HOJA DE PROBLEMAS 1: ENUNCIADOS

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1 Tema: ESTRUCTURA ELECTRÓNICA DE LOS ÁTOMOS HOJA DE PROBLEMAS 1: ENUNCIADOS 1. ( ) Para describir el estado fundamental de una partícula que se encuentra en una caja de potencial unidimensional definida entre x=0 y x=l se propone la función 0 x < 0 Ψ(x) = A(B e x ) 1/2 (C e (x L) ) 1/2 0 x L 0 x > L Determine un conjunto de valores de las constantes A, B y C para los que la función Ψ(x) sea mecanocuánticamente aceptable. 2. ( ) Para una partícula confinada en una caja unidimensional de potencial: a) Calcule la probabilidad de que la partícula se encuentre en la mitad derecha de la caja. b) Calcule la probabilidad de que la partícula se encuentre en el tercio central de la caja si está descrita por la función del estado fundamental. 3. ( ) Calcule el valor esperado para el momento lineal de una partícula que se encuentra en una caja de potencial unidimensional e interprete el resultado. 4. ( ) Demuestre que dos funciones propias del modelo de la caja de potencial unidimensional correspondientes a autovalores diferentes de la energía son ortogonales, es decir + ψ n(x)ψ m (x) dx = 0 si m n 5. ( ) Calcule la probabilidad de que la partícula en un anillo se encuentre en el primer cuadrante. 6. ( ) Compruebe que para la partícula en un anillo dos funciones de onda cualesquiera son ortogonales. 7. ( ) Sean Ψ 1 y Ψ 2 dos soluciones degeneradas de la ecuación de Schrödinger. Compruebe que cualquier combinación lineal del tipo Ψ = aψ 1 +bψ 2 (donde a y b son escalares) es solución de la ecuación de Schrödinger para el mismo sistema y con el mismo valor de la energía.

2 8. ( ) Considere el siguiente modelo físico: Una partícula de masa m que se mueve libremente en una semicircunferencia de radio R de modo que la energía potencial es nula para 0 φ π e infinita en el resto del espacio, π < φ < 2π. Deduzca las funciones propias del modelo y los valores permitidos de la energía. 9. ( ) Demuestre que las coordenadas polares esféricas y las coordenadas cartesianas cumplen las siguientes relaciones x = r sen θ cos φ y = r sen θ sen φ z = r cos θ 10. ( ) Dibuje utilizando coordenadas polares el armónico esférico Y 0 1 (θ, φ) en el plano xz. 11. ( ) Considere la siguente función de estado ψ(θ, φ) = A sen 2 θ sen(mφ) donde A es una constante de normalización. Demuestre si dicha función es, en algún caso, función propia de los operadores ˆL 2 (θ, φ) y ˆL z (φ). 12. ( ) Las siguientes funciones son armónicos esféricos 3 F A (θ, φ) = 4π cos θ 5 F B (θ, φ) = 16π (3 cos2 θ 1) Demuestre cuales son los valores de sus correspondientes números cuánticos y que son funciones ortogonales. ( ) Problemas que serán resueltos por el profesor en clase. Grado de dificultad: ( ) Sencillo, ( ) Normal, ( ) Para pensar un poco.

3 HOJA DE PROBLEMAS 1: GUÍA DE RESOLUCIÓN Problema 1 I) Compruebe si la función satisface las tres condiciones necesarias para ser aceptable desde el punto de vista mecanocuántico. II) Calcule los valores de los parámetros B y C para que la función sea contínua en los puntos x = 0 y x = L. III) Calcule el parámetro A para que la función esté normalizada. Problema 2 I) Recuerde que el módulo al cuadrado de la función de estado es igual a la densidad de probabilidad. II) La probabilidad de encontrar a la partícula en un intervalo de valores de x es igual a P (x (a, b)) = b a ψ 2 dx. III) Recuerde que sen 2 α = 1 cos 2α 2 Problema 3 I) El valor esperado de un operador  se define como  = ψ Âψdx II) El operador momento lineal es ˆp = i III) La función de estado es nula fuera de la caja. d dx Problema 4 I) Recuerde que la función es nula fuera de la caja. II) La relación de Euler establece que e iα = cos α + i sen α III) Tenga en cuenta que sen α = eiα e iα 2i Problema 5 I) Recuerde que el módulo al cuadrado de la función de estado ψ 2 = ψ ψ es igual a la densidad de probabilidad. II) La probabilidad de encontrar a la partícula en un intervalo de valores de φ es igual a P (φ (a, b)) = b a ψ 2 dφ. Problema 6 I) La condición de ortogonalidad es 2π ψ 0 m 1 ψ m2 dφ = 0 si m 1 m 2. II) Recuerde que ψ m (φ) = 1 2π e imφ III) Recuerde que el número cuántico solo puede tomar valores enteros. Problema 7 I) El operador hamiltoniano es lineal. II) Un operador  es lineal si cumple que Â(ψ +ϕ) = Âψ +Âϕ y Â(aψ) = aâψ Problema 8 I) La ecuación diferencial para este modelo es idéntica a la de la partícula en un anillo.

4 II) La función es nula en el intervalo ψ (π, 2π) III) La función ha de anularse en φ = 0 y φ = π para que sea continua. Problema 9 I) Dibuje un punto de coordenadas generales (x, y, z) en un sistemas de coordenadas cartesiano. II) Las proyecciones del punto sobre cada plano definen un paralelepipedo. III) Busque en dicho paralelepipedo triángulos rectángulos sobre los que aplicar el teorema de Pitágoras y las definiciones de las funciones trigonométricas. Problema 10 I) Y 0 2 (θ, φ) = 10 4 (3 cos2 θ 1) II) La coordenada x = Y 0 2 (θ, φ) 2 sen θ III) La coordenada z = Y 0 2 (θ, φ) 2 cos θ Problema 11 I) Una función ψ es función propia del operador  si se cumple que Âψ = aψ, donde a es una constante. II) Aplique los operadores indicados sobre la función. Si el resultado es una constante multiplicada por la función, la función es propia del operador. III) Puede ocurrir que solo para ciertos valores concretos de los parámetros A y m la función sí sea función propia de los operadores. Problema 12 I) Para calcular el número cuántico m utilizamos la propiedad de que los armónico sesféricos son funciones propias del operador ˆL z. II) Para calcular el número cuántico l utilizamos la propiedad de que los armónico sesféricos son funciones propias del operador ˆL 2. III) Los armónicos esféricos serán ortogonales si 2π π F 0 0 A F B sen θ dθdφ = 0.

5 HOJA DE PROBLEMAS 1: SOLUCIONES 1 Problema 1 A =, B = 1 y C = 1 L 1 2 el e L Problema 2 a) 0.5 b) 0.61 Problema 3 Cero Problema Problema 8 E m = m2 h 2 8π 2 MR 2 = m2 h 2 8M(πR) 2 con m = 1, 2,... Problema 9 Problema 10 No es función propia del operador ˆL z y sí lo es del operador ˆL 2 si m = ±2. Problema 12 m A = 0, m B = 0, l A = 1 y l B = 2.