Colegio de Bachilleres Plantel No. 15 Contreras Guía de Estudio para presentar Examen de Evaluación de Recuperación 2015B

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1 Colegio de Bhilleres Plntel No. 5 Contrers Guí de Estudio pr presentr Emen de Evluión de Reuperión 05B Elborr en hojs blns mno solo los ejeriios propuestos, indindo pr d serie l págin de los mismos. Entregr on nombre del lumno, mteri engrpdo (sin folder).

2 . Estudio nlítio de un segmento retilíneo en el Plno Crtesino Y - Distni entre dos puntos P, ) L distni d entre dos puntos ( ) P P, ) es, d = ) ( ( ) ( + P (, ) d ( X Por ejemplo, l distni entre los puntos (, ) (6, ) es: d = 5 ( 6 ) + ( + ) = + = 5 = uniddes EJERCICIOS PROPUESTOS. En los siguientes inisos enuentr l distni entre d pr de puntos. Pr d segmento trz su gráfi en un plno rtesino. ) (, ) (6, 0) b) (, 5) (, ) ) (, ) (9, 7) d) (8, 7) (, 5) e) (, ) (, 5). Comprueb que el triángulo uos vérties son A(, ), B(, ) C(, ) tiene un perímetro igul u.. Demuestr que es isóseles el triángulo que tiene por vérties A(, ), B(, ) C(, ).. Trz el udrilátero uos vérties son: (, ), (, 5), (, 5) (, ). Clul ls longitudes de sus digonles omprueb que ells son igules. 5. Trz el triángulo de vérties A(, ), B(0, 6) C(, ); dibújle ls medins lul sus longitudes. Reuerd que ls fórmuls pr lulr ls oordends del punto medio de un segmento son: Respuests: m m + = + =. ) 5 b) 9 ) 0 d) e) 0. d = 5, d =, d =, por lo tnto el perímetro es de uniddes. AB BC AC 9

3 5. D(, ) punto medio de AB; E(, ) punto medio de BC; F(, 0) punto medio de CA d = 5 ; d = 7 ; = 5 AE BF d CD - Ángulo de inlinión del segmento onepto de pendiente Se llm ángulo de inlinión (θ), o simplemente inlinión de un ret l ángulo positivo más pequeño que form l direión positiv de est ret on l prte positiv del eje X. Por onsiguiente, l inlinión de un ret es un ángulo que está entre 0º 80º. L tngente trigonométri de l inlinión es l pendiente de l ret, m = tgθ = ; P (, ) ulesquier que sen los udrntes en los que estén situdos los puntos P P. Si dos rets son prlels, sus pendientes son igules. Si dos rets L L son perpendiulres, l pendiente de un de ells es igul l reíproo de l pendiente de l otr on signo ontrrio. Esto es, llmndo m l Y θ O P (, ) θ X pendiente de L m l de L se tiene m =, o bien, m m =. m EJERCICIOS RESUELTOS. Hll l pendiente de l ret que ps por los puntos (5, 6) (, ). Soluión: 6 m = = = Obtén l inlinión de l ret que ps por los puntos (, 5) (7, ). 5 8 Soluión: m = = = luego θ = ng tg ( ), por tnto θ=5º

4 . Prueb que l ret que ps por los puntos (, 5) (6, ) es prlel l ret que ps por (, ) (5, ) Soluión: m = = m = = omo m = m, luego ls rets son prlels.. Demuestr que el triángulo uos vérties son A(5, ), B(, ) C(, 0) es retángulo. Soluión: Denotndo por m, m m ls pendientes respetivs de AB, BC AC, + se tiene: m = = 7 ; 5 0 m = = ; m 0 + = = 5 Como =. Entones BC AC son perpendiulres por onsiguiente el triángulo es retángulo en C. EJERCICIOS PROPUESTOS. Clul el ángulo de inlinión θ, de los segmentos determindos por d uno de los pres de puntos que se dn: ) P (, ) P (5, ) b) P (, ) P (, ) ) P (5, ) P (5, ). Los vérties de un triángulo son A(, ), B(, ) C(7, 6), lul l pendiente de d uno de sus ldos.. Un ret de pendiente ps por el punto P(6, ). Si l bsis de otro de sus puntos es, hll su orrespondiente ordend.. Demuestr que el udrilátero uos vérties son: A(, ), B(, ), C(7, ) D(0, 5) es un trpeio. Reuerd que un trpeio es un udrilátero on sólo un pr de ldos prlelos. Cómo son ls pendientes de rets prlels? 5. Demuestr, plindo el onepto de pendiente, que los puntos A(8, 6), B(, 8) C(, ) son los vérties de u triángulo retángulo. Respuests:. ) θ = 5º b) θ = 5º ) θ = 90º. m AB =, 5 7 m BC =,. Ordend igul 5. m AC =

5 - División de un segmento en un rzón dd Consideremos los puntos P, ) P, ) l ret que determinn. Se ( ( P P P (, ) un terer punto que divid l segmento en l rzón = r PP. Como P P PP son del mismo sentido, dih rzón es positiv. Si el punto de división P(, ) estuvier situdo en l prolongión del segmento, uno u otro ldo del mismo, l P P rzón = r serí negtiv, que PP P P PP tendrín sentidos opuestos. Teniendo en uent los triángulos semejntes de l figur, P M PN P P = = PP = r Despejndo, de = r = r( ) = r r + r = r + ( + r) = + r + r Análogmente, =. + r + r = + r. Si P(, ) es el punto medio del segmento P P, r = + =, + =. Y P (, ) P (, ) P(, ) O X

6 EJERCICIOS RESUELTOS. Hll ls oordends de un punto P(, ) que divid l segmento determindo por P (,7 ) P (6, ) en l rzón r =. Soluión: Como l rzón es positiv, P P PP son del mismo sentido, por tnto, el punto P (, ) está situdo entre los puntos ddos etremos del segmento. r P P = PP = + (6) 7 + ( ) + r r = = = = = 7 5 = = = = = + r r El punto busdo es (, ).. Hll ls oordends de un punto P (, ) que divid l segmento determindo por P (,) P (, ) en l rzón Soluión: Como l rzón es negtiv, 8 r = P P PP son de sentido opuesto, on lo que el punto P (, ) será eterior l segmento P P. P P 8 r = = PP = + r + r = ( ) = 8 0 = = r = + r 8 + = 8 + ( ) + = 5 = 5 5 Por lo que el punto busdo es (6, 7). 5 = = 7 5. El etremo de un diámetro de un irunfereni de entro P = (,) es P = (,6). Hll ls oordends P (, ) del otro etremo.

