DEFINICIONES BASICAS SEGMENTOS Y ANGULOS

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1 GEOMETÍ EFINIIONES SIS SEGMENTOS Y NGULOS 1.1 ONEPTO E GEOMETI L Geometrí es l cienci que estudi ls propieddes de ls figurs geométrics, tendiendo su form, tmño y relción entre ells. Un figur geométric es un conjunto no vcío de puntos, representd por línes, superficies y sólidos. Tod figur se distingue de otr por su tmño y form. LINES L. ect L. Querd L curv L. Mit SUPEFIIES SÓLIOS periódics del río Nilo en el ntiguo Egipto. 1.3 ONEPTOS PIMITIVOS Los conceptos primitivos no definidos de l geometrí son el punto, l líne y el plno El Punto: - Es un concepto imginrio - Tiene uicción - No tiene longitud: ncur o grosor - Lo idelizmos l cortrse dos rects - Un punto diujdo diferenci de un punto conceptul, tiene tmño. Se design l punto conceptul por medio de un letr myúscul junto l punto diujdo o un sp. Ejemplo:.. cilindro cono esfer cuo 1. ETIMOLOGI L plr Geometrí procede de ls plrs griegs geos que signific Tierr y metron que signific medid, es decir geometrí deriv de l plr grieg que signific medid de l tierr, concepto que no estuvo muy desligdo de l relidd en sus comienzos, como un necesidd de solucionr el prolem de los deslindes (delimitción) de tierrs origindos por ls inundciones 1.3. L Líne: - Es un concepto imginrio - Tiene longitud pero no ncur o grosor - No se puede medir - Es ilimitd en mos sentidos - Puede ser rect, curv o un cominción de ms - L líne rect tiene dirección Un líne se design con letrs myúsculs en dos puntos culesquier sore ell o con un letr minúscul. L dole flec, pone de mnifiesto que l

2 GEOMETÍ líne se etiende indefinidmente en mos sentidos: Ejemplo: Puntos olineles. Son quellos que pertenecen un mism líne rect. Puntos No olineles. Son quellos que no están uicdos en un mism líne rect El Plno: - Es un concepto imginrio - Tiene dos dimensiones - No se puede medir - No tiene espesor - Superficie pln ilimitd en todo sentido Postuldos sore plnos * Eisten infinitos plnos * Por tres puntos no colineles ps un plno y solmente uno * En culquier plno eisten infinitos puntos y rects 1.4 SEGMENTO E ET Es un porción de rect limitdo por dos puntos denomindos etremos. Se denot por y se lee segmento. L medid de un segmento denot por m o, y es un número positivo que compr l longitud del segmento ddo con l longitud del segmento unitrio (u) PUNTO MEIO E UN SEGMENTO Un punto se llm punto medio de un segmento, si está entre y y se verific que = OPEIONES ON SEGMENTOS Pr sumr dos segmentos culesquier, se tomn en un rect dos segmentos consecutivos culesquier y congruentes respectivmente los segmentos que se quieren sumr. Sum: iferenci: = + = 1.5 NGULO ryos que tienen el mismo punto de origen. Elementos Ldos: O y O Vértice: O Notción O, O, O m O = º : Medid del ángulo O es igul º ( + ) ( - ) O O

3 GEOMETÍ isectriz de un ngulo: Es el ryo que prtiendo del vértice de un ángulo, lo divide en dos ángulos congruentes. X O O 90º < º < 180º OX : isectriz de mox = mxo = O OX XO lsificción de los ngulos Los ángulos se clsificn según su medid, de cuerdo su posición y según sus crcterístics. I. SEGÚN SU MEI 1. ngulo Llno. Llmdo tmién ángulo rectilíneo, es quel ángulo cuyos ldos son dos ryos opuestos es decir un rect. Su medid en; - Sistem Segesiml: = 180º O. ngulo gudo. Es quel ángulo cuy medid es menor que 90º pero myor que 0º 4. ngulo ecto: Es quel ángulo cuy medid es igul 90º. O = 90º 5. ngulo Nulo: Es quel ángulo cuy medid es igul 0º O mo = 0º II. SEGUN L POSIION E SUS LOS 1. ngulos dycentes. os ángulos son dycentes cundo tienen el mismo vértice y un ldo común tl que los ángulos se encuentrn uno y otro ldo del ldo común. O Oº < º < 90º O Ldo omún 3. ngulo Otuso: Es quel ángulo cuy medid es menor que 180º pero myor que 90º O y O son ángulos dycentes, llmdo tmién ángulos consecutivos.

4 GEOMETÍ os o más ángulos serán dycentes cundo cd uno de ellos es dycente con su inmedito. = O, O y O son ángulos dycentes. O o O, O y O son ángulos dycentes sore un rect. III. SEGUN SUS TEÍSTIS 1. ngulos dycentes omplementrios Son dos ángulos dycentes cuys medids sumn 90º. O O y O son ángulos dycentes complementrios + = 90º o. Ángulos omplementrios Son dos ángulos cuys medids sumn 90º. O, O, O y O son ángulos dycentes lrededor de un punto. Ángulos Opuestos por el Vértice Son dos ángulos en donde los ldos de uno son los ryos opuestos del otro. Es decir, se determinn l trzr dos rects secntes, dicos ángulos con congruentes (tienen l mism medid). + = 90º Not 1. omplemento de un ángulo es lo que le flt este ángulo pr medir 90º. OMPLEMENTO E = 90º - = Not : 1º <> 60, 1 <> 60 90º <> 89º60 <> 89º59 60

5 GEOMETÍ 3. Ángulos dycentes Suplementrios Son dos ángulos dycentes cuys medids sumn 180º. O O y O son ángulos dycentes suplementrios. + = 180º 4. Ángulos Suplementrios Son dos ángulos cuys medids sumn 180º + = 180º Not 3. Suplemento de l medid de un ángulo es lo que le flt pr medir 180º. SUPLEMENTO E = 180º - = Not 4: 180º <> 179º60 <>179º59 60 Not 5: undo l plr suplemento se repite un número pr de veces, el resultdo es el mismo vlor del ángulo y si el número es impr, el resultdo es su suplemento. Sup del Sup... Sup de = ro. veces pr ro. veces impr NGULOS ENTE PLELS Prlels: Se llm rects prlels cundo no tienen ningún punto en común y están situdos en un mismo plno. L1//L L1 L Ángulos formdos por dos rects l ser cortdos por un Secnte ngulos Internos 3,4 5,6 1 ngulos Eternos 1, 7,8 lternos Internos 4 y 6 3 y 5 lternos Eternos 1 y 7 y 8 onjugdos Internos 4 y 5 3 y 6 onjugdos Eternos 1 y 8 y 7 Ángulos correspondientes 1 y 5; y 6 4 y 8; 3 y 7 NGULOS FOMOS PO OS ETS PLELS L SE OTOS PO UN SENTE ) Los ángulos lternos internos o eternos son congruentes. ) Los ángulos conjugdos internos o eternos son suplementrios. c) Los ángulos correspondientes son congruentes Sup del Sup... Sup de = 180º-

6 GEOMETÍ NGULOS E LOS PLELOS Si dos ángulos tienen sus ldos respectivmente prlelos, serán congruentes cundo mos ángulos sen gudos o cundo mos sen otusos; y serán suplementrios cundo uno de ellos se gudo y el otro se otuso. + = 180 O POLEMS ESUELTOS = 01. Sore un líne rect se consider los puntos consecutivos,, y. Luego los puntos medios M y N de y respectivmente. Hllr MN si: + = 50. O + = 180º ) 0 ) 5 c)30 d) 40 e) 50. esolución NGULOS E LOS PEPENIULES Si dos ángulos tienen sus ldos respectivmente perpendiculres serán congruentes cundo mos sen gudos o cundo mos sen otusos; y serán suplementrios cundo uno de ellos se gudo y el otro otuso. M N c ( + c + ) 1) to: M y N son puntos medios de y. M = M =, N = N = ) to: + = 50 ( + c) + (c + )= 50 + c + = 50 ( + c + )= 50 MN = 50 MN = 5 pt. = 0. sore un rect se uicn los puntos consecutivos,, y. Luego los puntos medios M y N

7 GEOMETÍ de y respectivmente. Hllr MN si: + = 60 ) 0 ) 5 c) 30 d) 40 e) Sore un rect se uicn los puntos consecutivos, y siendo 0 punto medio de, ² + ² = 100. Hllr 0² + 0² esolución ) 10 ) 5 c) 50 d) 100 e) 0 M N 1) to: M y N puntos medios de y M = N =, N = N = ) to: + = 60 ( + - ) + ( + - ) = 60 = 60 = 30 MN = 30 pt. 03. Sore un rect se uicn los puntos consecutivos,, y tl que es punto medio de y = 50. Hllr ) 0 ) 5 c) 30 d) 40 e) 50 esolución (-) 1) to: es punto medio de = = ) to = 50 ( + ) ( - ) = 50 = 50 = 5 = 5 pt. esolución 1) omo nos pide O² + O² ponemos O = y O = ) to: O punto medio de O=O= 3) to: ² + ² = 100 ( - )² + ( + )² = 100 (² + ²) = 100 ² + ² = 50 O² + O² = 50 pt. 05. En el gráfico, lle el máimo vlor entero de y. ) 45 ) 50 c) 60 d) 59 e) 58 O º-yº esolución 1) º - yº + 3yº = 180º º + yº = 180º º = 180º - yº (I) ) Todo ángulo es positivo 0º < º - yº yº < º (II) 3yº

8 GEOMETÍ 3) I en II yº < 180º - yº 3yº < 180º yº < 60º y = 59 pt. 06. L diferenci entre el suplemento y el complemento de un ángulo es 6 veces el ángulo. El suplemento del complemento de dico ángulo es: ) 15º ) 75º c) 105º d) 10º e) 150º esolución = 5k 3) + + c = 180º 3k + 5k + 7k = 180º 15k = 180º k = 1º 4) El myor ángulo es c = 7k c = 7 (1º) c = 84º 08. lculr si: L 1 //L ) 10º ) 0º c) 30º d) 40º e) 50º pt. E 1) Sup - omp = 6 (180º - ) (90º - ) = 6 80º L1 = 15º ) Nos piden E E = Sup. omp. 15º E = Sup. 75º 70º L E = 105º pt. 07. Ls medids de tres ángulos consecutivos sore un rect están en progresión ritmétic. lculr l medid del myor ángulo, si el menor y el myor están en l relción de ) ) 30º ) 36º c) 4º d) 60º e) 84º esolución c, y c están en progresión ritmétic 3 to:, = 3k c = 7k c 7 c 3k 7k ) =

9 GEOMETÍ esolución Propiedd (Serruco) 80º º = 90º + 90º = 30º pt. 09. En l figur L 1 //L y L 3 //L 4, el vlor numérico de 3º - 1º es: ) 15º )16º c)17º d) 18º e) 19º º L3 L4 L 1 EJEIIOS 1. do los puntos colineles y consecutivos,,, y E tl que: = E; = y E = 10. lcule ) 10 ) 5 ) 6 ) 8 E) 0. Sore un rect se uicn los puntos consecutivos,, y ; tl que = ; ()( ) = 1 y ()() = 8. lculr ) 1 ) ) 3 ) 4 E) 5 5º 11º L 3. dos los puntos colineles y consecutivos,, y ; tl que: =()= () y ()() = 81. lculr º 5º esolución L3 1) º = 180º. I ) ngulos correspondientes = º, = 5º... II 3) II en I: º + 5º + 11º = 180º 18º = 180º º = 10º 4) Hllnfo E: E = 3º - 1º E = 3(10º) 1º 11º L3//L4 L ) 9 ) 3 ) 1 ) 6 E) 8 4. Sore un rect se uicn los puntos consecutivos P, Q,, S, T; tl que: P = QS = T y PQ + ST = 6. lculr PT ) 6 ) 5 ) 1 ) 18 E) dos los puntos colineles y consecutivos, y ; M y N isecn y, respectivmente: + MN + = 60; llr ) 40 ) 50 ) 30 ) 0 E) En un rect se considern los puntos consecutivos,,,, E y F; tl que: = E; = EF; = 30; F = 40 y + = 30. Hllr E = 18º pt. ) 16 ) 15 ) 0 ) 10 E) 5

10 GEOMETÍ 7. En un rect se considern los puntos consecutivos,,, y E; tl que: 3(E) = (); E = 50 y + E = 0 y isec l segmento E ; llr ) 0 ) 10 ) 30 ) 15 E) 5 8. dos los puntos colineles y consecutivos,, y : tl que: 4() = 3() = 6() y 3( )=( ) ; llr ) 0 ) 6 ) 1 ) 4 E) 1 9. En un líne rect se considern los puntos consecutivos,, y ; se se que = m y se cumple ls siguientes relciones:. =.; =.. Hllr ( ) 1.dos los ángulos consecutivos: O, O y O, tl que mo = 70 ; m O = 80 y m O + mo = 50, clculr l medid del ángulo O ) 30 ) 40 )50 ) 60 E) Un ángulo llno es dividido por 4 ryos de tl mner que se formn ángulos consecutivos cuys medids están en progresión ritmétic. lculr l medid del ángulo determindo por el primer y último ryo ) 100 )108 )11 ) 10 E) lculr, si: + + c =130 y + = 70 ) m ) m ) m )m E) m / 10.Sore un líne rect se considern los puntos consecutivos P, Q, y S con l siguiente condición: PQ = mq y n - m+n = 1. PS ns Q P Hllr S ) m ) n ) m - n ) (m n)/ E) (m - n) 11.Si los /y del complemento de l diferenci entre el suplemento y el complemento de es igul los m/n de l diferenci entre el complemento de y el suplemento del suplemento de. Hllr ) 45 ) 40 )50 ) 55 E) 60 )0 )30 )40 )50 E) Si ls rects L 1 y L son prlels y m es el complemento de n, lculr. )15 )30 )0 )40 E)60

11 GEOMETÍ 16. En l figur, L 1 // L, clcule. 18.Según el gráfico. Hllr. Si L 1 // L y L 3 // L 4 L L 1 )100 )105 )110 )115 E) L L 4 16.En el grfico L 1 // L, llr ) 10 ) 15 ) 0 ) 5 E) 30 L1 L 17.lculr:. Si m n = 5 L 1 // L y L 3 // L 4 m n L 3 L 4 L 1 L ) 60 ) 75 ) 90 ) 100 E) Hllr el vlor de. Si L 1 // L y L 3 // L 4 L 3 30 w 5 40 w ) 60 )70 )80 ) 90 E) 100 L 1 L L 4 0. Siendo L 1 // L. lcule: + y ) 10 ) 15 ) 0 ) 5 E) 30 ) 90 ) 180 ) 70 ) 55 E) 360

12 GEOMETÍ TINGULOS I EFINIIÓN: Se llm triángulo l figur formd por 3 segmentos de rect que unen tres puntos no colineles. Puntos Interiores Puntos Eteriores NOTIÓN. Un triángulo se denot por ls tres letrs myúsculs que llevn sus vértices, denominándolo: - Puntos eteriores l triángulo y - Puntos del triángulo NOT 3. egión Tringulr es un figur formd por los puntos del triángulo y los puntos interiores l triángulo. NOT 4. undo se dice áre del triángulo, se refiere l áre de l región tringulr. LSIFIION E LOS TINGULOS tendiendo sus ldos 1) Equilátero = / ) Isósceles Elementos: Yº Ldos:,, Vértices:,, 3) Escleno c Xº Zº Internos X,Y, Z ngulos Eternos,, Perímetro (p): p = + + c c Semiperímetro (p) p NOT 1. Ls medids de los ldos del triángulo se designn por l letr minúscul del vértice opuesto dico ldo. =, =, = c NOT. Todo triángulo divide l plno en tres suconjuntos de puntos: - Puntos interiores l triángulo UNIVESI NIONL EL LLO Págin 04 ENTO PEUNIVESITIO

13 TETO GEOMETÍ tendiendo sus ángulos 1) ectángulo HIPOTENUS TETO POPIEES FUNMENTLES EL TINGULO 1. L sum de ls medids de los ángulos internos es igul 180º. Xº + Yº + Zº = 180º ) Olicuángulos cutángulo. Sus tres ángulos son gudos. Xº Xº Yº Zº Zº Otusángulo: tiene un ángulo otuso TEOEM E PITÁGOS En todo triángulo rectángulo, l sum de los cudrdos de ls medids de los ctetos es igul l cudrdo de l medid de l ipotenus. ² = ² + c². L medid de un ángulo eterno es igul l sum de ls medids de los ángulos internos no dycentes él. emostrción: Yº 1) + Xº = 180º ) Xº + Yº + Zº = 180º 3) Igulndo + Xº = Xº + Yº + Zº Xº Zº = Yº + Zº = Xº + Zº = Xº + Yº c = Yº + Zº L.q.q.d. NOT 5. En todo triángulo isósceles, l ldo desigul se le llm se y l ángulo que se opone ell se le conoce como ángulo en el vértice o ángulo desigul. Los dos ángulos de l se. 3. L sum de ls medids de los ángulos eternos es igul 360º. Yº NGULO EN EL VETIE : ngulo de l se Xº Zº + Xº = 180º + Yº = 180º + Zº = 180º º = 540º SE + + = 360º

14 GEOMETÍ 4. TEOEM E L EXISTENI EL TINGULO. L medid de un ldo es siempre menor que l sum de ls medids de los otros dos ldos pero myor que su diferenci. ) Xº + Yº + Zº + Wº = 360º Yº Zº c Xº Wº LINES NOTLES Y PUNTOS NOTLES 1) < + c...i ) < + c c <...II 3) e I y II c < < + c emostrción c < < + c 5. myor ldo se opone myor ángulo y vicevers. menor ldo se opone menor ángulo y vicevers. ldos congruentes se oponen ángulos congruentes y vicevers. POPIEES EL UILTEO 1) X = + + c X c Ls línes notles son quells que cumplen funciones específics en el triángulo, dics línes son: ltur, Medin, Meditriz, isectriz interior, isectriz eterior. Puntos Notles son Ortocentro, ricentro, ircuncentro, Incentro y Ecentro 1. LTU. Es el segmento perpendiculr trzdo desde un vértice del triángulo l rect que contiene l ldo opuesto. En cd un de ls siguientes figurs, el segmento H es un ltur del triángulo. H H H OTOENTO. Es el punto de concurrenci de ls lturs de un triángulo. El ortocentro es un punto que puede estr en el interior del triángulo, fuer de él o en el vértice del ángulo recto, según los triángulos sen cutángulos, Otusángulos y ectángulos respectivmente. Este punto tiene l propiedd de dividir cd ltur en dos segmentos cuyo producto es un constnte.

15 GEOMETÍ H UTNGULO H H: OTOENTO OTUSNGULO 3) MEITIZ: Es un rect perpendiculr un ldo del triángulo en su punto medio, dic rect se encuentr en el mismo plno que contiene l triángulo L L : MEITIZ H H: OTOENTO En el vértice de un ángulo recto de un triángulo se uic el Ortocentro. ) MEIN: Es un segmento que une un vértice y el punto medio del ldo opuesto. En l figur M es el punto medio de, M se llm medin. ETNGULO M M: Medin M IUNENTO (O): Es el punto de concurrenci de ls meditrices de los ldos de un triángulo. El circuncentro es un punto que puede estr en el interior del triángulo, fuer de él o en el punto medio de l ipotenus, según los triángulos sen cutángulos, Otusángulos y ectángulos respectivmente. Este punto tiene l propiedd de ser el centro de l circunferenci circunscrit l triángulo (ircunferenci circunscrit, es l que ps por los vértices del triángulo) y equidistn de sus vértices. IENTO (G): Llmdo tmién centro de grvedd o grvicentro o centroide, es el punto de concurrenci de ls tres medins de un triángulo. El ricentro, siempre es un punto interior l triángulo, divide cd medin en dos segmentos que están en l relción de 1/3 y /3 de l medin. P G N G = (GM) G = (GN) G = (GP) O O UTNGULO OTUSNGULO ETNGULO 4) ISETIZ INTEIO. Es el ryo que prtiendo del vértice de un triángulo, divide l ángulo interior en ángulos de igul medid. O M

16 GEOMETÍ X: : isectriz Interior Segmento de isectriz interior. INENTO (I): Es el punto de concurrenci de ls isectrices interiores. El Incentro, siempre es un punto interior l triángulo. Este punto tiene l propiedd de ser l centro de l circunferenci inscrit l triángulo (circunferenci inscrit es l que toc los ldos del triángulo, interiormente en tres puntos) y equidistr de los 3 ldos. I 5) ISETIZ EXTEIO: Es el ryo que prtiendo del vértice de un triángulo, divide l ángulo eterior en ángulos de igul medid. El Ecentro es siempre, un punto eterior l triángulo. Este punto tiene l propiedd de ser el centro de l circunferenci einscrit l triángulo (circunferenci einscrit es l que toc un ldo y ls prolongciones de los otros dos ldos en tres puntos respectivmente) y equidistr de un ldo y de ls prolongciones de los otros dos. Todo triángulo tiene 3 ecentros, cd uno de ellos reltivo uno de los ldos del triángulo. * EVIN: Es el segmento que une un vértice de un triángulo con un punto culquier del ldo opuesto o de su prolongción. esde un vértice se puede trzr infinits cevins. Por lo tnto ls cevin no es líne notle. El nomre de cevin se dee en onor l mtemático itlino EV en P, Q, : evins F: Segmento de isectriz Eterior P Q POLEMS ESUELTOS F EXENTO (E): Es el punto de concurrenci de dos isectrices eteriores, con l isectriz interior del tercer ángulo del triángulo. E 01. Hllr Xº ) 50º ) 60º c) 65º d) 70º e) 80º esolución 35º 0º 0º º 5º E: Ecentro reltivo l ldo 35º y 5º

17 GEOMETÍ 1) Por ngulo eterno = y + 5º... (I) y = 35º + 0º...(II) ) (II) en (I) = 35º + 0º + 5º = 80º pt. e 0. En l figur, EFGH es un cudrdo. Hllr el vlor de ) 60º ) 45º c) 50º d) 30º e) 0º esolución E F 75º H G esolución: + + = 180º = + + Sum = 180º + Mitd: = 90º + / = 90º + 58º/ = 119º 58º pt. E F 75º 45º 1) En el triángulo PH 75º + 45º + y = 180º y = 60º... (I) P 75º 45º y H G 04. Hllr el ángulo formdo por l intersección de ls isectrices de los ángulos eteriores de los ángulos gudos de un triángulo rectángulo ) 60º ) 45º c) 30º d) 65º e) 90º esolución E ) En + y = (II) 3) (I) en (II) + 60º = 90º = 30º pt. d 03. En un triángulo, el ángulo mide 58º. uánto mide el ángulo donde es el punto de intersección de ls isectrices de los ángulos y? 1) Sum de ángulos eternos en 90º + + = 360º + = 70º Mitd + = (I) ) En E + + = (II) 3) (I) en (II) 135º + = 180º ) 15º ) 119º c) 110º d) 95º e) 10º = 45º pt.

