Definición Clasificación de los modelos geométricos Modelo alámbrico Modelos superficiales Modelos sólidos Otros modelos

Transcripción

1 Tema 5

2 Indice Definición Clasificación de los modelos geométricos Modelo alámbrico Modelos superficiales Modelos sólidos Otros modelos 2

3 Definiciones Def : Conjunto de métodos matemáticos que utilizamos para describir la forma de un objeto y para expresar algunas de sus propiedades físicas. Def 2: Representación de un objeto en forma de descripción matemática y geométrica Def 3: Conjunto de estructuras de datos, algoritmos de manejo de esas estructuras y operaciones disponibles entre las estructuras que dan soporte a la información geométrica correspondiente a un objeto 3

4 Características Las características deseables para todos modelo geométrico son: Preciso No ambiguo Compacto Rápido Util 4

5 Clasificación Modelo Alámbrico Modelos Superficiales Objetos poligonales Superficies Cuádricas y Supercuádricas Isosuperficies Superficies Libres o Paramétricas Modelos Sólidos Instanciación de Primitivas Objetos generados por barrido Enumeración espacial Geometría Sólida Constructiva (CSG) Otros Modelos Modelos de Geometría Fractal Modelos Gramaticales Sistemas de Partículas Modelos Basados en Características Físicas Modelos para Visualización Científica 5

6 Modelo Alámbrico Conceptos Los objetos se representan describiendo vértices y aristas Estructuras de almacenamiento Lista de aristas Lista de aristas y de vértices Arista Inicio Fin A (x, y, z ) (x 2, y 2, z 2 ) A 2 (x 2, y 2, z 2 ) (x 3, y 3, z 3 ) A 3 (x 3, y 3, z 3 ) (x, y, z ) A 4 (x 2, y 2, z 2 ) (x 4, y 4, z 4 ) A 5 (x, y, z ) (x 4, y 4, z 4 ) A 6 (x 4, y 4, z 4 ) (x 3, y 3, z 3 ) A 3 V 3 A 2 A 5 A 6 V A V 2 V 4 A 4 Vértice Coordenadas V (x, y, z ) V 2 (x 2, y 2, z 2 ) V 3 (x 3, y 3, z 3 ) V 4 (x 4, y 4, z 4 ) Arista Inicio Fin A V V 2 A 2 V 2 V 3 A 3 V 3 V A 4 V 2 V 4 A 5 V V 4 A 6 V 4 V 3 6

7 Modelo Alámbrico Características Ventajas Sencillo Visualización muy rápida Inconvenientes Visualización ambigua No permite visualizar superficies ni visualización realista No guarda información sobre puntos interiores/exteriores No guarda información sobre superficies ni sólidos Es aproximado Pueden perderse líneas de silueta Sólo se emplea para visualizaciones preliminares muy rápidas 7

8 Modelos Superficiales Conceptos También se llaman B-Rep (Boundary Representation) Los objetos se representan con vértices, aristas y caras Las caras pueden ser planas (modelo poligonal) o curvas (modelo de superficies curvas) Fórmula de Euler-Poincaré: relaciona número de vértices, aristas, caras y agujeros. Asegura que el objeto es un sólido topológicamente correcto F + V E R = 2 (S H) F: nº caras V: nº vértices E: nº aristas R: nº anillos S: nº objetos independientes H: nº agujeros F: 5 V: 24 E: 36 R: 3 S: H: 8

9 Modelos Superficiales. Estructuras de almacenamiento Dos tipos de almacenamiento Listas Aristas aladas Almacenamientos en listas: se definen dos tipos de listas: Listas de geometría almacenan datos geométricos: vértices, aristas, caras, Listas de atributos almacenan otros datos: color, transparencia, material, 9

