Apuntes de Probabilidad Curso 2017/2018 Esther Madera Lastra

Transcripción

1 1. EXPERIMENTO ALEATORIO Un experimento aleatorio es aquel que al ser realizado en idénticas condiciones, no se puede predecir el resultado que se va a obtener en una relación concreta, aunque se conozcan de antemano los posibles resultados. Ejemplos: 1) Lanzamiento de un dado, observando el resultado de la cara superior. 2) Lanzamiento de una moneda. 3) Extracción de una carta de una baraja. 2. ESPACIO MUESTRAL El espacio muestral asociado a un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados de dicho experimento. Lo denotamos por E. Ejemplos: 1) En el lanzamiento de un dado 2) En el lanzamiento de una moneda 3) En la extracción de las cartas de una baraja, el espacio muestral sería el conjunto de todas las cartas de dicha baraja. 3. SUCESOS A cada uno de los posibles subconjuntos del espacio muestral se le llama suceso. El conjunto de todos los sucesos lo denotamos por S. El subconjunto vacío se llama suceso imposible y se denota. Los subconjuntos formados por un único elemento se llaman sucesos elementales. El suceso seguro es el propio espacio muestral total (que es subconjunto de si mismo) y se denota E. Un suceso ó se llama suceso contrario o complementario de otro suceso A, si ocurre siempre y cuando no se verifique A. Sus elementos son los del espacio muestral que no pertenecen a A. Ejemplo: en el lanzamiento de una moneda E = espacio muestral S = conjunto de todos los sucesos suceso imposible E = suceso seguro, sucesos elementales Ejercicio 1: En una urna hay 8 bolas numeradas del 1 al 8. Se saca una bola al azar de la urna. a) Construye el espacio muestral. b) Describe el suceso A la bola extraída muestra un nº menor que 4 c) Describe el suceso B la bola extraída tiene un nº par d) Busca 1

2 4. OPERACIONES CON SUCESOS Dados dos sucesos A y B, se llama suceso unión de A y B al suceso que se verifica cuando ocurre al menos uno de los dos, y se denota La intersección de dos sucesos A y B es el suceso que se verifica cuando ocurren simultáneamente los dos, y se denota Definición: Dos sucesos son incompatibles si LEYES DE MORGAN: La diferencia de dos sucesos A y B es ocurre B.. Equivale a decir que ocurre A pero no Ejercicio 2: En el lanzamiento de un dado considero los siguientes sucesos A= salir un número par B= salir un múltiplo de 3 = salir par o múltiplo de 3 = salir par y múltiplo de 3 A B= salir par pero no múltiplo de 3 B A= salir múltiplo de 3 pero no par Escribe los conjuntos que los forman, en cada caso. Ejercicio 3: Cuál es el complementario del suceso seguro? Y del suceso imposible? Ejercicio 4: En la extracción de una carta de una baraja española se consideran los siguientes sucesos: A sacar copas y B salir rey a) Son incompatibles A y B? b) Cuál será el suceso? c) Describe los sucesos y d) Describe el suceso B - A 5. PROBABILIDAD La probabilidad es cualquier función que verifica: a) b) c) si A y B son incompatibles Definición: Dos sucesos A y B son independientes si sucesos independientes es básico.. El concepto de Ejercicio 5: En un conjunto de estudiantes el 15% estudia alemán, el 30% estudia francés y el 10% estudia ambas materias. a) Si se elige un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que no estudie ni francés ni alemán. b) Son independientes los sucesos estudiar alemán y estudiar francés? Por qué? 2

3 Propiedades de la probabilidad a) b) c) d) Ejercicio 6: Don Anselmo tiene dos sobrinos, Darío y Daniel. La probabilidad de que Darío apruebe el examen de conducir es 0.5, la de que apruebe Daniel es 0.3, y la de que aprueben los dos es 0.2. Como quieren llevar próximamente de vacaciones (en coche) a su tío, desean saber las posibilidades que tienen de poder conducir. Calcula: a) La probabilidad de que puedan ir de viaje, o sea, de que al menos uno apruebe. b) La probabilidad de que apruebe únicamente uno de los dos. c) La probabilidad de que no puedan ir de vacaciones, o sea, de que no apruebe ninguno. d) Son independientes los sucesos Darío aprueba y Daniel aprueba? 6. REGLA DE LAPLACE La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables (o sucesos elementales) que dan lugar a A, y el número de casos posibles (o número total de sucesos elementales). Ejercicio 7: Se realiza un experimento consistente en la extracción de una carta de una baraja española. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) A salir oro b) B salir un as c) C salir una figura d) D salir un oro o un as Ejercicio 8: Cuál es la probabilidad de que en una familia con 3 hijos, exactamente dos sean del mismo sexo? Cuál es la probabilidad de que al menos dos sean del mismo sexo? Y de que no todos sean del mismo sexo? 7. PROBABILIDAD CONDICIONADA 7.1 Experimento compuesto Es un experimento que se realiza en varias fases o etapas. Para representarlo, utilizaremos muchas veces un diagrama de árbol Ejemplo: Se lanza una moneda dos veces y se observa el número total de caras obtenido. En este caso se trata de un experimento compuesto en dos etapas. El espacio muestral es. Vamos a calcular las probabilidades de los sucesos elementales. 3

4 Ejercicio 9: Se tienen dos urnas A y B con la siguiente composición: la urna A tiene 8 bolas blancas y 2 bolas negras. La urna B tiene 9 bolas negras y una blanca. Se lanza una moneda y se observa el resultado (1ª etapa). Si sale cara, se toma una bola al azar de la urna A (2ª etapa) y si sale cruz se toma una bola al azar de la urna B (2ª etapa). Los cuatro sucesos elementales (c,b), (c,n), (x,b), (x,n) no tienen la misma probabilidad (no son equiprobables). Calcular las probabilidades de cada uno de los sucesos elementales. 7.2 Probabilidad condicionada e independencia de sucesos Dados dos sucesos A y B, de un mismo espacio muestral, se llama probabilidad de A condicionada por B, o bien probabilidad de A supuesto B, al cociente Se conoce como la regla de Bayes. Obviamente, sólo tiene sentido si p(b)>0 Ejercicio 10: En una familia, el 20% de sus componentes son mujeres que hablan francés. Por otra parte, sabemos que hay un 55% de varones en la familia. Si al elegir una persona al azar sabemos que es mujer, cuál es la probabilidad de que hable francés? La definición de probabilidad condicionada se usa muchas veces para calcular la probabilidad de la intersección de dos sucesos, cuando se conoce la probabilidad condicionada de uno a otro y la del suceso al que se condiciona: P(A B)=P(A). P(B/A) Ejercicio 11: Un 54% del alumnado del centro son del sexo femenino. Un 28% de las niñas practican deporte. Al elegir una persona al azar, calcula la probabilidad de que sea una niña deportista. Ejercicio 12: En una baraja española de 40 cartas, se secan dos cartas al azar, sin reemplazamiento. Si no se devuelve la primera carta extraída, calcular la probabilidad de obtener dos oros. Ejercicio 13: En una baraja española de 40 cartas, se secan dos cartas al azar, esta vez con reemplazamiento. Calcular la probabilidad de obtener dos oros. Recordemos la definición de sucesos independientes: A y B son independientes si Si dos sucesos son independientes, sin más que comparar fórmulas: 7.3 Tablas de contingencia En muchas ocasiones, se nos dan datos para una misma población sobre sucesos diferentes que son fáciles de organizar en una tabla. En general, tiene sentido utilizarlas cuando nos dan datos exactos y también cuando hay porcentajes. Para calcular la probabilidad condicionada disponiendo de una tabla de contingencia, se pueden seguir dos caminos: la definición o la intuición, observando dicha tabla. 4

5 Ejercicio 14: Entre el profesorado de un centro hay 60 mujeres y 40 hombres. A un curso de formación se han apuntado 21 mujeres y 10 hombres. Representa los datos en una tabla de contingencia. Escogido un miembro del profesorado al azar, calcula a) La probabilidad de asistir al curso b) La probabilidad de no asistir c) La probabilidad de ser mujer que asiste al curso d) Sabiendo que la persona que elegimos asistió al curso, cuál es la probabilidad de que se tratara de una mujer? 8. REGLA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Dados n sucesos incompatibles 2 a 2 (es decir no hay intersección entre ellos) y que todos juntos forman el espacio muestral total, y dado otro suceso B, entonces se cumple que Este tipo de ejercicios se suelen representar con un diagrama de árbol. Ejercicio 15: Un 54% del alumnado del centro son del sexo femenino. Un 28% de las niñas y un 35% de los niños practican deporte. Al elegir una persona al azar, calcula la probabilidad de a) Que sea un niño deportista. b) Que sea una niña deportista. c) Que haga deporte. Ejercicio 16: En un instituto, el 60% del alumnado cursa 1º de Bachillerato, y el resto cursa 2º. El 95% del alumnado de 1º cursa Matemáticas, así como el 90% del de 2º. Elegido un alumno/a al azar, cuál es la probabilidad de que estudie Matemáticas? 9. TEOREMA DE BAYES Es un resultado inmediato a partir de la regla anterior, despejando en ella. Ejercicio 17: Si en el ejercicio 16 anterior, una vez elegido un alumno/a, sabemos que estudia Matemáticas, cuál es la probabilidad de que esté matriculado en 2º de Bachillerato? Ejercicio 18: El 40% de la población de un determinado país vive en el campo, y el resto en ciudades. El 55% de los que viven en el campo y el 80% de los que viven en la ciudad tienen acceso a Internet. Al elegir una persona al azar, vemos que tiene acceso a Internet. Cuál es la probabilidad de que viva en el campo? 5

6 EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD 2014 Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3 Ejercicio 4 Ejercicio 5 Ejercicio 6 6

7 Ejercicio 7 Ejercicio 8 Ejercicio 9 Ejercicio 10 Ejercicio 11 Ejercicio 12 7

8 2013 Ejercicio 13 Ejercicio 14 Ejercicio 15 Ejercicio 16 Ejercicio 17 Ejercicio 18 8

9 Ejercicio 19 Ejercicio 20 Ejercicio 21 Ejercicio 22 Ejercicio 23 9

10 Ejercicio Ejercicio 25 En un congreso de 200 jóvenes profesionales se pasa una encuesta para conocer los hábitos en cuanto a contratar los viajes por internet. Se observa que 120 son hombres y que, de estos, 84 contratan los viajes por internet, mientras que 24 de las mujeres no emplean esa vía. Elegido un congresista al azar, calcule la probabilidad de que: a) (1 punto) No contrate sus viajes por internet. b) (0.75 puntos) Use internet para contratar los viajes, si la persona elegida es una mujer. c) (0.75 puntos) Sea hombre, sabiendo que contrata sus viajes por internet. Ejercicio 26 Lanzamos un dado, si sale 5 o 6 extraemos una bola de una urna A, que contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Si sale otro resultado se extrae una bola de la urna B, que contiene 3 bolas blancas y 7 negras. Calcule: a) (1 punto) La probabilidad de que la bola extraída sea negra. b) (0.5 puntos) La probabilidad de que la bola sea negra y de la urna B. c) (1 punto) La probabilidad de que haya salido menos de 5 si la bola extraída ha sido blanca. Ejercicio 27 Una empresa dispone de tres máquinas A, B y C, que fabrican, respectivamente, el 60%, 30% y 10% de los artículos que comercializa. El 5% de los artículos que fabrica A, el 4% de los de B y el 3% de los de C son defectuosos. Elegido, al azar, un artículo de los que se fabrican en la empresa: a) (0.5 puntos) Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso y esté fabricado por la máquina C? b) (1.25 puntos) Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso? c) (0.75 puntos) Si sabemos que no es defectuoso, cuál es la probabilidad de que proceda de la máquina A? Ejercicio 28 Se sabe que el 90% de los estudiantes del último curso de una Universidad está preocupado por sus posibilidades de encontrar trabajo, el 30% está preocupado por sus notas y el 25% por ambas cosas. a) (1.5 puntos) Si hay 400 alumnos matriculados en el último curso de dicha Universidad, cuántos de ellos no están preocupados por ninguna de las dos cosas? b) (1 punto) Si un alumno del último curso, elegido al azar, no está preocupado por encontrar trabajo, cuál es la probabilidad de que esté preocupado por sus notas? Ejercicio 29 Se ha impartido un curso de conducción eficiente a 200 personas. De los asistentes al curso, 60 son profesores de autoescuela y, de ellos, el 95% han mejorado su conducción. Este porcentaje baja al 80% en el resto de los asistentes. Halle la probabilidad de que, elegido un asistente al azar: a) (1.25 puntos) No haya mejorado su conducción. b) (1.25 puntos) No sea profesor de autoescuela, sabiendo que ha mejorado su conducción. 10

11 Ejercicio 30 Se sabe que el 44% de la población activa de cierta provincia está formada por mujeres. También se sabe que, de ellas, el 25% está en paro y que el 20% de los hombres de la población activa también están en paro. a) (1.25 puntos) Elegida, al azar, una persona de la población activa de esa provincia, calcule la probabilidad de que esté en paro. b) (1.25 puntos) Si hemos elegido, al azar, una persona que trabaja, cuál es la probabilidad de que sea hombre? Ejercicio 31 Una compañía de seguros ha hecho un seguimiento durante un año a coches de la marca A, a de la marca B y a de la C, que tenía asegurados, obteniendo que, de ellos, habían tenido accidente 650 coches de la marca A, 200 de la B y 150 de la C. A la vista de estos datos: a) (1.25 puntos) Cuál de las tres marcas de coches tiene menos proporción de accidentes? b) (1.25 puntos) Si, elegido al azar uno de los coches observados, ha tenido un accidente, cuál es la probabilidad de que sea de la marca C? Ejercicio 32 En una localidad hay solamente dos supermercados A y B. El 58% de los habitantes compra en el A, el 35% en el B y el 12% compra en ambos. Si se elige un ciudadano al azar, calcule la probabilidad de que: a) (0.75 puntos) Compre en algún supermercado. b) (0.5 puntos) No compre en ningún supermercado. c) (0.5 puntos) Compre solamente en un supermercado. d) (0.75 puntos) Compre en el supermercado A, sabiendo que no compra en B. Ejercicio 33 Un pescador tiene tres tipos de carnada de las que sólo una es adecuada para pescar salmón. Si utiliza la carnada correcta la probabilidad de que pesque un salmón es 1/3, mientras que si usa una de las inadecuadas esa probabilidad se reduce a 1/5. a) (1.25 puntos) Si elige aleatoriamente la carnada, cuál es la probabilidad de que pesque un salmón? b) (1.25 puntos) Si ha pescado un salmón, cuál es la probabilidad de que lo haya hecho con la carnada adecuada? Ejercicio 34 Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral, de los que se conocen las probabilidades P(A)=0.60 y P(B)=0.25. Determine las probabilidades que deben asignarse a los sucesos A B y A B en cada uno de los siguientes supuestos: a) (0.5 puntos) Si A y B fuesen incompatibles. b) (1 punto) Si A y B fueran independientes. c) (1 punto) Si P ( A/ B) = Ejercicio 35 Una urna contiene 25 bolas blancas sin marcar, 75 bolas blancas marcadas, 125 bolas negras sin marcar y 175 bolas negras marcadas. Se extrae una bola al azar. a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que sea blanca. b) (0.5 puntos) Cuál es la probabilidad de que sea blanca sabiendo que está marcada? c) (0.5 puntos) Cuál es la probabilidad de que sea negra y esté marcada? d) (0.75 puntos) Son independientes los sucesos sacar bola marcada y sacar bola blanca? Ejercicio 36 Se consideran dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que P ( A) = 0.8, P( B) = 0.7, P( A B) = a) (1 punto) Son A y B sucesos independientes? b) (1 punto) Calcule P ( A/ B). C C c) (0.5 puntos) Calcule P( A B ). 11

12 2010 Ejercicio 37 Ejercicio 38 Ejercicio 39 Ejercicio 40 Ejercicio 41 Ejercicio 42 12

