Sucesiones de números reales Sucesiones convergentes: límite de una sucesión

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1 Sucesioes de úmeros reales Sucesioes covergetes: límite de ua sucesió Tato e la educació secudaria obligatoria como e el bachillerato se habla poco de las sucesioes de úmeros reales. Si acaso se dedica ua uidad didáctica a las progresioes aritméticas y a las progresioes geométricas. Puesto que las sucesioes de úmeros reales y, sobre todo, el cocepto de covergecia para dichas sucesioes, so fudametales para el estudio de las fucioes reales de variable real, sobre todo e u primer curso uiversitario, vamos a desarrollar e este artículo los coceptos básicos relacioados co las sucesioes de úmeros reales y co la covergecia de sucesioes dado, e este último caso, la defiició más clásica de sucesió covergete y de límite de ua sucesió. Itetaremos hacerlo co u leguaje claro, sobre todo para que el alumo de bachillerato que se acerca a u grado de ciecias adquiera cierta familiaridad co estos uevos coceptos. Si A es u cojuto o vacío, llamaremos sucesió de elemetos de A a toda aplicació del cojuto N de los úmeros aturales e A. E particular ua sucesió de úmeros reales es, por defiició, ua aplicació de N e R. Hemos de fijar uestra ateció e que para defiir ua sucesió de úmeros reales basta co asociar a cada úmero atural u úmero real. Si para cada atural, x es u úmero real, otaremos x } a la sucesió f : N R defiida por f () = x, N } Así, por ejemplo, es la sucesió f : N R defiida por f () =, N sucesió que asocia al úmero atural el úmero =, al úmero atural 2 el úmero 2, al úmero atural 3 el úmero, y así sucesivamete. 3 Al úmero real x se le llama térmio -ésimo de la sucesió x }. Es importate distiguir etre la sucesió x } (que es ua aplicació) y el cojuto x : N} de sus térmios (que es la

2 image de la aplicació). Podemos pesar por ejemplo que las sucesioes x } e y } defiidas por x = 0, x 2 = x 3 =... = y =, y 2 = y 3 =... = 0 so tales que x : N} = y : N} = 0, } mietras que claramete x } = y }. Sucesioes covergetes Se dice que ua sucesió x } de úmeros reales es covergete si existe u úmero real x co la siguiete propiedad: dado u úmero real y positivo arbitrario, siempre puede ecotrarse u úmero atural m (que depederá del elegido), tal que si es cualquier atural mayor o igual que m se tiee x x < (o equivaletemete x < x < x +, segú las propiedades del valor absoluto). Dicho de otra forma, cualquiera sea R +, todos los térmios de la sucesió, salvo los correspodietes a u cojuto fiito de aturales, está compredidos etre x y x +, etediédose que dicho cojuto fiito de úmeros aturales depederá e geeral del úmero positivo elegido. E caso de que ocurra lo aterior, y queramos destacar el úmero x cuya existecia se afirma, diremos que x } coverge a x y escribiremos x } x. Así pues, simbólicamete: x } x > 0, m N : m x x < Merece la pea traducir a leguaje comú la defiició de sucesió covergete y la simbología aterior. Lo que viee a decir es que, si ua sucesió coverge a u úmero real x, todos los térmios de la sucesió, a partir de uo dado, se ecuetra ta cerca como queramos del úmero x. Obsérvese que tal otació la podríamos traducir así: decir que ua sucesió es covergete a u úmero x es lo mismo que decir que, dado u úmero positivo cualquiera (por pequeño que este sea), la distacia etre ifiitos térmios de la sucesió y el úmero x es más pequeña que el úmero escogido. Como siempre, la otació matemática, a pesar de supoer e pricipio u pequeño shock al que la lee por vez primera, es fudametal para poder demostrar que ua determiada sucesió es covergete, o para demostrar otras propiedades de las sucesioes covergetes como veremos e u artículo posterior. Ates de ver alguos ejemplos cocretos de sucesioes covergetes y o covergetes, es coveiete hacer ua observació importate. Si ua sucesió x } es covergete, el úmero x al 2