10 Modelos Superficiales Estructuras de almacenamiento Listas de geometría Sólo una lista de caras: información redundante Lista de caras y vértices Lista de caras, aristas y vértices Mínima redundancia Consistencia de los datos Atributos de caras, aristas y vértices Referencias cruzadas Listas de atributos Propiedades del material Ecuaciones de los planos Ecuaciones de las superf. curvas C 3 A 3 V 3 A 6 A 2 C C A 2 5 V A V 2 C 4 V 4 A 4 Vértice Coord Atributos V (x, y, z ) AtrV V 2 (x 2, y 2, z 2 ) AtrV 2 V 3 (x 3, y 3, z 3 ) AtrV 3 V 4 (x 4, y 4, z 4 ) AtrV 4 Polígono Aristas Atributos C A,A 2,A 3 AtrC C 2 A 2,A 4,A 6 AtrC 2 C 3 A 3,A 6,A 5 AtrC 3 C 4 A,A 5,A 4 AtrC 4 Arista Inicio Fin Atributos A V V 2 AtrA A 2 V 2 V 3 AtrA 2 A 3 V 3 V AtrA 3 A 4 V 2 V 4 AtrA 4 A 5 V V 4 AtrA 5 A 6 V 4 V 3 AtrA 6

11 Modelos Superficiales. Estructuras de almacenamiento Aristas aladas: Grafo no dirigido Los nodos representan vértices y aristas Las uniones entre nodos representan relaciones de incidencia entre aristas y vértices. C 3 V 3 A 6 A 5 A 3 A 2 C C A 2 5 V 4 V 3 A 6 V 4 V A V 2 C 4 A 4 A 3 A 2 A 4 V A V 2

12 Modelos Superficiales. Clasificación de los modelos B-Rep Modelo Poligonal Superficies Cuádricas y Supercuádricas Isosuperficies Superficies Libres Superficies interpoladas Superficies aproximadas 2

13 Modelo Poligonal Definición Las caras son polígonos planos Para almacenarlo: Listas de geometría y atributos Aristas aladas En las listas de atributos se suele almacenar: Normal a cada polígono Ecuación del plano de cada polígono Estos atributos facilitan Prueba de interioridad/exterioridad Cálculo de intersecciones Sombreado y visualización realista 3

14 Modelo Poligonal Ecuación del Plano A partir de 3 puntos del plano (por ejemplo, los vértices del polígono) V, V 2 y V 3 : vértices del polígono A = y (z 2 -z 3 )+y 2 (z 3 -z )+y 3 (z -z 2 ) B = z (x 2 -x 3 )+z 2 (x 3 -x )+z 3 (x -x 2 ) C = x (y 2 -y 3 )+x 2 (y 3 -y )+x 3 (y -y 2 ) D = -x (y 2 z 3 -y 3 z 2 )-x 2 (y 3 z -y z 3 )-x 3 (y z 2 -y 2 z ) Ax + By + Cz + D = 4

15 Modelo Poligonal Normal al Plano Se obtiene como el producto vectorial de dos vectores situados sobre el plano N v 3 N = (v 2 -v ) (v 3 -v ) v v 2 Las componentes de la normal son los coeficientes A, B y C de la ecuación del plano. D se calcula sustituyendo uno de los puntos 5

16 Modelo Poligonal Ecuaciones y Normal La normal se calcula a partir de la ecuación y al revés La normal se utiliza para calcular la iluminación de la cara Para que la normal apunte hacia el exterior, debemos especificar los vértices en sentido antihorario Prueba de interioridad/exterioridad: utilizando la ecuación si Ax+By+Cz+D = (x,y,z) sobre el plano si Ax+By+Cz+D < (x,y,z) dentro del plano si Ax+By+Cz+D > (x,y,z) fuera del plano Los puntos del polígono deben ser coplanares Triangulación 6

17 Modelo Poligonal Características Ventajas Es muy sencillo Visualización rápida (dispositivos aceleradores) Representación exacta para poliedros Visualización no ambigua (utilizando sombreado) Prueba de interioridad/exterioridad sencilla Cálculo de intersecciones sencillo Muy útil como modelo secundario para visualización 7

18 Modelo Poligonal Características Inconvenientes Representación aproximada para objetos no poliédricos Mejores aproximaciones implican un gran aumento del número de polígonos Para convertir otros modelos son necesarios métodos de poligonalización o mallado que pueden ser complejos Altos requerimientos de espacio Algunos cálculos complejos: volúmenes, mecanizado,... 8

19 Sup. Cuádricas y Supercuádricas Definición Objetos descritos mediante ecuaciones cuadráticas Ecuaciones en forma implícita o paramétrica Superficies cuádricas: ecuaciones cuadráticas Esferas Elipsoides Toros Paraboloides Hiperboloides Superficies supercuádricas: ecuaciones cuádraticas generalizadas (con parámetros adicionales) Superelipsoides Superparaboloides,... 9