18 GEOMETÍ 05. El ángulo de un triángulo mide 40º. uánto mide el ángulo E donde E es el punto de intersección de ls isectrices del ángulo interior y ángulo eterior? ) 10º ) 0º c) 30º d) 40º e) 50º esolución 40º E 140º + = º + = 70º = 130º pt. d POLEMS POPUESTOS 1. e l figur = E; = ; el triángulo es: 1) Por ángulo eterno + 40º = Mitd + 0º =... (I) E + =... (II) ) Igulndo (II) y (I) + = + 0º = 0º pt. 06. Hllr X si: I es Incentro del triángulo, m F = 140º. ) 100º ) 110º c) 10º d) 130º e) 140º I 140º F esolución ) ) sósceles quilátero ) ) cutángulo ectángulo E) Otus ángulo. e l figur: = E; F = FE; F = ; E = F. lculr: m. Si: m F=40º ) 45º ) 75º ) 65º ) 55º E) 85º 3. el gráfico djunto determin l relción correct, si: PQ= P. 140º F 1) Propiedd (Pro.4) 140º = 90º + / = 90º + / Sum 140º+ = 180º + (+)/ E ) 3 = )5 = ) 7 = 3 ) 4 = E) 7 =

19 GEOMETÍ 4. lculr, si = y T = T punto tl que NQ = N y l mnp = 36. Hllr l mmpq ) 18 ) 0 )30 ) 36 E) En un tringulo rectángulo recto en, se trz l ltur H. En el tringulo H se trz l isectriz interior. Si = 10 y H = 7. Hllr H ) 10º ) 15º ) 0º ) 30º E) 40º 5. lculr, si: - = 18 ) ),5 ) 3 ) 3,5 E) 4 10.Según el grfico. Hllr el vlor de 4 4 ) 16º ) 17º ) 18º ) 19º E) 36º 6. En un triángulo se trz l isectriz interior, tl que m< = 7º y m< = 35º. lculr l m<. ) 56º ) 63º ) 70º ) 71º E) 77º 7. En l figur W, = 3, = 8. Hllr ) 10 ) 0 )30 ) 40 E) e l figur. Hllr, = 4 y F = F ) 1 ) ) 3 ) 4 E) 5 1.e l figur. Hllr + y + W ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 8 8. Se tiene un tringulo isósceles MNP; MN = NP, en el cul se trz l cevin PQ. Sore PQ se tom el y z ) 00 ) 170 ) 300 ) 330 E) 360

20 GEOMETÍ TINGULOS II ONGUENI E TIÁNGULOS os triángulos son congruentes, si tienen todos sus elementos (ldos y ángulos) respectivmente congruentes. Pr que dos triángulos sen congruentes es necesrio que cumpln con uno de los siguientes csos generles: EF E F 1º so (L..L.): os triángulos son congruentes si tienen dos ldos respectivmente congruentes y congruente el ángulo comprendido entre dicos ldos. E 4º so: (L.L..): os triángulos son congruentes si tienen dos ldos respectivmente congruentes y congruente el ángulo que se opone l myor de dicos ldos. E EF F F º so (.L..): os triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivmente congruentes y congruente el ldo comprendido entre dicos ángulos. E EF 3º so: (L.L.L.): os triángulos son congruentes si tienen sus tres ldos respectivmente congruentes. F EF OSEVIONES: 1. Un sol epresión EF nos dice l vez seis coss, ser: E, F, EF Â, E, F. Si dos triángulos son congruentes, son respectivmente congruentes sus seis elementos; y ldos congruentes se oponen ángulos congruentes y recíprocmente. 3. lgunos utores no considern el 4º so LL (Ldo, Ldo, ngulo), mencionn solmente los tres primeros csos. ONGUENI E TINGULOS

21 ETNGULOS Están comprendidos en los csos de congruenci y estudidos, teniendo presente que necesitn sólo de condiciones porque tienen el ángulo recto como ángulo conocido. 1º so (-) (teto, teto) LL os triángulos rectángulos son congruentes, si tienen sus ctetos respectivmente congruentes. EF º so (-) (teto, ngulo) L os triángulos rectángulos son congruentes, si tienen un cteto y un ángulo gudo respectivmente congruentes. E E F GEOMETÍ 4º so (H- ) (Hipotenus, teto) os triángulos rectángulos son congruentes, si tienen l ipotenus y un cteto respectivmente congruentes. (so LL). E EF TEOEM EL TINGULO ISOSELES En todo triángulo isósceles, ldos congruentes se oponen ángulos congruentes. THLES E MILETO (600..) Uno de los 7 sio de l ntigu GEI, demostró que l medid de los ángulos de l se de un triángulo isósceles son igules. Si: = Entonces F EF 3º so (H - ) (Hipotenus, ngulo) os triángulos rectángulos son congruentes, si tienen l ipotenus y un ángulo gudo respectivmente congruentes. E F F emostrción: 1) Trzmos l isectriz. ) por el cso LL. L.q.q.d. NOT: En el º SO de congruenci de triángulos rectángulos, el ángulo gudo puede ser dycente l cteto o puede ser opuesto l cteto. EF

22 GEOMETÍ TEOEM EL TINGULO EQUILTEO En todo triángulo equilátero, sus tres ángulos internos son congruentes. emostrción: 1) Por teorem del isósceles. y ) Trnsitividd de congruenci de ángulos. L.q.q.d. POPIE: es un cudrdo, L1//L E Y L1 L medid de PH es l distnci de P l rect L. l punto H se le denomin pie de l perpendiculr. L distnci de un punto un segmento, es tmién l longitud del segmento perpendiculr desde el punto l segmento o l prolongción de dico segmento. Es decir perpendiculr l rect que contiene el segmento. PLIIONES E L ONGUENI E TINGULOS. 1º TEOEM E L ISETIZ E UN NGULO. Todo punto que pertenece l isectriz de un ángulo equidist de los ldos del ángulo. o H P P P H P = P X H emostrción: Y F L so H-: OP OP ² = ² + y² P = P L.q.q.d. FE = + y ISTNI E UN PUNTO L distnci de un punto un rect, es l longitud del segmento perpendiculr desde el punto l rect. º TEOEM E L MEITIZ Todo punto que pertenece l meditriz de un segmento equidist de los etremos del segmento ddo. P P H L M P = P

23 GEOMETÍ emostrción: so LL PM PM P = P L.q.q.d. NOT: Si dos línes notles coinciden en un triángulo, entonces dico triángulo es isósceles. Ejemplo: Los siguientes triángulos son isósceles. por los puntos medios de dos ldos del triángulo mide l mitd del tercer ldo. Hipótesis: - M punto medio de (M = M) - L rect MN es prlelo l ldo. Tesis: N = N, MN = M N 3º TEOEM: Los segmentos de prlels comprendidos entre prlels son congruentes. = = emostrción: Sen y dos segmentos prlelos comprendidos entre ls prlels y. Trzndo el segmento quedn formdos dos triángulos congruentes y (so L), por lo tnto: = = L.q.q.d. 4º TEOEM E LOS PUNTOS MEIOS Si por el punto medio de un ldo de un triángulo se trz un rect prlel otro ldo, dic prlel divide l tercer ldo del triángulo en dos segmentos congruentes. El segmento determindo M emostrción: 1) Trcemos N// Entonces: MN es un prlelogrmo M = N = MN (I) ) MN N (L) N = N = MN (II) 3) + = (III) 4) I y II en III MN + MN = MN= L.q.q.d. 5º TEOEM El segmento que une los puntos medios de dos ldos de un triángulo es prlelo l tercer ldo y mide l mitd de su longitud. Hipótesis: Se el triángulo M punto medio de N punto medio de N

24 GEOMETÍ Tesis: MN// MN = / emostrción. 1) Prolongmos MN st P tl que MN= NP ) MN NP (cso LL) m = mnp y M = P 3) MP es un prlelogrmo. MN// (MN) = MP= MN= L.q.q.d. 6º TEOEM E L MENO MEIN EN EL TINGULO ETNGULO. L medin reltiv l ipotenus de un triángulo rectángulo mide l mitd de l longitud de l ipotenus. M M o M N N P Hipótesis: m = 90º M = Medin Tesis: M = / emostrción: M N 1) Por el punto M trcemos MN// ) N = N (Teorem de los puntos medios) 3) MN MN (so LL) M = M M = / 7º POPIE E LS MEINS E UN TINGULO. Ls medins de un triángulo concurren en un punto que dist de cd vértice el dole de l distnci l punto medio del ldo opuesto. emostrción. G N P M

25 GEOMETÍ 1) Prolongr N st P tl que P//M ) GN NP (cso L) GN = NP =, G = P..(I) 3) Teorem de los Puntos Medios G = GP = GM = P = P =...(II) 4) G = P = L.q.q.d. TINGULOS NOTLES (: constnte) En el H (30º y 60º) el cteto dycente 60º mide l mitd de l ipotenus. TEOEM 1 Si un cteto mide l mitd de l ipotenus, entonces el ángulo gudo dycente dico cteto mide 60º. emostrción: 1) Trzr l medin M ) M Equilátero = 60º M L.q.q.d. = 60º 3 30º 60º 45º 45º TINGULO ETNGULO ISOSELES En un cudrdo de ldo,, trzmos l digonl, oservmos que el triángulo es isósceles. TINGULO E 30º Y 60º En un triángulo equilátero de ldo, trzmos l ltur H y oservmos que H = H = 30º 30º X 60º 60º H Teorem Pitágors. de X² + ² = ()² X² + ² = 4² X² = 3² X = 3 45º X 45º Pitágors X² = ² + ² X² = ² X = En el (45º) l ipotenus es veces el lrgo de un cteto. TEOEM En un triángulo rectángulo isósceles, el cteto es / veces el lrgo de l ipotenus.

