El campo de las cargas en reposo. El campo electrostático.

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Nicolás Botella Godoy
hace 6 años
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1 El campo de las cargas en reposo. El campo electrostático. Introducción. Propiedades diferenciales del campo electrostático. Propiedades integrales del campo electromagnético. Teorema de Gauss. El potencial electrostático. Ecuaciones del potencial. La condición de equilibrio para conductores homogéneos y sus consecuencias.

2 Campo eléctrico Ley de Coulomb, acción a distancia, influencia local, concepto de campo Problema del autocampo Definición de campo eléctrico debido a una distribución de carga ~E(~r) = 1 Z Z Z V ρ(~r 0 )(~r ~r 0 ) ~r ~r 0 3 d 3 ~r 0

3 Ejemplo: hallar el campo eléctrico producido por un anillo de radio R cargado con carga Q sobre el eje z Camino intuitivo de = 1 λds r 2 = 1 E z = 1 q cos θ z 2 + R 2 = 1 λds z 2 + R 2 qz [z 2 + R 2 ] 3/2 Camino formal ρ(~r 0 )=λδ(r 0 R)δ(z 0 ) ~r ~r 0 = z~u z R cos θ~u x R sin θ~u y ~r ~r 0 = p z 2 + R 2 E z = 1 Z λδ(r 0 R)δ(z 0 )zr 0 dr 0 dφdz 0 [z 2 + R 2 ] 3/2

4 Líneas de campo

5 Teorema de Gauss La evaluación del campo eléctrico parece complicada incluso en problema sencillos Si hay simetría puede aprovecharse ésta para la determinación del campo eléctrico mediante el teorema de Gauss, que en su forma integral I nos dice que: ~E(~r) d S(~r) ~ = q ε 0 S es una superficie cerrada (real o imaginaria) y q la carga total encerrada

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Uno de los matemáticos

en las áreas: Geometría no euclidiana y diferencial Estadística

6 Johann Carl Friedrich Gauss ( ) Uno de los matemáticos más grandes de la historia Publicó sus trabajos más importantes en las áreas: Geometría no euclidiana y diferencial Estadística (incluyendo mínimos cuadrados) Teoría del potencial Magnetismo terrestre

7 Flujo del campo eléctrico El flujo es proporcional al número de líneas de campo que atraviesa una superficie determinada Φ E = X AE cos θ En forma vectorial, Φ E = X ~ A ~E La integral sobre una superficie cerrada es: Φ E = I ~E d ~A

8 Ángulo plano y ángulo sólido circunferencia de radio r=1 superficie esférica de radio r=1 α Ω α = l r α T =2π Ω = S r 2 Ω T =4π

9 Ángulo sólido Ω = A cos θ r 2 = Aˆn ˆr r 2

10 Demostración del T. Gauss Φ E = I ~E(~r) d ~ S = 1 I Z Z Z ρ(~r 0 )(~r ~r 0 ) d 3 ~r 0 d S ~r ~r 0 ~ 3 Intercambiando la integral de superficie por la de volumen, Φ E = 1 Z Z Z " I (~r ~r 0 ) d S(~r) ~ # ~r ~r 0 3 ρ(~r 0 )d 3 ~r 0 Φ E = 1 Z Z Z dω(~r 0 )ρ(~r 0 )d 3 ~r 0

11 Si no hay cargas Φ E =0 Cuál es el flujo a través de cada superficie cerrada? S 1? S 2? S 3? S 4?

12 Carga puntual Superficie esférica de radio r que encierra una carga q en el origen Calculemos el flujo a través de la esfera Φ E = H ~ E d ~ S Φ E = H EdS = E H ds Generalicemos a cualquier superficie q ε 0 = E4πr 2 E = 1 q r 2

13 Hilo indefinido Φ E = q ε 0 = λl ε 0 = E2πrl E = 1 λ 2πε 0 r

14 Plano indefinido Flujo a través de la superficie del cilindro Φ E = σa ε 0 =2EA Campo en la superficie del plano aislante E = σ 2ε 0

