto) = Comprobación: = = = 8 + = Por eso ambas reglas se reducen a la epresión: Lo que suma pasa restando, lo que resta pasa sumando, lo que multiplica pasa dividiendo y lo que divide pasa multiplicando. Tener en cuenta que la regla del producto es la que permite eliminar los denominadores en una ecuación (lo que realmente hacemos es multiplicar ambos miembros por el denominador) (Regla del producto) En la práctica nunca escribimos este paso, pero lo que se hace realmente es multiplicar todo por (Regla del producto) En la práctica nunca escribimos este paso, pero lo que se hace realmente es dividir todo por 0 9

10 º ESO ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. 0 Comprobación: = * CURIOSIDAD SOBRE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Dada la ecuación a + b + c = 0, siempre que a= y siendo sus soluciones y se cumple que: ~ la suma de las dos soluciones es igual al coeficiente de la cambiado de signo: + = b ~ el producto de las dos soluciones es igual al término independiente: = c * EXPRESIONES NOTABLES: a) (a+b) = a + ab + b El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo b) (a b) = a ab + b El cuadrado de una resta es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo c) (a+b) (a b) = a b Suma por diferencia, diferencia de cuadrados 0