26 GEOMETÍ = emostrción Pitágors ² + ² = ² ² = ² 4² = ² = TEOEM 3 Si l se de un triángulo isósceles es veces el lrgo de cd uno de los dos ldos congruentes, entonces el ángulo opuesto l se es un ángulo recto. umple Pitágors ²+ ² = ( )² = 90º TEOEM 4 L ltur reltiv l ipotenus de un triángulo rectángulo de 15º y 75º mide l curt prte de l ipotenus. H = + 3 H = ( + 3 ) X 45º X 45º 60º 15º 75º H 3 emostrción: 1) Trzmos l medin M M =... (I) ) HM (30º y 60º) M H =... (II) 3) I en II M 4 H = - 3 H = ( - 3 ) 15º H = 4 EJEIIOS 1. En un triángulo l medid del ángulo eterior en el vértice es el triple de l medid del ángulo, demás l meditriz intersec en P. lculr P, si = 9. ) 3 ) 6 ) 9 ) 4 E) 5. Él triángulo es isósceles, = y l ltur trzd desde mide 10. si P es un punto culquier del ldo, clculr l sum de ls distncis de P los ldos congruentes. ) 5 ) 6 ) 8 ) 10 E) En un triángulo, m< =105º, m<=5º y = 6. Si l meditriz de intersec en P, clculr P. ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 E) 7 4. En un triángulo rectángulo, recto en, se se que =10 y m<=6,5º. clculr l medid de l ltur H. ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 E) 7 5. En un triángulo rectángulo, l isectriz interior del ángulo gudo myor y l meditriz de l ipotenus se intersecn en un punto sore el cteto myor. lculr l medid de uno de los ángulos gudos.

27 GEOMETÍ ) 75º ) 60º ) 53º ) 45º E) 37º 6. En un triángulo, =6 y =9. Por se trz perpendiculr l isectriz interior. Si N es el punto medio de, clculr PN. ),5 ) 1 ) 3,5 ) E) 1,5 7. En un triángulo se trz l medin tl que l m<m=50º y m<m=65º. Si =18, clculr M. ) 6 ) 8 ) 9 ) 1 E) En un triángulo, en y se uicn los puntos P y Q respectivmente tl que: = Q, m = 50 ; m = 70 ; mp = 55 ; clcule l mqp. ) 15 ) 30 )37 d) 45 e) es un triángulo otusángulo, otuso en, se trz l isectriz interior, si m = m, = y =. lculr. l cevin interior E, tl que = E = 8, en el interior del triángulo E se uic el punto P, tl que mep = 90 y mep = mp, si E = 6. lculr PH ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 E) 8 1. do un triángulo rectángulo tl que =, interiormente se uic el punto P, si: P = 3, P = 7, mp = 90; clcule P. ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 E) do un triángulo en l cul l isectriz interior E y l ltur H se intersecn en P. Tl que mph = 15 y en H se uic el punto Q, si QP P ; Q = (P), clcule l mp. ) 15 ) 30 )45 d) 53 e) Se tiene un triángulo en l cul se trz l medin M y l cevin N ls cules se intersecn en T, tl que MT = T y TN = 5u, clcule T. ) 10 ) 15 ) 0 ) 7,5 E) 10 ) + ) + ) - ) + E) es un triángulo rectángulo, recto en, en l prolongción de se uic el punto P y en el eterior reltivo se uic el punto Q, tl que P PQ, si = P + PQ y m = mpq. lculr l mq ) 30 ) 37 )45 ) 60 E) es un triángulo rectángulo, recto en, en él se trzn; l ltur H y

28 GEOMETÍ POLIGONOS Y UILTEOS EFINIIÓN: Sen P 1, P, P 3, P 4,... P n-1, P n puntos distintos en el plno y no colineles con n>. L unión de los segmentos P 1 P, P,P 3,..., P n-1 P n, P n P 1, recie el nomre de POLÍGONO, si los segmentos tienen ls siguientes propieddes: - os segmentos con un punto común no deen ser colineles. - os segmentos culesquier sólo pueden interceptrse en sus etremos. con uno de los ángulos internos del polígono. - Un segmento que une dos vértices no consecutivos lo denominremos digonl del polígono. - Un segmento que une los puntos medios de dos ldos culesquier, lo llmremos digonl medi del polígono. OSEVIÓN: En un polígono de n ldos eisten n vértices, n ángulos internos. P 1 P P 3 NOT 1: Todo polígono divide l plno en tres suconjuntos de puntos: P n P 7 P 5 - Puntos interiores l polígono. - Puntos eteriores l polígono - Puntos que pertenecen l polígono. P n-1 P 6 En l figur, l prte punted indic otros posiles puntos y segmentos puesto que n es un número nturl culesquier igul o myor que 3. P 4 Un punto está en el interior de un polígono si está en el interior de cd uno de los ángulos internos del polígono, y está en el eterior, si no está ni en el interior ni en el polígono. PUNTOS EL POLÍGONO ELEMENTOS EL POLÍGONO - Los puntos P 1, P,...,P n se llmn verticles del polígono. - Los segmentos P 1 P, P P 3,..., P n-1, P n P 1, son los ldos del polígono. - os segmentos con un vértice común determinn un ángulo l cul llmremos ángulo interno del polígono. - Un ángulo es ángulo eterno de un polígono si y solo si form un pr linel dycente NOT. El perímetro del polígono es igul l sum de todos sus ldos. NOT 3. PUNTOS INTEIOES PUNTOS EXTEIOES

29 GEOMETÍ egión poligonl es un figur formd por los puntos del polígono y los puntos interiores l polígono. 3. Polígono Equilátero: Es quel polígono cuyos ldos son todos congruentes.ejemplo: LSIFIIÓN E POLÍGONOS Los polígonos se clsificn en: ) Por el número de ldos Triángulo udrilátero Pentágono Heágono Heptágono Octágono Nonágono o Eneágono ecágono Endecágono o Undecgono odecágono Pentdecágono Icoságono 3 ldos 4 ldos 5 ldos 6 ldos 7 ldos 8 ldos 9 ldos 10 ldos 11 ldos 1 ldos 15 ldos 0 ldos Los polígonos restntes se llmn según su número de ldos. Por ejemplo: polígono de 14 ldos, polígono de 5 ldos, etc. ) Por su form 1. Polígono onveo: Es interceptdo en sólo dos puntos 4. Polígono Equiángulo Es quel polígono cuyos ángulos internos son todos congruentes 5. Polígono egulr Es quel polígono que es l vez equiángulo y equilátero. Ejemplo: 60º 10º 10º 10º 10º 10º 10º por un rect secnte. 60º 60º. Polígono no onveo Es interceptdo en más de dos puntos por un rect secnte. 6. Polígono No egulr (Irregulr) Es quel polígono que no cumple ls condiciones del polígono regulr.

30 GEOMETÍ FÓMULS GENELES EN UN POLÍGONO E N LOS. d: Números de digonles que se pueden trzr desde un vértice. d = N-3 : Número totl de digonles que se pueden trzr. = N(N 3) c : Medid de un ángulo centrl c = 360º N UILÁTEO Se llm cudrilátero, l polígono de 4 ldos. onsiderndo l medid de sus ángulos internos pueden ser conveo o cóncvo. Z : Número de digonles que se pueden trzr desde V vértices consecutivos. ONVEXO ÓNVO Z : V N - ( V 1)(V ) Elementos: Si : Sum de ls medids de los ángulos internos Y Z Si = 180º (N-) Se: Sum de ls medids de los ángulos eternos Se = 360º FOMULS P POLÍGONOS EGULES E N LOS i : Medid de un ángulo interno 1) Ldos:,, y ) Vértices:,, y 3) ngulos Interiores: X, Y, Z, W 4) ngulos Eteriores:,,,. Not 1. En todo cudrilátero, l sum de ls medids de sus ángulos es 360º. W i = 180º(N ) N e: Medid de un ángulo eterno e = 360º N

31 GEOMETÍ LSIFIIÓN E UILÁTEOS ONVEXOS tendiendo l prlelismo de sus ldos, se clsificn en tres: Prlelogrmos, Trpecios y Trpezoides..4 udrdo. Es un prlelogrmo que tiene sus 4 ángulos rectos y sus 4 ldos congruentes. (Polígono egulr de 4 ldos). ) PLELOGMOS. Son quellos que tienen sus ldos opuestos prlelos. Se clsificn en: 1. OMO. Llmdo tmién Losnge. Es un prlelogrmo que tiene sus 4 ldos congruentes. omo o Losnge. omoide. Es un prlelogrmo. Not. undo en un prolem se mencion prlelogrmo, se diuj como un romoide. Not 3 El udrdo es un romo y tmién es rectángulo. Not 4 e todos los rectángulos de igul perímetro, el que tiene más áre es quel cuy diferenci de ldos es menor. Por lo tnto el que tiene áre máim es el cudrdo. PLELOGMO O OMOIE POPIEES EL PLELOGMO 1. En todo prlelogrmo, los ldos opuestos son congruentes..3 ectángulo. Llmdo tmién udrilongo. Es un prlelogrmo que tiene sus 4 ángulos rectos. En todo prlelogrmo, los ángulos opuestos miden igules y los ángulos dycentes un mismo ldo son suplementrios. 3. En todo prlelogrmo ls digonles se isecn mutumente. (isecn: se cortn en su punto medio).

32 4. Ls digonles de un rectángulo son congruentes (miden igul). GEOMETÍ perpendiculres y isectrices de sus ángulos. 5. Ls digonles de un rectángulo se interceptn en su punto medio, determinndo 4 segmentos de igul longitud. O O = O = O = O 6. Ls digonles de un romo son perpendiculres entre si y isectrices de sus ángulos. : igonl myor : igonl menor 45º X = 90º =. TPEIOS. Son cudriláteros que tienen dos ldos opuestos prlelos y se les llm se myor y se menor. Se su-clsificn en 3:.1 Trpecio escleno. Es quel que tiene sus ldos no prlelos desigules. 45º 45º X 45º = 90º X o O = O O = O. Trpecio isósceles: Es quel que tiene sus ldos no prlelos congruentes (miden igul). = 180º.3 Trpecio ectángulo. Es quel que tiene dos ángulos rectos. 7. Ls digonles de un cudrdo son congruentes,

33 GEOMETÍ. N NE (cso L) = E = N = NE Not 5. undo se dice ltur del trpecio, se sorentiende que es l distnci entre ls ses. Not 6. Medin del trpecio: Es el segmento que une los puntos medios de los ldos no prlelos. Not 7. Los ángulos dycentes un mism se de un trpecio isósceles y los ángulos opuestos son suplementrios. POPIEES EL TPEIO I) MEIN E UN TPEIO: MN 3. E Teorem de l se medi E MN = MN = l.q.q.d. II) SEGMENTO QUE UNE LOS PUNTOS MEIOS E LS IGONLES EL TPEIO: PQ P Q - E M N M=M, N=N MN = emostrción: 1) Se trz Q cuy prolongción intercept en E. + emostrción: 1. Se trz N cuy prolongción intercept l prolongción de en E. E ) Q QE (L) = E = Q = QE 3) E Teorem de l se medi E PQ = PQ = l.q.q.d.

34 . TPEZOIES Son cudriláteros que no tienen ningún ldo prlelo otro. Eisten dos clses:.1 Trpezoide Simétrico: Si un de sus digonles es meditriz de l otr. L figur es simétrico respecto l eje (lo que ven l ldo izquierdo de es igul lo que ven l ldo dereco). Trpezoide Simétrico o isosceles GEOMETÍ POPIEES EL TPEZOIE M I) En todo trpezoide, l unir los puntos medios de los ldos consecutivos, se form un prlelogrmo cuyo perímetro es igul l sum de ls digonles de dico trpezoide. N Q ONVEXO P M Q P ÓNVO N = = 1) MNPQ es prlelogrmo cuyo perímetro es igul l sum de ls medids de ls digonles. Perímetro (MNPQ) = ( + ) ) El áre del prlelogrmo MNPQ es igul l mitd del áre del cudrilátero. 3) En el cudrilátero conveo se cumple que: re(mn)+re(pq)=re(mq)+re(pn) 4) En el cudrilátero cóncvo se cumple que: c. Trpezoide simétrico Es quel cudrilátero que no tiene ningun simetrí. r(mn)-re(pq)=re (MQ)+re (PN) II) X X = m m

35 emostrción: 1) + + m + m = 360º m m Mitd ++ =180º (I) ) E + + X = 180º (II) GEOMETÍ Mitd m m Z+ = 180º (III) 4) X + Z = 180º (IV) m m 5) IV=III X+Z=Z+ m m X = l.q.q.d. 3) II I + + X = + + m m m m X = l.q.q.d. III emostrción: 1) P Z = + m + (I) ) P Z++m += 360º 3) I + II P (II) Z+ + m + = + m º Z X emostrción 1) E = X + + m I ) X + = m + II 3) I en II X + X + + m = m + X = E X = m - m m m l.q.q.d. Z + m - m = 360º

36 GEOMETÍ EJEIIOS 1. Si l medid del ángulo eterno de un polígono regulr es k veces el interior. lculr k (k Z). ) 1 y 3 ) 1 y ) 1 y 4 ) y 3 E) y 4. Es un polígono regulr E... l m E =144. uánts digonles medis tiene? ) 100 ) 150 ) 160 ) 170 E) Los ángulos interiores, y de un pentágono conveo E miden 70, 160 y 50 respectivmente. Ls isectrices interiores de los ángulos E y E, formn un ángulo que mide: ) 30 ) 35 )40 ) 45 E) En un eágono equiángulo EF, =, E = 1, = 4 y F = 3. Hllr su perímetro. ) 10 ) 15 ) 18 ) 4 E) 8 5. L diferenci del número de digonles de cierto polígono y el número de ángulos rectos que equivle l sum de ls medids de sus ángulos interiores es 8. uántos ldos tiene el polígono? ) 4 ) 5 ) 8 ) 1 E) Ls medids de los ángulos interiores de dos polígonos conveos regulres se diferencin en 0 y ls medids de los ángulos eteriores sumn 100. uánts digonles tienen el polígono de myor número de ldos? ) 7 ) 18 ) 3 ) 40 E) 5 7. Se tienen dos polígonos regulres cuyos números de digonles se diferencis en 34 y cuys medids de sus ángulos, centrles están en l relción de 3. Hllr l diferenci de ls medids de sus ángulos interiores. ) 5 ) 5 )10 ) 40 E) El perímetro de un octágono equiángulo EFGH es 4 4, dico polígono tiene dos tipos diferentes de ldos los cules se presentn en form lternd. Hllr F G. ) ) 3 ) 3 ) 3 E) 4 9. lculr el ángulo centrl de un polígono regulr en donde l disminuir el número de ldos en máimos números de digonles disminuye en 15. ) 30 ) 45 )36 ) 70 E) En un trpecio ; m =m =90; ls isectrices interiores de los ángulos y se intersecn en P. lculr, si l distnci desde el punto P es 4. )6 )8 )10 )1 E) En un romo, se trz, tl que H = H, clculr m. )30º )45º )40º )60º E)75º 1. En un trpecio se se que: m < = m < ; = 4; = 5. lculr l medid de l se myor. )6 )7 )8 )9 E) En un romoide se trz l isectriz (M en ). Si = 6, clculr l medid del segmento que une los puntos medios de y. ) )3 )4 )5 E) 3

