Tema 2 MODELOS UNIVARIANTES LINEALES.

Transcripción

1 Tema 2 MODELOS UNIVARIANTES LINEALES. 1

2 Estructura del tema 1) Procesos estocásticos estacionarios. Modelos univariantes: la función de autocorrelación y el correlograma. 2) El proceso ruido blanco. 3) El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). 4) Los modelos ARI(1,1). 5) Generalización a los modelos AR(p). Los procesos ARI(1,p). 6) Los modelos AR y ARI estacionales. 2

3 1. Procesos estocásticos estacionarios En el tema anterior hemos visto como caracterizar la tendencia de diferentes maneras. En este tema vamos a ver como capturar con modelos estocásticos la parte no tendencial del proceso (eso que llamamos W t ). Los modelos estadísticos que vamos a tratar en este tema son modelos univariantes. Estos modelos se caracterizan porque para conocer la dinámica de una variable se utiliza información sobre su pasado. No son modelos econométricos en el sentido que no utilizan formas funcionales que vienen dadas por la teoría económica. Sin embargo, la información que proporcionan estos modelos suele ser de mucha utilidad para el analista económico ya que proporciona información sobre las características del proceso. 3

4 1. Procesos estocásticos estacionarios Los esquemas de raíces unitarias implican que transformando las series de modo que en vez de considerar los datos originales se utilizan sus incrementos o los incrementos de los incrementos si la serie presenta estacionalidad uno de dichos incrementos será estacional- tales transformaciones no muestran evolutividad en el nivel y por lo tanto son estacionarias. 4

5 1. Procesos estocásticos estacionarios. La evolución tendencial de una serie que implica un determinado modelo se define a partir de su número de diferencias que incluye además del orden polinomial determinista. Veamos algunos ejemplos. 5

6 1. Procesos estocásticos estacionarios. 1) x t =x t w t 2) x t =2x t-1 -x t-2 +w t 3) x t =2+0.5t+w t 4) x t =2x t-1 -x t w t 6

7 1. Procesos estocásticos estacionarios. Indique y explique que evolución tendencial describen estos modelos. Ejercicio para casa. 7

8 1. Procesos estocásticos estacionarios. 8 Una serie con tendencia lineal determinista es estacionaria diferenciando 2 veces pero el termino residual tiene malas propiedades estocásticas. Esto se debe al hecho de que la tendencia se elimina propiamente por regresión. No obstante la diferenciación también elimina las tendencias deterministas.

9 Los elementos determinantes en la definición de tendencia Los modelos del tipo X t =a+bt+w t X t =X t-1 +b+w t Pero si los parámetros a y b cambian con el periodo de predicción, los modelos integrados de orden 2 resultarán mejores para series con crecimiento sistemático. Asimismo un modelo integrado de orden 1 sería mejor que un modelo con un elevado número de rupturas deterministas para las series con oscilaciones locales de nivel. Box-Jenkins propone el uso del número máximo de diferencias. 9

10 1. Procesos estocásticos estacionarios Supongamos que para una determinada serie eliminamos su tendencia con d diferencias regulares y D diferencias estacionales. Es importante tener en cuenta que en series económicas el número de diferencias totales, d+d, no debe ser nunca superior a Por ejemplo, si d+d es 3 significaría asumir que si el modelo no contiene ningún elemento determinista la serie crece con tendencia cuadrática y si contiene una constante crecería con tendencia cúbica. Estos supuestos no son asumibles en series económicas y empresariales incluso aunque el gráfico de la serie muestre dicho comportamiento en un momento determinado.

11 1. Procesos estocásticos estacionarios. Por ejemplo, veamos un caso extremo de crecimiento de precios en una serie mensual. 300 Indice de precios al consumo en Venezuela

12 1. Procesos estocásticos estacionarios. De la observación de la serie se deduce que su crecimiento es explosivo y no puede considerarse lineal. Como hemos visto en el tema 1, series con un crecimiento exponencial pueden linearizarse mediante su transformación logarítmica. 12

13 1. Procesos estocásticos estacionarios logaritmo natural del índice de precios al consumo en Venezuela

14 1. Procesos estocásticos estacionarios. 14 Incluso tras la transformación logarítmica vemos que la evolución de la serie es no lineal aproximadamente en el periodo que va desde 1980 hasta el Sin embargo, sería completamente ilógico imponer un modelo integrado de orden 3 o un modelo integrado de orden 2 con constante para describir la evolución de la serie ya que implicaría asumir que ese comportamiento no lineal se perpetuaría en el futuro.

15 1. Procesos estocásticos estacionarios. Generalmente la tendencia en este tipo de series se ajustan relativamente bien con un modelo que incluya sólo dos diferencia y probablemente un número de variables artificiales para controlar por los diferentes cambios estructurales que afectan a su dinámica. 15

16 1. Procesos estocásticos estacionarios. Objetivos del tema Entender la definición de estacionariedad y su importancia en la modelización económica. Familiarizarse con la familia de modelos ARI. Entender como se reflejan las carácterísticas de diferentes modelos ARI en su función de autocorrelación y su equivalente muestral (el correlograma). 16 De este modo, en el tema siguiente seremos capaz de identificar el modelo que mejor se ajusta a una determinada serie temporal.

17 1. Procesos estocásticos estacionarios. Las desviaciones de X t sobre la tendencia y la estacionalidad que denominaremos W t muestran dependencia con desviaciones anteriores. Habrá que obtener un modelo para W t condicionando respecto a las desviaciones pasadas. Esto se realizará estableciendo un supuesto general para esa dependencia respecto al pasado. 17

18 1. Procesos estocásticos estacionarios. Una serie temporal es una realización finita de un proceso estocástico. Proceso estocástico x(1) x(2) x(t) x(t) Serie temporal (observada) Otras posibles series temporales x 1,x 2,x 3 x T x 1 (1), x 2 (1), x 3 (1),, x T (1) x 1 (2), x 2 (2), x 3 (2),, x T (2) x 1 (r), x 2 (r), x 3 (r),, x T (r) 18

19 1. Procesos estocásticos estacionarios. Importante distinción Proceso estocástico: la inflación mensual en España. Variable aleatoria: la inflación mensual en el mes t en España. 19 La inflación observada en el mes t es la realización de esta variable aleatoria, pero otras realizaciones podrían ser posibles.

20 1. Procesos estocásticos estacionarios. Aplicando diferencias regulares y estacionales se puede eliminar la tendencia y la estacionalidad Una vez que hemos eliminado las componentes tendenciales del proceso, estamos interesados en modelizar. Estas observaciones son dependientes en el tiempo y no pueden tratarse como si fueran iid. Ahora vamos a ver que instrumentos estadísticos se pueden utilizar para estudiar esa dependencia. y t =f(y t-1,y t-2,,y 1 )+a t 20

21 1. Procesos estocásticos estacionarios. Para representar esta situación vamos a considerar que la variable que estamos analizando forma parte de un proceso estocástico: sucesión de variables aleatorias indiciadas en el tiempo. Un proceso estocástico puede generar infinitas realizaciones durante un periodo t=1,,t. 21

22 1. Procesos estocásticos estacionarios. Si dispusiéramos de varias realizaciones de un proceso entonces la media para cada una de las variables podría ser estimada mediante: t m j 1 y m ( t j) 22

23 1. Procesos estocásticos estacionarios. - En embargo en la práctica sólo tenemos una realización por lo que no es posible estimar los momentos de las variables que componen el proceso. - Para poder estimar los momentos de las variables que componen el proceso es necesario restringir las propiedades del proceso estocástico. - Esta restricción se llama de estacionariedad. 23

24 1. Procesos estocásticos estacionarios. Un proceso estocástico es estacionario si: a) La media es constante: E(y t )=µ para todo t. b) La varianza es constante: Var(y t )=σ 2 c) La covarianza entre dos variables separadas h periodos sólo depende de h: cov(y t, y t+h )=γ(h) 24

