PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 008 MATEMÁTICAS II TEMA : FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Sea f la función definida, para 0, porf ( ) = e. Determina las asíntotas de la gráfica de f. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A Asíntota vertical: = 0 e e lime = 0 = lim = = lim = lime = Asíntota vertical para lime = 0 No tiene asíntota vertical para 0 Asíntota horizontal: No tiene + lime = = No tiene asíntota Horizontal para + lim e = = No tiene asíntota Horizontal para Asíntota oblicua: y= + e 0 lim lime e m= = = = e e n= lim e lim e 0 lim lim = = = = = lime =

3 De entre todos los rectángulos de perímetro 8 cm, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B d y a) Función que queremos que sea mínimo: d = + y min b) Relación entre las variables: + y= 8 y= c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. d min = + ( ) = d) Derivamos e igualamos a cero: 8 d ' = = = 0 = min Luego, es un cuadrado de lado = ; y=

4 Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por ( ) f ( ) = + a + b y g( ) = ce + Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto (, ) y tienen en ese punto la misma recta tangente. a) Calcula los valores de a, b y c. b) Halla la ecuación de dicha recta tangente. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO.OPCIÓN A. a) Como se corta en el punto (,) f ( ) = g( ) = a+ b+ = a+ b= f ( ) = g( ) = 0 ce = c = Como en ese punto tienen la misma recta tangente f '( ) = g '( ) f = g + a=ce a= 0 '( ) '( ) 0 Resolviendo el sistema formado por estas ecuaciones sale: a= 0 ; b= ; c= b) La ecuación de la recta tangente en - f ( ) = - f '( ) = Luego, la recta tangente es: ( ) = es: yf ( ) = f '( ) ( + ) y = + y=

5 + Dada la función f : R R definida porf ( ) =, determina la ecuación de la recta e tangente a la gráfica de f en su punto de infleión. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Calculamos el punto de infleión. f '( ) = ; f ''( ) = = 0 = e e Nos están pidiendo la recta tangente en =. Su ecuación será: + 3 y f () = f '() ( ) y = ( ) y= e e e

6 + a+ b si < < Sea la función f :[ 0,] R definida por f ( ) =. c + si a) Determina a, b y c sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado[ 0, ], derivable en el intervalo abierto (0, ) y que f (0) = f (). b) En qué punto del intervalo se anula la derivada de la función?. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Aplicamos las tres condiciones del problema.. Como la función es continua en=, se cumple: + + = + a+ b + a + b = c + a + b c = 3 limc+ = c+ lim a b +. Calculamos la función derivada: + a si 0< < f '( ) = c si < < Como la función es derivable en =, se cumple: f f '( ) = + a a c a c + + = = '( ) = c 3. f (0) = f () b= c+ b c= Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones, tenemos: a+ b c=3 a c= a= 3 ; b= 5 ; c= b c= b) Veamos en que punto se anula la derivada 3 si 0< < 3 f '( ) = f '( ) = 0 3= 0 = si < <

7 Sea f :[ 0, ] π R la función definida por f ( ) = e ( sen + cos ). a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Calcula los puntos de infleión de la gráfica de f. MATEMÁTICAS II RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. π 3π f '( ) = e ( sen+ cos ) + (cos sen) e = e cos= 0 = ; = π 0, π 3π, 3 π, π Signo f ' + + Función C D C π π Máimo, e b) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero. π 3 π mínimo, e π 5π f ''( ) = e (cos sen) = 0 = ; = π 0, π 5π, 5 π, π Signo f '' + + Función C Cn C π P.I.,0 5 π P.I.,0

8 Sea f : R R la función definida por f ( ) = (3 ) e a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Calcula los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. f '( ) = (3 ) e + (3 ) e = e ( + 3) = 0 = ; = 3 3, 3, (, ) Signo f ' + Función D C D 3 mínimo, 9 3 e Máimo (,e )

9 e + Dada la función f definida, para 0, por f ( ) = determina las asíntotas de su gráfica. e MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Calculamos el dominio de la función. Asíntota vertical: = 0. { } e = 0 = 0 D= R 0 Asíntota horizontal: e + e lim = = lim = y= e e Asíntota oblicua: No tiene, ya que tiene asíntota horizontal.

10 + a + 3 si Considera la función f : R R, definida por f ( ) = b si > a) Halla a y b sabiendo que f es derivable en R. b) Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = 3. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Si la función es derivable en=, primero tiene que ser continua en dicho punto, luego: + = + a + 6 = b a + b = 3 = lima 3 a 6 lim b b + Calculamos la función derivada: a+ 3 si f '( ) = b si > Como es derivable en=, se cumple que: f f '( ) = a + 3 a 3 b a b + + = + = '( ) = b Resolviendo el sistema a + b =3 a = ; b = 7 a+ b= b) El punto es (3,6) y la pendiente de la recta tangente es m= 3 La ecuación de la recta tangente es: y 6= 3 ( 3) La ecuación de la recta normal es: y 6 = ( 3) 3

11 De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (, ), encuentra aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Halla el área de dicho triángulo. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. b (,) a a) Función que queremos que sea mínima es: a b S = b) Relación entre las variables: b + = a= a b b c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. b b b S = b = b d) Derivamos e igualamos a cero b( b) ( )( b ) 8b+ b b b 8b S ' = = = = 0 b= 0 ; b= ( b) ( b) ( b) b a = b = = y Luego, la ecuación de la recta es: + = + y= 8 + y=. El área del triángulo es: a b S = = = u