37 IUNFEENI I GEOMETÍ IUNFEENI: L circunferenci es el lugr geométrico de los puntos de un plno que equidistn de un punto del mismo plno llmdo centro. Lugr geométrico Es el conjunto de puntos que gozn de un mism propiedd. L circunferenci divide l plno en tres suconjuntos de puntos: Puntos interiores l circunferenci Puntos eteriores l circunferenci Puntos de l circunferenci. ÍULO Es l figur formd por los puntos de l circunferenci y los puntos interiores l circunferenci. ELEMENTOS S O PUNTOS INTEIOES IMETO IO M H SENTE O E TNGENTE Q PUNTOS EXTEIOES P 1. dio: Es el segmento que une el centro con un punto de l circunferenci(figur OQ, O ).. rco: Es quell prte de circunferenci limitd por dos puntos de dic circunferenci (figur: ) 3. uerd: Es el segmento que une dos puntos culesquier de l circunferenci (figur E ). 4. iámetro o uerd Myor: Es l cuerd que ps por el centro y es el dole del rdio. (figur ). 5. ect Secnte: Es culquier rect que cort l circunferenci en dos puntos (figur S ). 6. ect Tngente. Es quell rect que tiene un sólo punto en común con l circunferenci (figur: PQ). 7. Flec o Sgit. Es el segmento que une los puntos medios de l cuerd y el rco de menor longitud que sutiende dic cuerd. (figur: MH)

38 GEOMETÍ TEOEMS FUNMENTLES ) El rdio trzdo con respecto l punto de tngenci, es perpendiculr l rect tngente que l contiene. OT T d) En tod circunferenci, los rcos comprendidos entre cuerds prlels son congruentes (miden igules). O T T ) En tod circunferenci, un diámetro o rdio es perpendiculr un cuerd. Si y solo si ps por el punto medio de dic cuerd. Si: MN Entonces MH = HN r Si // Entonces e) Si es diámetro de un semicircunferenci y es un punto culesquier de dic semicircunferenci, entonces m = 90º O r 0 M c) En tod circunferenci cuerds congruentes se oponen rcos congruentes y vicevers. Si: H N emostrción = 180º + = 180º Mitd + = 90º l.q.q.d. m = 90º

39 GEOMETÍ MEI E ÁNGULOS EN L IUNFEENI LSIFIIÓN: Según l posición del vértice del ángulo: 1. ngulo entrl: undo tienen su vértice en el centro de l circunferenci. ngulos Ecéntricos: uándo no tienen su vértice en el centro de l circunferenci. Estos se clsificn en periféricos, internos y eternos..1 ngulos Periféricos: Son los que tienen sus vértices en l circunferenci. Pueden ser inscrito, semiinscrito y einscrito. ngulos internos: Son los que tienen sus vértices en el interior de l circunferenci..3 ngulos eternos: Son los que tienen su vértice en el eterior de l circunferenci. EFINIIONES: 1. NGULO ENTL Es quel ángulo que tiene su vértice en el centro de l circunferenci, sus ldos contienen cd uno un rdio y su medid es igul l rco comprendido entre sus ldos; siempre y cundo est medid del rco se ngulr. O = entro = m. NGULO INSITO Es quel cuyo vértice es un punto de l circunferenci, sus ldos contienen cd uno un cuerd y su medid es igul l mitd de l medid del rco que sutiende sus ldos. = m 3. NGULO EXINSITO Es el suplemento de un ángulo inscrito, su vértice se encuentr en l circunferenci, un ldo contiene un cuerd y el otro ldo l prte eterior de un secnte y su medid es igul l mitd de l medid de todo el rco que no corresponde l ángulo inscrito. = ngulo Einscrito = m O emostrción + = 180º + = 360º + m = 360º = 360º - m = m

40 GEOMETÍ m 4. NGULO SEMINSITO: Su vértice se encuentr en l circunferenci, un ldo es un tngente y el otro contiene un cuerd y su medid es igul l mitd de l medid del rco que sutienden sus ldos. o = entro tngente o dos tngentes. En éste último cso se llm ángulo circunscrito. L medid del ángulo eterior es igul l semidiferenci de ls medids de los rcos que sutienden sus ldos. ) Ldos Secntes = E o L: tngente ) Ldos tngentes y secntes L =m 5. NGULO INTEIO Su vértice se encuentr en el interior de l circunferenci, está formdo por dos secntes que contienen dos cuerds que se cortn y su medid es igul l semi sum de los rcos interceptdos por él y por su opuesto por el vértice. n = - c) Ldos tngentes (ngulo circunscrito) = n (1) = + 6. NGULO EXTEIO Su vértice se encuentr en el eterior de l circunferenci, pudiendo ser sus ldos dos secntes, un secnte y un e l figur: n = 360º -

41 GEOMETÍ eemplzndo en l fórmul tenemos: + = 180º () nálogmente: = n 180º (3) POPIEES 1. Ls medids de los ángulos opuestos de un cudrilátero inscrito sumn 180º e ls tres fórmuls pr ángulo circunscrito, l más utilizd es l fórmul (). emostrción: Por ángulo inscrito O PZ Es el lugr geométrico de todos los puntos que unidos dos puntos fijos determinn ángulos constntes e igules l ángulo ddo. El rco cpz es un rco de circunferenci y el segmento que une los puntos fijos se denominn cuerd cpz o segmento cpz. rco pz E F = = Sum: + = + = 360º + = 180º. En dos circunferencis tngentes interiores cumple: m = m NOT UE PZ EF: rco cpz de todos los ángulos que miden º : uerd cpz El rco cpz de los ángulos de 90º es un semicircunferenci. T P P y T: Puntos de Tngenci

42 GEOMETÍ emostrción: = = T T Igulndo T T l.q.q.d. (ngulo Seminscrito) (ngulo Interior) = 4. El ldo de un pentágono regulr sutiende un rco de 7º E = 360º 5 = 7º 5. Si un cuerd mide igul que el rdio entonces dic cuerd sutiende un rco de 60º 3. En dos circunferencis tngentes eteriores cumple: m = 90º 60º 60º 60º o emostrción 1) Por ipótesis = dio ) Trzmos los rdios O y O Tngente, y : Puntos de Tngenci emostrción: = 180º + = 180º Mitd + = 90º l.q.q.d. m = 90º 3) El triángulo O es equilátero mo = 60º 4) ngulo entrl l.q.q.d. m = 60º 6. El ldo de un eágono regulr sutiende un rco de 60º y l medid del ldo del eágono regulr es igul l medid del rdio. F O E

43 GEOMETÍ EJEIIOS 1. En l figur Hllr 3 ) 18º ) 0º ) 36º ) 48º E) 7º. Si = 4 I: Incentro. Hllr IQ I ) 100º ) 10º ) 140º ) 150º E) 160º 5. Según el gráfico m T = m E =. Hllr X T ) 30º ) 40º ) 50º ) 60º E) 70º E 6. Hllr si, y T son puntos de tngenci. Q ) ) ) 3 ) 4 E) 6 3. En el gráfico mostrdo. Hllr el vlor de T X 100º ) ) )+ ) E) 7. Hllr PQ, si P = 4m, P es punto de tngenci ) 80º ) 90º )100º ) 110º E) 10º 4. En l figur mostrd, llr el vlor de. P Q 60º Xº O ) m ) 3m ) 4m ) 5m E) 6m

