Ejemplo.- La desigualdad: 2x + 1 > x + 5, es una inecuación por que tiene una incógnita x que se verifica para valores mayores que 4.

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Ejemplo.- La desigualdad: 2x + 1 > x + 5, es una inecuación por que tiene una incógnita x que se verifica para valores mayores que 4."

Javier González Salas
hace 6 años
Vistas:

1 INECUACIONES.- DEFINICION.- Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que solo se verifica para determinados valores de la incógnita o incógnitas. Ejemplo.- La desigualdad: 2x + 1 > x + 5, es una inecuación por que tiene una incógnita x que se verifica para valores mayores que 4. INTERVALOS.- Los intervalos son sub-conjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica real.

2 Nota.- 1 Si x [a, b] a x b Ejemplo.- Demostrar que: si x [2,4] entonces 2x + 3 [7,11] Solucion x [2,4] 2 x 4, multiplicando por 2 4 2x 8, sumando 3 7 2x Si 7 3x x + 3 [7,11] Por lo tanto, si x [2,4] 2x + 3 [7,11] 2 Si x < a, b > a < x < b Demostrar que: Si x < a, b > a < x < b 2x 6 < 4,4 > 4 < 2x 6 < 4, sumando 6 2 < 2x < 10 dividiendo entre 2 1 < x < 5, entonces x < 1,5 > Por lo tanto, si 2x 6 < 4,4 > x < 1,5 > CONJUNTO SOLUCION DE UNA INECUACION Se llama conjunto solución de una inecuación a todos los números reales que la verifiquen, es decir, que dichos números reales dan la desigualdad en el sentido prefijado.

3 RESOLUCION DE UNA INECUACION.- El resolver una inecuación consiste en hallar un conjunto solución: es decir, encontrar el intervalo donde están los valores que puede tomar la incógnita para que verifique la inecuación. INECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA INCOGNITA.- Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, son de la forma: ax + b > 0 ó ax + b < 0, a 0 Para resolver estas inecuaciones se debe considerar a > 0, es decir, si a > 0, entonces: Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones. 3x 4 < x + 6 Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, se resuelve, expresando la inecuación en la forma: En un solo miembro se pone la incógnita, en el otro miembro los números, es decir:

4 3(x 4) + 4x < 7x + 2 Poniendo en un sólo miembro la incognita y el otro miembro los números: Esta desigualdad obtenida es cierta, entonces la solucion de la inecuación dada, es el conjunto de todos los números reales 5x 4(x + 5) < x 24 En forma análoga a los ejemplos anteriores en un solo miembro ponemos las incógnitas y en el otro miembro los números: 5x 4x x < simplificando 0 < 4 Como la desigualdad obtenida no es correcta, entonces no hay ningún valor de x, que verifique que la inecuación dada. Por lo tanto la solución es el vacio. INECUACION DE SEGUNDO GRADO EN UNA INCOGNITA Las inecuaciones de segundo grado en una incógnita son de la forma: ax 2 + bx + c > 0 ó ax 2 + bx + c < 0, a 0 Donde a,b,c pertenecen a los reales, siendo a diferente de cero, la solución de estas inecuaciones se obtiene mediante las propiedades de los números reales o también por medio de la naturaleza de las raíces del trinomio ax 2 + bx + c = 0. a) CARÁCTER DE LAS RAICES DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO. Consideremos el trinomio de segundo grado ax 2 + bx + c = 0, con a > 0. (1) Al analizar el valor numero de la ecuación (1) dando valores reales a x se presentan tres casos: 1 er caso.- Si = b 2 4ac > 0, entonces hay dos valores reales diferentes r 1 < r 2 que anula al trinomio ax 2 + bx + c = 0.

Es decir: a(x r 1 )(x r 2 ) = 0, si se hace variar x a lo largo de la recta real resulta: I) Cuando x toma valores menores que r 1, los factores (x r 1 )y (x r 2 ) son negativos, luego el trinomio ax

5 Es decir: a(x r 1 )(x r 2 ) = 0, si se hace variar x a lo largo de la recta real resulta: I) Cuando x toma valores menores que r 1, los factores (x r 1 )y (x r 2 ) son negativos, luego el trinomio ax 2 + bx + c, tiene el mismo signo del coeficiente de a. II) Cuando x toma valores intermedio entre r 1 y r 2 : entonces el factor (x r 1 ) es positivo y el factor (x r 2 ) es negativo, luego el trinomio ax 2 + bx + c, tiene signo opuesto del coeficiente de a. III) Cuando x toma valores mayores que r 2, entonces los factores (x r 1 ), (x r 2 ) son positivos, luego el trinomio ax 2 + bx + c, tiene el mismo signo del coeficiente de a. 2do caso.- Si = b 2 4ac = 0, entonces hay un solo valor real r 1 = r 2= r, que anulan el trinomio ax 2 + bx + c, luego como (x r) 2 es positivo, el signo del trinomio ax 2 + bx + c es el mismo del coeficiente de a. 3er caso.- Si = b 2 4ac < 0, entonces se tiene dos valores no reales r 1 = α + βi y r 2 = α βi que anulan el trinomio ax 2 + bx + c, y para cualquier valor de x, el trinomio: ax 2 + bx + c tiene el mismo signo del coeficiente de a : b) RESOLUCION DE UNA INECUACION DE SEGUNDO GRADO.- Para resolver una inecuación cuadrática de las formas ax 2 + bx + c > 0 ó ax 2 + bx + c < 0, donde a,b,c existen en R, a diferente de 0, por medio de la naturaleza de las raíces primero se resuelve la ecuación ax 2 + bx + c = 0, y de acuerdo a la naturaleza de las raíces se presenta tres casos: 1er Caso.- Si la ecuación ax 2 + bx + c = 0, tiene dos raíces reales diferentes r 1 < r 2.

6 r 2= r. 2do Caso.- Si la ecuación ax 2 + bx + c = 0, tiene una raíz real única r 1 = 3er Caso.- Si la ecuación ax 2 + bx + c = 0, tiene dos raíces no reales. RESUMIENDO EN EL SIGUIENTE CUADRO. Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones.- 2x 2 + x 10 > 0 Solucion Resolveremos la inecuación usando propiedades de los números reales:

7 2x 2 x 10 > 0 (x + 2)(2x 5) > 0 (x + 2)(2x 5) > 0 (x + 2 > 0 2x 5 > 0) (x + 2 < 0 2x 5 < 0) (x > ) (x < 2 x < 5 2 ) Otra forma de resolver esta inecuación, es por la naturaleza de sus raíces de la ecuación 2x 2 + x 10 = 0, de donde r 1 = 2, r 2 = 5 2, luego r 1 < r 2 y como 2x 2 + x 10 > 0, de 2 x 2 + 8x 65 < 0 Usando propiedades de los números reales Completando cuadrados en x 2 + 8x 65 < 0 Se tiene: x 2 + 8x 16 < (x + 4) 2, aplicando la propiedad (x + 4) 2 < < x + 4 < 81

8 9 < x + 4 < 9 13 < x < 5 La solución es Ahora resolveremos la inecuación por medio de la naturaleza de las raíces de x 2 + 8x 65 = 0, es decir (x + 13)(x 5) = 0 de donde r 1 = 13, r 2 = 5 De acuerdo al cuadro es: 3.- x x > 0 Solucion Mediante propiedad de los números reales se tiene: Entonces:, por lo tanto la solución es: Ahora veremos de acuerdo a la naturaleza de las raíces:.- x x = 0 r = 10 en multiplicidad de 2, y como.- x x > 0, de acuerdo al cuadro la solución es: 4.- x x < 0 Solucion Aplicando la propiedad de los números reales: Luego x x < 0 (x )2 < 0 pero (x )2 0, entonces no existe ningún valor real para x que verifique a la inecuación es decir:. Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raíces de la ecuación x x = 0, de donde r = 3 10 de multiplicidad dos, pero se tiene que x x < 0 y de acuerdo al cuadro la solución es:.

Documentos relacionados

Capitulo IV - Inecuaciones

Capitulo IV - Inecuaciones Definición: Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnita o