Universidad Técnica de Babahoyo CORRELACIÓN DE VARIABLES Y REGRESIÓN LINEAL

Transcripción

1 Universidad Técnica de Babahoyo CORRELACIÓN DE VARIABLES Y REGRESIÓN LINEAL

2 OBJETIVO Analizar las Diferentes formas de Describir la Relación entre dos variables numéricas Trazar un diagrama de dispersión Entender e Interpretar los términos variable dependiente y variable independiente Calcular y Explicar el coeficiente de correlación y el coeficiente de determinación, así como el error estándar de estimación Analizar los distintos modelos de regresión existentes Determinar la línea o recta de regresión de mínimos cuadrados

3 DATOS BIDIMENSIONALES Los métodos vistos hasta ahora solo permiten trabajar con datos unidimensionales. Si se analizan las variables por separado se pierde información sobre la distribución de frecuencias conjunta. Las variables bidimensionales surgen cuando se estudian dos características asociadas a la observación de un fenómeno. En concreto, resultan de tomar una muestra de tamaño n de una variable aleatoria bidimensional (X,Y) {(x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),..., (x n,y n )} Altura (cm) Peso (kg)

4 DIAGRAMAS DE DISPERSiÓN Altura en cm. Peso en Kg

5 DATOS BIDIMENSIONALES

6 RELACIONES ENTRE VARIABLES kg cm

7 RELACIONES DIRECTAS E INVERSAS Incorrelación Fuerte relación directa Cierta relación inversa

8 COVARIANZA DE DOS VARIABLES La covarianza entre dos variables, S xy, nos indica si la posible relación entre dos variables es directa o inversa. Directa: S xy >0 Inversa: S xy <0 Incorreladas: S xy =0 S xy x)( y El signo de la covarianza nos dice si el aspecto de la nube de puntos es creciente o no, pero no nos dice nada sobre el grado de relación entre las variables. 1 n i ( x i i y)

9 ANÁLISIS DE CORRELACIÓN El análisis de correlación es un grupo de técnicas estadísticas que se utilizan para medir la fuerza de asociación entre variables. Un diagrama de dispersión es una gráfica que representa la relación entre dos variables. La variable dependiente es la variable que se predice o se calcula. La variable independiente proporciona las bases para el cálculo. Es la variable de predicción.

10 ANÁLISIS DE CORRELACIÓN El Coeficiente de Correlación lineal de Pearson (r) es una medida de la intensidad de la relación lineal entre dos variables, es decir, nos indican si los puntos tienen una tendencia a disponerse alineadamente: Requiere datos a nivel de razón Puede tomar cualquier valor entre 1,00 y 1,00 Los valores de 1,00 y 1,00 indican correlación perfecta y fuerte Los valores cercanos a 0,00 indican una correlación débil o inexistente Los valores negativos indican una correlación inversa y los positivos una correlación directa. Relación inversa perfecta Variables incorreladas Relación directa casi perfecta

11 ANÁLISIS DE CORRELACIÓN El Coeficiente de Determinación (r 2 ) es la proporción de la variación total de la variable dependiente (y) que se explica por la variación en la variable independiente (x): Es el cuadrado del coeficiente de correlación Puede tomar cualquier valor entre 0,00 y 1,00 No da ninguna información sobre la dirección de la relación entre las variables A partir de qué valores se considera que hay buena relación lineal? Imposible dar un valor concreto. Para este curso digamos que si r >0,7 hay buena relación lineal y que si r >0,4 hay cierta relación. Variables incorreladas Relación casi perfecta 0 +1

12 EJEMPLO Tengamos las siguientes puntuaciones de las variables Coeficiente de Inteligencia (X) y Rendimiento Académico (Y): a(x) Nota (Y)

13 Nota (Y) EJEMPLO Antes de calcular el coeficiente de correlación de Pearson procederemos a comprobar si existe una tendencia de relación lineal entre las variables. Aunque más adelante utilizaremos procedimientos analíticos que permitan verificar con exactitud la Hipótesis de linealidad, por el momento recurriremos a procedimientos gráficos, que en una primera instancia, pueden resultar suficientes Se observa la existencia de una cierta tendencia lineal en la relación por lo que procederemos a calcular el coeficiente de correlación de Pearson CI (X)

14 EJEMPLO a) Puntuaciones directas X Y X 2 Y 2 XY Calculamos: X = X N Y = S x = S y = = Y N = = 117, 5 = 6, 5 X 2 N X2 = 117, 5 2 = 10, 874 Y 2 N Y2 = , 52 = 2, 579

15 EJEMPLO a) Puntuaciones directas Sustituyendo: X Y X 2 Y 2 XY X = 117, 5 S x = 10, 874 r xy = r xy = XY N XY S x S y S y = 2, , 5 6, , 874 2, 579

