CAPÍTULO 9 HETEROCEDASTICIDAD.

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1 Fchero: captulo 9 nuevo.doc CAPÍTULO 9 HETEROCEDASTICIDAD.. CAUSAS MUESTRALES Y ESTRUCTURALES Como sabemos, la heterocedastcdad consste en que las observacones muestrales tenen varanzas del error dferentes entre sí: var(u)= σ, =,,...n. Vola la hpótess clásca de homocedastcdad, o gual varanza de los n errores aleatoros, y es un caso partcular, junto a la autocorrelacón, de perturbacones no esfércas. Las fguras 9. y 9. presentan los casos de perturbacones homocedástcas y heterocedástcas respectvamente. Manual de Econometría. Capítulo 9, págna. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

2 A lo largo de este capítulo se abordan las sguentes cuestones: cuándo y por qué surge; cuáles son las consecuencas de estmar por MCO un modelo heterocedástco; cómo hacer un dagnóstco correcto del problema, es decr, qué contrastes ponen a prueba la hpótess de homocedastcdad frente a la evdenca de los datos muestrales; y por últmo, cómo estmar un modelo heterocedástco, y cómo evtar que surja la heterocedastcdad, elmnándola, s llega el caso. La heterocedastcdad puede surgr por causas estructurales o muestrales, es decr, su presenca puede ser sugerda por la teoría o por el propo dseño muestral y plan de muestreo en la recogda de la nformacón para estmar el modelo. Las causas estructurales o teórcas suelen darse en modelos de corte transversal con undades muestrales de dferente "tamaño". Consderemos, por ejemplo, un modelo de decsones de gasto en vvenda de las famlas en funcón de la renta famlar y de otras característcas. Podemos suponer que el grado de aleatoredad del gasto de las famlas crece con los ngresos; las famlas de ngresos bajos son muy homogéneas entre sí, es decr, gastarán cantdades smlares, ya que su margen de manobra para tomar decsones de gasto es reducdo. En cambo, las famlas de renta alta tendrán pautas de gasto más heterogéneas entre sí. La varabldad del gasto entre famlas "rcas" es mucho mayor que entre famlas "pobres". En este ejemplo, la propa teoría sugere la forma o pauta de la heterocedastcdad: la varanza del error depende postvamente de la renta. Otros ejemplos donde posblemente surja el problema de la heterocedastcdad 'estructural' son los sguentes: un modelo que explca el reparto de dvdendos (en mllones de ptas.) de una socedad en funcón de los benefcos obtendos en el ejercco (tambén en mllones de ptas.) y de otras varables como el tamaño de la socedad; un modelo de gastos en publcdad de dferentes marcas comercales en Manual de Econometría. Capítulo 9, págna. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

3 funcón de sus ventas y otras varables; un modelo que explca las ventas de una compañía en funcón de su marketng-mx. Nótese que en todos los ejemplos los datos muestrales son transversales, las undades muestrales tenen dferente "tamaño" (famlas de bajos y altos ngresos, empresas de dmensón reducda y grande, etc.) y que la varable dependente se mde en térmnos absolutos (mllones de ptas. por ejemplo). Un hecho frecuente es que la dspersón absoluta sea mayor en las undades de mayor volumen precsamente por este motvo 'estructural', s ben es posble que la dspersón relatva sea más homogénea. Así, aunque los dvdendos dstrbuídos por las socedades grandes estén muy dspersos en torno al valor esperado, es posble que el rato dvdendos dstrbuídos sobre benefcos, dados los benefcos y demás característcas de la socedad, tenga una dspersón smlar, ndependente del tamaño de las socedades. Los errores de especfcacón de la forma funconal tambén pueden producr heterocedastcdad. Así, s el verdadero modelo, homocedástco, es doble-log y estmamos un modelo lneal, las perturbacones de éste son heterocedástcas, como demostramos en el apéndce 9.. Hay un tpo de modelos heterocedástcos con datos temporales que está despertando crecente nterés por su potencal de aplcacón en econometría fnancera, con seres de cotzacones o de rendmentos de valores. Son los modelos ARCH, o GARCH, de varanza condconada heterocedástca, en los que el resgo condconal de un valor (varanza de sus rendmentos en el día t, dada toda la nformacón dsponble hasta ese día) va varando a lo largo del tempo. A dferenca de las stuacones anterores, en las que la heterocedastcdad se consderaba un 'problema' a evtar o tratar, en este caso es una fuente de nformacón que mejora sensblemente la capacdad predctva del modelo. Para los alumnos de Bea: ya nos hemos encontrado un caso en la práctca Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 3. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