44 GEOMETÍ 8. lculr, si y, son puntos de tngenci. 11.lculr, si m = 150 ( T punto de tngenci) T ) 80 ) 60 ) 70 ) 40 E) lculr, si: P,, S, T y M. Son puntos de tngenci. M P 80 T 40 ) 10 ) 15 ) 35 ) 30 E) 0 S ) 15 ) 0 ) 30 ) 45 E) 60 1.Se tiene un semicircunferenci de diámetro ; en el rco se uicn los puntos y tl que l distnci de dicos puntos ci el diámetro son 4 y 3; clcule l medid del ángulo entre y si: m = 90 ) 16 ) 0 ) 37 / ) 53 / E) 8 13.do un prlelogrmo l circunferenci que contiene los puntos, y intersec en M. lculr l m, si = 5 y M = 6 ) 37 ) 53 )74 ) 100 E) lculr l mef, si O es centro. y O 50 E F ) 50 ) 60 ) 80 ) 40 E) 30

45 IUNFEENI II GEOMETÍ POSIIONES ELTIVS E OS IUNFEENIS os circunferencis de centro O 1 y O en un mismo plno y de rdios y r respectivmente, pueden tener ls siguientes proposiciones. 3. ircunferencis Secntes Su l distnci entre los centros es menor que l sum de los rdios y myor que su diferenci. r 1 ircunferencis Eteriores: Si l distnci entre los centros es myor que l sum de sus rdios. O 1 d O d = O 1 O r < d < + r O 1 d O r Eistenci del triángulo d > + r Tiene dos puntos comunes ( y ) L cuerd común es perpendiculr l segmento que une los centros. ircunferencis tngentes eteriores Es l distnci entre los centros es igul l sum de los rdios. 4. ircunferencis Ortogonles Si el cudrdo de l distnci entre los centros es igul l sum de los cudrdos de los rdios. L T r d = + r O 1 d r O L 1 O 1 d O T : Punto de Tngenci El segmento que une los centros ps por el punto de tngenci. L rect tngente común interior ms circunferencis es perpendiculr l segmento que une sus centros. d² = ² + r² m0 1 O = 90º L 1 : ect tngente l circunferenci de centro O en el punto L : ect tngente l circunferenci de centro O 1 en el punto

46 GEOMETÍ 5. ircunferencis tngentes interiores Si l distnci entre los centros es igul l diferenci de los rdios. L : Tngente común L 7. ircunferencis concéntrics Si l distnci entre los centros es cero, es decir, sus centros coinciden. (Tienen el mismo centro). r O M O 1 d O r T d = - r M : Punto de tngenci OM : PITÁGOS T : Punto de Tngenci * L rect que ps por los centros, tmién ps por el punto de tngenci y es perpendiculr l rect tngente común. 6. ircunferencis Interiores Si l distnci entre los centros es menor que l diferenci de los rdios. r = ² - r² r = r O 1 d O r d + r < d < r TEOEMS ELIONOS L IUNFEENI 1. ircunferenci Inscrit Se dice que un circunferenci está inscrit en un polígono, si se encuentr en el interior de éste y sus ldos son tngentes dic circunferenci. su rdio se le llm INIO. Los puntos de un de ells (circunferenci de centro O ) son interiores l otr. (ircunferenci de centro O 1 ) r r r : INIO

47 GEOMETÍ : Triángulo circunscrito : udrilátero circunscrito L circunferenci es inscrit. ircunferenci ircunscrit Es quell circunferenci que ps por todos los vértices de un polígono. su rdio se le llm IUNIO. F, T y E: Son puntos de tngenci. r : Erdio eltivo l ldo : Triángulo einscrito En todo triángulo, y tres circunferencis einscrits. TEOEMS E TNGENTE 1. Ls tngentes trzds desde un punto eterior un circunferenci son congruentes. P = P o O P : ircunrdio O : ircuncentro : Triángulo inscrito : udrilátero inscrito L circunferenci es circunscrit. 3. ircunferenci Einscrit Se dice que un circunferenci es einscrit un triángulo, si se encuentr en el eterior de dico triángulo y es tngente un ldo y ls prolongciones de los otros dos ldos. su rdio se le llm EXIO. F emostrción: OP P = P OP (4º cso) l.q.q.d.. Los tngentes interiores comunes dos circunferencis eteriores son congruentes y l rect que ps por los centros tmién ps por el punto de intersección de dics tngentes. = O P O E T r

48 GEOMETÍ emostrción 1) P = P ) P = P Sumndo: P+P=P + P = l.q.q.d. 3. Los tngentes eteriores comunes dos circunferencis son congruentes y su punto de intersección se ll sore l rect que ps por los centros. O O emostrción 1) P = P ) P = P estndo P P = P P = lqqd. = TEOEM E PITOT En todo cudrilátero circunscrito un circunferenci o circunscriptile, se cumple que l sum de ls medids de dos ldos opuestos es igul l sum de ls medids de los otros dos ldos. + = + y y P emostrción = + n = y + m Sumndo: + = + y + n + m + = + lqqd GENELIZNO: En todo polígono circunscrito con un número pr de ldos, l sum de los ldos no consecutivos es igul l sum del resto de ldos. TEOEM E STEINE En todo cudrilátero einscrito o einscriptile l diferenci de ls medids de dos ldos opuestos es igul l diferenci de ls medids de los otros dos ldos. M N P emostrción = 1) M = N + P = = + + n m = l.q.q.d. n m

49 GEOMETÍ TEOEM E PONELET En todo triángulo rectángulo l sum de ls medids de los ctetos es igul l medid de l ipotenus ms l medid del diámetro de l circunferenci inscrit. m r r r emostrción = m + r = n + r Sumndo: + = m + n + r l.q.q.d. POPIEES + = + r + = + r r : Inrdio 1. En todo triángulo circunscrito se cumple: m r r n n = p y = p z = p - = p lqqd. En todo triángulo e-inscrito se cumple: P = Q = p p : Semiperímetro del emostrción Perímetro () = + + = + + y + = P + P Perímetro () = P Mitd p y Q p p = P lqqd 3. ircunferencis einscrits reltivs l ldo y l ldo, cumple: y P F = E y z y z emostrción 1) + y + z = perímetro () ) mitd + y + z = p + = p F E

50 GEOMETÍ emostrción 1) F + = semiperímetro () ) + E = semiperímetro () 3) Igulndo F E F = E lqqd 4. ircunferenci einscrit reltiv l ldo y circunferenci inscrit, cumple: ecomendciones pr resolver prolems de ángulos en l circunferenci 1. Se tiene dos circunferencis tngentes interiormente o tngentes eteriormente, por lo generl los dtos están en un circunferenci y l incógnit está en l otr, trce en estos csos por el punto de contcto un tngente común. O O = y +y P = F = E =G = y TNGENTE OMÚN E y y G F P + N O O emostrción P = = + y + y + = y Mitd L.q.q.d. = y. eemos tener en cuent que l medid del ángulo semi-inscrito es igul l medid del ángulo inscrito que sutiende el mismo rco. m = m 5. L sum de ls medids de los rdios de ls circunferencis einscrits reltivs los ctetos de un triángulo rectángulo, es igul l medid de l ipotenus.

51 GEOMETÍ 3. eemos tener en cuent que l medid del ángulo dycente un ángulo circunscrito es igul l medid del rco que sutiende los ldos de este último. = m UILÁTEO INSIPTILE Es quel cudrilátero que puede inscriirse en un circunferenci, pr ello dee cumplir culquier de los csos de cudrilátero inscrito o de l propiedd, sin que se diuje l circunferenci. Ejemplo: El rectángulo, el cudrdo, el trpecio isósceles. emostrción : ángulo circunscrito + = 180º m + = 180º Igulndo: ETS NTIPLELS = m lqqd UILÁTEO INSITO os rects son ntiprlels con respecto los ldos de un ángulo, cundo formn con los ldos del ángulo, un cudrilátero inscriptile. Es quel cudrilátero que tienen sus cutro vértices en un mism circunferenci. SO I SO II SO III : udrilátero inscriptile + = 180º = =