15 Forma diferencial del teorema de Gauss I ~E d~s = 1 ε 0 Z ρd 3 ~r Z ~ ~Ed 3 ~r = 1 ε 0 Z ρd 3 ~r ~ ~ E(~r) = ρ(~r) ε 0

16 Campo gravitatorio y electrostático Fuerza entre dos masas F G = G mm r 2 Campo gravitatorio Fuerza entre dos cargas F C = K qq r 2 Campo eléctrico ~F g = m~g ~ Fe = q ~ E Trabajo como diferencia de energía potencial (gravitatoria o electrostática) Z f Z f W if = W if = iz f i ~F ~ds = m ~F ~ds = q i Z f i ~g ~ds = U = U i U f ~E ~ds = U = U i U f

17 Potencial eléctrico Se define el potencial eléctrico como la energía potencial por unidad de carga, i.e. V = U q W = R f i ~F d~s = q 0 R f i ~E d~s = U De la definición de potencial, En forma diferencial, V = V f V i = R f i ~E ~ds dv = ~ E ~ ds = Edscos θ = E s ds Por lo tanto E s = dv ds ~E = ~ V

18 Superficies equipotenciales Dado que cuando E y ds son perpendiculares no hay variación de potencial, las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo.

19 El campo y el potencial De la expresión del campo eléctrico en términos del potencial, ~E = ~ V ~ ~ E =0 se deduce que el campo electrostático (el de las cargas en reposo) es irrotacional. Esto, en términos integrales indica que la circulación del campo eléctrico es nula, sea cual sea la trayectoria: I ~E d ~ l =0 El principio de superposición de aplica de forma más conveniente al potencial ~E = ~ E 1 + ~ E 2 + = ~ V 1 ~ V 2... ~E = ~ (V 1 + V )

20 Expresión integral para V ~E(~r) = 1 Z Z Z ρ(~r 0 )(~r ~r 0 ) ~r ~r 0 3 d 3 ~r 0 Pero ~r ~r 0 ~r ~r 0 = ~ ~r ~r 0 = ~ 1 ~r ~r 0 Luego 1 ~E(~r) = Z Z Z ρ(~r 0 ) ~r ~r 0 d3 ~r 0 Por tanto V (~r) = 1 Z Z Z ρ(~r 0 ) ~r ~r 0 d3 ~r 0

21 Ecuaciones de Poisson y Laplace De la ley de Gauss, ~ ~E = ρ ε 0 y la definición en términos del potencial ~E = ~ V Ecuación de Poisson Ecuación de Laplace V = ρ ε 0 V =0

22 Conductores (perfectos) El campo es cero en el interior del conductor Las cargas en un conductor están en la superficie La superficie de un conductor es una superficie equipotencial: el campo eléctrico es perpendicular a la superficie de un conductor En regiones con más curvatura hay más acumulación de carga

23 Campo eléctrico en la superficie de un conductor El flujo a través del cilindro de la figura es Φ E = σa ε 0 = EA por el teorema de Gauss, luego el campo en la superficie del conductor es: E = σ ε 0

24 Fuerza sobre la superficie de un conductor cargado El campo sobre la superficie del conductor (fuera del conductor) sabemos que vale E a = σ ε 0 por el teorema de Gauss, mientras que el campo en el interior es nulo, Eb =0 La fuerza sobre un elemento de carga es fds = σdse El campo en a y b lo podemos escribir como E a = E resto + σ 2ε 0 E b = E resto σ 2ε 0 La densidad de fuerza sobre la superficie de un conductor cargado es: f = σ2 2ε 0

25 Cargas inducidas Al introducirse una carga q dentro de una superficie conductora hueca, debe inducirse una carga en la superficie interna del conductor de manera que se anule el campo en el volumen del mismo.

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