13 Ejercicio 43 Ejercicio 44 Ejercicio 45 Ejercicio 46 Ejercicio 47 Ejercicio 48 13

14 2011 Ejercicio 49 Sean dos sucesos, A y B, tales que P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 y P(A/ B) = 0.5. a) (1 punto) Halle la probabilidad de que se verifique alguno de los dos sucesos. b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que no se verifique B si se ha verificado A. c) (0.75 puntos) Son independientes los sucesos A y B? Razone la respuesta. Ejercicio 50 Una compañía aseguradora realiza operaciones de seguros médicos y de seguros de vida. El 20% de las operaciones corresponde a seguros médicos y el resto a seguros de vida. El porcentaje de operaciones en las que no se producen retrasos en los pagos es del 10% en los seguros médicos y del 15% en seguros de vida. a) (1.5 puntos) Halle el porcentaje de operaciones en las que no se producen retrasos en los pagos. b) (1 punto) De las operaciones que han sufrido retrasos en los pagos, qué porcentaje corresponde a los seguros de vida? Ejercicio 51 Un jugador lanza a la vez un dado y una moneda. a) (1 punto) Construya el espacio muestral de este experimento aleatorio. b) (1 punto) Determine la probabilidad del suceso A: El jugador obtiene un número par en el dado y cruz en la moneda. c) (0.5 puntos) Si sabemos que en la moneda ha salido cara, cuál es la probabilidad de que en el dado haya salido más de 3 puntos? Ejercicio 52 Una bolsa contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 4 negras. Ana y Manolo practican el siguiente juego: Ana saca una bola, anota su color y la devuelve a la bolsa, a continuación Manolo extrae una bola y anota su color. Si las dos bolas extraídas tienen el mismo color gana Ana, si sólo hay una bola blanca gana Manolo, y en otro caso hay empate. a) (1.25 puntos) Calcule la probabilidad de que gane Ana. b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que gane Manolo. c) (0.25 puntos) Calcule la probabilidad de que haya empate. Ejercicio 53 En una ciudad, el 55% de la población consume aceite de oliva, el 30% de girasol, y el 20% ambos tipos de aceite. Se escoge una persona al azar: a) (1 punto) Si consume aceite de oliva, cuál es la probabilidad de que consuma también aceite de girasol? b) (1 punto) Si consume aceite de girasol, cuál es la probabilidad de que no consuma aceite de oliva? c) (0.5 puntos) Cuál es la probabilidad de que no consuma ninguno de los dos tipos de aceite? Ejercicio 54 El 30% de los aparatos que llegan a un servicio técnico para ser reparados están en garantía. De los que no están en garantía, el 20% ya fueron reparados en otra ocasión y de los que sí lo están, solamente un 5% fueron reparados anteriormente. Se elige un aparato al azar en el servicio técnico: a) (1.25 puntos) Cuál es la probabilidad de que haya sido reparado en otra ocasión? b) (1.25 puntos) Si es la primera vez que ha llegado al servicio técnico, cuál es la probabilidad de que esté en garantía? 14

15 Ejercicio 55 En una primera bolsa se han colocado 4 bolas blancas y 3 negras, y en una segunda bolsa 3 blancas y 5 negras. Se saca una bola de la primera y, sin verla, se introduce en la segunda. A continuación se saca una bola de la segunda. Halle la probabilidad de que: a) (1.25 puntos) La bola extraída de la segunda bolsa sea negra. b) (1.25 puntos) La bola extraída de la primera bolsa sea negra, si sabemos que la bola extraída de la segunda ha sido blanca. Ejercicio 56 Un libro tiene cuatro capítulos. El primer capítulo tiene 140 páginas, el segundo 100, el tercero 150 y el cuarto 50. El 5% de las páginas del primer capítulo, el 4% del segundo y el 2% del tercero tienen algún error. Las páginas del cuarto capítulo no tienen errores. a) (1.25 puntos) Cuál es la probabilidad de que, al elegir una página al azar, tenga algún error? b) (1.25 puntos) Supongamos que elegimos una página al azar y observamos que no tiene ningún error, cuál es la probabilidad de que sea del segundo capítulo? Ejercicio 57 En un sistema de alarma, la probabilidad de que haya un incidente es 0.1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma suene es La probabilidad de que suene la alarma sin que haya incidente es de a) (1.5 puntos) Cuál es la probabilidad de que suene la alarma? b) (1 punto) Si ha sonado la alarma, calcule la probabilidad de que no haya habido incidente. Ejercicio 58 Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que: P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 y P(A B) = 0.2. a) (1.5 puntos) Calcule las siguientes probabilidades: P(A B), P(A/ B) y P(B / ). b) (0.5 puntos) Razone si A y B son sucesos incompatibles. c) (0.5 puntos) Razone si A y B son independientes. Ejercicio 59 Un examen consta de una parte teórica y una parte práctica. La probabilidad de que se apruebe la parte teórica es 0.7 y la de que se apruebe la parte práctica Se sabe que el 50% de los alumnos ha aprobado ambas. a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de aprobar alguna de las dos partes. b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de aprobar la parte práctica sabiendo que no se ha aprobado la parte teórica. c) (1 punto) Son independientes los sucesos aprobar parte teórica y aprobar parte práctica? Ejercicio 60 Pedro vive en una ciudad donde el 40% de los días del año hay riesgo de lluvia y el resto no lo hay. Cuando hay riesgo de lluvia, Pedro coge el paraguas un 98% de las veces y cuando no lo hay, un 5% de las veces. Si se selecciona un día del año al azar, a) (1.25 puntos) cuál es la probabilidad de que Pedro no haya cogido el paraguas ese día? b) (1.25 puntos) cuál es la probabilidad de que exista riesgo de lluvia, si sabemos que ese día Pedro ha cogido el paraguas? 15