4 La heterocedastcdad puede surgr tambén por causas muestrales, en el sentdo de que el propo dseño de recogda de nformacón o plan de muestreo genera perturbacones con varanzas dstntas. Por ejemplo, cuando trabajamos con datos agregados o medos procedentes de dstntas submuestras, sendo varable el tamaño de las msmas. Supongamos un modelo lneal que explca el gasto en publcdad de las empresas en funcón de las ventas del año anteror y de otras varables que omtmos por smplcdad. Supongamos tambén que el modelo desagregado es homocedástco: Y = β + β +U ;( =,,...n);var(u ) = σ (9.) donde Y y representan respectvamente los gastos de publcdad y las ventas desfasadas un año de la empresa -ésma, y U es el error aleatoro y homocedástco del modelo. Supongamos que solamente tenemos datos medos por zonas, obtendos a partr de muestras de empresas de cada una de las J zonas. El plan de muestreo ha sdo una estratfcacón por zonas con afjacón proporconal, es decr, en cada estrato (zona) se tomó una muestra proporconal al número de empresas radcadas en la msma, resultando J submuestras de empresas de tamaño nj (j=,,...j), de forma que Σnj=n. Nuestro modelo explca el gasto medo en publcdad en cada zona en funcón de las ventas del año prevo. El modelo se estma con J observacones: Y j = β + β j +U j ;(j =,,...J) Los errores Uj de este modelo son la meda de los nj errores de las empresas de la zona j. Tenen esperanza nula y son por construccón heterocedástcos, ya que la Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 4. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

5 varanza de la meda es la varanza de la poblacón dvdda entre el tamaño muestral. En nuestro caso, la varanza del error de cada observacón es nversamente proporconal al número de empresas en la muestra de la zona: U j n j = = U n j ;(j =,,...J) E(U j )= j =,,...J (9.) Var(U j )= σ n j ;(j =,,...J) Ejercco 9..- S en el ejemplo anteror los J datos son valores agregados en vez de medos (ventas y gastos en publcdad totales de las nj empresas del grupo) obtenga la expresón de las varanzas de las perturbacones Heterocedastcdad por grupos. En ocasones, la heterocedastcdad aparece en modelos de datos agrupados. Pongamos a título de ejemplo la ecuacón de salaros de lcencados unverstaros que propusmos en el capítulo 6. El logartmo del salaro depende de los años de experenca laboral (EPER), con una relacón cuadrátca, es decr, como explcatvas ncluímos la experenca y su cuadrado. Además, el modelo hpotetza que hay dferencas sstemátcas entre los hombres y las mujeres, y entre las cuatro ttulacones (Humandades, Economía, Medcna e Ingenería). La muestra, de 6 lcencados, se reparte entre las ttulacones con n(humandades) = 7; n(ingenería) = 345; n3(medcna) = 48; n4(economía) = 335; El modelo que proponíamos en el capítulo 6 era el sguente, en el que se suponía que las perturbacones eran ndependentes, con meda cero y varanza constante: Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 5. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

6 Y = Log( Salaro ) = β + β S + β 3T + β 4T + β 5T3 + β E + 6 β 7 E +u; S = MUJER ; T = Dummy de Medcna; T = Dummy de Economía T3 = Dummy de Ingenería; E = experenca laboral Ahora supongamos que la varanza del error aleatoro dfere entre las ttulacones. A la ttulacón j (j=,...4) corresponde una varanza σ j. Esto puede ocurrr porque, por ejemplo, los salaros de los de Humandades, para un nvel dado de experenca, son muy homogéneos, al trabajar en su mayoría como enseñantes, mentras que los ngeneros presentan un abanco salaral mayor dependendo del puesto de trabajo y las funcones desempeñadas. En este ejemplo, hay heterocedastcdad por grupos. El modelo contene tantas varanzas del error desconocdas, a estmar, como grupos y hay un número sufcentemente grande de observacones en cada grupo para estmarlas, basándose en las sumas de cuadrados de los respectvos errores. Más adelante veremos un contraste de homocedastcdad por grupos.. FORMAS FUNCIONALES. HETEROCEDASTICIDAD ADITIVA Y MULTIPLICATIVA. Hemos vsto que cuando la heterocedastcdad es un problema producdo por el plan de muestreo o por la agregacón de varables, generalmente conocemos, excepto por un factor de escala, las varanzas de los errores de cada una de las observacones, que dependen del número de undades muestrales desagregadas contendo en cada observacón agregada. Conocemos, pues, la matrz Σ y el método de MCG puede aplcarse sn dfcultad, obtenendo estmadores ELIO como se ndcaba en la leccón anteror. El únco parámetro a estmar, aparte de los coefcentes de regresón, es σ, el factor de escala en la expresón Ε(UU') =V = Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 6. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

7 σ. Pero cuando la heterocedastcdad obedece a otras causas, que hemos llamado 'estructurales' o ben es consecuenca de una especfcacón ncorrecta de la forma funconal, las varanzas de los n errores son desconocdas. S no hay autocorrelacón, la matrz V es dagonal y contene n valores desconocdos. Con una muestra de tamaño n no se pueden estmar lbremente esas n varanzas y los K parámetros de regresón por falta de grados de lbertad. Pero para aplcar MCGF es precso tener, como sabemos, una estmacón consstente de la matrz V ( o Σ, ya que en este caso podemos consderarlas equvalentes). Una posbldad es parametrzar el comportamento de las varanzas σ. La propa teoría, el tpo de varables, la experenca preva o la propa voz de los datos pueden sugerr un determnado esquema funconal de comportamento. Por ejemplo, en el modelo explcatvo del gasto famlar en tursmo y oco una hpótess teórcamente plausble y avalada por dversos estudos prevos sugere que la varanza del error del gasto es proporconal a la renta famlar. Las sguentes son algunas formas funconales posbles para la varanza de las perturbacones: )Var(U )= δ Z ;( δ > ); =,,...N )Var(U )= δ Z ; δ > ; =,,...N 3)Var(U )= δ + δ Z ;( δ > ); =,,...N 4)Var(U )= e δ + δ Z ; =,,...N (9.3) 5)Var(U )= σ ;( =,,...n ) = σ ; ( = n +,...N ) donde Z representa alguna varable explcatva del modelo u otra ajena al msmo. En las formas ) y ) la varanza del error es drectamente proporconal a la Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 7. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

8 varable Z y a su cuadrado respectvamente. En ) se evta la posbldad absurda de tener varanzas negatvas. El esquema 3) recbe el nombre de heterocedastcdad adtva, ya que la varanza de los errores es una funcón lneal de Z, con térmno constante. La forma 4) se llama heterocedastcdad multplcatva. En ella, la varanza de los errores es una funcón exponencal de Z. En ambos casos, se puede generalzar para nclur varas varables Zp (p=,,...p). El caso 5) ndca que la muestra contene dos submuestras dferentes en cuanto a la dspersón de las perturbacones, y admte tambén una generalzacón a más de dos submuestras. Por ejemplo, con datos trmestrales podría ocurrr que la varanza del error fuera homogénea dentro de cada trmestre pero dferente para los cuatro trmestres del año; en ese caso, tendríamos cuatro submuestras. En otras ocasones tendremos menos suerte, y no seremos capaces de encontrar una especfcacón adecuada para σ compatble con los datos. Aún en este caso, como veremos en el apartado 4, podremos estmar el modelo por MCGF estmando consstentemente Σ medante los resduos de la regresón por MCO. 3. DIAGNÓSTICO DE LA HETEROCEDASTICIDAD. CONTRASTES En este apartado se reseñan varos métodos, ncluyendo, de menor a mayor formalzacón, desde la nspeccón vsual de algunos gráfcos hasta los contrastes cuya hpótess nula es la homocedastcdad del modelo, frente a la hpótess alternatva de heterocedastcdad, en alguna de sus múltples formas. El tpo de datos y de problema nos prevene sobre la posble presenca de heterocedastcdad. En general, cuando trabajemos con datos transversales y undades de "tamaños" dferentes, debemos estar prevendos. Por otra parte, como vmos en el prmer apartado, s los datos son agregados o medas de Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 8. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

9 dstntas submuestras sabemos que el modelo es heterocedástco. El análss vsual de algunos gráfcos hará que aumente o dsmnuya nuestra Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 9. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

