OPERACIONES GEOMÉTRICAS CON VECTORES

Transcripción

1 GUÍA DE APRENDIZAJE Introducción al álgebra vectorial Profesor: David Valenzuela Z Magnitudes escalares y vectoriales La gran variedad de cosas medibles (magnitudes) se pueden clasificar en dos grandes grupos: Magnitudes que sólo requieren dar su valor. Por ejemplo 5,0 gr ; 25 ºC ; 54,65 s. Son llamadas magnitudes escalares. Magnitudes que para estar correctamente especificadas se requiere conocer: Su valor o módulo. (número) Su dirección (representada por una recta, puede ser por un ángulo o algún eje de coordenada) Su sentido (que se representa por una punta de flecha, asignado por un signo + o uno - Son llamadas magnitudes vectoriales que usan para su representación flechas o vectores. Son ejemplos de éstas la velocidad, la aceleración o las fuerzas. Vector Es un objeto matemático abstracto, pero geométricamente se puede representar como un segmento de recta dirigido (flecha), que está determinado por un punto inicial y uno final. Un vector se simboliza con una letra mayúscula en la gran mayoría de los casos, y lleva una flecha en su parte superior, también es posible encontrar en los libros simplemente como una letra ennegrecida Ejemplo A

2 OPERACIONES GEOMÉTRICAS CON VECTORES Suma de vectores Al sumar dos vectores se obtiene otro vector (vector suma o resultante). Para obtener el vector suma es necesario recurrir a lo que se conoce como regla del paralelogramo. Esto es, se construye un paralelogramo que tenga los vectores como lados y se traza la diagonal del mismo para obtener el vector suma. Resta de vectores Al restar dos vectores se obtiene otro vector. Para obtener el vector resta o diferencia se puede usar la regla del paralelogramo, teniendo en cuenta que la diferencia puede ser considerada como la suma de un vector y su opuesto: S= A B 1.Trazar por el extremo de A una paralela a B 2. Trazar por el extremo de B una paralela a A 1. Obtener el vector ( - A) A B A B A S = A 2 B 2 3. Trazar la diagonal del paralelogramo para obtener el vector suma o resultante. Sea Multiplicación de un vector por un escalar. 2. Sumar B + ( - A) Cuando multiplicamos un escalar (número) por un vector, es aumentar en n veces el módulo del vector. Sea A = 3 unidades, si lo multiplicamos por una escalar de valor 3, tenemos: 3 A = 9 unidades Entonces 3 A será, tendrá un modulo de 9 unidades 3 A

3 MÓDULO Y DIRECCIÓN DE UN VECTOR Todo vector se resultante se puede expresar como la suma de dos vectores perpendiculares entre si (ortogonales), cuando expresamos un vector en función de sus componente perperdiculares estamos hablando de lo que se conoce con el nombre de coordenadas rectangulares, porque la descomposición generá un rectángulo en el caso de trabajar en dos dimensiones, o un paralelepípedo si fuera en 3D. Esta propiedad es la que utilizaremos para encontrar el módulo y sentido de un vector. A S Módulo del vector Tanto para la suma como para la resta. Si queremos obtener el valor del vector resultante, tendremos que hacer: S = A + B ; S = A + B D = A + B ; D = A + B Si queremos saber el ángulo que forma con el eje x podemos utilizar la función tangente: α B A tgα= A B Hemos utilizado el teorema de pitágoras para encontrar el tamaño de la hipotenusa del triángulo formado, al encontrar este tamaño hemos encontrado el módulo del vector, por lo tanto, el módulo de un vector es la raiz de la suma de las componentes al cuadrado del vector Consideraciones: * Siempre que se considere el ángulo con respecto al eje x, la tangente del ángulo estará dada por la componente y del vector dividida en la componente x del vector Ahora queremos saber la dirección, o sea el ángulo de elevación del vector resultante, y por las razones trigonométricas a partir de los dos vectores catetos, podemos tener la mediante la función tangente la relación entre ambas cantidades, y en consecuencia el valor del ángulo Dirección =tg 1 A B

