PROBLEMAS DINÁMICA DE FLUIDOS

Transcripción

1 PROBLEMA DINÁMICA DE FLUIDO

2 PROBLEMA En una tubería horizontal hay dos secciones diferentes, cuyos radios son cm y 8 cm respectivamente. En cada sección hay un tubo vertical abierto a la atmósfera, y entre ellos se aprecia una diferencia en el nivel que alcanza el líquido que circula por la tubería. a) Cómo varía la diferencia de nivel entre los dos tubos abiertos si el flujo volumétrico se duplica? En cuál de ellos es mayor la altura alcanzada por el líquido? b) i la densidad del líquido circulante es.6 g/cm 3 y su velocidad en la parte ancha es,5 m/s, determinar la diferencia de nivel en los tubos abiertos y la diferencia de presiones entre ambas secciones de la tubería. h c c

3 PROBLEMA Ecuación de Bernoulli Apartado a) z h z P + ρ c + ρgy P + ρ c + ρgy y R c c R y P P ρ ( c c ) P atm ρ P + gz P Patm + ρgz P ( z ) P g z ρ ρgh Por continuidad c < c Como P > P, z -z h > El fluido asciende más sobre la parte ancha de la conducción Esto implica P > P La altura h es proporcional a la diferencia de presiones P - P h P P ρg 3

4 PROBLEMA i el flujo volumético c se duplica la ecuación de continuidad predice que las velocidades se duplican también y R z h h c z R Es decir, si a una diferencia de presiones P P correspondía una diferencia de nivel y h... a la diferencia de presiones 4( P P ) Por lo tanto la diferencia de presiones aumenta: c P ρ ( c ) ( c ) P P ρg [ ] ( c ) ρ c le corresponde h 4h ( P ) 4 P En general, la diferencia de nivel entre los tubos abiertos aumenta proporcionalmente al cuadrado del flujo volumétrico 4

5 PROBLEMA Cálculo de la velocidad en la parte estrecha (continuidad): Apartado b) R, m R,8 m R c R c P P ρ ( c c ) R ρ R c c Pa h P P ρg m h z z R c c R y y 5

6 PROBLEMA Un depósito cilíndrico de área A m contiene agua hasta una altura z.5 m. Cuando se abre un grifo situado a 5 cm del fondo, se observa que el nivel de agua desciende muy lentamente. El grifo abierto puede considerarse un agujero de sección cm. Demuéstrese que la ecuación que relaciona el tiempo transcurrido con el nivel de agua desde el momento en que se abrió el grifo es: Cuánto tiempo tardará el depósito en vaciarse? t ituación inicial z g A [ z z ] / ituación cuando ha transcurrido un tiempo t z.5 m A m z.5 m z z(t) cm A m h.5 m 6

7 PROBLEMA Admitiremos que cuando se abre el grifo el nivel de la superficie desciende con suficiente lentitud como para suponer que la velocidad de salida de agua por el mismo cumple la ecuación de Torricelli: c( t) g z( t) Cuando transcurre un intervalo de tiempo dt, el nivel desciende. ituación cuando ha transcurrido un tiempo t Volumen dv vaciado en dt ituación cuando ha transcurrido un tiempo t+dt dv A z.5 m z.5 m z z(t) cm c(t) h.5 m z z(t) cm h.5 m A m A m 7

8 PROBLEMA Consideremos el volumen de control indicado por la línea discontinua roja dm dv Disminución de masa dentro del volumen de control: m& ρ ρ A dt dt dt Flujo de masa que atraviesa la frontera del volumen de control (a través del grifo): m& ρ c Aplicando la conservación de la materia: dm dt ρ c ρ A ρ c dt Recordemos ahora que A g z / c g z (donde c y z son funciones del tiempo) dt z.5 m z z(t) ituación cuando ha transcurrido un tiempo t+dt dv A cm A m c h.5 m 8

9 PROBLEMA A g z / dt Integramos: z A / g z z t dt A g / z [ z ] [] t t z A g [ z z ] t t A z A [ z z] t [ z / z ] g g Tiempo de vaciado: esto significa calcular el tiempo necesario para que el nivel del líquido descienda hasta la altura del grifo, es decir: t [.5/.5] 37 s 3 ugerencia: Véase además la siguiente dirección web 9

10 PROBLEMA 3 Una tubería horizontal de cm de sección recta termina en una boquilla de sección 5 cm, colineal con el eje de la tubería, por la cual se descarga agua a un recipiente abierto. Entre la tubería y la boquilla está instalado un tubo de Venturi para medidas de caudal (véase figura). El líquido manométrico del venturímetro tiene una densidad ρ m 36 kg/m 3 (3,6 veces superior a la del agua circulante). La diferencia de altura entre las dos ramas del venturímetro es h 43 mm, y la presión atmosférica en el momento de la medida es bar. uponga que el agua circula en régimen ideal. h 43 mm Calcule las velocidades en la tubería y en la boquilla, determine el caudal y el flujo másico de agua y la presión en la tubería.

11 PROBLEMA 3 Aplicaremos la Ec. de Bernoulli junto con la ec. de continuidad y la condición de diferencia de presiones que obtendremos del venturímetro, para determinar la velocidad del agua en las distintas secciones y de ahí el flujo másico y volumétrico. Fluido, densidad ρ c c y y A h A Fluido manométrico, densidad ρ m z Aplicamos Bernoulli entre y B + ρ c + ρgy P + ρ c + ρgy P Ecuación de continuidad c c c c ( c c ) ρ P A P + ρg( h + z ) P B P + ρgz P P PA PB + ρ gh P m A PB ρmgh ρc P P PA PB ρgh ( ρm ρ )gh P P ρc gh ( ρ ρ) m c ρ ( ρm ρ ) ( ) [ ] gh

12 PROBLEMA 3 c ( ρm ρ ) ( ) gh [ ] ( ) ( 5) [ ] ρ c. 5 c 8. m/s. m/s V & 4 3 c. 4. m /s 4. litros/s 3 m & ρv& kg litros 4. litro s kg 4. s ρc P m P ( ρ ρ) gh 36 Pa Presión exterior P bar 5 Pa Presión en tubería P bar +.36 bar.3 bar