7 Soluión: P P r = = omo P P PP son de sentido opuesto, l rzón r es negtiv. PP = + r + r = + + ( ) = 0 = + r + r + = + ( 6) = EJERCICIOS PROPUESTOS. Hll ls oordends de un punto P(, ) que divid l segmento que determinn P =, ) P =, ) en l rzón ) ) ( ( P (, ), P (,), r = b) P (,), P (, ), r = d) 5 P P PP r =. P ( 5,), P (, ), r = P ( 0,), P (7,), r =. Sbiendo que el punto (9, ) divide l segmento que determinn los puntos P (6,8) P (, ) en l rzón r =, Hll ls oordends de P. 7. El segmento que une el punto A(, ) on el punto B(, ); se prolong hst C. Sbiendo que BC = AB, determin ls oordends del punto C. Respuests: 5. ),, b),, ), 7 7. (6, ).. C(8, 5) 7 d), Estudio nlítio de lgunos lugres geométrios en el Plno Crtesino LOS DOS PROBLEMAS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA SON:. Dd un euión, hllr el lugr geométrio que represent.. Ddo un lugr geométrio definido por determinds ondiiones, hllr su euión mtemáti.

8 LUGAR GEOMÉTRICO o gráfi de un euión de dos vribles es un líne, ret o urv, que ontiene todos los puntos, solo ellos, us oordends stisfen l euión dd. El primer problem de l Geometrí Anlíti, que bmos de menionr, es que dd l euión de un lugr geométrio onstruir l gráfi que orresponde diho lugr. Se proede en primer término elborr un tbl, signndo vlores rbitrrios un de ls vribles pr obtener, de este modo, el vlor o vlores de l otr. Elbord l tbl, se sitún los puntos que tienen l propiedd omún epresd por l euión se unen por un ret o urv si proede. De est mner, se tiene l gráfi del lugr geométrio de l euión dd. Tmbién es importnte lulr ls interseiones on los ejes, que son ls distnis (positivs o negtivs) desde el origen hst los puntos en los que l líne del lugr ort los ejes oordendos. Pr lulr l interseión on el eje se he = 0 en l euión dd se despej l vrible. De igul mner, pr obtener l interseión on el eje, se he = 0 se despej. EJERCICIOS RESUELTOS Represent Gráfimente el lugr geométrio de ls euiones siguientes:. = + Tbl, ( 0,) Vemos ls interseiones on los ejes. El lugr geométrio es un ret Si = 0 entones = (0) + esto impli que =, es deir, el punto de interseión on el eje es en el punto ( 0,). 5

9 Si = 0 entones + = 0 esto impli que de interseión on el eje es el punto, 0. ) = + =, =, es deir, el punto Interseiones on los ejes: El lugr geométrio es un prábol Si = 0, = 0 + (0); = 0, esto nos indi que l prábol interse los ejes en el origen. Si = 0, + = 0; ( + ) = 0; esto es, = 0 =. EJERCICIOS PROPUESTOS Construe ls gráfis de ls euiones siguientes: ) = + 5 ) + = ) 6 6 = 0 Respuests: ) Ret ) Ret ) Prábol El otro problem fundmentl de l Geometrí Anlíti onsiste en enontrr l euión del lugr geométrio, que orresponde un serie de puntos que tienen un propiedd omún. EJERCICIOS RESUELTOS ) Hll l euión del lugr geométrio de los puntos equidistntes de A (,) B (, ). Soluión: Se ( ) Tbl P, el punto móvil. 6

10 El lugr geométrio del punto debe umplir l ondiión PA = PB, es deir, Elevndo l udrdo mbos miembros ( + ) + ( ) = ( ) + ( + ) ( + ) + ( ) = ( ) + ( + ) Desrrollndo simplifindo result: = 0 Est es l euión de l meditriz del segmento que une los puntos ddos. ) Obtén el lugr geométrio de los puntos ( ) C (, ) se igul 5. Distni = 5 PC, es deir, ( ) + ( + ) = 5 Elevndo l udrdo tenemos ( ) + ( + ) = 5 Desrrollndo = 5 Simplifindo = 0 P, u distni l punto fijo Este lugr geométrio es un irunfereni de entro (, ) de rdio 5. EJERCICIOS PROPUESTOS. Enuentr l euión de l irunfereni on entro (0, ) rdio.. Un punto se mueve de tl mner que sus distnis los puntos A(5, ) B(, ) es siempre onstnte. Obtén l euión del lugr geométrio de diho punto.. Hll l euión del lugr geométrio de los puntos P(, ) Respuests: equidistntes del punto fijo f(, ) del eje = 0. = = 0 7

11 UNIDAD LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA Propósitos: Refirmr el onoimiento del método de l Geometrí Anlíti, enontrndo euiones de rets, vnzr en l soluión nlíti de problems fines. RECTA Definiión. Es el lugr geométrio de todos los puntos P (, ) tles que si tommos l zr dos puntos P (, ) P (, ) el vlor de m = siempre permnee onstnte. PENDIENTE Se define l pendiente de un ret omo l tngente del ángulo de inlinión. Y se design por l letr m PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Dos rets on pendientes m m son prlels, sí m = m Dos rets on pendientes m m son perpendiulres, sí m m = es deir: m = m ECUACIÓN DE LA RECTA PUNTO - PENDIENTE Ddo que se onoe un punto el vlor de l pendiente obtenemos: = m( ) m = despejndo L euión de l ret de l form punto pendiente 8

12 Requisitos pr obtener l euión de un ret.. Pendiente. Un punto Ejemplo Clul l euión de l ret que ps por los puntos A(, ), B (, ) Primero. Grfiremos l ret Ordemd l origen Absis l origen Segundo. Clulremos l pendiente de l ret m = m = = = Terero Clulmos l euión de l ret utilizndo l euión punto pendiente Tomndo l pendiente luld ulquier de los dos puntos 9

13 6 = = ( = ( ( )) ( ) = ( + ) m Simplifindo ordenndo tenemos +8 =0 + ) Ángulo de inlinión de l ret Si l pendiente es igul L tngente será igul = 0.66 Su ángulo de inlinión será α = ng tn 0.66 =. = 5'9 ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA SIMÉTRICA Con los dtos de l ret nterior. Pr obtener l euión de l ret en su form simétri se tiene que lulr ls oordends l origen de l ret. Así si l ret es: + 8 =0 Pr lulr ls oordends l origen reurrimos ls siguientes euiones Absis l origen 8 = = = l oordend será (, 0) A Ordend l origen b = B = = l oordend será (0, ) 0

14 ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA SIMÉTRICA + b = Con los dtos nteriores tendremos que: + 8 = 8 simplifindo + = RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Si queremos lulr ls euiones de ls rets perpendiulres prlels l ret dd. Ejemplo Queremos l euión de l ret prlel perpendiulr l ret L 5 + =0 que psen por el punto P(,7) Obtenemos l pendiente de l ret dd m = A B 5 = = 5 Como ls rets prlels tienen l mism pendiente, l pendiente de l ret 5 prlel (L ) l ret 5 +=0 es m = Como sbemos que l ret prlel ps por el punto P (, ) utilizmos l euión Pendiente Punto pr obtener l euión de l ret prlel en su form generl = m( ) 5 + = ( ) ( + ) = 5( ) ret prlel 5 6 = 0

15 L euión de l ret perpendiulr l ret dd Pendiente de l ret perpendiulr es invers negtiv Así que m = 5 Y queremos que pse por el punto P (, ) = m( ) + = ( ) 5 5( + ) = ( ) ret perpendiulr = 0 Ejeriios.- Grfi enuentr l euión de l ret que: ) Ps por el punto (,5) tiene pendiente m=. b) Ps por ( 6, ) tiene un ángulo de inlinión de 5. ) Su pendiente m = su interseión on el eje Y es. d) Ps por los puntos (,) ( 5,7). e) Su interseión on X es en on Y en. Soluiones: ) +=0, b) +=0, ) ++=0, d) =0, e) 6=0.. En d uno de los siguientes inisos, enuentr: L pendiente de l ret. El ángulo de inlinión de l ret que determinn los dos puntos, hg el dibujo. ) (, ), (, 6) b) (0,0), ( 6,7) ) (, 5), (6,) d) (,7), (, 5) e) (, 6), ( 7, 6) f) (, ), (,)

16 -Demuestr que los triángulos ddos por ls oordends de sus vérties son retángulos. ) H(0,9), P(, ), T(,) b) L(,8), D( 6,), R(0,).-Hll l euión simétri de l ret que ps por los puntos C (, ) D (, 6). (Soluión: + = ). 5.-Enuni l ondiión de prlelismo enuentr l euión de l ret que ps por el punto R( 6,) es prlel l ret que determinn los puntos N(,6) G(, 7). (Soluión: = 0) 6.-D l ondiión pr que dos rets sen perpendiulres enuentr l euión de l meditriz del segmento A(, 8 ) B(, 5 ). (Soluión: 7 + = 0) 7.-Hll l euión de l meditriz del segmento que los ejes oordendos determinn en l ret u euión es = 0 (Soluión: 5 9 = 0) 8.-Hll el áre del triángulo retángulo formdo por los ejes oordendos l ret que tiene omo euión 5++0=0. (Soluión: A = 0 u ) 9.-Hll l euión de l ret que tiene omo pendiente m = ps por el punto de interseión de ls rets + 8 = 0 +9 = 0. (Soluión: + 0=0) 0.-En el triángulo de vérties A (,), B (,7) C (6, ). Hll: Soluiones: ) Ls euiones de sus ldos. b) L euión de l ret que ps por A es prlel l ldo BC. ) Ls euiones de ls medins su punto de interseión, llmdo Brientro. d) Ls euiones de sus meditries su punto de interseión llmdo Cirunentro. ) AB: +=0, BC: 5+ 7=0, AC: +=0. b) 5++9=0. ) (8/, 5/). d) (0/,5/).

17 UNIDAD CIRCUNFERENCIA, ELIPSE Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS Propósitos: Refirmr el método nlítio l obtener euiones de l elipse l irunfereni enontrndo euiones de irunfereni elipse mplindo el onoimiento de urvs l soluión nlíti de problems eulidinos. CIRCUNFERENCIA Definiión Es el lugr geométrio de un punto que se mueve en el plno de tl mner que su distni un punto fijo es siempre onstnte. El punto fijo es el entro de l irunfereni l distni onstnte se llm rdio. Euión Ordinri de l Cirunfereni L euión de l irunfereni uo entro es el punto (h, k) uo rdio es l onstnte r es: Cálulo de l euión de l irunfereni Ejemplo Clul l euión de l irunfereni que ps por el punto (, 5 ) su entro se enuentr en el punto (, ) Pr lulr el rdio sustituimos el entro el punto por el que ps l irunfereni.

18 ( h) ( + ) = r 65 = r 65 = r + ( k) + (5 + ) = r = r Tomndo el vlor del rdio sustituimos el entro en l euión enontrmos l euión rtesin de l irunfereni ( h) ( + ) ( k) + ( + ) = r = ( 65) + + = 65 euión de l irunfereni en su form ordinri = 0 euión de l irunfereni en su form generl Ejeriios.- Hll l euión de l irunfereni que: ) Tiene su entro en C(, 5) su rdio es 7. b) Los etremos de uno de sus diámetros son los puntos (,) (,5) ) Su entro es el punto C(7, 6) ps por (,). d) Ps por los puntos (0,0), (,6), (7,0). e) Ps por los puntos (, ), (,), (,6). f) Ps por los puntos (, ), (0, 7), (, ). Soluiones: ) ( + ) + ( + 5 ) = 9; b) ( + ) + ( ) = 0; ) ( 7 ) + ( + 6 ) = 89; d) + 7 = 0; e) = 0; f) = 0 5

19 CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS DE LA CIRCUNFERENCIA EJEMPLO Clul el entro rdio de l irunfereni ( + ) = 0 divi dim os todo entre = 0 ordenmos ompletmo s udrdos ftorizmos + ( + ) = 0 por lo tn to C(, ) r = = = Ejeriios.-A prtir de l siguiente euión hll el entro rdio. Grfi l irunfereni, si eiste. ) = 0, b) = 0, ) = 0 (Soluiones: ) C (5/, /), r= ; b) Un punto P( /,/), r=0; ) No eiste el lugr geométrio. ).- Enuentr l euión de l tngente l irunfereni en el punto P(, 5) on entro en C(,). (Soluión: = 0).- Enuentr l euión de l ret tngente en el punto de tngeni P(,), l írulo on entro C(, ). (Soluión: + 7 = 0).- Hll l euión de l ret tngente l irunfereni = 0, en el punto de tngeni P(,5). (Soluión: = 0) 6

20 5.- Hll l euión de l ret tngente l irunfereni = 0, en el punto de tngeni P(5,). (Soluión: = 0) 6.- L euión de l irunfereni es ( ) + ( ) = 0. Hll l euión de l ret tngente este írulo en el punto de tngeni P(6,7). (Soluión: + 0 = 0) 7.- Hll l euión de l irunfereni de rdio 5 uo entro es el punto de interseión de ls rets = = 0. (Soluión: = 0 ) ELIPSE Definiión Es un lugr geométrio que desribe un punto que se mueve en un plno tl que l sum de sus distnis dos puntos fijos llmdos foos es siempre igul un onstnte. Prtes de l elipse. Ldo Reto Polo o ovértie Centro Ldo Reto 0 Eje Menor =b Vértie foos Eje Mor = Vértie 7

21 Euión generl de l elipse A + C + D + E + F = 0 Crterístis: A C Positivos Relión entre los prámetros de l elipse b F 0 F = b + Relión entre los prámetros de l elipse = b + 0 b 8

22 Ldo reto eentriidd 0 b L. L. R = e = Euión nóni de l elipse C (0,0) eje mor en el eje 0 + b = 9

23 0 Euión nóni de l elipse C(0,0) eje mor en el eje 0 = + b Euión nóni de l elipse C (h,k), eje mor prlelo l el eje b ) h ( ) k ( = + 0

24 Euión nóni de l elipse C (h,k), eje mor prlelo l el eje 0 ( h ) + ( k b ) = Ejemplo. Clul l euión de l elipse si sus vérties se enuentrn en ls oordends (,7 ) (, ) l longitud de su ldo reto es Como los vérties se enuentrn sobre el eje fol ls oordends se repiten el eje fol es prlelo l eje por lo tnto l euión que utilizremos será ( h) b ( k) + El entro es el punto medio entre los dos vérties por lo tnto C(,) L distni entre los dos vérties es igul 8 esto es igul l longitud del eje mor de tl form que : = 8, =, = 6 = Si l longitud del ldo reto es igul = 8 b = Por lo tnto l euión de l elipse en su form ordinri será b b = omo = ( + ) ( ) + 6 =

25 Ejeriios.- Enuentr l euión de l elipse que: ) Tiene sus vérties en los puntos (,0) (,0) sus foos en (,0) (,0). b) Tiene sus vérties en los puntos (0,6) (0, 6) sus foos (0,) (0, ). ) Sus foos son (,0) (,0) su eentriidd es /. d) Tiene sus foos en (,8) (,) l longitud de su eje mor es 0. e) Sus vérties son (, ) (5, ) su eentriidd es ¾. f) Sus vérties son (,6) (, ) l longitud de su ldo reto es. Soluiones: ) + = 6 7 ; b) + = 0 6 ; ) + = 9 5 ; d) = 0; e) = 0; f) = 0..- Cuáles de ls siguientes euiones tienen omo gráfi un elipse: ) = 0 b) + 6 = 0 ) + = 0 d) = 0 e) + 8 = 0 f) = 0 ( ) ( + ) g) + = h) + = 9 6 ( + ) ( + 6) i) = j) ( + ) + ( ) = ( + ) ( ) k) + = l) = Soluión:, b, f, g, h, k.- De ls siguientes euiones que tienen omo gráfi un elipse, uáles son elipses horizontles uáles son vertiles. ( ) ( ) ) + = 6 ( ) ( ) b) = 6

26 ( + ) ( + 6) ( ) ) = d) ( ) + = e) ( ) + = 6 f) + = g) + + = 0 h) = 0 i) = 0 j) + 6 = 0 Respuests: Horizontl: b,, f, g, i, j Vertil:, d, e, h.- Pr d un de ls siguientes elipses enuentr: Ls oordends del entro L medid del eje mor L medid del eje menor ( ) ( + ) ) + = 6 ( ) ( + 8) ) + = 5 ( + ) ( ) b) + = 9 6 ( + ) d) ( ) + = e) + = 6 f) + ( + ) = ( 5) g) + = 6 Respuests: Coordend del entro Eje mor Eje menor ) (, ) 8 b) (, ) 8 6 ) (, 8) 0 d) (, ) e) (0, 0) 8 f) (0, ) g) (5, 0) h) (, ) 6.9 i) (0, ) j) (, )

27 UNIDAD 5 LA PARÁBOLA Y SU ECUACION CARTESIANA Propósitos: Consolidr el mnejo de los métodos nlítios trvés del estudio de l euión de l prábol. Avnzr en el reonoimiento de forms, estruturs proedimientos, l resolver diversos problems que involuren tnto l prábol omo otros lugres geométrios vistos. Definiión: Lugr geométrio de los puntos que equidistn de un punto llmdo foo F de un ret fij r llmd diretriz. Culquier punto P de l prábol umple: d (P, F ) = d (P, r ) Elementos de un prábol Eje de simetrí ldo reto P F Vértie Diretriz Euiones de l prábol Ver tems de geometrí Anlíti pgs Swokowski

28 Euión Ordinri de l prábol on sus elementos Euión Gráfi Eje de simetrí Foo diretriz ( h) = p( k) = h ( h, k + p) = k p ( h) = p( k) = h ( h, k p) = k + p ( k) = p( h) = k ( h+ p, k ) = h p ( k) = p( h) = k ( h p, k ) = h + p 5

29 EJERCICIOS. Cuáles de ls siguientes euiones tienen omo gráfi un prábol? ) = 0 k) = 8 b) + 6 = 0 l) = 6( ) d) + = 0 m) = 8 e) + + = 0 n) = f) ( ) + ( + ) = 5 o) = + h) + = 6 p) = 5 i) ( ) = 5( + ) ( ) ( + ) j) + = 9 Respuest: d, e. g, i, k, l, n, p. De ls siguientes euiones que tienen omo gráfi un prábol, Cuáles son prábols horizontles ules son vertiles? ) ( ) = 8( ) k) = + b) ( ) = ( + ) l) = 5 ) ( + ) = 6( + 5) m) = + 6 d) ( + ) = 6( ) n) = 8 e) = 0 f) + = 0 g) = 0 h) + 6 = 0 I) = ( + ) j) ( 5) = Respuest: Vertiles:,, e, f, j, k, l Horizontles: b, d, g, h, i, m, n 6

30 . De ls siguientes euiones que tienen omo gráfi un prábol vertil, Cuáles se bren hi rrib ules hi bjo? ) ( ) = ( 6) m) = + 8 b) ( ) = ( + 6) n) ) ( + 6) = ( 5) o) u = ( ) + 6 d) = ( + 5) p) = ( + 5) e) = 6 f) ( + ) = 5 g) ( 8) = h) ( 8) = ( + ) i) + = 0 j) + 8 = 0 k) + + = 0 l) 6 = 0 Respuest: bren hi rrib:,, g, h, i, j, l, m, o Abren hi bjo: b, d, e, f, k, n, p. De ls siguientes euiones que tienen omo gráfi un prábol horizontl Cuáles bren hi l dereh ules hi l izquierd? ) ( + ) = 5( 8) l) = b) = 6 m) = ( ) + ) ( + ) = n) = ( ) d) ( 5) = 7( + ) o) = ( + ) + e) = 6( + ) f) g) + = ( 5) ( ) = ( + 6) h) = 0 i) = 0 j) = 0 k) + 5 = 0 Respuest: bren hi l dereh:, b,, f, g, i, k, l, n Abren hi l izquierd: d, e, h, j, m, o 7

31 5. De d un de ls siguiente prábols enuentr: Ls oordends del vértie L distni del vértie l foo Lo que mide el ldo reto ) ( ) = 8( + ) b) ( + ) = ( ) ) ( ) = 6( + ) d) ( + ) = ( + ) e) = ( ) f) ( + ) = g) = h) = 0 i) = 0 j) + 8 = 0 Respuest Vértie Distni vértie-foo Longitud del ldo reto ) (, ) 8 b) (, ) ) (, ).5 6 d) (, ) e) (0, ) 0.5 f) (, 0) g) (0, 0) 0.5 h) (, ) 0.5 i) (0, ).75 j) (, ).5 8

32 6. Enuentr ls oordends del foo de d un de ls siguientes prábols. En d so dibuj l prábol ) ( ) = 8( ) b) ( + ) = ( + ) ) ( ) = ( 5) d) ( + ) = 6( + ) e) = 6( 8) f) = g) = Respuests: h) = 0 i) = 0 j) + 6 = 0 ) (, 6) b) (, 0) ) (.5, ) d) (.5, ) e) (0, 6.5) f) (, 0) g) (0, 0.75) h) (,.5) i) (0,.75) j) (.5, ) 7. Esribe l euión en l form ordinri de d un de l prábol on ls siguientes rterístis. En d so dibuj l prábol ) Vértie (, ) foo (, 5) b) Vértie (, ) foo (, ) ) L prábol es horizontl bre hi l dereh, vértie (, ) ldo reto mide 8. d) Vértie (0, ), foo (0, ) e) Vértie (, ), foo (6, ) f) L prábol es horizontl bre hi l izquierd, foo (, ), l distni del foo l vértie es. i) L prábol es vertil bre hi rrib, l distni del vértie l foo es, vértie (, 5) 9

33 8) Esribe l euión en l form generl pr d un de ls siguientes prábols. En d so dibuj l prábol. Respuests: ) = 0 b) o = 0 ) + = 0 d) = 0 ) L diretriz de l prábol es l ret = 0, su foo el punto (, ) b) L diretriz de l prábol es l ret + 5 = 0, su vértie es el punto (0, ) ) Ps por los puntos A (0, 0), B (8, ), C (, ) el eje es prlelo l eje de ls bsiss. d) Ps por el punto A (, ), tiene omo vértie el punto (, ) eje l ret + = 0. 50

34 XI. LA HIPÉRBOLA.. LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definiión L hipérbol es el lugr geométrio desrito por un punto P que se mueve en el plno de tl modo que el vlor bsoluto de l difereni de sus distnis dos puntos fijos del plno F ' F (llmdos foos), es siempre un ntidd onstnte. Esto es PF' PF NOTACIONES L hipérbol onst de dos rms diferentes de longitud infinit, en donde: AA', eje fol o eje trnsverso (o eje rel). FF', distni fol. BB' b, eje onjugdo (o eje imginrio). El punto medio de FF ' es el entro C de l hipérbol. CA' CA ; CB' CB b ; CF' CF. Pr que h hipérbol es neesrio que. L uerd que ps por un foo es perpendiulr l eje fol se llm ldo reto (LR ) o nho fol. Ls digonles del retángulo prolongds se llmn síntots de l hipérbol. L relión entre, b, por el teorem de Pitágors es b. Si b, l hipérbol se llm EQUILÁTERA. L relión e es l eentriidd de l hipérbol. 6

35 .. CONSTRUCCIÓN DE UNA HIPÉRBOLA CON REGLA Y COMPÁS Pr onstruir un hipérbol on regl ompás, suponemos onoidos los foos F,F', l ntidd onstnte el proedimiento es omo sigue: ) Se obtiene el punto medio de F,F' que es el entro C de l hipérbol. b) Por el entro C se trz l perpendiulr F,F' (que es el eje onjugdo). ) A prtir del entro C, se señln los vérties A,A' que están l distni de C o se que CA' CA. d) Se onstrue el retángulo de los ejes trnsverso onjugdo se trzn ls digonles que son ls síntots de l hipérbol. e) Se mrn puntos ulesquier l dereh de F l izquierd de F ', por ejemplo los simétrios P P ', P, P ', P, P ', P, P ', P, ',, 5 P5 A ' P, AP f) Con entro en los foos rdios, se obtienen ls interseiones que son puntos de l hipérbol que F ' F AA', repitiendo esto on los rdios A ' P, AP, AP ', AP, AP ', AP, AP ' 5, AP5, se obtienen ls interseiones,,, 5, que uniéndolos on trzo ontinuo, se obtiene l urv. 6

36 65.. FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE ALGUNO DE LOS EJES COORDENADOS Consideremos un hipérbol on onoidos, ubid en un sistem de oordends rtesins retngulres, uo entro oinide on el origen de oordends 0,0 C, sus foos están sobre el eje us oordends son ',0 F,0 F se P, un punto ulquier de l hipérbol (que puede estr sobre l rm izquierd o sobre l dereh sin que esto ltere l definiión de hipérbol) ubido sobre l rm dereh omo se muestr en l figur que de uerdo on l definiión este punto P estrá situdo en l hipérbol dd si solo si PF PF ', epresándol nlítimente: si ' PF ; PF Aislndo el primer rdil en el primer miembro, elevndo l udrdo, hiendo operiones reduiendo términos semejntes se tiene: elevndo l udrdo reduiendo términos semejntes: ftorizndo: De l seión., l relión entre b, por el teorem de Pitágors es b, despejndo b sustituendo en l epresión nterior, se tiene: b b dividiendo entre b : b b b b b ; b L epresión es l FORMA ORDINARIA de l euión de l hipérbol on entro en el origen eje fol sobre el eje.

37 Con ls misms ondiiones nteriores, pero on el eje fol oinidiendo on el eje, proediendo nlítimente en l mism form se obtiene l euión que es l b FORMA ORDINARIA de l euión de l hipérbol on entro en el origen eje fol sobre el eje. L euiones ontienen sólo potenis pres en ls vribles, l hipérbol que determinn d un de ells es SIMÉTRICA respeto d uno de los ejes oordendos l origen, por lo que l bosquejr su gráfi es sufiiente onsiderr solmente l prte que está situd en el primer udrnte provehndo su simetrí se puede ompletr el bosquejo de su gráfi. Not: Si en ls euiones, los semiejes b son igules ( b ), ls hipérbols resultntes se llmn EQUILATERAS, que el retángulo prinipl de l hipérbol equiláter es un udrdo por lo tnto sus síntots son perpendiulres entre sí. o bien o bien 66

38 Dos hipérbols en un mismo sistem de oordends on euiones b se llmn hipérbols CONJUGADAS entre si. b b b b b ; b es pr R Los ELEMENTOS de l hipérbol referidos l sistem de oordends, son: Si l hipérbol es horizontl: ; C 0,0; A,0; B 0,b; b F,0, pr determinr ls oordends de L, despejmos b de l euión :, hiendo se tiene b es pr b b L, ;,. Por simetrí de l hipérbol se tiene: A',0; B' 0, b; F',0 b L ', ; b b b R, ; Euión de ls síntots: ;. Euión del eje fol (trnsverso): 0 (eje ). Eentriidd: e 67

39 Si l hipérbol es vertil: b A 0, B b,0 ; F 0, ; b L, A 0, ' b,0 F' 0, ; ; C 0,0; Por simetrí: ' ; B ; b b b L ', R, ; R ', Euión síntots: ;. b b Euión del eje fol: 0 (eje ). Euión del eje onjugdo: 0 (eje ). Eentriidd: e L EXCENTRICIDAD de l hipérbol es un rterísti de l form de su retángulo prinipl por onsiguiente de l form de l mism hipérbol, quedndo determind por l relión de l distni entre los foos de l hipérbol FF ' l distni entre sus vérties A' A, quedndo indid por e, omo en l hipérbol, se tiene que est relión siempre es mor que uno o se que e, unto más erno es uno est vlor, será más lrgdo su retángulo prinipl en direión de su eje fol, en el so de l hipérbol equiláter, est relión es e. 68 EJEMPLOS En d iniso del l se d l euión de un hipérbol, se pide obtener sus elementos bosquejr su gráfi. ) 6 9 Soluión L euión dd es de l form (hipérbol horizontl). Pr que el b bosquejo de l hipérbol se hg rápidmente, se reomiend onstruir primero el retángulo prinipl, en seguid, trzr ls síntots (ls digonles), luego los elementos del primer udrnte, pr después, provehndo l simetrí de l hipérbol ompletr su bosquejo. De l euión dd: 6 ; ; b 9 ; b, omo b ; 6 9 5; 5; b 9 9, por lo tnto, sus elementos son: C 0,0; A,0; B 0, ; F 5,0 ; L 5,

40 Por simetrí: A ',0; B ' 0, ; ' 5,0 F ; L ' 5, ; R 5, ; R ' 5, Euión síntots: ;. Euión del eje fol (trnsverso): 0 (eje ). Euión del eje onjugdo: 0 (eje ). 5 Eentriidd: e ) 6 9 Soluión L euión dd es de l form b (hipérbol vertil), 6 ; ; b 9 ; b, omo b 9 b ; 6 9 5; 5;, por lo tnto, 0,,0 F 0,5 ; sus elementos son: 0,0 C ; A ; B ; 9 L,5 9 Por simetrí: A ' 0, ; B ',0; F ' 0, 5; L ',5 ; 9 9 R, 5 ; R ', 5 Euión síntots: ;. Euión del eje fol : 0 (eje ). Euión del eje onjugdo: 0 (eje ). 5 Eentriidd: e 69

41 ) 5 5 Soluión L euión dd es de l form: (horizontl) omo b b b o se b 5 se trt de un hipérbol equiláter b ; 5 b 5 5 los elementos son: 5 C 0,0 A 5,0 ; 0,5 5,0 L 5,5 B ; F ; A ; B ' 0, 5; ' 5,0 L ' 5,5; R 5, 5; R ' 5, 5 Por simetrí: ' 5,0 F ; Euión síntots: ;. Euión del eje fol (trnsverso): 0 (eje ). Euión del eje onjugdo: 0 (eje ). Eentriidd: e ) Obtener l euión de l hipérbol on entro en el origen, LR, semieje trnsverso 6 eje fol sobre el eje. Soluión De uerdo on l informión dd, l euión de l hipérbol es de l form: b b (vertil), si 6 LR ; b 6 b 9 ; b ; b ; 6 9 5; 5 euión 6 9, los elementos son: C 0,0 ; 0,6 F 0, 5; L, 5. Por simetrí: ' 0, 6 F ' 0, 5; L ', 5 ; R, 5 ; R ', 5 Euión síntots: ;. Euión del eje fol : 0 (eje ). Euión del eje onjugdo: 0 (eje ). 5 Eentriidd: e 6 5 A ; B,0 A ; B ',0 70