10 sospecha, e ncluso nos puede ayudar a detectar las varables (Z) responsables de los cambos de varanza entre observacones. En abscsas se representan las posbles Z (generalmente, los regresores, uno cada vez), o los valores ajustados de Y. En ordenadas, los resduos de la regresón MCO en valor absoluto o sus cuadrados. Veamos algunos ejemplos: La fgura 9.3 representa una stuacón homocedástca: los errores son ndependentes de los valores de Y ajustados, y por tanto, podemos pensar que tambén lo son del conjunto de regresores. En la fgura 9.4, los errores cuadrátcos crecen lnealmente con r (una de las varables explcatvas del modelo): sospechamos una forma ) de heterocedastcdad, donde Z es r. En la fgura 9.5, la relacón parece ser cuadrátca (heterocedastcdad de la forma ). Exsten múltples test estadístcos para detectar la heterocedastcdad, cuya hpótess nula es sempre que los errores son homocedástcos. Uno de los contrastes cláscos es el de Goldfeld y Quandt (97), adecuado cuando sospechamos que dos o más submuestras o grupos de ndvduos perfectamente dentfcables pueden dferencarse en la varanza de sus respectvos errores. Es el caso 5) del apartado anteror. Por ejemplo, supongamos que para explcar el preco de los coches en España se recurre a un conjunto de varables de prestacón: velocdad máxma, potenca del motor, etc.. La muestra abarca una ampla gama de modelos ncluyendo los pequeños utltaros y los famlares. Es posble que el grupo de modelos base, los más pequeños, baratos y sencllos de cada marca, tengan desvacones respecto al preco esperado, dadas sus característcas, que los modelos famlares, más grandes y de mayor preco. Supongamos, pues, un modelo con heterocedastcdad de la forma 5), es decr, hay dos submuestras ndependentes de tamaños respectvos n y n, con n>k y n>k y n+n = n, con varanzas del error σ y σ respectvamente. Podríamos Manual de Econometría. Capítulo 9, págna. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

11 estmar dos modelos de regresón ndependentes, uno para cada submuestra: Y Y = = β +U β +U ;U ;U ~ N(; σ I ~ N(; σ I ) ) (9.4) Como sabemos, en cada regresón se verfca que la suma de cuadrados de los resduos MCO dvdda entre la varanza de la perturbacón aleatora sgue una dstrbucón χ y ambas son ndependentes: SCERR σ SCERR σ S = ~ χ n σ S = ~ χ n σ -k -k (9.5) Para contrastar la hpótess nula de homocedastcdad: H: σ = σ construmos una dstrbucón F a partr de las dos dstrbucones, como cocente entre ambas dstrbucones χ, cada una de ellas dvdda entre sus grados de lbertad. S se cumple H, se verfca que: S n - k S n - k ~ F (9.6) n -k,n-k S el estadístco de prueba [9.6] calculado para nuestro problema es mayor que el valor crítco de la F, decdmos rechazar la hpótess nula. Manual de Econometría. Capítulo 9, págna. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

12 Este contraste es exacto para muestras fntas admtendo la posbldad de que los coefcentes de regresón β de ambas submuestras sean dferentes. Para el modelo restrngdo (coefcentes guales), solamente es váldo asntótcamente. Este contraste de Goldfeld y Quandt puede extenderse al caso de g grupos, y muestra de tamaño n. La hpótess nula de homocedastcdad es: H : σ = σ E( uu') = V = σ I =... = σ n g = σ (9.7) La hpótess alternatva de heterocedastcdad es: E( uu') = V σ I = M n σ I M n O... σ I g M n g (9.8) El contraste, basado en el proncpo del rato de verosmltudes, consste en estmar por MV el modelo restrngdo (bajo la hpótess nula) y el no restrngdo (permtendo varanzas dferentes entre grupos). El estadístco de prueba y su dstrbucón asntótca bajo la hpótess nula es: RV g = n Ln ˆ n ˆ ~ g Lnσ χ = σ (9.9) Goldfeld y Quandt parteron de los resultados anterores para dseñar un contraste de heterocedastcdad que no valera solamente para aplcar a dos submuestras Manual de Econometría. Capítulo 9, págna. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

13 prevamente dentfcables sno tambén para esquemas de dependenca funconal desconocda. Supongamos un modelo en que la varanza del error es proporconal a una varable Z conocda, que generalmente será alguno de los regresores. La dea es formar dos submuestras, una con los ndvduos para los que Z presenta los valores más pequeños y otra de ndvduos con Z mayor, estmar el modelo para ambas muestras por separado y hacer el contraste [9.6]. Los pasos a segur son: ) ordenar la muestra en orden crecente de valores de Z; ) elmnar las h observacones centrales; 3) Estmar el modelo para las dos submuestras extremas, ambas de gual tamaño (N-h)/; 4) Realzar el contraste [9.6]. El estadístco de prueba es S/S porque las dos submuestras tenen el msmo tamaño. La eleccón del número de datos centrales a descartar, h, debe garantzar que las dos muestras extremas resulten bastante 'separadas' pero a la vez que tengan un tamaño sufcente para estmar el modelo. Es recomentable descartar aproxmadamente un terco de la muestra. Un segundo tpo de contrastes se basa en hacer una regresón de los resduos mínmocuadrátcos de la regresón (en valor absoluto o al cuadrado) contra un conjunto de varables Z que se suponen conjuntamente causantes de la heterocedastcdad. Supongamos, por ejemplo, una pauta lneal de heterocedastcdad: Var( U )= E(U )= σ = δ + δ Z δ p Z ; =,,...n Aproxmando el cuadrado de las perturbacones, desconocdas, medante el cuadrado de los resduos MCO, se estma por regresón la ecuacón que 'explca' lnealmente el cuadrado de los resduos MCO en funcón de las Z: e = d + d Z d La hpótess nula de homocedastcdad es la de nuldad conjunta de los coefcentes d, excluyendo el térmno ndependente, que se pone a prueba con el p Z p p + v ;( =,,...n) Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 3. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

14 estadístco F: H : d = d =...= d Esta es la base de una prolífca famla de contrastes, entre los cuales el más destacado representante es el de Breusch y Pagan. p = El contraste de Breusch y Pagan, que ya se ha presentado en el capítulo 5, detecta ncluso pautas no lneales de comportamento de la varanza de la perturbacón: La hpótess nula, de homocedastcdad, es que todos los coefcentes excepto δ son nulos: Para realzar el test se sguen los sguentes pasos: ) se estma el modelo orgnal por MCO y se calculan los resduos MCO; ) se calcula la sere en de resduos tpfcados, restando a cada uno la meda y dvdendo entre la desvacón típca. S el modelo tene constante, la meda de los resduos es cero y en este caso tpfcar es smplemente dvdr entre la desvacón típca ( sere e N^ σ = p f ( δ + δ Z : δ = δ =...= δ p Z e'e ). Se calcula tambén la n de resduos tpfcados al cuadrado; 3) se hace la regresón lneal de estos últmos, e N^ contra el conjunto de varables Z, ncluyendo una constante y se calcula la suma de cuadrados explcada; 4) s la hpótess nula es certa, la mtad de la suma de cuadrados explcada se dstrbuye asntótcamente como una χ con p grados de lbertad. S el valor del estadístco de prueba supera el valor crítco tabulado, dado el nvel de sgnfcacón elegdo, rechazamos la hpótes nula = decdendo que el modelo presenta heterocedastcdad. H δ p ) Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 4. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

15 El contraste de Whte es el más general. Es un contraste asntótco que no necesta especfcar la lsta de varables responsables de la heterocedastcdad. Se estma una regresón auxlar en la que los cuadrados de los resduos mnmocuadrátcos venen explcados por una constante, cada una de las varables explcatvas, sus respectvos cuadrados y todos los productos cruzados entre cada dos varables explcatvas. Bajo la hpótess nula de homocedastcdad, el estadístco ~ ( q ) nr χ, donde R es el coefcente de determnacón de la regresón auxlar y q es el número de varables explcatvas de dcha regresón auxlar, excluyendo la constante. La ventaja de este contraste es que es muy flexble, detectando heterocedastcdad bajo condcones muy generales. Su prncpal problema es que, en caso de detectarla, no nos da psta alguna sobre la forma de la heterocedastcdad o la lsta de varables responsables de la msma. Una dfcultad adconal, s la muestra no es muy grande, es el escaso número de grados de lbertad que quedan, ya que la lsta de regresores es tan ampl. Ejercco 9.. S en el modelo orgnal, del que queremos averguar s hay o no heterocedastcdad, hay K=6 varables explcatvas, ncluyendo la constante, y la muestra es de tamaño, calcula el número de grados de lbertad de la regresón auxlar para el test de Whte. Otros contrastes basados en regresones auxlares de los resduos o sus cuadrados, son los de Glejser y de Park. Puedes consultar detalles en los manuales de econometría. 4. TRATAMIENTO DE LA HETEROCEDASTICIDAD. ESTIMACION DE UN MODELO HETEROCEDASTICO O TRANSFORMACIÓN DEL MODELO Al ser un caso partcular de perturbacones no esfércas, ya conocemos los Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 5. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

16 efectos de la estmacón por MCO de un modelo heterocedástco: los estmadores de MCO son nsesgados y consstentes, pero no efcentes. Los estmadores de MCG son óptmos o efcentes, es decr, los de varanza mínma. Además, recordemos que s estmamos por MCO el modelo suponendo homocedastcdad cometemos un sesgo en la estmacón de la matrz de covaranzas de los estmadores, ya que calcularemos σ (') - cuando en realdad su matrz de covaranzas es [7.3]. Recordemos tambén que las meddas de bondad del ajuste y los contrastes de sgnfcacón y de restrccones sobre los parámetros pueden ser engañosas debdo a la mala estmacón de la precsón de los estmadores, sn que a pror pueda conocerse la dreccón del sesgo. En el caso concreto de un modelo heterocedástco pero sn autocorrelacón, los estmadores de MCG son de hecho estmadores de mínmos cuadrados ponderados porque, la transformacón [7.] consste en ponderar a cada ndvduo de la muestra nversamente a la desvacón típca de su respectva perturbacón. En efecto, en este caso la matrz V=Σ es dagonal de forma que la matrz C de [7.5] es la matrz dentdad y P es tambén dagonal: Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 6. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

17 V = Σ = Λ ;C = I n ; P = Σ - =V - σ V = σ... σ n σ P = σ... σ n de forma que Y * = Y/σ y * r = r/σ. La funcón a mnmzar es ahora la suma de cuadrados de los resduos ponderada según la fabldad de cada dato: s la varaza de la perturbacón de un ndvduo es grande, el dato muestral de la varable dependente de ese ndvduo tene un ntervalo de confanza grande, no debemos asgnar demasado peso a los ndvduos poco fables. Pense en la stuacón opuesta: s supéramos que la perturbacón de un ndvduo tene varanza cas nula, esto sgnfca que el dato de su endógena es (cas) exactamente la funcón de regresón poblaconal, o sea, el valor esperado de Y dadas las. Al ser una estmacón muy fable de un punto de la FRP, es lógco que asgnemos a ese ndvduo mucho peso. Ejercco Un modelo de gastos en vvenda Queremos estmar un modelo con datos de N= famlas que explque el gasto anual en vvenda de cada una (Y) en funcón de la renta (). El modelo es: Y = α + β +U ;( =,,...) donde Y son los gastos anuales en vvenda de la famla -ésma en mles de undades monetaras, y son sus ngresos anuales expresados en las msmas undades. Los datos muestrales son los sguentes: Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 7. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

18 GR UP O DE FA MIL IAS GASTOS EN VIVIENDA/AÑO (MILES DE PTAS.) Y INGRESOS NETOS/AÑ O (Mllones de ptas.) Gasto medo de las famlas del grupo Varanza del gasto dentro del grupo S y a) Estmar por MCO el modelo de regresón lneal. b) Suponendo que la varanza de las perturbacones sea proporconal al cuadrado de la renta, reestmar el modelo por mínmos cuadrados ponderados. Solucón: a) La estmacón del modelo por MCO es la sguente: Y = 86 R = ( t = 7.3 ) ; F = 53.6 b) La transformacón adecuada para convertr el modelo en homocedástco consste en dvdr cada varable del modelo entre la renta dsponble. El modelo resultante, estmado por MCO, es: Y R = = ; +.5 ( t = 5.57 ) F = S la pauta de heterocedastcdad es como hemos supuesto, estos últmos estmadores son los de varanza mínma (óptmos) y las meddas de bondad del ajuste del modelo orgnal están basadas en una estmacón errónea de la matrz de Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 8. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

19 covaranzas de U. Por tanto, los R de ambos modelos no pueden compararse. Han cambado mucho los resultados de la estmacón (coefcentes estmados)? Observacón: para contestar esta pregunta, pensa qué coefcentes de ambos modelos son comparables entre sí. Ejercco Para el modelo de regresón lneal sguente: a) σ = σ b) σ = σ c) σ = σ d) σ = σ Y = β + β + β 3 3 +U ndcar cuál es el modelo (homocedástco) transformado en cada uno de los sguentes casos: Solucón: a) Y = β + β + β 3 3 b) Y = β + β + β U c) Y 3 = β + β + β U 3 EL MÉTODO DE MCGF. CÓMO ESTIMAR CONSISTENTEMENTE LA MATRIZ Σ Como sabemos, para aplcar MCG es precso estmar prevamente la matrz de covaranzas de los errores σ Σ, es decr, determnar los pesos w por los que ponderar a cada ndvduo de la muestra. Hay dos posbldades para determnar dchos pesos. La prmera consste en admtr alguna hpótess específca acerca de Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 9. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

20 la forma funconal de la heterocedastcdad, como en el ejercco anteror y aplcar mínmos cuadrados ponderados, estmando el modelo transformado : w Y = w β + w β con w = σˆ w β K K + Observe que en general el modelo resultante no tene térmno ndependente, por lo que las meddas de bondad del ajuste basadas en la fórmula habtual de descomposcón de la varanza perden valdez. Pero hay ocasones en las que no tenemos base teórca n empírca para apostar por una determnada hpótess en este sentdo. En este caso, podríamos estmar σ medante e, es decr, el cuadrado del resduo MCO correspondente a cada observacón. El modelo a estmar sería, pues: Y = β + β e e e β K e K U + e Ejercco 9.5. Qué desventajas tene esta propuesta?, Cómo será el ajuste?. Aplíquelo con E-Vews a un ejemplo concreto Como se advrtó en el capítulo anteror, las propedades en muestras pequeñas de los estmadores de MCGF son desconocdas y en la práctca es posble que, cuando trabajamos con muestras pequeñas, sea ncluso preferble estmar el modelo por MCO que al menos proporcona estmadores nsesgados. En este caso, Manual de Econometría. Capítulo 9, págna. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

21 s la muestra es grande, convene emplear la correccón de Whte para estmar sus varanzas. Los estmadores de Whte de las varanzas de los estmadores MCO S optamos por el método de MCO, hay, como sabemos, un problema adconal. La matrz de varanzas covaranzas de los estmadores MCO, como sabemos, es [7.3], fórmula que contene las varanzas desconocdas σ. Whte (98) demostró que [7.3] se puede estmar consstentemente susttuyendo en ella σ por e, sendo como de costumbre e el resduo mnmocuadrátco de la observacón - ésma. Todos los paquetes econométrcos dan la opcón de calcular los estmadores consstentes de Whte, o la correccón de Whte de la s varanzas de los estmadores. Con esos térmnos, se están refrendo a la estmacón de la matrz de varanzas-covaranzas de los estmadores MCO que acabamos de presentar. Ejemplo. Observa atentamente y comenta los sguentes resultados, del modelo explcatvo del salaro de 6 lcencados unverstaros con el que ya hemos trabajado en el capítulo 6. Qué se ha hecho en cada estmacón y por qué? Estmacón Dependent Varable: LOG(SALARIO) Method: Least Squares Sample: 6 Included observatons: 6 Manual de Econometría. Capítulo 9, págna. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

22 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C EPER EPER^ E INGENIERO MEDICINA ECONOMIA MUJER HARVARD POSGRADO R-squared Mean dependent var.7584 Adjusted R-squared.4694 S.D. dependent var.54 S.E. of regresson.95 Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat.9445 Prob(F-statstc). Estmacón Dependent Varable: LOG(SALARIO) Method: Least Squares Date: /8/ Tme: 8:5 Sample: 6 Included observatons: 6 Weghtng seres: /RESID Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C EPER EPER^ E INGENIERO MEDICINA ECONOMIA MUJER HARVARD POSGRADO Weghted Statstcs R-squared. Mean dependent var.798 Adjusted R-squared. S.D. dependent var.633 S.E. of regresson.7 Akake nfo crteron Sum squared resd.7843 Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Manual de Econometría. Capítulo 9, págna. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

23 Durbn-Watson stat.873 Prob(F-statstc). Unweghted Statstcs R-squared Mean dependent var.7584 Adjusted R-squared S.D. dependent var.54 S.E. of regresson.93 Sum squared resd Durbn-Watson stat Estmacón 3 Dependent Varable: LOG(SALARIO) Method: Least Squares Sample: 6 Included observatons: 6 Whte Heteroskedastcty-Consstent Standard Errors & Covarance Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C EPER EPER^ INGENIERO MEDICINA ECONOMIA MUJER HARVARD POSGRADO R-squared Mean dependent var.7584 Adjusted R-squared.4694 S.D. dependent var.54 S.E. of regresson.95 Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat.9445 Prob(F-statstc). OTRAS FORMAS DE AFRONTAR LA HETEROCEDASTICIDAD: LAS SOLUCIONES AD HOC Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 3. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

24 Se han sugerdo otras solucones práctcas para elmnar la heterocedastcdad, medante certas transformacones del modelo, entre las que destacan: a) Estmar el modelo con las varables en logartmos b) Tomar valores relatvos (porcentaje de gasto sobre la renta en lugar de la cfra de gasto en undades monetaras) c) Emplear deflactores cuando los datos son temporales y corresponden a seres largas d) Dvdr la muestra en submuestras más homogéneas en cuanto al 'tamaño' de sus ndvduos y estmar por separado. Esos son procedmentos 'ad hoc' cuya justfcacón estadístca se encuentra fáclmente. Por ejemplo, podría ocurrr que el modelo 'verdadero' fuera doble-log y la heterocedastcdad provocada por la especfcacón ncorrecta de la relacón, de ahí que al tomar logartmos se corrja el problema. (Está el lector capactadopara descubrr en qué casos las transformacones b), c) y d) sugerdas pueden elmnar la heterocedastcdad?). 5. LOS MODELOS ARCH DE HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL AUTOREGRESIVA Engle (98) propuso una clase de modelos llamados genércamente ARCH (Autoregressve Condtonal Heterocedastcty) que han demostrado ser muy útles para explcar el comportamento de muchas seres fnanceras, como las cotzacones bursátles o los tpos de cambo de las monedas y en general los Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 4. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