20 Sup. Cuádricas y Supercuádricas Esfera Ecuación implícita x 2 + y 2 + z 2 = r 2 Ecuación paramétrica x = r cos cos y = r cos sen z = r sen -/2 /2 r - 2

21 Sup. Cuádricas y Supercuádricas Elipsoides Ecuación implícita (x/r x ) 2 + (y/r y ) 2 + (z/r z ) 2 = Ecuación paramétrica x = r x cos cos y = r y cos sen r y z = r z sen -/2 /2 - r z r x 2

22 Ecuación implícita Sup. Cuádricas y Supercuádricas Toro [r - (x/r x ) 2 + (y/r y ) 2 ] 2 + (z/r z ) 2 = r z Ecuación paramétrica x = r x (r-cos )cos y = r y (r+cos )sen z = r z sen r z r x = r y

23 Sup. Cuádricas y Supercuádricas Superelipsoide Ecuación implícita [(x/r x ) 2/S 2 + (y/r y ) 2/S 2 ] S 2 /S + (z/r z ) 2/S = Ecuación paramétrica x = r x cos S cos S 2 y = r y cos S sen S 2 z = r z sen S -/2 /2 - S S 2 23

24 Isosuperficies Definición Se definen a partir de un conjunto de primitivas en el espacio que definen un campo de fuerza Isosuperficie: superficie exterior que define el campo de fuerza cuando vale Viene dada por una función de densidad Campo de fuerza = Primitivas 24

25 25 Isosuperficies Tipos Blobs Metaballs Soft Objects k z y x f a k T e b z y x f k k ),, ( ),, ( d r d r d d r b d r d r b r f si, 3 si, si ), 3 ( ) ( d r d r d r d r d r r f ) (

26 Isosuperficies Características Ventajas Muy adecuadas para modelar objetos orgánicos Muy compacto Inconvenientes Difícil modelar objetos con aristas Poligonalización muy compleja 26

27 Isosuperficies Ejemplos 27

28 Superficies Libres Son una extensión de las curvas libres Se trazan a partir de una nube de puntos, por interpolación o aproximación La nube de puntos, ordenada, se denomina poliedro de control Las superficies se definen mediante ecuaciones paramétricas con 2 parámetros (u, v) Es deseable que cumplan algunas propiedades: Continuidad Recubrimiento convexo Invarianza afín 28

29 Superficies Libres De interpolación Hermite Splines De aproximación Bézier BSplines NURBS 29

30 Superficies Libres Superficies por tramos o patches Deseable continuidad Continuidad Paramétrica (C) Deseable C : Los tramos se tocan C : ª derivada coincide C 2 : ª y 2ª derivada coinciden C n : ª, 2ª n-ésima derivada coinciden Continuidad Geométrica (G) Más fácil de conseguir G : Los tramos se tocan G : ª derivada proporcional G 2 : ª y 2ª derivada proporcionales G n : ª, 2ª n-ésima derivada proporcionales 3

31 Superficies Libres Propiedad del Recubrimiento Convexo Es deseable que la superficie se encuentre dentro del recubrimiento convexo formado por el poliedro de control Se cumple cuando la suma de las funciones base es Se cumple para superficies de aproximación 3

32 Superficies Libres Propiedad de Invarianza Afín Es deseable que las superficies sean invariantes a transformaciones afines Una superficie es invariante a transformaciones afines si: Calcular los puntos de la superficie y aplicar la transformación a esos puntos ES EQUIVALENTE A Aplicar la transformación a los puntos de control y luego calcular los puntos de la superficie Todas las superficies que veremos son invariantes a transformaciones afines 32

33 Superficies Libres Formulaciones Condiciones Frontera Condiciones de continuidad de la superficie en su frontera Matriz Característica Matriz característica de coeficientes Funciones Base Ecuación basada en funciones base (blending functions) Puntos extremos: S(,) = P, S(,)=P 2 Derivadas primeras S (,) = D, S (,)=D 2 Derivadas segundas S (,) = E, S (,)=D 2 S ( u, v) U M M V m n caract geom S( u, v) p j, kb j, m( v) Bk, n( u) j k T 33