25 1. Procesos estocásticos estacionarios. La primera condición nos permite calcular la media que es común a todas las variables mediante la media muestral t T i 1 T y t 25

26 1. Procesos estocásticos estacionarios. Lo mismo puede decirse de las otras 2 condiciones. 26

27 1. Procesos estocásticos estacionarios. En la práctica la restricción de estacionariedad nos permite estimar las covarianzas (medida de dependencia lineal entre observaciones separadas h periodos en el tiempo) mediante la covarianza muestral. ˆ( h) T t h a ( y t y)( y T t h y) 27

28 1. Procesos estocásticos estacionarios. 28 La estimacion de correlaciones es mas util al no depender de las unidades de medida de la serie. El grafico de las autocorrelaciones para diferentes valores de k constituyen el correlograma. ρ(k) = γ(k) γ(0)

29 2. El proceso ruido blanco El objetivo de las series temporales es descomponer la serie observada en una parte que es dependiente del pasado y otra que es impredecible: y t =f(y t-1,y t-2,,y 1 )+a t El proceso a t se conoce como innovación y tiene la característica de ser ruido blanco a) E(a t )=0 b) Var(a t )=σ a 2 c) cov(a t, a t+h )=0 29

30 Teorema de Wald Si un proceso es estacionario y no tiene componentes deterministas, entonces y t i 0 a i 0 1 t i donde 2 i i 0 30

31 2. El proceso ruido blanco Un punto a reflexionar: Puede una suma infinita de términos converger a un número finito?. Sí 31

32 2. El proceso ruido blanco. 32 Curiosidad: Zenón de Elea, un filósofo presocrático, propuso la paradoja de la dicotomía. Si una persona debe andar de un punto A a un punto B y recorre siempre la mitad de la distancia que le separa de B en el límite la distancia total recorrida sería finita aunque el número de pasos sea infinito. El supuesto de estacionariedad en el teorema de descomposición de Wald también impone que la suma infinita de shocks ruido blanco es un número finito debido a que estos son cada vez más pequeños (al igual que los pasos en la paradoja de la dicotomía).

33 2. El proceso ruido blanco. El teorema de Wald nos permite aproximar la dependencia dinámica de una variable mediante un modelo lineal. Cuando asumimos que las innovaciones son independientes, entonces la representación lineal es la única posible. Sin embargo cuando las innovaciones son incorreladas pero no independientes entonces la representación lineal no es la única representación de dependencia. Puede haber otras dependencias no lineales. 33

34 2. El proceso ruido blanco. La representación lineal depende de infinitos parámetros y por lo tanto no es operativa en la práctica. Tenemos que aproximar dicha representación mediante modelos que tengan un número finito de parámetros. Como veremos más adelante, los modelos AR (p) pueden ser representados mediante la ley de descomposición de Wald. Estudiar las propiedades de estos modelos será uno de los objetivos del tema. Los modelos AR(p) juegan un papel muy importante en las series temporales ya que permiten una representación parsimoniosa (con relativamente pocos parámetros) de la serie estacionaria. 34

35 2. El proceso ruido blanco. Las funciones de autocovarianzas y autocorrelaciones Objetivo: descomponer la serie observada en una parte que depende de su pasado más las innovaciones: y t =f(y t-1,y t-2,,y 1 )+a t 35

36 2. El proceso ruido blanco. El teorema de Wald nos asegura que f(*) es lineal. Las autocovarianzas son el instrumento que vamos a utilizar para medir relaciones lineales 2 y y E y y ( h) E t t h t t h 36

37 2. El proceso ruido blanco. Las autocorrelaciones no dependen de las unidades de medida que estemos usando: ( h) ( h) (0) 37

38 Para estimar la autocorrelación de orden h utilizamos su análogo muestral. T t t T a h t h t t y y y y y y h r 1 2 ) ( ) )( ( ) ( El proceso ruido blanco.

39 2. El proceso ruido blanco. 39 Si (y t ) es una secuencia iid, es decir un ruido blanco, entonces r(h) es asintóticamente normal con media cero y varianza 1/T. Este resultado puede usarse para construir bandas de confianza de las autocorrelaciones: ±1.96/T 1/2 Para contrastar H 0 :ρ(1)= ρ(2)= = ρ(m)=0 podemos usar el estadístico de Ljung-Box-Pierce Q( m) T( T 2) m i 1 r( h) 2 ( T h)

40 2. El proceso ruido blanco. Si (y t ) es una secuencia iid con momento de cuarto orden finito, entonces Q(m) es asintóticamente una Chi cuadrado con m grados de libertad. 40

41 2. El proceso ruido blanco. Ejemplo Serie de precios de la gasolina en los Estados Unidos (en logaritmos naturales) 41

42 2. El proceso ruido blanco E4 42

43 43 2. El proceso ruido blanco.

44 2. El proceso ruido blanco. Primeras diferencias DE4

45 45 2. El proceso ruido blanco.

46 2. El proceso ruido blanco. El correlograma de la serie y el test de Ljung-Box-Pierce claramente indican que no puede aceptarse que la serie venga generada por un proceso ruido blanco. Existen dependencia dinámica en la serie y dicha dependencia debe ser caracterizada mediante un modelo apropiado. 46

47 2. El proceso ruido blanco. Un proceso ruido blanco es un proceso estacionario que cumple las siguientes condiciones: a) Su media es cero: E(y t )=0 para todo t. b) La varianza es constante: Var(y t )=σ 2 c) La covarianza entre dos variables separadas h periodos es cero: cov(y t, y t+h )=0 47

48 2. El proceso ruido blanco. El ruido blanco se puede interpretar como un elemento de innovación o sorpresa que vamos a incorporar en nuestro modelo. Si todas las series que observamos en la realidad fuesen ruido blanco serían impredecibles y no habría ningún modelo que proponer. 48

49 Índice Bursátil en US S real stock market, s

50 Primeras diferencias del índice bursátil 0.10 DS Real stock market in first differences, ds

51 2. El proceso ruido blanco. 51 Los cambios en los precios en mercados eficientes no son predecibles. Los mercados monetarios, de divisas, etc están muy cerca de la eficiencia, En estos mercados, las innovaciones se absorben completamente cuando se producen y los cambios en los precios sólo dependen de las innovaciones contemporáneas. Las primeras diferencias de índices bursátiles, tipos de interes o tipos de cambio son tipicamente procesos que se asumen generados por un ruido blanco.

52 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). Quizá el modelo de series temporales más sencillo consiste en suponer que el presente depende sólo directamente del pasado más cercano donde a t es un ruido blanco. w t = c + φw t 1 + a t Este proceso se denomina AR(1) o proceso autoregresivo de orden uno. 52 Resulta interesante conocer las propiedades de este proceso.

53 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). Su media marginal es E(w t ) = c + φe(w t 1 ) Si imponemos la hipótesis de estacionariedad E w t = E w t 1 = μ μ = c 1 φ 53

54 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). Dos cosas importantes a tener en cuenta: 1) La esperanza del proceso sólo está definida si φ 1. 2) La esperanza de un proceso autoregresivo no es su constante sino una función de la constante y el parámetro autoregresivo φ. 54

55 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). Sabiendo que w t = c + φw t 1 + a t μ = c 1 φ el modelo puede escribirse de forma alternativa como w t μ = φ(w t 1 μ) + a t Esta última expresión resulta especialmente útil a la hora de escribir la varianza y autocovarianzas del proceso. 55

56 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). Así la varianza queda definida como γ 0 = E(w t μ) 2 = E φ(w t 1 μ) + a t 2 = φ 2 γ 0 + σ a 2 Despejando para γ 0 queda como γ 0 = σ a 2 1 φ 2 56

57 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). Importante: La varianza sólo está definida si φ < 1. 57

58 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). La autocovarianza de orden uno puede derivarse a partir de γ 1 = E(w t μ)(w t 1 μ) = E φ(w t 1 μ) + a t (w t 1 μ) = φγ 0 dado que por definicion, el ruido blanco esta incorrelado con la informacion pasada. 58

59 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). Del mismo modo, las autocovarianzas de orden 2, 3, etc se obtienen facilmente como 59 γ 2 = E(w t μ)(w t 2 μ) = E φ(w t 1 μ) + a t (w t 2 μ) = φγ 1 = φ 2 γ 0 γ 3 = E(w t μ)(w t 3 μ) = E φ(w t 1 μ) + a t (w t 3 μ) = φγ 2 = φ 3 γ 0

60 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). En general, puede definirse la funcion de autocovarianza de un proceso AR(1) como γ 0 = σ a 2 1 φ 2 60 γ k = φ k γ 0 k = 1,2,

61 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). Sin embargo, es la funcion de autocorrelacion la mas relevante en la identificacion del proceso al no depender de la unidad de medida 61

62 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). Dado que la autocorrelacion se define como γ k ρ k = γ 0 La funcion de autocorrelacion (FAC) de un proceso AR(1) sera ρ k = φ k k = 1,2, 62 Esto implica que si el proceso es estacionario, φ < 1

63 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). Si el proceso es estacionario y el coeficiente φ > 0 la FAC mostrara valores positivos que iran decreciendo exponencialmente 63

64 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). FAC de un proceso AR(1) estacionario con coeficiente autoregresivo positivo 64

65 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). Si por el contrario el proceso es estacionario y el coeficiente φ < 0 la FAC tambien decaera exponencialmente pero alternando de signo. 65

66 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). FAC de un proceso AR(1) estacionario con coeficiente autoregresivo negativo 66

67 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). La FAC es un concepto teorico y por lo tanto no observable. Pero en la practica, con series reales podemos computar el correlograma. La rapidez de decrecimiento de las correlaciones depende de los proximo que este el coeficiente de autocorrelacion a la unidad. 67

68 68 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1).

69 69 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1).

70 70 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1).

71 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). Puntos a notar en un correlograma La rapidez de convergencia hacia cero nos informa sobre la magnitud del coeficiente. La alternancia de signos nos informa sobre el signo del coeficiente. 71 Un correlograma es una estimacion empirica. Sus valores nunca son exactamente cero. Resulta de interes observar si es significativamente diferente de cero

72 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). Eviews (y tambien otros softwares) muestran informacion del correlograma parcial que indica la magnitud de una correlacion entre una serie y sus retardos una vez que eliminamos la influencia de retardos intermedios. 72

73 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). Por ejemplo, en un proceso AR(1) w t = c + φw t 1 + a t 73 w t 1 = c + φw t 2 + a t w t 2 esta correlacionado de forma indirecta con w t dado que w t 2 ejerce influencia sobre w t 1 y este a su vez ejerce influencia sobre w t. Sin embargo, en un proceso AR(1) el unico elemento que ejerce influcenca directa sobre w t es w t 1. Por lo tanto solo la correlacion parcial de orden 1 es significativa.

74 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). Dos conceptos que resultan muy utiles son la esperanza y la varianza en el periodo t condicional a la informacion disponible en t 1. 74

75 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). En el caso de un AR(1) su esperanza condicional seria donde E(w t \Ω t 1 ) = c + φw t 1 Ω t 1 denota toda la informacion hasta el momento t 75 E a t \Ω t 1 = 0 En este caso w t 1 no es una variable estocastica sino un dato que se conoce.