3 que coverge la sucesió es úico (o sea, ua sucesió o puede coverger a dos úmeros distitos). Esto o es difícil de demostrar, pues si hubiera otro úmero real y al que la misma sucesió x } tambié covergiera, tedríamos, segú la codició aterior, que dado > 0 arbitrario, se cumpliría simultáeamete las dos siguietes codicioes: m N : m x x < 2 m 2 N : m 2 y x < 2 Etoces, si tomamos m y m 2 teemos: x y = x x + x y x x + x y < = de dode por ser u úmero positivo arbitrario deducimos que x = y (obsérvese que hemos utilizado esta otra propiedad del valor absoluto: a + b a + b, a, b R). Todo el razoamieto aterior os permite itroducir, por defiició, el siguiete cocepto. Si x } es ua sucesió de úmeros reales que coverge a u úmero real x, diremos que x es el límite de la sucesió x } y escribiremos lím x = x como otació equivalete a x } x. Ahora es el mometo de ver alguos ejemplos cocretos sobre el cocepto de covergecia de ua sucesió. ( ) Ejemplo. Dado u úmero real y positivo cualquiera, el úmero E + es claramete atural (recuerda que, dado u úmero real x, E(x) sigifica parte etera de x ). Ua de las propiedades de la parte etera os asegura que ( ) < E +. Pues bie, si escogemos el úmero ( ) atural m = E +, ocurre que < m, o lo que es lo mismo, / > m <. Por tato, m dado cualquier úmero atural N cumpliedo que m, etoces <. Acabamos m de demostrar que: > 0, m N : m 0 = < } } es decir, que la sucesió coverge a 0: 0, o bie, lím = 0. 3

4 Ejemplo 2. Demostremos ahora que la sucesió } o es covergete. Razoaremos por reducció al absurdo. Si existiera x R tal que } x, etoces: > 0, m N : m x < < x + pero esto es absurdo pues N o está mayorado. Así pues la sucesió } o es covergete. Ejemplo 3. La sucesió ( ) } tampoco es covergete. Razoaremos tambié por reducció al absurdo. Supogamos que existiera x R tal que ( ) } x. Etoces > 0, m N : m ( ) x < Ahora cosideremos tres casos.. x = 0. Etoces ( ) < <, que es ua cotradicció pues es u úmero real y positivo arbitrario. 2. x > 0. E este caso cuado m sea impar tedremos que ( ) x = x = + x = + x < Luego < + x < y vuelve a haber ua cotradicció. 3. x < 0. E este caso cuado m sea par tedremos que ( ) x = x = x < Esto es otra vez cotradictorio pues si x < 0, etoces x > 0 y x >. Hemos demostrado pues que la sucesió ( ) } o es covergete. Los térmios de esta sucesió so,,,,,,...}. Obsérvese que si tomamos siempre impar la sucesió se covierte e la sucesió }, costatemete igual a ; y que si tomamos siempre par la sucesió se covierte e la sucesió }, costatemete igual a. Ambas sucesioes so covergetes por ser costates, la primera a y la seguda a. Esto o es igua totería. Ua sucesió x } es costate si x } = k}, N, dode k es u úmero real cualquiera. Es muy fácil demostrar que x } = k} k. Volviedo a lo aterior, ( ) } o es covergete, pero cotiee dos subsucesioes covergetes. El cocepto de subsucesió o sucesió parcial de ua sucesió lo veremos e otro artículo dedicado a las sucesioes covergetes y sus propiedades. 4

5 Ejemplo 4. Demostraremos fialmete que la sucesió x } = 2 } 2 es covergete. + Para poder demostrarlo deberemos de ituir el posible límite. El cojuto de los térmios de esta sucesió es x, x 2, x 3, x 4, x 5,...} =, 4 5, 9, 6 9, 25 } 29,... térmios que, aparetemete, se acerca cada vez más al úmero (lo que sugiere que éste sea el límite de la sucesió). Etoces debemos acotar la expresió x. Para ello, ( como ) e el ejemplo úmero, dado u úmero real y positivo cualquiera, tomemos m = E +. Ya hemos visto que m <. Etoces, dado N cumpliedo que m, teemos: x = = 2 + = = = + < < m < Lo aterior demuestra que la sucesió 2 es covergete y que lím El alumo de bachillerato advertirá que el cálculo del límite de la sucesió del ejemplo aterior se podría llevar a cabo usado las técicas del cálculo de límite de fucioes, es decir, calculado x el límite cuado x tiede a más ifiito de la fució f (x) = 2 x 2 + x : lím f (x) = x + lím x + x 2 x 2 + x Segú las técicas de cálculo de límites mecioadas rápidamete se sabe que el límite aterior es igual a (límite e el ifiito de ua fució racioal e el que los grados de umerador y deomiador coicide: el límite es el cociete de los coeficietes líderes). Esto os llevará, aturalmete, a pesar que 2. + Pero es justo al cotrario. Las técicas de cálculo de límites de fucioes reales de variable real se demuestra usado previamete el cocepto de covergecia de ua sucesió de úmeros reales. De hecho, para defiir el cocepto de límite fucioal, hemos de usar el cocepto de sucesió covergete. Si embargo, e el actual bachillerato, se aprede ates a calcular límites de fucioes que de sucesioes, y ello si i siquiera coocer co cierto rigor el cocepto de límite. Este artículo ha pretedido arrojar luz sobre el sigificado de límite e matemáticas. Y para ello, quizás lo más adecuado sea empezar por el cocepto de sucesió covergete. 5 =.

Sucesiones de números reales

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