16 EJEMPLO b) Puntuaciones diferenciales X Y x y x 2 y 2 xy ,50-2,50 156,25 6,25 31, ,50 1,50 2,25 2,25-2, ,50-4,50 210,25 20,25 65, ,50 0,50 42,25 0,25 3, ,50 2,50 380,25 6,25 48, ,50 2,50 72,25 6,25 21, ,50-3,50 30,25 12,25 19, ,50 3,50 132,25 12,25 40, ,50 0,50 0,25 0,25 0, ,50-0,50 156,25 0,25 6, ,5 66,5 233,5 Donde: x = X X y = Y Y Sustituyendo: xy r xy = x 2 y 2 233, 5 r xy = 1182, 5 66, 5 r xy = 0, 8327

17 EJEMPLO c) Puntuaciones estandarizadas X Y Zx Zy ZxZy ,15-0,97 1, ,14 0,58-0, ,33-1,74 2, ,60 0,19 0, ,79 0,97 1, ,78 0,97 0, ,51-1,36 0, ,06 1,36 1, ,05 0,19 0, ,15-0,19 0, ,327 Z x = r xy = X X S x Z xz y N Z y = Sustituyendo: r xy = r xy = 0, 8327 Y Y S y 8,

18 EJEMPLOS DE CORRELACIONES POSITIVAS r=0, r=0, r=0, r=0,

19 EJEMPLOS DE CORRELACIONES NEGATIVAS r=-0, r=-0, r=-0, r=-0,

20 ANÁLISIS DE REGRESIÓN En la práctica, en la mayoría de las veces nos resulta necesario conocer, además de que tan buena es la correlación lineal entre las variables, la ecuación de la recta que mejor relaciona dichas magnitudes. La regresión es una técnica estadística que permite construir modelos que representan la dependencia entre variables o hacer predicciones de una variable Y en función de las observaciones de otras (X1,..., Xp). Donde: y = f x 1,, x p + y es la variable de respuesta o dependiente x 1, x p son las variables predictoras, independientes o covariables Є es el término de error, que se supone con media cero y varianza constante

21 ANÁLISIS DE REGRESIÓN

22 ANÁLISIS DE REGRESIÓN En el modelo de regresión lineal simple, dado dos variables Y (dependiente) X (independiente, explicativa, predictora) buscamos encontrar una función de X muy simple (lineal) que nos permita aproximar Y mediante: Ŷ = a + bx a (ordenada en el origen, constante) b (pendiente de la recta) Y e Ŷ rara vez coincidirán por muy bueno que sea el modelo de regresión. A la cantidad e=y-ŷ se le denomina residuo o error residual.

23 ANÁLISIS DE REGRESIÓN El modelo lineal de regresión se construye utilizando la técnica de estimación mínimo cuadrática: Buscar a, b de tal manera que se minimice la cantidad Σ i e i 2 Se comprueba que para lograr dicho resultado basta con elegir: a = Y bx b = S n X,Y S n 2 X = N XY X Y N X 2 X 2 Se obtiene además unas ventajas de regalo El error residual medio es nulo La varianza del error residual es mínima para dicha estimación

24 EJEMPLO engamos las siguientes puntuaciones de las variables Coeficiente de Inteligencia (X) y Rendimiento Académico (Y): CI (X) Nota (Y) Calcular la ecuación de la recta que mejor relaciona dichas magnitudes

25 EJEMPLO X Y X 2 Y 2 XY X = Y = Calculamos: b = b = X N Y N = = = 117, 5 = 6, 5 N XY X Y N X 2 X b = 0, a = 6, 5 0, , 5 a = 16, 7019

26 Nota (Y) EJEMPLO La ecuación de la recta que mejor relaciona dichas magnitudes se define: Y = a + bx Y = 0, 1975X 16, y = 0,1975x - 16,702 R² = 0, CI (X)

27 EJERCICIO 1. Calcular la media, desviación estandar y varianza 2. Dibujar un diagrama de dispersion 3. Calcular el coeficiente de correlación 4. Determinar la ecuación de regression por mínimos cuadrados 5. Suponiendo un valor de x=0.85. Cuál es el valor esperado de y?

28 BONDAD DE AJUSTE La bondad de un ajuste de un modelo de regresión se mide usando el coeficiente de determinación R 2 R 2 es una cantidad adimensional que sólo puede tomar valores en [0, 1] Para el alumno astuto: por qué? Cuando un ajuste es bueno, R 2 será cercano a uno. por qué? Cuando un ajuste es malo R 2 será cercano a cero. por qué? A R 2 también se le denomina porcentaje de variabilidad explicado por el modelo de regresión. por qué? Difícil. R 2 puede ser pesado de calcular en modelos de regresión general, pero en el modelo lineal simple, la expresión es de lo más sencilla: R 2 =r 2 Es coherente lo dicho entonces sobre los valores de R 2? Resumiendo

29 RESUMEN Regresión Lineal Variable Dependiente Variable Independiente Modelo Lineal de Regresión Residuo, Error Bondad de Ajuste