34 Superficies Libres Grado y Orden de la Superficie Grado = Grado del polinomio que la define Orden = nº de puntos necesarios para cada tramo = Grado + Grado 3 el más habitual Superficies Bicúbicas Hermite Spline Bézier BSpline NURBS Nº de puntos condiciona el grado Para evitarlo Definición por tramos Grado independiente de nº de puntos Superficies completas, no por tramos 34

35 Superficies Libres Superficies Bicúbicas de Hermite Se trata de una extensión de las curvas de Hermite Interpolan una nube de puntos Cada curva sobre la superficie es de Hermite Para definir un tramo bicúbico, necesitamos 4 puntos para las esquinas 35

36 Superficies Libres Superficies Bicúbicas de Hermite Condiciones de frontera Tramos bicúbicos polinomio con 6 coeficientes 3 3 i j S( u, v) aiju v ; u ; v ; i j Condiciones de frontera en los 4 puntos de esquina: Posición de los 4 puntos 4 ecuaciones Derivada con respecto a u (tangente en u) 4 ecuaciones Derivada con respecto a v (tangente en v) 4 ecuaciones Derivada con respecto a u y v (vector torsión) 4 ecuaciones S/u 2 S/uv P, P, S/v P, P, 36

37 Superficies Libres Superficies Bicúbicas de Hermite Matriz Característica Resolviendo el sistema de 6 ecuaciones S(,) = P S(,) = P S(,) = P S(,) = P S(,)/u = D u S(,)/u = D u S(,)/u = D u S(,)/u = D u S(,)/v = D v S(,)/v = D v S(,)/v = D v S(,)/v = D v S 2 (,)/uv = D uv S 2 (,)/uv = D uv S 2 (,)/uv = D uv S 2 (,)/uv = D uv En forma matricial: S ( u, v ) U M M M V Herm Geom T Herm T U u 3 u 2 u ; V T 3 v 2 v ; v M Herm ; M geom P P D D u u P P D D u u D D D D v v uv uv D D D D v v uv uv 37

38 Superficies Libres Superficies Bicúbicas de Hermite Funciones base A partir de la forma matricial: S( u, v) 3 i 3 j b ij F ( u) F i j ( v) b ij = Mgeom ij F i, F j se obtienen a partir de la forma matricial F F F 2 F 3 u/v u/v u/v u/v 38

39 Superficies Libres Superficies Bicúbicas de Hermite Ventajas Formulación sencilla Inconvenientes Necesario especificar tangentes y torsiones Para tramos consecutivos, debe asegurarse la continuidad C No se asegura la continuidad C 2 39

40 Superficies Libres Superficies Bicúbicas de Bézier Se trata de una extensión de las curvas Bézier Aproximan una nube de puntos Cada curva sobre la superficie es una Bézier Para definir un tramo bicúbico, necesitamos 4 x 4 = 6 puntos, cuyas esquinas se interpolan: 4 puntos interiores 4 puntos en las esquinas 8 puntos de frontera 4

41 Superficies Libres Superficies bicúbicas de Bézier Condiciones de frontera Parten del mismo planteamiento que Hermite Las derivadas vienen dadas por los puntos interiores y frontera del poliedro de control S( u, v) 3 i 3 j a ij i u v j ; u ; v ; 2 S/uv S/u S/v 4

42 Matriz característica U u Superficies Libres Superficies Bicúbicas de Bézier Con un planteamiento similar a Hermite, obtenemos 3 u 2 u ; S ( u, v) U M P M V V T 3 v 2 v ; v Bézier T Bézier 3 Equivalencia entre Hermite y Bézier M Bézier ; T P P P P P 2 3 P P P P 2 3 P P P P P P P P M Geom P M M Bézier Herm M M Herm Bézier M P M Geom M T Bézier T Herm T MHerm T M Bézier 42

43 Superficies Libres Superficies Bicúbicas de Bézier Funciones base A partir de la forma matricial: 3 S( u, v) pijbi,3( u) B j, 3 i 3 j ( v) p ij = Puntos de control B i,3, N j,3 : Func. base de grado 3 B i, n ( u) n i i ni u ( u) B,3 B,3 B 2,3 B 3,3 u/v u/v u/v u/v 43

44 Superficies Libres Superficies Bicúbicas de Bézier Ventajas No es necesario especificar tangentes y torsiones Continuidad G entre tramos: Puntos frontera y adyacentes coplanares Inconvenientes El grado varía según el número de puntos Para mantener el grado, debe especificarse por tramos Difícil conseguir continuidad C, G 2 y C 2 44