42 5) Obtener l hipérbol onjugd de 6 9 Soluión Ls hipérbols onjugds omprten los mismos ejes, de tl modo que el eje fol de un es el onjugdo de l otr el onjugdo de l primer es el fol de l otr. L euión de l hipérbol onjugd es: 9 6 (horizontl), donde 9 ; ; b 6 ; b 6 ; b ; 9 6 5; b 6 5 ; A,0 ; 0,6 5,0. Elementos: C 0,0; B ; F ; L 5, A ; B ' 0, 6; ' 5,0 L ' 5,; R 5, ; R ' 5, Por simetrí: ',0 F ; Euión síntots: ;. Euión del eje fol: 0 (eje ). Euión del eje onjugdo: 0 (eje ). 5 Eentriidd: e 5 EJERCICIOS En d uno de los inisos del l, se d l euión de un hipérbol, obteng sus elementos bosqueje su gráfi. ) 9 ) 5 6 ) 9 9 ) Obtener l euión de l hipérbol on entro en el origen, 6, sobre el eje. e el eje fol 5) Obtener l euión de l hipérbol onjugd de, sus elementos 6 8 bosquejr su gráfi. 7

43 .. FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y EJE FOCAL PARALELO A ALGUNO DE LOS EJES COORDENADOS En form nálog l elipse, ls euiones b b nos muestrn l siguiente PROPIEDAD ESENCIAL de l hipérbol, que sirve pr obtener su euión en ulquier posiión. En est seión nos limitremos únimente hipérbols horizontles vertiles on entro fuer del origen. PROPIEDAD ESENCIAL: En ls euiones, el primero segundo términos signifin: Ldis tnideun puntoulquier " P" delhipérbollejeonjugdo Mgnituddelsemiejetrnsverso Ldis tnideun puntoulquier " P" delhipérbollejetrnsverso Mgnituddelsemiejeonjugdo Apliquemos est propiedd pr obtener l euión de l hipérbol on entro fuer del origen ejes prlelos los ejes oordendos: ) Si el entro tiene oordends h k C, el eje fol es prlelo l eje omo se muestr en l figur, l plir l propiedd esenil se tiene: b) Si el entro tiene oordends h k PQ PR i b donde PQ h ; PR k sustituendo en i : h k b Est es l euión de l hipérbol en form ordinri on entro C h, k eje fol prlelo l eje (hipérbol horizontl). C, el eje fol es prlelo l eje omo se muestr en l figur, plindo l propiedd esenil se tiene: 7

44 PQ PR ii b donde PQ k ; PR h sustituendo en ii : k h b es l euión de l hipérbol en form ordinri on entro C h, k eje fol (trnsverso) prlelo l eje (hipérbol vertil). Si ls oordends del entro fuern C 0,0, ls euiones se reduirán ls euiones : 0 0 b 0 0 b b b EJEMPLOS ) L euión de un hipérbol es bosquejr su gráfi. Soluión 9 6, obtener sus elementos L euión dd es de l form: h k (hipérbol horizontl), l b ul nos proporion los siguientes dtos: ls C h, k, ; 9 ; ; oordends del entro b 6 ; b ; omo b ; Con estos dtos podemos lulr los elementos de l hipérbol pr bosquejr su gráfi en form nálog ls hipérbols de l form. A prtir del entro, C, se onstrue el retángulo prinipl se trzn sus digonles (síntots) luego se ubin sus elementos prtir del entro en form nálog omo en ls euiones de l form. C h, k,; A h, k 5, ; B h, k b,7; h, k 7, b 5 F ; L h, k 7,. 7

45 Por simetrí: A ' h, k, ; B ' h, k b, ; F ' h, k, b 5 b 7 b 7 L ' h, k, ; R h, k 7, ; R ' h, k,. Euión de ls síntots: son rets que psn por el punto C, que tienen pendiente m b o se: ; 7. Euión del eje fol (o trnsverso): (ret horizontl). Euión del eje onjugdo: (ret vertil). 5 Eentriidd: e ) Obtener l euión el bosquejo de l gráfi de l hipérbol on entro, vérties A,, B,. Soluión De uerdo on l informión dd, l euión de est hipérbol es de l form: k h (hipérbol vertil), en b donde CA ; ; CB b ; b b 9 b 9; ; ; l euión es:. 9 h, k, A h, k, Elementos: C ; h b, k, F h, k, B ; b L h, k,. Por simetrí: A ' h, k, 5; ' h b, k, B ; ' h, k, b b 7 L ' h, k, ; R h, k, ; b 7 R ' h, k, Euión síntots: ; 7 Euión eje fol: (ret vertil). Euión eje onjugdo: (ret horizontl). Eentriidd: e F ; C 7

46 ) Obtener l euión de l hipérbol on etremos del eje trnsverso A ',,, foo, F bosquejr su gráfi. Soluión Elementos: C, ; A,;,6 Por simetrí: A ',; ',6 ' Euión síntots: A, De uerdo on l informión dd, l euión de l h k hipérbol es de l form b (hipérbol horizontl). El entro de l hipérbol es el punto A' A A' A medio del segmento A' A: C,, CA ; CF ; b 9 si b ; b ; b ; omo b ;. L hipérbol es equiláter su euión 9 9, L,6. es: B ; F ; B ; F,; L ',6; R,0; R ',0 ; ; Euión eje trnsverso:. Euión eje onjugdo:. Eentriidd: e ) Obtener l euión de l hipérbol on entro C 5,, foo 5,7 bosquejr su gráfi. F, eentriidd 5 e Soluión De uerdo on los dtos del problem, l euión de k h l hipérbol es de l form b (hipérbol vertil). El segmento CF 7 ; 5 5 Si e ; ; b 5 9 6; b b 6. Euión: Elementos: C 5, ; A 5,5 ; B 9, ; F 5,7 ; L,7. ' 5, ', F ' 5, Por simetrí: A ; B ; 0 0 L ', ; R, 7 ; R ', 75

47 Euión síntots: 5; Euión eje trnsverso: 5. Euión eje onjugdo:. 5 Eentriidd: e 7 ; 5) Obtener l euión de l hipérbol que stisfg ls ondiiones indids en l siguiente gráfi, sus elementos. Soluión L euión de l hipérbol es de l form A simple vist podemos deir que 6, C ; 0, h k 6,6 b b omo b 6 0; 5 ; 6 5, 6 5,5 b, A ; B ; A ' ; ' 6, (hipérbol horizontl). B, por lo tnto ; 6 6 5, L ' 6 5,5 ; ; euión: Los elementos restntes son: F ; L ; F ' 6 ; R 6 5,; R ' 6 5,. Euión síntots: 6; ; 7 Euión eje trnsverso:. Euión eje onjugdo: Eentriidd: e 76

