x = nº cajas mazapán y = nº cajas piñón z = nº cajas almendras

Transcripción

1 Universidad de Castilla la Mancha PAG Septiembre.05 Septiembre 05 Opción A.- a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: XA + X = B, suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden. b) Dada la ecuación matricial: X = -, despeja y calcula la matriz X..- n un obrador de mazapn de Toledo se venden, en cajas de medio kilo, delicias de mazapn a 5 euros, pastas de piñón a 0 euros y pastas de almendras a 0 euros. n un día que se vendieron 75 cajas de dichos dulces, se recaudaron en total 075 euros. Sabiendo que el número de cajas vendidas de delicias de mazapn fue la semisuma de las cajas de pastas de piñón y pastas de almendras: a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permite obtener el número de cajas vendidas de cada clase de dulce. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. x = nº cajas mazapn y = nº cajas piñón z = nº cajas almendras Lo resolvemos por Cramer: Por tanto, se vendieron 5 cajas de delicias de mazapn, 0 cajas de pastas de piñón y 0 cajas de pastas de almendras..- Se considera la función a) Para qué valor de t la función f(x) es continua en x = 0? b) Calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (-, 0) con t =. c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (-, 0) con t =. Para que sea continua en x=0: -

2 n el intervalo (-, 0), para t= (x + ) = x + 8 x + 8 = 0 x = - xamen Selectividad _ Matemticas _ CCSS _ Castilla la Mancha f -5) <0 f >0 - s decir existe un mínimo en (-, 0). Los intervalos en (-, 0), sern: Decrece: (-, ) Crece (-, 0).- Dada la función polinómica f(x) = ax + bx + cx +, calcula los valores de los parmetros a, b y c, sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la curva en x = 0 es -, que dicha función tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x = y un punto de inflexión en x = -. Si la pendiente de la recta tangente a f(x) en x = 0 es - a + bx + c - c = - Si tiene un mínimo relativo en x = a + b - = 0 a + b 6 = 0 Si tiene un punto de inflexión en x = - -)=0 6ax + b -6a + b = 0 Resolvemos el sistema: a - a Por tanto, la función queda: f(x) = x + x -x Una caja contiene ocho tornillos, de los que dos son defectuosos. a) Si extraemos dos tornillos sin reemplazamiento, y el primero ha resultado ser defectuoso, cul es la probabilidad de que el segundo también lo sea? b) Si vamos extrayendo tornillos sin reemplazamiento, uno tras otro, hasta localizar los dos defectuosos, cul es la probabilidad de necesitar exactamente tres extracciones para localizarlos? Nos la probabilidad condicionada: Si necesitamos tres extracciones para localizar los defectuosos: 6.- l contenido de nicotina en los cigarros de una marca determinada, sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica = mg. Se toma una muestra aleatoria de 50 cigarros y se observa que la media del contenido en nicotina de la muestra es 9 mg. a) Calcula con un nivel de confianza del 95% el intervalo de confianza para la media poblacional del contenido de nicotina de los cigarros de esa marca. b) l fabricante afirma que el contenido en nicotina de estos cigarros es de sólo 8. mg Se puede aceptar la afirmación del fabricante con un nivel de confianza del 95 %? Y con un nivel de significación igual a 0.? Razona tus respuestas. Nos piden un IC para la media de una población normal con desviación típica conocida:

3 6 Septiembre 05 Para calcular el valor de Z /, hay que tener en cuenta que a un nivel de confianza del 0.95, le corresponde un nivel de significación = Para calcular el valor Z 0.05 : Por tanto, el IC pedido es: P(Z<0.05) = P(Z<0.975) Z 0.05 =.96 No podemos concluir que el contenido en nicotina es de sólo 8. mg con un nivel de confianza del 95%, ya que este valor no se encuentra dentro del IC hallado. Si el nivel de significación es = 0., el valor de Z / buscado ser Z 0., que como en el caso anterior no aparece en la tabla, por lo que: P(Z<0.) = P(Z<0.99). s decir, el valor buscado es mayor que.99 (en la tabla sólo nos aparece hasta ). acemos el IC con el valor de Z =.99 n este caso sí podemos concluir que el contenido medio en nicotina sea de 8. mg, pero con un nivel de confianza de 80% (mucho menor que en el caso anterior). Opción B.- Considera el siguiente problema de programación lineal: Minimizar la función z = -x - 0y, sujeta a las siguientes restricciones: x x + y 6 x 0; y 0 a) Dibuja la región factible. b) Determina los vértices de la región factible. c) Indica la solución óptima del problema dado y su valor. B (0, ) A (, /) D (0, 0) C (, 0) Los valores que toma la función z(x,y)= -x - 0y en cada uno de los vértices: n el vértice A : z(,/) = - = n el vértice B : G(0,) = -0 n el vértice C : G(,0) = - n el vértice D : G(0,0) = 0 Por tanto la solución óptima se encuentra para z = Una fbrica de dulces elabora cajas de tres tipos de bombones: bombón crocante, bombón mazapn y bombón gianduja; para su elaboración se utiliza azúcar, almendra y chocolate. La siguiente tabla muestra la cantidad de estas materias primas que se utilizan para fabricar una caja de cada tipo de bombón. Caja de bombón crocante Caja de bombón mazapn Caja de bombón gianduja Azúcar 00 gramos 00 gramos 00 gramos Almendra 00 gramos 00 gramos 00 gramos Chocolate 00 gramos 00 gramos 00 gramos Si se dispone de 500 gramos de azúcar, 000 gramos de almendras y 000 gramos de chocolate.

4 xamen Selectividad _ Matemticas _ CCSS _ Castilla la Mancha a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el número de cajas de bombones de cada tipo que se pueden fabricar utilizando el total de la materia prima disponible. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. x = nº cajas crocante y = nº cajas mazapn z = nº cajas gianduja Lo resolvemos por Cramer: s decir, se pueden fabricar 0 cajas de bombones de crocante, 5 cajas de bombones de mazapn y 0 cajas de bombones gianduja..- Se considera la función - a) alla el valor de t para que f sea continua en x =. b) Para t =, representa grficamente la función f. Primero transformamos la función valor absoluto en una función a trozos: ara que sea continua - s decir, la f(x) es continua para t = La función que representa el costo por kilometro, en miles de euros, de la construcción de una canalización de agua es C(x) = x - 9x + x, con 0 x.5. a) Cul fue el coste de la construcción del primer kilómetro (x=)? b) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento del costo de la obra. c) n qué kilómetro el coste de la construcción fue mximo y a cunto ascendió? n el primer kilómetro: f() = 6 s decir, el coste de la construcción fue de.

5 5 Calculamos los intervalos de crecimiento y decrecimiento en el intervalo [0,.5] f (x) = x 8x + Septiembre 05 = 0 x 8x + = 0 studiamos los dos puntos porque los dos estn dentro del intervalo dado: f f <0 f >0 0.5 Por tanto la función: Crece: (0,) Ս (,.5) Decrece: (, ) n el kilómetro el coste fue mximo y ascendió a. 5.- l 60% de las compras de un supermercado las realizan mujeres. l 0% de las compras realizadas por estas supera los 0 euros, mientras que el 0% de las realizadas por hombres supera esa cantidad. a) legido un ticket de compra al azar, cul es la probabilidad de que supere los 0 euros? b) Si se sabe que un ticket de compra no supera los 0 euros, cul es la probabilidad de que la compra la hiciera un hombre? Suc o M: co pra r a ada por uj r Suc o : co pra r a ada por ho r Suc o : co pra qu up ra o M La pro a dad d qu up r o : M M La probabilidad de que una compra que no supere los a r a ada por u ho r : 6.- Un fabricante de ordenadores sabe que el tiempo de duración, en meses, de un componente del ordenador que fabrica sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 6 meses. Con una muestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95% se ha obtenido para la media poblacional el intervalo de confianza (.098,.960). a) Calcula el valor que se obtuvo para la media de la muestra y el tamaño de la muestra utilizado. b) Cul hubiera sido el error mximo admisible de su estimación si hubiera tomado una muestra de tamaño 50? S a var a : meses de duración del componente, gu u a d r ución normal: X ~ N(, 6), el intervalo de confianza para la media, toma la forma:. Nos dicen que el IC es (.098,.960) con un nivel de confianza del 95%, es decir, con un nivel de significación = Para buscar el valor de Z 0.05 en la tabla: La P(Z < 0.05) = P(Z < 0.975) Z 0.05 =.96 de la muestra es el centro del IC, es decir, el valor medio de los extremos del intervalo:

6 6 Por tanto: xamen Selectividad _ Matemticas _ CCSS _ Castilla la Mancha, l error mximo admisible es:. Por tanto, para un tamaño n = 50: