10 Introducción al concepto de límite

Transcripción

1 Itroducció al cocepto de límite PIENSA Y CONTESTA Segú Zeó de Elea, quié gaará la carrera: Aquiles o la tortuga? Segú Zeó de Elea la carrera la gaará la tortuga. Por qué o es correcto el razoamieto de Zeó? El error del razoamieto de Zeó fue creer que la suma de ifiitos tramos, auque sea ifiitamete pequeños, será ua distacia ifiita y, por tato, ialcazable. Qué gifica límite e la frase su valor eacto es el límite de esta suma S 6 6 "? E la frase, límite gifica que la suma de los ifiitos tramos que tiee que recorrer Aquiles se aproima cada vez más. al úmero 666,666 INVESTIGA Y RESUELVE Las series ifiitas atrajero la ateció de los matemáticos desde los tiempos de Newto. No todas las sumas de úmeros cada vez más pequeños tiee límite fiito. La suma de la serie armóica, S... o es u úmero fiito. Ivestiga por qué se la cooce como serie armóica. Esta serie se cooce como serie armóica porque cada térmio es igual a la media armóica de sus dos térmios cotiguos. Es decir, cada térmio de la serie armóica verifica que a a a. Euler resolvió el Problema de Balea, formulado por J. Beroulli, que coste e calcular la suma de los iversos de los cuadrados de los úmeros aturales: S... Cómo lo resolvió? La fució se se puede aproimar por u poliomio ifiito se 7...!! 7! El método de Euler coste e utilizar el poliomio ifiito y realizado alguas trasformacioes algebraicas obteer π. que S... 6 Actividades propuestas. Calcula el límite de las fucioes e los valores idicados. f, para y. f 6 y f Uidad Itroducció al cocepto de límite f, para y. f y f

2 . Halla los límites, costruyedo ua tabla de valores e cada caso para estudiar hacia qué valor tiede la fució. se tg π,9,99,999,,, f,6,,, 99, 9, 9 se,,,,,, f,998,999 98, ,998,997 98,997 98,,,,,, f,77 7,6 8,, 6,, 6 tg. π,,7,77,7 79,7 796 f,7 8,,76 8, 8 7,9 6 cuado tiede a e idica eiste el límite e ese Calcula los límites laterales de la fució f puto.,,,,,, f,,,,,, f Como los límites por la derecha y por la izquierda so distitos, la fució o se aproima a u úico valor cuado tiede a, por lo que o eiste el límite e ese puto.. A partir de la gráfica de f, idica el valor de la fució, los límites laterales y el límite eiste e: f y f o eiste porque f y f. f y f porque f y f f y f porque f y f f y f o eiste porque f f f Itroducció al cocepto de límite Uidad 7

3 . Represeta la fució f Eiste el límite e cada caso? <. Calcula los límites laterales cuado tiede a y a. > f f. f o eiste porque f y f y f porque 6. Calcula los límites laterales para de la fució f { <. Eiste f? > f porque f y f 7. Halla el valor de los guietes límites.,,,,,, f,,,,,,,,, f,,,,,,,9,99,999,999 9,999 99, f 6, 96, 996, ,9,99,999,999 9,999 99, f,9,99,999,9999,999 99, Uidad Itroducció al cocepto de límite

4 8. Calcula los guietes límites de fucioes. 9. f,66 667,66 667,89 8,989,998 9, f,9 99,99 9,999 99,999 99,999 99, f,,6,7, 6, 6, 6 f,,8, 7, 7,, e Co la ayuda de la calculadora completa la tabla de valores para determiar el guiete límite: f f, 98, 6,6 9 77,6,6 e Por tato, Itroducció al cocepto de límite Uidad 9

5 . Dada la fució f <, calcula los límites cuado tiede a, a y e y e. f,,,,9999,999,99 f,66,666,666 6, , , f,9,99,999,,, f,6 69,66 7,666,667,67 96, f f,66 6,96 96,996,999 6, f f, ,66 667,9 68, 996,,. Si f y g, calcula: f g f g f g f f g f g 7 f f g g f g f g g f f g g. Calcula los guietes límites utilizado sus propiedades Uidad Itroducció al cocepto de límite

