Una formulación general de un modelo de regresión paramétrico es la siguiente:

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1 Esmadores úcleos y polomos locales. Fracsco Parra Rodrguez Docor e Cecas Ecoómcas. UNED. Modelos de regresó o paramércos Los modelos de regresó paramércos supoe ue los daos observados provee de varables aleaoras cuya dsrbucó es coocda, salvo por la preseca de alguos parámeros cuyo valor se descooce. β + β x + ε ε N, σ y, co ( ) β Ese es u modelo esadísco co res parámeros descoocdos: ; β y σ. Ua formulacó geeral de u modelo de regresó paramérco es la sguee: p y m( ; θ ) + ε,,,, θ Θ R x Dode m( x ; θ ) es ua fucó coocda de x y de θ, ue es descoocdo, ε ε es ua varable aleaora décamee dsrbuda co E( ε ) y V ( ε ) σ. El modelo de regresó leal smple sería u caso parcular co θ ( β o, β ) y m ( x ; β, β ) β + β o o x. Se dce ue se ausa el modelo paramérco cuado se esma sus parámeros a parr de u couo de observacoes ue sgue dcho modelo. Por eemplo, puede usarse el méodo de mímos cuadrados o el de máxma verosmlud, de maera ue puede hacerse predccoes de uevos valores de y coocdo el valor de x, y eer formacó precsa acerca de la cerdumbre asocada a la esmacó y a la predccó. Esas so alguas de las bueas propedades de los modelos paramércos. Además, e muchas ocasoes los parámeros ee ua erpreacó uva e érmos relacoados co el problema e esudo. S embargo, s el modelo paramérco o es adecuado puede ser peor eerlo ausado ue o eer ada, porue el modelo paramérco colleva u grado de exacud e las afrmacoes ue de el se derva ue so adecuadas cuado el modelo es correco, pero ue e caso coraro puede esar muy aleadas de la realdad. Los modelos paramércos presea u problema fudameal: su esrucura es a rígda ue o puede adaparse a muchos couos de daos. E ese capíulo presearemos ua alerava o paramérca a los modelos de regresó paramércos usuales.

2 Se supoe ue se observa pares de daos ( x, ) de regresó o paramérco: y m( ) + ε Dode ε ε y ue provee del sguee modelo x es ua varable aleaora décamee dsrbuda co E( ε ) V ( ε ) σ, y los valores de la varable explcava x x so coocdos, por lo ue se dce ue el modelo ee dseño fo, y dado ue la varaza de los errores es cosae el modelo es Homocedásco. f,, cabe defr la fucó de regresó como m ( x) E( Y / x), es decr el valor esperado de Y cuado oma el valor coocdo x. Eoces E ( Y / ) m( ), y defedo ε Y m( ), se ee ue: Cosderado (, Y ) ua varable aleaora bvarae co desdad coua ( x y) Y m( ) + ε, E( ε / ), V ( ε / ) σ Sea (, Y ),, ua muesra aleaora smple de (, Y ). Esos daos sgue el modelo de regresó o paramérco: Y m( ) + ε,. Ua vez esablecdo el modelo, el paso sguee cosse e esmarlo (o ausarlo) a parr de las observacoes dspobles. Es decr hay ue cosrur u esmador mˆ ( x) de la fucó de regresó y u esmador ˆ σ de la varaza del error. Los procedmeos de esmacó de m(x) se cooce como méodos de suavzado. El abaco de éccas dspobles para esmar o paramércamee la fucó de regresó es amplísmo e cluye, ere oras, las sguees: Ause local de modelos paramércos. Se basa e hacer varos (o cluso fos, desde u puo de vsa eórco) auses paramércos eedo e cuea úcamee los daos cercaos al puo dode se desea esmar la fucó. Méodos basados e seres orogoales de fucoes. Se elge ua base oroormal del espaco vecoral de fucoes y se esma los coefcees del desarrollo e esa base de la fucó de regresó. Los auses por seres de Fourer y medae waveles so los dos efoues más ulzados. Suavzado medae sples. Se plaea el problema de buscar la fucó mˆ ( x) e ˆ ( ) ue mmza la suma de los cuadrados de los errores ( y m x ) más u érmo ue pealza la fala de suavdad de las fucoes m ˆ ( x) ) caddaas (e érmos de la egral del cuadrado de su dervada seguda). Téccas de apredzae supervsado. Las redes euroales, los k vecos más cercaos y los árboles de regresó se usa habualmee para esmar m (x). y S se supoe ue la varaza es fucó de la varable explcava x : V ( ) σ ( ) Heerocedásco. ε, el modelo sería x