4 COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR Siempre podemos descomponer un vector en sus componentes, obtener otros vectores perpendiculares, los que sumados dan el vector resultante. En el caso de dos dimensiones, tendremos dos vectores perpendiculares entre sí, como se muestra en la figura. 1. Trazar una paralela al eje X v y Componente y v v x Componente x 1. Trazar una paralela al eje X 2. Trazar una paralela al eje Y Entonces tenemos que : v= v x v y Expresión de un vector en función de los vectores unitarios Aprovechando el concepto de producto de un escalar por un vector se pueden obtener una notación muy útil para representar los vectores. Se definen en primer lugar los llamados vectores unitarios. Esto es, unos vectores que tienen módulo uno (1), cuya dirección es la de los ejes coordenados y su sentido el sentido positivo de éstos. X i Y------j Z------k Para obtener el valor (módulo) de las componentes a partir del vector inicial v y α v v x v x = v cos α v y = v sen α De esta manera a partir del módulo del vector se pueden obtener las dos componentes del vector y anotar el vector resultante en función de la descomposición de los vectores unitarios. v=v cos i v sen j

5 CÁLCULO DEL ÁNGULO DE ELEVACIÓN Y LA IMPORTANCIA DE LOS SIGNOS NEGATIVOS EJEMPLO: Dibujar el siguiente vector: A=3 i 2 j Al observar el dibujo del vector A, nos podemos dar cuenta que: * 3i sumado con -2j da como resultado el vector A. (fig. 1) * El ángulo con respecto al eje +x, en este caso está dado por la tg ¹ 3/2, el cual nos da como resultado un valor de 56,3º. Para ello debe tenerse en cuenta que se está trabajando en el cuarto cuadrante por lo tanto si nos damos cuenta el denominador debe ser negativo, sin embargo no lo colocamos para el cálculo del ángulo, pero si sabemos que estamos trabajando en el cuarto cuadrante. LA CALCULADORA SIEMPRE ENTREGARÁ LOS ÁNGULOS CON RESPECTO AL EJE X, LOS SIGNOS SÓLO DARÁN EL CUADRANTE. (ver figura 2) Fig. 1 Así el ángulo de 56,3º es y está en el cuarto cuadrante medido con respecto al eje x Fig. 2

6 El cuadro muestra los valores positivos que toma las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes. Por ejemplo en el segundo cuadrante el coseno es negativo y el seno es positivo. También podemos a partir del vector A conocer el módulo el cual esta dado por: A=3 i 2 j A = 3² 2²

7 SUMA Y RESTA DE MANERA ALGEBRAICA DE VECTORES Sumemos los vectores A= 3i + 2j y el vector B= 2i +3j. Entonces lo primero que hacemos es dibujar en un plano cartesiano ambos vectores y sumarlos de manera geométrica. Los vectores A y B son sumados geométricamente, dando como resultado el vector R. Ahora si descomponemos el vector en sus componentes rectangulares y el vector B de igual manera, nos podemos dar cuenta que las suma de las componentes x de cada vector es la componente x del vector resultante. Igualmente en el eje y, por lo tanto para sumar vectores se suman todas las componentes x de los vectores y toda las componente y de los vectores, dando como resultado, las componentes x e y respectivamente del vector resultante. Por lo tanto el vector resultante para nuestro ejemplo sería: R= 3 i 2 i 2 j 3 j R=5 i 5 j Módulo es: R = 5² 5² R = 50 A=A x i B y j B=B x i B y j A B= A x B x i A y B y j R x = A x B x i R y = A y B y j La dirección es: =tg =45º

8 PRODUCTO ESCALAR, PRODUCTO VECTORIAL Y ALGUNAS PROPIEDADES DEL ALGEBRA VECTORIAL. Producto escalar Supongamos que tenemos dos vectores a y b en R³ y queremos determinar el ángulo entre ellos, esto es, el menor ángulo que forman a y b en el plano que ambos generan. Sean a = a 1 i + a 2 j + a 3 k y b= b 1 i +b j+b k. Definimos el 2 3 producto punto o producto escalar de a y b, y lo escribimos a b, como el número real a b = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 Se deduce del teorema de Pitágoras que la longitud del vector a= a 1 i + a 2 j + a 3 k es a 1 2 a 2 2 a 3 2 Algunas propiedades del producto escalar i. a a 0 ii. a b = a b) y a b = a b) iii. a (b+c) = a b+a c y (a+b) c = a c + b c iv. a b = b a

9 Producto Vectorial Sean dos vectores A y B en el espacio vectorial R 3. El producto vectorial entre ellos da como resultado un nuevo vector C. El producto vectorial se denota mediante A x B, por ello se lo llama también producto cruz. También se puede definir de una manera más sencilla donde: A x B=( A B sin θ) n donde n es un vector unitario y ortogonal a los vectores A y B y su dirección está dada por la regla de la mano derecha.