76 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). Del mismo modo, la varianza condicional seria Var(w t \Ω t 1 ) = σ a 2 dado que w t 1 es un dato conocido y su varianza es cero. 76

77 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). Es importante notar que no puede afirmarse que la esperanza condicional sea mayor o menor que la marginal. sin embargo, la varianza condicional es siempre menor que la marginal 77 Var w t \Ω t 1 = σ a 2 < σ a 2 1 φ 2

78 3. El modelo autoregresivo de primer orden AR(1). La explicacion es que el conocimiento del pasado reciente reduce nuestra incertidumbre sobre el proceso. Asi, cuando hacemos predicciones, la prediccion un periodo hacia adelante es mucho mas incierta que la prediccion a largo plazo. 78

79 4. El modelo ARI(1,1) Hemos visto que la condicion de estacionariedad en un proceso AR(1) es que su coeficiente autoregresivo sea menor que la unidad en valor absoluto. Un proceso del tipo 79 x t = x t 1 + w t (1) donde w t se asume que es estacionario implicaria que x t es no estacionario. ya que x t seria un proceso no AR(1) con coeficiente igual a uno.

80 4. El modelo ARI(1,1) Si a su vez se asume que w t sigue un proceso AR(1) estacionario sin constante w t = φw t 1 + a t (2) φ < 1 Sustituyendo (1) en (2) puede escribirse el proceso como x t = φ x t 1 + a t (3) 80

81 4. El modelo ARI(1,1) Un modelo ARI(1,1) se transforma en estacionario tras una diferencia regular. 81

82 4. El modelo ARI(1,1) Si partimos de un periodo inicial t m y procedemos mediante sustituciones recursivas x t m +1 = x t m + w t m +1 x t m +2 = x t m + w t m+1 + w t m +2 x t = x t m + w t m +1 + w t m +1 + w t m w t 82

83 4. El modelo ARI(1,1) En este proceso los shocks estocasticos que se incorporan al sistema w t no van disminuyendo su influencia conforme nos alejamos en el tiempo. No se cumple el principio de la ley de descomposicion de Wald. 83

84 4. El modelo ARI(1,1) Existe una importante diferencia con un proceso w t estacionario w t m +1 = φw t m + a t m+1 w t m +2 = φ 2 w t m + φa t m +1 + a t m +2 w t = φ m w t m + φ m 1 a t m +1 + φ m 2 a t m a t 84

85 4. El modelo ARI(1,1) En un proceso estacionario, el efecto de los shocks estocasticos termina olvidandose. 85

86 5. Generalización a los modelos AR(p). Los procesos ARI(1,p) En general (Y t -μ)(1- Φ 1 L- Φ 2 L Φ p L p ) =a t (1+ΦL+Φ 2 L 2 + +Φ q L q ) La identificación de estos modelos se hace a partir de su función de autocorrelación. - Autocorrelación simple: ausencia de estructura hasta q y a partir de q decrecimiento sistemático. - Autocorrelación parcial: ausencia de estructura hasta p y a partir de p decrecimiento sistemático. 86

87 5. Generalización a los modelos AR(p). Los procesos ARI(1,p) Los modelos AR(1) pueden ser facilmente generalizables a procesos AR(p) w t = c + φ 1 w t 1 + φ 2 w t φ p w t p + a t 87

88 5. Generalización a los modelos AR(p). Los procesos ARI(1,p) La condicion de estacionariedad en este tipo de procesos se determina por medio de las raices de la ecuacion 1 φ 1 x φ 2 x 2 φ p x p = 0 Si las soluciones de esta ecuacion (ecuacion caracteristica) son todas mayores que el circulo unidad entonces el proceso es estacionario. 88

89 5. Generalización a los modelos AR(p). Los procesos ARI(1,p) De forma equivalente, que las soluciones de la siguiente ecuacion z p φ 1 z p 1 φ 2 z p 2 φ p = 0 estan dentro del circulo unidad. 89

90 5. Generalización a los modelos AR(p). Los procesos ARI(1,p) Si el proceso AR(p) es estacionario su esperanza se determina como μ = c 1 φ 1 φ 2 φ p 90

91 5. Generalización a los modelos AR(p). Los procesos ARI(1,p) La forma de la FAC en procesos AR(p) con p>1 no se va a desarrollar analiticamente en este curso. Sin embargo, de forma general cuando el proceso es estacionario su FAC decrece con estructura algo mas compleja que en modelos AR(1). 91 Esta estructura viene determinada por las raices de su ecuacion caracteristica. Incluso el decrecimiento puede ser de forma ciclica cuando existen raices complejas.

92 92 5. Generalización a los modelos AR(p). Los procesos ARI(1,p)

93 5. Generalización a los modelos AR(p). Los procesos ARI(1,p) Hemos visto que la autocorrelacion parcial nos indica las autocorrelaciones directas que puede haber en el proceso. Cuando se trata con series reales, la autocorrelacion parcial es muy relevante ya que supone una indicacion sobre el orden del proceso autoregresion que mejor se ajusta a la serie. 93

94 5. Generalización a los modelos AR(p). Los procesos ARI(1,p) Por ejemplo, si las dos primeras autocorrelaciones parciales son significativamente diferentes de cero probablemente el proceso viene generado por una AR(2). 94 En otros casos es muy dificil identificar el orden autoregresivo que mejor se ajusta a una serie por lo que existen procedimientos automaticos para determinarloy tambien para decidir si la serie es o no es estacionaria. Estos metodos seran estudiados en el tema 3.

95 5. Generalización a los modelos AR(p). Los procesos ARI(1,p) Este proceso puede generalizarse a modelos ARI(p,1) x t = c + φ 1 x t 1 + φ 2 x t φ p x t p + a t 95

96 6. Los modelos AR y ARI estacionales. Una manera simple de expresar un modelo AR con un orden suficientemente alto es mediante el proceso w t = a t θa t 1 96 a este proceso se le conoce como un MA(1) o medias moviles de orden uno.

97 6. Los modelos AR y ARI estacionales. Para verlo se puede proceder mediante sustituciones recursivas w t = a t + θ w t 1 + θa t 2 w t = a t + θ w t 1 + θ w t 2 + θa t 3 97 w t = a t + θw t 1 + θ 2 w t θ t 1 w 1 + θ t a 0

98 6. Los modelos AR y ARI estacionales. Del mismo modo un proceso AR(1) (o cualquier proceso AR estacionario) puede escribirse como una suma ponderada de procesos ruido blanco, es decir un proceso de medias moviles infinito. 98 Esta caracteristica de ambos procesos se conoce como representacion dual.

99 6. Los modelos AR y ARI estacionales. Para este curso preferimos la representacion AR pura por diferentes razones: 1) Cualquier proceso MA puede aproximarse por un proceso AR suficientemente alto. 2) La interpretacion economica de un proceso AR resulta mucho mas intuitiva que la de un proceso MA. 99 3) La estimacion de un proceso AR es mucho mas sencilla que la de un modelo MA (Tema 3).

100 6. Los modelos AR y ARI estacionales. El modelo univariante mas general a considerar en el curso es ARI(p,d)xARI(P,D): d D w t 1 φ 1 L φ 2 L 2 φ p L p 1 Φ 1 L s Φ 2 L 2s Φ P L P = a t 100

101 6. Los modelos AR y ARI estacionales. donde d es el numero de diferencias regulares. D es el numero de diferencias estacionales. L es el operador de retardos. p es el orden del polinomio regular. P es el orden del polinomio estacional. 101

102 Los modelos AR y ARI estacionales. Esta modelizacion impone restricciones en la estructura del modelo AR Por ejemplo, un modelo del tipo (1 L) 1 L 12 w t 1 0.9L 1 0.8L 12 = a t seria un ARI(1,1)xARI(1,1)

103 6. Los modelos AR y ARI estacionales. El correlograma de una serie generada por dicho proceso una vez tomada una diferencia regular y una diferencia anual seria 103

104 Los modelos AR y ARI estacionales.

105 6. Los modelos AR y ARI estacionales. Estos procesos son en general dificiles de distinguir en la practica cuando aparece en series reales. El proceso de identificacion de estos modelos sera un punto esencial del proximo tema. 105