3 Fucó úcleo Los hsogramas so sempre, por auraleza, fucoes dscouas; s embargo, e muchos casos es razoable supoer ue la fucó e desdad de la varable ue se esá esmado es coua. E ese sedo, los hsogramas so esmadores sasfacoros. Los hsogramas ampoco so adecuados para esmar las modas, a lo sumo, puede proporcoar ervalos modales", y al ser fucoes cosaes a rozos, su prmera dervada es cero e cas odo puo, lo ue les hace compleamee adecuados para esmar la dervada de la fucó de desdad. Los esmadores de po úcleo (o kerel) fuero dseñados para superar esas dfculades. La dea orgal es basae agua y se remoa a los rabaos de Rosebla y Parze e los años y prmeros 6. Los esmadores kerel so, s duda, los más ulzados y meor esudados e la eoría o paramérca. Dada ua m.a.s. co desdad f, esmamos dcha desdad e u puo por medo del esmador fˆ h ( ) h dode h es ua sucesó de parámeros de suavzado, llamados veaas o ampludes de bada (wdows, badwdhs) ue debe eder a cero leamee" ( h, h ) para poder asegurar ue fˆ ede a la verdadera desdad f de las varables y K es ua fucó ue cumple K. Por eemplo: Núcleo gaussao: e u π Núcleo Epaechkov : 3 4 ( u ) I u < Oras fucoes úcleo ue se ulza para esmar la desdad so: Núcleo Tragular: ( u ) I u < Núcleo Uforme: I u < Núcleo Bwegh: 6 ( u ) I u < Núcleo Trwegh: 3 3 ( u ) I u <

4 dode I es la fucó ue vale s u < y s u u < Para elegr la veaa h podemos segur la sguee regla 3 π s h δ 8 Dode es el amaño de la muesra s ( ) K δ depede del úcleo K, y se calcula como: K ( ) d ( u K( ) d) Por eemplo: δ K Eemplo S K es el úcleo gaussao, eoces δ K 4π S K es el úcleo Epaechkov, eoces ( ) Nuesra muesra es:,,6,9 4,,7 4,6,4,9,4, Su desvacó ípca es s, 87, ulzado ua fucó úcleo de Epaechkov, la veaa h será: 3 ( ) h π, Hacemos ua grlla para ue va desde -, a,6 co puos sem-espacados: -,,466667, ,, ,833333,7 3, , ,37 4, , δ K

5 Para cada calculamos K h : K h K h K 3 K 4 h h K K h 6 h K 7 h K 8 h K 9 h K h h -,,47864,47864,466667,33,748,963, ,736373,9949,33786,,3379, , , ,73,694493,493,833333, ,967,646387,984,4479,7,363776,7696,8739,7696,7794 3,966667,984,967,883 3, ,94394,469766, ,37, ,698648,4337 4, ,78843,6474,378,378,39699, ,746893,746893, ,386939,386939, Para cada se obee la esmacó de f y su represeacó gráfca: f ˆ ( ) h h : f() -,,894,466667,44, ,674,,8693, ,46377,833333,6476,7,8836 3,966667,9964 3, ,787 4,37, , ,69478, ,7467 6,89467

