Técnicas de contar MATEMÁTICA DISCRETA I. F. Informática. UPM. MATEMÁTICA DISCRETA I () Técnicas de contar F. Informática.

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1 Técicas de cotar MATEMÁTICA DISCRETA I F. Iformática. UPM MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 1 / 18

2 Pricipios básicos de recueto Pricipios básicos Cardial de u cojuto Cotar los elemetos de u cojuto A es establecer ua biyecció etre A y u cojuto fiito {1,..., }. Defiició Diremos que el cardial de u cojuto A es si se puede establecer ua biyecció f : {1,..., } A. Se deota A =. Se defie = 0. Se dice que A es ifiito si o existe igua biyecció f : {1,..., } A para igú N. Teorema (Pricipio de la uió) Si A 1, A 2,..., A so cojutos fiitos disjutos dos a dos se tiee que A 1 A 2 A = A 1 + A A. Ejemplo. El úmero de palabras del diccioario es igual al úmero de palabras que empieza por a más el úmero de palabras que empieza por b más... más el úmero de palabras que empieza por z. MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 2 / 18

3 Pricipios básicos de recueto Pricipios básicos Pricipios básicos Teorema (Pricipio del complemetario) Si B es u cojuto fiito y A es u subcojuto de B se tiee que Teorema (Pricipio del producto) B \ A = B A. Si A 1, A 2,..., A so cojutos fiitos o vacíos se tiee que A 1 A 2 A = A 1 A 2 A. Ejemplo. El úmero de palabras posibles de cuatro letras formadas solo por vocales es MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 3 / 18

4 Pricipios básicos de recueto Pricipios básicos Pricipios básicos Teorema (Pricipio de iclusió-exclusió) Si A 1, A 2,..., A so cojutos fiitos se tiee que i) A 1 A 2 = A 1 + A 2 A 1 A 2, 3 ii) A 1 A 2 A 3 = A i A i A j + A 1 A 2 A 3, i=1 i j iii) i=1a i = A i A i A j + + ( i) 1 A 1 A 2 A. i=1 i j Ejemplo. El úmero de palabras del diccioario que empieza o termia por a el úmero de palabras que empieza por a más el úmero de palabras que termia por a meos el úmero de palabras que empieza y termia por a. MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 4 / 18

5 Pricipios básicos de recueto Pricipios básicos Pricipios básicos Teorema (Pricipio de las cajas o de distribució) Si se reparte objetos e m cajas y > m, etoces algua caja recibe más de u elemeto. Teorema Si objetos se distribuye e m cajas y > mp, etoces algua caja recibe más de p elemetos. Ejemplo. Dada ua palabra de 28 letras algua de éstas habrá de estar ecesariamete repetida. Teorema (Pricipio de las cajas geeralizado) Si objetos se distribuye e m cajas, etoces algua caja recibe al meos m elemetos y algua caja recibe a lo sumo m elemetos, dode x es el meor etero mayor o igual que x y x es el mayor etero meor o igual que x. MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 5 / 18

6 Seleccioes de elemetos Variacioes Variacioes Defiició Llamaremos variació de m elemetos tomados de e ( < m) a cada ua de las seleccioes ordeadas de objetos distitos, tomados de u cojuto de m objetos. Observació Ua variació de m elemetos tomados de e ( < m) es ua aplicació iyectiva f : {1, 2,..., } {a 1, a 2,..., a m }. Teorema El úmero de variacioes si repetició de m elemetos tomados de e es V m, = m(m 1)(m 2) (m + 1). Ejemplo. El úmero de palabras distitas de cuatro letras, todas ellas distitas, que puede formarse co las letras del abecedario es MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 6 / 18

7 Seleccioes de elemetos Permutacioes Permutacioes Defiició Llamaremos permutació de elemetos a cada ua de las variacioes de elemetos tomados de e. Observació Ua permutació de {a 1, a 2,..., a } es ua aplicació biyectiva σ : {1, 2,..., } {a 1, a 2,..., a }. Teorema El úmero de permutacioes de elemetos es P =!. Ejemplo. El úmero de palabras distitas que puede formarse co las letras de ALTO es 4!. Observació El úmero de permutacioes circulares de elemetos es 1!. MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 7 / 18

8 Seleccioes de elemetos Combiacioes Combiacioes Defiició Llamaremos combiació de m elemetos tomados de e a cada ua de las seleccioes, o ordeadas y si repeticioes, de objetos, tomados de u cojuto de m objetos. Teorema El úmero de combiacioes de m elemetos tomados de e es igual a C m, = V m, P = m!!(m )!. Ejemplo. El úmero de subcojutos de 4 elemetos de u cojuto de elemetos es C 27,4 =. 4! MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 8 / 18

9 Seleccioes de elemetos Números combiatorios Números combiatorios Defiició Se llama úmero combiatorio sobre k al ( úmero ) de combiacioes de! m elemetos tomados de e. Se deota =. Se defie ( ) ( ) k k!( k)! = 1. Obsérvese que = 1. 0 Propiedades ( ) ( i) = k k ( ) ( ) iii) (a+b) = a + a 1 b+ 0 1 (Teorema del biomio), ( ) ( ) ( ) iv) ), ii) ( ) k ( ) a 2 b ( ) = 2. ( ) ( 1 1 = + k 1 k ( ) ( ) ab MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 9 / 18 ), b

10 Seleccioes de elemetos Números combiatorios El triágulo de Pascal ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 10 / 18

11 Seleccioes de elemetos Variacioes co repetició Variacioes co repetició Defiició Llamaremos variació co repetició de m elemetos tomados de e a cada ua de las seleccioes ordeadas de objetos, tomados de u cojuto de m objetos. Observació Ua variació co repetició de m elemetos tomados de e es ua aplicació f : {1, 2,..., } {a 1, a 2,..., a m }. Teorema El úmero de variacioes co repetició de m elemetos tomados de e es VR m, = m. Ejemplo. El úmero de palabras distitas de cuatro letras que puede formarse co las letras del abecedario es MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 11 / 18

12 Seleccioes de elemetos Permutacioes co repetició Permutacioes co repetició Defiició Llamaremos permutació co repetició de = k elemetos e la que cada elemeto a i se repite i veces, a cada uo de los distitos grupos ordeados que co ellos se puede formar. Teorema El úmero de permutacioes co repetició de = k elemetos es PR 1,..., k! = 1! k!. Ejemplo. El úmero de palabras distitas que puede formarse co las letras de la palabra ABECEDARIO es 4! 2 2. MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 12 / 18

13 Seleccioes de elemetos Números multiómicos Números multiómicos Observació ( ) A los úmeros = k 1,..., k m multiómicos. Se tiee que ( ) ( )( k1 i) = k 1,..., k k 1 k 2 ii) (a 1 + a a m ) = (Teorema del multiomio). ) k 1 + +k m=! 1! k! ( k ( k ), k 1,..., k m se les llama úmeros ) a k 1 1 ak 2 2 akm m MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 13 / 18

14 Seleccioes de elemetos Combiacioes co repetició Combiacioes co repetició Defiició Llamaremos combiació co repetició de m elemetos tomados de e a cada ua de las seleccioes, o ordeadas, de objetos, tomados de u cojuto de m objetos. Observació El úmero de combiacioes co repetició de m elemetos tomados de es CR m, = C m+ 1, = m + 1!!(m 1)!. Si ecesariamete se elige al meos u elemeto de cada tipo el resultado 1! es CR m, m = C 1, m = ( m)!(m 1)!. Ejemplo. El úmero de solucioes eteras o egativas de la ecuació x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 32 es CR 4,32. El úmero de solucioes eteras mayores o iguales que uo es CR 4,28. El úmero de solucioes eteras o egativas meores o iguales que 9 es CR 4,32 4CR 4, CR 4, CR 4,2. MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 14 / 18

15 Seleccioes de elemetos Cuadro resume Cuadro resume Seleccioes Ordeadas No ordeadas ( ) Si repetició ( 1)( 2) ( k + 1) ( k ) 1 + k Co repetició k k MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 15 / 18

16 Seleccioes de elemetos Desórdees Desórdees Defiició Llamaremos desorde o desarreglo a ua permutació σ S σ(i) i para todo i {1, 2,..., }. tal que Teorema El úmero de desórdees de elemetos es ( ) ( ) ( ) ( ) d =! ( 1)! + ( 2)! ( 3)! + + ( 1) ( )! =!! +! 2!! + + ( 1) ( 3!! =! 1 1 1! + 1 2! 1 3! ) ( 1).! MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 16 / 18

17 Seleccioes de elemetos Particioes Particioes Defiició Llamaremos úmero de Stirlig de seguda clase S(, k) al úmero de particioes de u cojuto X co elemetos, e k subcojutos o vacíos. Propiedades i) S(, 1) = 1, ii) S(, ) = 1, iii) S(, k) = S( 1, k 1) + ks( 1, k). Observació El úmero de aplicacioes suprayectivas de u cojuto de m elemetos e u cojuto de elemetos ( ) es ( ) ( ) T (m, ) = m ( 1) m + ( 2) m ( 3) m + +( 1) 1 1 m Teorema S(m, ) = T (m, ).! MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 17 / 18

18 Seleccioes de elemetos Cuadro resume: Seleccioes y distribucioes Cuadro resume: Seleccioes y distribucioes Seleccioes de m elemetos tomados de e ordeadas si repetició o ordeadas si repetició ordeadas co repetició o ordeadas co repetició m(m 1)(m 2) (m + 1) ( ) m m ( ) m 1 + T (, m) ( ) 1 m Distribucioes de objetos e m cajas objetos distitos (máx. 1 por caja ) objetos idéticos (máx. 1 por caja ) objetos distitos objetos idéticos objetos distitos (cajas o vacías) objetos idéticos (cajas o vacías) MATEMÁTICA DISCRETA I () Técicas de cotar F. Iformática. UPM 18 / 18