48 EJERCICIOS ) Obteng los elementos de l hipérbol bosque su gráfi. 9 9 ) Obtener l euión, los elementos el bosquejo de l gráfi de l hipérbol on vérties A 8,, A ', LR. ) Un hipérbol tiene entro C 5,0, foo F 9,0, eentriidd e, obteng su euión, sus elementos bosqueje su gráfi. B 6,, su entro ) Un etremo del eje onjugdo de un hipérbol tiene oordends C, L,9, obteng l euión, sus elementos bosqueje su gráfi. 5) Obteng l euión los elementos de l hipérbol que stisfg ls ondiiones indids en l siguiente gráfi..5. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON EJES PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS En form nálog l elipse, si en ls euiones k h h k multiplimos por b, desrrollmos los udrdos, b trsponemos ordenmos términos, obtenemos l euión en FORMA GENERAL de l hipérbol A C D E F 0 uos ejes son prlelos los ejes oordendos, donde los oefiientes A C son de signo ontrrio, los oefiientes de primer grdo D E indin que el entro de l hipérbol está fuer del origen, si D 0 el entro está sobre el eje, si E 0 estrá sobre el eje, el término independiente F indi que l hipérbol no ps por el origen si F 0 entones si ps por el origen. b 77

49 Reípromente, undo l euión de un hipérbol es dd en form generl, puede obtenerse su form ordinri medinte el método de ompletr udrdos sí onoer sus elementos pr bosquejr su gráfi. EJEMPLOS En d iniso se d l euión de un hipérbol en form generl, obtener su form ordinri, sus elementos bosquejr su gráfi. ) Soluión Se orden l euión dd omo sigue: ftorizndo ompletndo udrdos: dividiendo entre : ; Form ordinri ; ; b 6 b 6 ; b ; b ; 5; 5 A ; B,7; F, ; L, Por simetrí: A ' 5, ; B ', ; F ' 7,; L ' 7, ; R, ; R ' 7, Euión síntots: ; 7 ; Euión eje trnsverso:. Euión eje onjugdo:. 5 Eentriidd: e Elementos: C, ;, 78

50 ) 50 0 Soluión Observr que en l euión dd no pree el término de primer grdo en, o se que el oefiiente E 0, por lo tnto el entro de l hipérbol estrá sobre el eje. Dividiendo l euión dd entre se tiene: ftorizndo ompletndo udrdos: dividiendo entre 6: form ordinri, 6 6 se trt de un hipérbol equiláter vertil, en donde b b 6 ; b ; b ; ; C ; A, ; 7,0, L 7, Elementos:,0 Por simetrí: ', A ; Euión síntots: B ; F ; B ',0 ; F ', ; L ' 7, ; R, ; R ', ; ; Euión eje trnsverso:. Euión eje onjugdo: 0 (eje ). Eentriidd: e ) Soluión Como no h término en, el oefiiente D 0, l hipérbol tendrá su entro sobre el eje. Dividiendo l euión dd entre se obtiene: ftorizndo ompletndo udrdos: Dividiendo entre : Form ordinri, es l euión de un hipérbol horizontl, donde: 79

51 Euión síntots: 0 ; ; b ; b ; b b ; 5 ; 0,, B 0, ; Elementos: C ; A ; F 5, ; L 5, ', Por simetrí: A ; ' 0, B ; 5 F ' 5, ; L ' 5, ; R 5, ; 5 R ' 5, ; ; Euión eje trnsverso:. Euión eje onjugdo: 0 (eje ). Eentriidd: e 5 ) Soluión L euión dd ree de término independiente ( F 0), por lo tnto se trt de un hipérbol que ps por el origen. Dividiendo l euión dd entre se obtiene: 8 0, ordenndo, ftorizndo ompletndo udrdos: Dividiendo entre : Form ordinri, es l euión de un hipérbol vertil, donde: ; ; b b ; b ; b 6; 6 ;,,,, 6 L, 6 Elementos: A ; C ; B ; F ; 80

52 Por simetrí: ', R ', 6 A ; ' 0, B ; F ', 6; L ', 6;, 6 Euión síntots: ; ; Euión eje trnsverso: Euión eje onjugdo: Eentriidd: e R ; 5) Soluión L euión dd ree de términos de primer grdo o se que D E 0, por lo tnto se trt de un hipérbol on entro en el origen. Ordenndo términos dividiendo entre 6: Euión síntots: ; Euión eje trnsverso: 0 (eje ). Euión eje onjugdo: 0 (eje ). Eentriidd: e 5 6 Form ordinri, es l euión de un hipérbol horizontl, donde: ; ; b 6 ; b ; b b 0; 5 ; 8 Elementos: C 0,0; A,0; B 0, ; F 5,0; L 5,8 Por simetrí: A ',0; ' 0, B ; F ' 5,0; L ' 5,8; 5, 8 R ' 5, 8 R ; 8

53 EJERCICIOS En d iniso se d l euión de un hipérbol en form generl, obteng su form ordinri, sus elementos bosqueje su gráfi. ) ) 0 ) 6 0 ) ) 0 8

54 BIBLIOGRAFIA o BARNET, R. Preálulo. Álgebr, Geometrí Anlíti Trigonometrí. Méio, LIMUSA, 998. o CABALLERO, C. Arquímedes et l. Geometrí Anlíti. Méio, ESFINGE, 00. o FILLOY, E. Y HITT F. Geometrí Anlíti. Méio, Iberomérin, 00. o KINDLE H. JOSEPH. Geometrí Anlíti. Méio, MGrw-Hill, 970. Coleión Shum s o LEHMANN CH. Geometrí Anlíti. Méio, Limus, 990. o LEITHOLD, L. Álgebr. Méio, HARLA, 980. o REES, P. SPARKS, F. Álgebr. Méio, MGrw-Hill, 99. o SWOKOWSKI, E. COLE, A. Álgebr Trigonometrí on Geometrí Anlíti. Méio, Sntilln, 00. 5

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