6 f(),3,,, f(),, Esmadores fucó úcleo y polomos locales La alerava o paramérca a los modelos de regresó, supoe ue Y m( ) + e dode m es ua fucó ue o se supoe cofada" dero de ua famla,. paramérca. Se raa de esmar m a parr de ua muesra ( ),Y ; ( ) Los esmadores úcleo esablece ue el peso de (, Y ) e la esmacó de m es Y (, ) h h fˆ( ) dode K() es ua fucó de desdad smérca (por eemplo, la ormal esádar) y f ˆ( ) es u esmador kerel de la desdad como el defdo e el aparado aeror., ) es, para cada, ua fucó de poderacó ue da mayor mporaca" a los ( valores de la varable auxlar ue esá cercaos a. Ua expresó alerava para, ) (, ) h h ( A parr de los pesos puede resolverse el problema de mímos cuadrados poderados sguee: m a, b ( Y ( a + b( )))

7 los parámeros así obedos depede de, porue los pesos ambé depede de, la reca de regresó localmee ausada alrededor de sería : l ( ) a( ) + b( )( ) Y la esmacó de la fucó e el puo e dode mˆ ( ) l ( ) a( ) Las fucoes úcleo usadas e la esmacó o paramérca de la regresó so las msmas ue e la desdad. S se geeralza al ause local de regresoes polómcas de mayor grado, es decr s preedemos esmar ua forma leal del po: β + β + β + + β co la salvedad de ue e vez del valor valor ( ) e la regresó leal múlple se ulza el. El esmador de polomos locales de grado asgado los pesos obedos medae la fucó úcleo se resuelve el sguee problema de regresó polómca poderada: m β.. β ( Y ( β + β ( ) + + β ( ) ) Los parámeros β ˆ ( ) β ˆ depede del puo e dode se realza la esmacó, y el polomo ausado localmee alrededor de sería: P, ( ) ˆβ ( ) Sedo m() el valor de dcho polomo esmado e el puo e dode : mˆ P, βˆ. ( ) ( ) ( ) o E el caso parcular del ause de u polomo de grado cero, se obee el esmador de Nadaraya aso, o esmador úcleo de la regresó: mˆ K ( ) Eemplo Y h h (, ) Y Dspoemos del sguee couo de daos relavos a 63 persoas co su edad y su ídce de masa corporal (relacó ere peso y alura):

8 Idce de masa corporal Edad Se va a obeer el esmador úcleo de la regresó: Y h mˆ K ( ) h Dode es la edad de cada dvduo e Y su masa corporal, va ha ulzarse ua fucó úcleo de Epaechkov, cuyo acho de veaa sería: 3 h : ( ) ( ) π s π 6,4 6 4, Para cada edad ( ) calculamos h K 6 6 h h h h h h h h K h h h,,,,, ,,,,,..,738,,,, ,,,,,..,37493,,, 3, ,,,,,..,833,,, 4, ,,,,,..,77836,,, 4,77744,,738,,,..,7,,, 4, ,,37493,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,..,,,, 3,989..,,,,, ,,,,, ,,,,,744..,,,,, ,,,,,7383 Para cada edad ( ) calculamos h Y :

9 Y 3 4 Y Y Y 3 4 Y Y 9 Y 6 Y Y 6 6 Y 6 Y h h h h h h h h h h h,,,, 6,,,,,.. 4,49969,,, 7,,,,,.., ,9736,,, 8,,,,,.., ,34969,,, 9,,,,,.., ,748783,,,,,396,,,.. 9,3499 3,86796,,,, 6, ,,,..,73 3, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,..,,,, 9, ,,,, 69,767..,,,, 48,9776..,,,, 9,8..,,,, 4, ,,,,,63476 E la fgura sguee se represea el esmador mˆ ( x) obedo: Idce de masa corporal Edad Defda la marz.... ( ) ( ) ( ) ( ) Y defdos los vecores Y ( Y Y ), ε ( ε ε ) de pesos, β ( β β ). Se calcula la marz