6 . Sea f y g, calcula: f g g g f f g f 7 g 7 f g f g g g g g f g f f f g g. Actividad resuelta. Calcula el y el.. Idetermiació. Idetermiació 6. Sabiedo el valor de los límites, halla los límites guietes o idica so idetermiacioes o o tiee solució. f g f j f g h j j g f h f j f j f g f g. Idetermiació j g j g f h f h. Idetermiació Itroducció al cocepto de límite Uidad 6

7 7. A partir de las guietes fucioes, f y g, calcula los valores de los límites que aparece a cotiuació. f g g f f g f e g f. Idetermiació f g f g g f g g e f g g f g 8. Calcula los guietes límites. 6. Idetermiació Idetermiació 6 Uidad Itroducció al cocepto de límite 6

8 9. Halla el valor de los guietes límites Idetermiació 6 6. Idetermiació. Idetermiació. Clafica las discotiuidades de la guiete fució. Idica los itervalos e los que es cotiua. La fució es cotiua e [,, 7 7,. f. E hay ua discotiuidad ievitable de salto fiito porque f E 7 hay ua discotiuidad ievitable de salto ifiito porque f. 7. Estudia la cotiuidad y clafica las discotiuidades de la fució: f <. < Esboza su gráfica de forma aproimada. La fució es cotiua e,,,. E hay ua discotiuidad ievitable de salto ifiito porque f. E hay ua discotiuidad evitable porque f o eiste y f. Itroducció al cocepto de límite Uidad 6

9 . Estudia la cotiuidad y clafica las fucioes de: f f Si Df {, } f es cotiua e,,,.. Idetermiació E hay ua discotiuidad evitable. Si y E hay ua discotiuidad ievitable de salto ifiito.. Actividad resuelta. Halla los valores b y c para que la fució f sea cotiua e toda la recta real y represétala. f 6 <b b c c< Los putos que se debe estudiar es b y c, ya que e estos valores cambia la defiició de la fució. f b f b f b b b Para que sea cotiua e b, el valor de la fució y de los límites debe coicidir: b b f f c f 6 6 c c c c Para que sea cotiua e c, el valor de la fució y de los límites debe coicidir: 6 c c. Estudia las guietes suceoes so crecietes o decrecietes y tiee cotas. a a a b c > Como a a >, etoces a > a y, por tato, la suceó es creciete. La suceó está acotada iferiormete, ya que a. La suceó o está acotada superiormete, ya que b b. 7 > b b >, etoces b > b y, por tato, la suceó es creciete. La suceó está acotada iferiormete, ya que b. La suceó está acotada superiormete, ya que. 6 Uidad Itroducció al cocepto de límite

10 c c < c c <, etoces c < c y, por tato, la suceó es decreciete. La suceó está acotada iferiormete, ya que. La suceó está acotada superiormete, ya que c. 6. Calcula los guietes límites e idica las suceoes so covergetes. La suceó es covergete.. Idetermiació La suceó es covergete.. Idetermiació 7. Calcula los guietes límites de suceoes. 9. Idetermiació e e e Itroducció al cocepto de límite Uidad 6

11 8. Resuelve los guietes límites de suceoes. Halla el térmio de la suceó y comprueba que se aproima al límite obteido.,, 8 a 999. Idetermiació 6 e a, Completa la tabla de valores e tu cuadero para determiar la tedecia de las guietes fucioes e el puto : f, g. f g,9,99,999,,, Cuáles parece ser los guietes límites? f ; f ; f ; g ; g ; g f g f,9,6 f,99,96,999,996 f,, g,, g,, 7 g No eiste.. Actividad resuelta. Determia la tedecia de la fució h 6 e el puto, costruyedo e tu cuadero ua tabla de valores. Cuáles parece ser los límites? h ; h ; h h No eiste h No eiste. 66,9 No eiste,99 No eiste h Uidad Itroducció al cocepto de límite,999 No eiste,,7 78 h No eiste.,, 8,,,9 9