45 Superficies Libres Superficies Bicúbicas B-Spline Se trata de una extensión de las curvas BSpline Aproximan una nube de puntos Cada curva sobre la superficie es una BSpline El grado es independiente del número de puntos Para definir una superficie bicúbica, necesitamos al menos 4 x 4 = 6 puntos, aunque pueden ser más (no hay tramos) Las esquinas pueden o no interpolarse Para 4 x 4 puntos, interpolando las esquinas, BSpline = Bézier 45

46 Funciones base m n S( u, v) pijni, K ( u) N j, i j Superficies Libres Superficies Bicúbicas B-Spline L ( v) p ij = Puntos de control K, L = Grado en sentido u y v (es 3) N i,k, N j,l : Func. base de grado K y L N i, ( u) si t i u t i en otro caso N i, k ( u) ( u t t i ) N i k i, k t i ( u) ( t i k u) N t i k t i, k i ( u) t i = nodos, con i =,, n+k N,3 N,3 N 2,3 N 3,3 u/v u/v u/v u/v 46

47 Matriz Característica Planteamiento similar a Bézier Superficies Libres Superficies Bicúbicas B-Spline S ( u, v) U M P M V BSpline T BSpline T U u 3 u 2 u ; V T 3 v 2 v v ; M BSpline P3 P3 P32 Las superficies BSpline pueden escribirse en forma de un conjunto de tramos de superficie Bézier ; P P P P 2 P P P 2 P P P P P P P

48 Superficies Libres Superficies Bicúbicas B-Spline Ventajas La ecuación especifica una superficie completa No se especifican tramos, ni tangentes, ni torsiones. Sólo se especifican puntos de control Continuidad intrínseca C 2 para superficies BSpline, independientemente del número de puntos de control Modificación local: la modificación de un punto de control afecta a una porción pequeña de superficie Inconvenientes Formulación más compleja que en casos anteriores No se pueden especificar superficies cónicas 48

49 Superficies Libres Superficies Bicúbicas NURBS NURBS = Non Uniform Rational BSpline Se trata de una extensión de las curvas NURBS, y por tanto son un caso general de las superficies BSpline Como las BSpline, aproximan una nube de puntos Cada curva sobre la superficie es una NURBS El grado es independiente del número de puntos Se incorpora un conjunto de pesos que controlan cómo la superficie se aproxima a los puntos de control Si los pesos son, NURBS = BSpline 49

50 Funciones base S( u, v) m n i j m n h i j ij h p ij Superficies Libres Superficies Bicúbicas NURBS ij N N i, K i, K ( u) N ( u) N j, L j, L ( v) ( v) p ij = Puntos de control K, L = Grado en sentido u y v (es 3) N i,k, N j,l : Func. base de grado K y L h ij = Peso asociado al punto p ij Las funciones base son las mismas que para las superficies BSpline N,3 N,3 N 2,3 N 3,3 u/v u/v u/v u/v 5

51 Superficies Libres Superficies Bicúbicas NURBS Ventajas Las mismas ventajas que las BSpline Además, son las únicas superficies paramétricas que pueden especificar superficies cónicas de manera exacta Inconvenientes La formulación es la más compleja El usuario debe manejar un parámetro adicional: los pesos asociados a los puntos 5

52 Superficies Libres Características Ventajas Representación exacta para objetos curvos Modelo compacto Inconvenientes Formulación compleja Visualización directa muy lenta Modelo secundario visualización rápida Cálculo de modelo secundario complicado Prueba de interioridad/exterioridad complicada Cálculo de intersecciones complicado 52

53 Superficies Libres Ejemplos Objeto modelado con 8. parches B-Spline 53

54 Modelos Sólidos Conceptos Representan, además de la superficie, el interior del objeto Esto permite: Representar objetos no homogéneos Representar propiedades internas Representar el comportamiento del interior Cada modelo representa los objetos de una manera Algunos modelos (como el CSG) permiten construir objetos complejos combinando otros más sencillos 54

55 Modelos Sólidos Clasificación Sólidos generados por Instanciación de Primitivas Sólidos generados por Barrido Sólidos generados por Enumeración Espacial Geometría Sólida Constructiva 55