25 precos en mercados especulatvos. Se trata de modelos para datos temporales que por construccón tenen varanzas condconadas varables a lo largo del período muestral. El térmno 'condconal' se refere al conjunto de nformacón dsponble en el momento t, es decr, a los datos hstórcos prevos observados. Un modelo ARCH sencllo es el ARCH(): Y t = δ Y t-+ β t +U t ;U t ~ N(,h t ) Var(U t ) = ht = α + α U La varable endógena depende de su propo valor con un retardo, en una regresón de Y contra sí msma por lo que recbe el nombre autoregresvo y de alguna/s exógenas. En este modelo, la varanza de la perturbacón aleatora en el momento t condconada a la nformacón dsponble hasta el período anteror, depende del cuadrado de la propa perturbacón en t- (de ahí que el orden de este sencllo modelo ARCH sea ) y por tanto el modelo es heterocedástco, en la medda en que U va varando a lo largo del tempo tambén lo hace la varanza ht. Los modelos ARCH se estman por procedmentos teratvos de estmacón no lneal. La propa exstenca de efectos ARCH, es decr, de heterocedastcdad condconal, puede contrastarse medante contrastes específcos que se pueden encontrar descrtos en la lteratura especalzada. t- Caso.- Un modelo ARCH para los rendmentos de la bolsa de Madrd A título lustratvo, se presenta la salda de una estmacón GARCH de los rendmentos de las accones en la bolsa de Madrd. Los datos corresponden a cotzacones daras al IBE35 desde el al El alumno puede consultar la ayuda el E-Vews para nterperetar esos resultados Estos modelos se han generalzado a los GARCH, como el del ejemplo Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 5. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

26 CAPÍTULO 9. RESUMEN La heterocedastcdad consste en que las varanzas de las perturbacones dferen entre undades muestrales o 'ndvduos'. Generalmente, surge en muestras transversales: a) cuando los ndvduos son agregados o promedos de undades muestrales homocedástcas; b) cuando los ndvduos tenen 'tamaño' muy dferente (grandes empresas y PYMES en la msma muestra); c) cuando por error de especfcacón se ha estmado ncorrectamente la forma funconal. Un caso frecuente ocurre cuando el modelo es doble-log y se estma una ecuacón lneal. Surge tambén en modelos de precos en mercados especulatvos, para datos temporales. En los modelos ARCH, que explcan satsfactoramente el comportamento de cotzacones bursátles y tpos de cambo, la varanza de la perturbacón Ut condconada a la nformacón dsponble hasta t- depende de Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 6. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC U t- y por tanto, al varar a lo largo de la muestra, es heterocedástca. Para detectar la heterocedastcdad exsten dversos contrastes. Su hpótess nula sempre es homocedastcdad y dferen en la hpótess alternatva, que puede ser más o menos general. Hemos estudado los test de Goldfeld y Quandt y sus extensones, el de Breusch y Pagan y el de Whte Los estmadores MCO de un modelo heterocedástcos son nsesgados pero no óptmos. Para estmar su matrz de varanzas-covaranzas es recomendable emplear el estmador consstente de Whte, que aplca [7.3] susttuyendo los elementos de Σ por los cuadrados de los resduos MCO e.

27 APENDICE 9. S el verdadero modelo es log-lneal y se estma un modelo lneal, éste es heterocedástco. Demostracón: El modelo verdadero, log-lneal, suponendo sn pérdda de generaldad un solo regresor, es: Y = α β e u ;u _ N (, σ ) ln Y = α + β ln + u con α = ln α El modelo estmado es lneal en x. Queremos demostrar que su error, v, es heterocedástco: Y = γ + γ +v Puesto que u es normal,e u sgue una dstrbucón log-normal, con: E( e u )= e σ Var( e )= e de forma que la esperanza del error del modelo estmado, v, es: u σ ( e σ -) E( v )= E(Y -γ -γ )= E( α β u e -γ -γ ) y su varanza resulta ser: = α β e σ -γ -γ Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 7. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

28 Manual de Econometría. Capítulo 9, págna 8. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel () Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC Vemos que v es heterocedástca, ya que su varanza depende de los datos muestrales de la varable exógena. Concretamente, s β> es una funcón crecente y s β< es una funcón decrecente de. -) ( e e = ] ) - e e ( = E[ ] + e - - e = E[ ] ) E( v - )= E[ v Var( v u u σ σ β σ β σ β β α α γ γ α γ γ α