12 . Sabiedo que f, g, f y g 7, calcula los guietes límites e el a a caso de que eista. f g f f g f g f a a g [ g f ] e g a f g a a a g [ f g ] h f g a f g f g e g a a a a f a f g a a 8 f g 6 f Como g [f g ] f f g a a a a a f f a a g g f ] g 7 g Como f [ g a a a g g h Como [f g ] < f g a a f f a a a. La fució f g o eiste. o eiste e pero sí e los putos cercaos a. Completa la tabla de se valores para estudiar la tedecia de la fució cuado.,9, f f,99,,999,,9999,,999 99,,9999,,,,999 99,,, Utiliza la calculadora para hacer los cálculos e radiaes.,9, 7 6,, 7 6 f f Por tato,,99,,,,999,,, se. Co la ayuda de ua tabla de valores, halla los límites laterales para de la fució: f { < > Represeta su gráfica de forma aproimada. f,9,9,99,99,999,999,,99 999,,999,,9 f y f f. Sea f. Calcula, ayudádote de tu calculadora, f, f,, f,, f, f,9, f,98. Qué te sugiere estos resultados acerca de f? f,, 6,,6,,9, 6,98, f o eiste porque f y f. Itroducció al cocepto de límite Uidad 67

13 6. Idica cuáles de los guietes límites da lugar a idetermiacioes y cuáles puede calcularse directamete. E ese caso, calcula su valor. e e f g h i j f g. Idetermiació h i. Idetermiació* j. No eiste porque Df,. No eiste porque Df,. 7. Compara los valores de las fucioes f Puedes hacerlo completado la tabla.. Idetermiació* 6 y g cuado y cuado. f g f g 99 9, , , , 8 8, 8 8, 8 Las fucioes f y g toma valores muy próimos cuado y cuado porque: f g y f g. 8. Opera y calcula los límites a partir de ua tabla de valores : : f,,6,9 89,99,999, f,,89 89,989,998 9, f,8 9, 989,, 9 Uidad Itroducció al cocepto de límite

14 9. Resuelve los guietes límites, que so idetermiacioes del tipo Idetermiació. Idetermiació 6 6. Idetermiació Idetermiació 8 8. Calcula los guietes límites de fucioes racioales.. Idetermiació. Idetermiació. Idetermiació. Idetermiació. Actividad resuelta. Itroducció al cocepto de límite Uidad 69

15 . Calcula los guietes límites de fucioes racioales.. Idetermiació. Idetermiació. Idetermiació. Idetermiació. Resuelve estas idetermiacioes del tipo Uidad Itroducció al cocepto de límite

16 . Estudia la cotiuidad de cada ua de las guietes fucioes racioales y clafica sus discotiuidades. f f f f E, f preseta ua discotiuidad evitable porque. La fució es cotiua e,, y preseta ua discotiuidad evitable e. E, f preseta ua discotiuidad ievitable de salto ifiito porque f. La fució es cotiua e,, y preseta ua discotiuidad ievitable de salto ifiito e. E, f preseta ua discotiuidad ievitable de salto ifiito porque. La fució es cotiua e,, y preseta ua discotiuidad ievitable de salto ifiito e. Df La fució es cotiua e toda la recta real.. Aaliza la cotiuidad de las fucioes y clafica sus discotiuidades. f < < g h 7 La fució es cotiua e porque f f f. E hay ua discotiuidad ievitable de salto fiito porque f y f. La fució es cotiua e,, y preseta ua discotiuidad ievitable de salto fiito e. La fució es cotiua e porque g. E hay ua discotiuidad ievitable de salto ifiito porque g. La fució es cotiua e,, y preseta ua discotiuidad ievitable de salto ifiito e. E preseta ua discotiuidad ievitable de salto ifiito porque h. E 7 hay ua discotiuidad evitable porque pero o eiste h La fució es cotiua e,, 7 7, y preseta ua discotiuidad ievitable de salto ifiito e y ua discotiuidad evitable e 7. Itroducció al cocepto de límite Uidad 7

17 6. La fució f o está defiida e ± y. Aaliza el tipo de discotiuidad que preseta la fució e cada uo de estos putos. Defie los valores que debería tomar la fució e esos putos para evitar esas discotiuidades cuado sea poble. La fució f E preseta ua discotiuidad evitable pues o está defiida e ± y. E preseta ua discotiuidad ievitable de salto ifiito pues E preseta ua discotiuidad evitable porque y f o eiste.. 7 y f o eiste. Se puede evitar las discotiuidades e y e. Para evitar esas discotiuidades la fució debería valer f f y f f 7. a < π f se π π 7. Calcula los valores de a y b para que la fució f sea cotiua: b π < Represétala gráficamete. Los putos que se debe estudiar so π y π, ya que e estos valores cambia la defiició de la fució. f f a π a f π se π π π π se π se π Para que sea cotiua e π, el valor de la fució y de los límites debe coicidir: π a a π π f se se fπ se π π f b π b π π π Para que sea cotiua e π, el valor de la fució y de los límites debe coicidir: π b b π 8. Halla los valores de a y b para que la fució guiete sea cotiua e todo su domiio. f a b Es discotiua e algú puto? a f a y f f b y f b Df {} y como f 7, la fució preseta ua discotiuidad de salto ifiito e. Uidad Itroducció al cocepto de límite