10 (, ).. (, ). (, ) Habría ue esmar por mímos cuadrados geeralzados el modelo solucó es: ˆ β ( ) ( ) Y Puede omar los pesos: h (, ) h o (, ) h Eemplo Y β + ε, cuya Ulzado los daos de edades e ídces de masas corporales, e lbro excel Esmador fucó úcleo.xls hoa de cálculo,, se ha realzado u eercco para obeer u esmador de polomo local a ua fucó úcleo de úcleo de Epaechkov, s se desea obeer el esmador para ua edad de 6 años (6); la marz 6 uedaría: cosae ( 6 ) ( 6 )

11 Los pesos 6, ) sería: ( 6, ),7783. ( La marz 66 6 uedaría 66 6,669,347,896,347,896.6,44,896 6,44 7,8 ˆ β (6) : Y el esmador ( ) Y ˆβ (6),96,, Es esmador del dce de masa corporal para la edad de 6 años sería: mˆ 6 ˆ β 6, ( ) ( ) 96 o Eleccó del parámero de suavzado El esmador del parámero de suavzado h ee ua mporaca crucal e el aspeco y propedades del esmador de fucó de regresó. Valores peueños de h da mayor flexbldad al esmador y le perme acercarse a odos los daos observados, pero orga alos errores de predccó (sobre-esmacó), valores mas alos de h ofrecerá u meor grado de auses a los daos pero predcca meor, pero s h es demasado elevado edremos ua fala de ause a los daos (sub-esmacño). S la cadad de daos de ue dspoemos lo perme, lo habual es obeer dos muesras ua para la esmacó del modelo (muesra de ereameo) y ora muesra para predecr (muesra de es). E ese caso ua medda de caldad del paramero h de suavzado es el error cuadráco medo de la poblacó de la muesra de es: ECMP es ( h) ( Y mˆ ( )),,

12 Dode ( Y ), es la muesra es y mˆ ( ),,,, es el esmador o paramérco cosrudo co la muesra de ereameo. El valor h ue mmce dcho error sería el parámero de suavzacó elegdo. S o de puede dspoer de ua muesra de es, la alerava cosse e sacar de la muesra cosecuvamee cada ua de las observacoes, y esmar el modelo co los resaes daos y predecr el dao ausee co el esmador obedo, para después calcular el error de predccó. Se cosruye eoces la sguee medda del error de predccó (valdacó cruzada) para cada h: ECMPCV ( h) ( Y mˆ ( )) Dode mˆ ( ) es el esmador obedo al exclur la observacó -esma. El valor h ue mmce dcho error de valdacó cruzada sería el parámero de suavzacó elegdo. Teedo presee ue el valor ue predecmos Yˆ o dea de ser ua combacó leal de los valores observados: Y ˆ ˆ β Y ( ) SY Sedo S ( ) ( ), se ombra s. Dado ue:, marz ue se deoma de suavzado cuyo elemeo Y Yˆ ECMP CV ( h) s o es ecesaro ausar las regresoes o paramércas, so ue vasa co evaluar odos los daos y aoar los valores de la dagoal prcpal de la marz S. Ua modfcacó de la fucó aeror (Valdacó cruzada geeralzada) perme obeer u esmador de la varaza de los errores del modelo: ECMP GCV ( h) Y Yˆ v Dode v Traza( S ) Eoces: ˆ σ ECMP GCV ( h) ε v Y ( Y Y ) ˆ ˆ ε v σ s

13 Bblografía Isabel Cañee: Esmadores de desdad basados e úcleos: cómo hallarlos e la prácca. 4. hp:// Pedro Delcado: Curso de Modelos o Paramércos. Deparame desadísca Ivesgacó Operava.Uversa Polécca de Caaluya. 4 de sepembre de 8 hp://www-eo.upc.es/~delcado/doceca/apues_models_no_paramercs.pdf

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