56 Instanciación de Primitivas Definición Se parte de un conjunto finito de formas primitivas En cada primitiva se parametrizan determinadas dimensiones Se establecen restricciones entre los parámetros de las primitivas Se instancian las primitivas dando valores a los parámetros respetando las restricciones Internamente, las primitivas pueden almacenarse utilizando cualquier modelo 56

57 Instanciación de Primitivas Ejemplo Primitiva a r r 2 Restricciones a, b, c, d, e, f > r < r 2 r 2 > d c > 2 d a, b > d Instancias c d f b 57

58 Instanciación de Primitivas Características Ventajas Modelado muy sencillo Modelo compacto Inconvenientes Objetos limitados por las primitivas disponibles Las características de los objetos dependen del modelo concreto utilizado para las primitivas 58

59 Sólidos por Barrido Definición También se denomina Modelo Sweep Los sólidos se obtienen a partir de: Una forma bidimensional: sección o generador Una forma tridimensional: trayectoria o director La sección se desplaza sobre la trayectoria formando el objeto por barrido Tipos de objetos generados por barrido: Extrusión Rotación Barrido Generalizado 59

60 Sólidos por Barrido Extrusión La sección es un forma bidimensional que permanece constante La trayectoria es una recta normal a la sección Sección Trayectoria 6

61 Sólidos por Barrido Rotación La sección es un forma bidimensional que permanece constante La trayectoria es un eje de rotación Sección Eje de rotación 6

62 Sólidos por Barrido Generalización La sección puede cambiar de tamaño, orientación o forma La trayectoria es cualquier forma 62

63 Sólidos por Barrido Generalización Orientación de la sección: Sección normal a la trayectoria Sección con cualquier orientación Una orientación inadecuada puede dar lugar a inconsistencias N 63

64 Sólidos por Barrido Características Ventajas Modelado muy sencillo de entender y realizar Posibilidad de obtener objetos complejos a partir de componentes muy sencillas Modelo matemáticamente conciso Sirve de base a otros modelos (objetos paramétricos, CSG, ) Inconvenientes Posibilidad de crear objetos inconsistentes Necesidad de obtener un modelo secundario para visualización 64

65 Enumeración Espacial Definición Enumeración de la ocupación espacial El espacio se divide en regiones (cubos, vóxels ) etiquetadas como interiores/exteriores Posibles representaciones: Rejilla de vóxels Arboles octales (octrees) Arboles de partición binaria del espacio (BSP) 65

66 66 Enumeración Espacial Rejilla de Voxels El objeto se representa en un espacio dividido en pequeños cubos (vóxels): Los vóxels interiores al objeto se etiquetan con Los vóxels exteriores al objeto se etiquetan con Tiene grandes requerimientos de espacio

67 Enumeración Espacial Árboles Octales (Octrees) Se utiliza una estructura jerárquica en forma de árbol Algoritmo: Definir un cubo inicial que engloba a todo el objeto Si cubo completamente exterior al objeto, etiqueta = Si cubo completamente interior al objeto, etiqueta = En otro caso, dividir cubo en 8 y repetir para cada cubo Terminar cuando se alcanza una resolución adecuada 67

68 Enumeración Espacial Árboles BSP También se trata de una estructura en forma de árbol Algoritmo: Dividir el espacio en dos subespacios mediante un plano Si un subespacio es exterior al objeto, su etiqueta = Si un subespacio es interior al objeto, su etiqueta = En otro caso, dividir en dos subespacios y repetir para cada uno Terminar cuando se alcanza una resolución adecuada subespacio subespacio 2 subespacio subespacio 2 68

69 Enumeración Espacial Características Los árboles octales y BSP rebajan la necesidad de espacio Ventajas Prueba de interioridad/exterioridad muy sencilla, recorriendo el árbol Representación homogénea Inconvenientes Se pierden las relaciones entre las diferentes partes del objeto Sigue habiendo grandes requerimientos de espacio para almacenar el modelo Modelo aproximado 69

70 Geometría Sólida Constructiva Definición No es propiamente un modelo, sino una forma de combinar objetos sencillos para obtener otros más complejos Consta de: Un conjunto de primitivas descritas mediante cualquier modelo Un conjunto de operadores booleanos: unión, intersección y diferencia Los objetos se representan mediante árboles binarios que especifican las operaciones entre primitivas 7

71 Geometría Sólida Constructiva Árboles Binarios En un árbol CSG: Las hojas son las primitivas Los nodos interiores son las operaciones La raíz es el objeto final U P 3 P P 2 7

72 Geometría Sólida Constructiva Operaciones Booleanas A A B A B A - B B Las operaciones booleanas pueden dar lugar a objetos incosistentes Operaciones regularizadas A A B A A B B B 72

73 Geometría Sólida Constructiva Intersección Regularizada * Dividimos los objetos en interior (ia e ib) y frontera (fa y fb) A = ia fa; B = ib fb A * B = (iaib) (iafb) (faib) (fafb)* Int A A B A * B B no (ia ib) (ia fb) (fa ib) sí (fa fb)* Int 73

74 Geometría Sólida Constructiva Unión Regularizada * A*B = (iaib) (fafb) -[(iafb) (faib) (fafb)* Un ] A B A * B sí (ia ib) (fa fb) (ia fb) (fa ib) no (fa fb)* Un 74

75 Geometría Sólida Constructiva Diferencia Regularizada -* A-*B = (fa-fb-ib) (iafb) (fafb)* Dif (ia-fb-ib) A B A -* B sí no (fa-fb-ib) (ia fb) (fa fb)* Dif ia-fb-ib 75

76 Geometría Sólida Constructiva Características Los objetos resultantes de las operaciones regularizadas, son válidos si lo son las primitivas Posibles primitivas: Instanciación de primitivas básicas Objetos simples generados por barrido Se utilizan dos representaciones Modelo procedural (primario): árbol binario Modelo superficial (secundario): b-rep Evaluador Superficial: Conjunto de algoritmos para generar el modelo secundario: Crea y borra vértices, aristas y caras Reorganiza los elementos asegurando la consistencia 76

77 Geometría Sólida Constructiva Características Ventajas Prueba de interioridad/exterioridad muy sencilla, recorriendo el árbol Modelo exacto Inconvenientes Difícil implementación de las operaciones booleanas Visualización complicada: Métodos directos Modelo secundario superficial Limitación impuesta por las primitivas utilizadas 77

78 Otros Modelos Clasificación Veremos un conjunto de modelos no emparentados entre sí: Geometría fractal Modelos gramaticales Sistemas de partículas Modelos basados en características físicas Modelos para visualización científica 78

79 Geometría Fractal Definición Modo alternativo de representar objetos Geometría Euclídea: objetos representados por ecuaciones Geometría Fractal: objetos representados por procedimientos Los objetos se generan mediante una operación sobre una primitiva repetida infinitamente Características de los objetos fractales Infinito detalle Autosimilitud entre las partes y el todo 79

80 Geometría Fractal Usos Gráficos: generación de objetos naturales Rocas Montañas Plantas Nubes Agua Plumas Piel Otros campos Modelado de fenómenos físicos Distribuciones de astros Modelado de variaciones en bolsa Música fractal 8

81 Geometría Fractal Dimensión Fractal Dimensión de los objetos En Geometría Euclídea, la dimensión es entera Puntos: dimensión Rectas: dimensión Planos: dimensión 2 Volúmenes: dimensión 3 En Geometría Fractal, la dimensión puede ser fraccionaria (de ahí el nombre Fractal). La dimensión fractal indica la rugosidad del objeto Recta: dimensión Curva rugosa: dimensión entre y 2 8

82 Figura Original Recta Geometría Fractal Cálculo de la Dimensión Fractal Duplicando sus Dimensiones Número de Copias 2 = 2 Dimensión Cuadrado 4 = Cubo 8 = En general n = 2 d d = log n/log 2 Triángulo de Sierpinski 3 = 2 d d = log 3/log 2 =,

83 Geometría Fractal Generación de Objetos Fractales Para definir un objeto fractal necesitamos: Un primitiva geométrica P : punto, recta, curva, área de color, superficie, sólido, Una función de transformación F que puede ser afín (traslaciones, rotaciones, escalados), no lineal, aleatoria, con parámetros de decisión, La transformación se aplica infinitamente a la primitiva: P = F(P ) P 2 = F(P ) P 3 = F(P 2 ) En la práctica, la aplicación de la transformación es finita se detiene cuando el detalle tiene menor tamaño que un pixel 83

84 Geometría Fractal Ejemplo: Curva de Von Koch Primitiva P : un triángulo Función de transformación F P P P 2 P 84

85 Parte compleja Geometría Fractal Ejemplo: Conjunto de Mandelbrot Primitiva P : Número real Función de transformación F: P i =P i-2 +c, con c todos los reales y complejos tal que c 2 Pertenecen al conjunto, aquellos valores de c que hacen que la serie P i =P i-2 +c no tienda a infinito Los valores para los que la serie necesita muchas iteraciones para tender a infinito, se encuentran en la frontera Parte real 85

86 Geometría Fractal Ejemplo: Conjunto de Mandelbrot 86

87 Geometría Fractal Ejemplos 87

88 Modelos Gramaticales Definición Se parte de una gramática con reglas de producción Un objeto válido, es cualquier palabra que sea reconocida por la gramática Las reglas de producción permiten: Aplicar transformaciones alterar la geometría Añadir detalle 88

89 Modelos Gramaticales Ejemplo Gramática árbol tronco {rama} rama {rama} rama {hoja} hoja Objeto tronco (rama (rama hoja rama) rama hoja) 89

90 Sistemas de Partículas Definición Adecuado para definir objetos variables tipo fluido : Nubes Humo y fuego Pelo y plumas Líquidos Campos de hierba Explosiones Los objetos están formados por partículas que cambian de posición o atributos con el tiempo 9

91 Sistemas de Partículas Ejemplo Fuegos Artificiales Cada partícula modela un punto de luz Se generan partículas aleatoriamente en un volumen esférico La partícula se mueve radialmente, con dirección inicial aleatoria Se tiene en cuenta la gravedad La partícula cambia de color conforme avanza Se destruye la partícula en algún momento de forma aleatoria 9

92 Sistemas de Partículas Ejemplos 92

93 Sistemas de Partículas Ejemplos 93

94 Características Físicas Definición Modelos basados en características físicas de los materiales El objeto se describe en términos de la interacción de las fuerzas internas/externas Muy adecuado para modelar objetos no rígidos: Tejidos Objetos de goma Muelles 94

95 Características Físicas Modelado mediante resortes Un caso particular muy útil Los objetos se modelan como una red de nodos unidos mediante conexiones flexibles (resortes) Cada resorte lleva asociado una constante k Se plantea una ecuación para cada resorte (ley de Hooke) y se resuelve el sistema para todas las ecuaciones Los objetos pueden ser 2D (tejidos ) o 3D (bloques de goma ) k k 2 k 5 k 6 k 7 k 3 k 4 Si k = k 2 = = k n objeto homogéneo 95

96 Características Físicas Ejemplos 96

97 Visualización Científica Definición Visualización científica: visualización de datos para el análisis científico Representacionse gráficas de datos no gráficos Conjunto de datos demasiado grandes, para descubrir tendencias, ciclos, Se pueden representar Escalares Vectores Tensores Datos con variables múltiples 97

98 Visualización Científica Representación de Escalares Cantidades con un solo valor, en función del tiempo, la posición u otros parámetros Son escalares: Energía Densidad Masa Temperatura Presión Carga Resistencia Frecuencia Técnicas para representar escalares: Diagramas de barras Gráficos de pseudocolor Trazos de contorno (isolíneas) Presentación de volumen 98

99 Visualización Científica Ejemplos de Rep. de Escalares 99

100 Visualización Científica Representación de Vectores Un vector n-dimensional puede representarse Como un punto en un espacio n-dimensional Como magnitud y dirección, en un espacio 3D Son vectores: Velocidad Aceleración Fuerza Campos (eléctricos, magnéticos, gravitatorios) Corriente eléctrica Técnicas para representar vectores Flechas Líneas de campo Flujo de partículas

101 Visualización Científica Ejemplos de Rep. de Vectores

102 Visualización Científica Representación de Tensores En un espacio 3D, un tensor tiene 9 componentes (una matriz 3x3), generalmente 3 simétricos (en total 6 diferentes) Son tensores Tensiones de un material Conductividad Resistividad Técnicas para representar tensores Formas con 6 parámetros: Flechas (3 términos dan la dirección y magnitud y los otros 3 el color y forma) Reducción a vectores o escalares 2

103 Visualización Científica Ejemplos de Rep. de Tensores 3