18 9. La fució f es cotiua para cierto valor de a. 8 f a < < 8 Calcula el valor de a. Represeta la fució para ese valor de a. Represeta la fució para a y eplica el tipo de discotiuidad que preseta la fució. Los putos que se debe estudiar so y, ya que e estos valores cambia la defiició de la fució. f f 8 f a a Para que sea cotiua e, el valor de la fució y de los límites debe coicidir: a a f f 8 f a a Para a la fució es cotiua. E y e hay discotiuidades ievitables de salto fiito.. Dada la fució: < < f Calcula f, f, f, f,, f. Justifica que la fució es cotiua e toda la recta real., f, f. f f,, f,,,,8 y Los putos que se debe estudiar so y, ya que e estos valores cambia la defiició de la fució. E el resto de putos la fució es cotiua. f La fució es cotiua e porque f, y f.. La fució es cotiua e porque f, f y f La fució es cotiua e toda la recta real. Itroducció al cocepto de límite Uidad 7

19 . Resuelve los guietes límites de suceoes. e f Todos los límites so idetermiacioes tipo. f 7 e e e e e e e e e e Uidad Itroducció al cocepto de límite e e

20 . Calcula los guietes límites de suceoes. e f e f. Actividad resuelta Itroducció al cocepto de límite Uidad 7

21 . Calcula estos límites. Aparece la idetermiació. Como el epoete empre es impar, la fució es empre egativa, por lo que se puede escribir el límite como: e 8 e 8 8 e Aparece la idetermiació. Como el epoete empre es par, la fució es empre potiva, por lo que se puede escribir el límite como: 6 e e6 Aparece la idetermiació. Como el epoete empre es par, la fució es empre potiva, por lo que se puede escribir el límite como: e e Aparece la idetermiació. e e e. Actividad resuelta. 6. Halla el valor de los guietes límites de fucioes. 76 e Uidad Itroducció al cocepto de límite e

22 7. Los guietes límites de fucioes da lugar a idetermiacioes del tipo. Resuélvelas. e 8 e 8 e e 8 8. Calcula los límites que da lugar a idetermiacioes Idetermiació Idetermiació. Idetermiació. Idetermiació 9. Sea f 7 y g, calcula: f g e f g f 7 e f g 8 f g 9 f g f g f : g f g f g f g f g 7 f f : g Itroducció al cocepto de límite Uidad 77

23 6. Calcula los guietes límites de suceoes racioales.. Idetermiació. Idetermiació. Idetermiació. Idetermiació 6. Calcula y justifica que. Idetermiació o eiste.. La solució de esta iecuació es, [, y, por tato, la fució o eiste por la izquierda de. El límite o eiste porque el domiio de la fució so los valores de que satisface 6. Aa se ha pasado toda la mañaa cotado los coches que pasaba por su calle para su estudio sobre cotamiació. Cada miutos aputaba e ua gráfica la catidad de coches que había pasado e ese periodo de tiempo. La gráfica que obtuvo al cabo de 6 horas es: Para obteer ua fució que se ajuste a la gráfica, le pide ayuda a su hermaa mayor, que le da esta respuesta: La fució es cotiua y pasa por el puto,. Las costates k, a y b que falta las puedes hallar tú. k f a b < < 6 Calcula esas costates y represeta la gráfica de la fució para valorar el ajuste. Ayúdate de tu compañero y propoed otra fució que tambié ajuste los datos de Aa. La fució pasa por, k. La fució es cotiua e f f a b f a b y es cotiua e f f f a b a b. 78 Uidad Itroducció al cocepto de límite

24 a b a a b f < a b < 6 { 6. U cietífico ha obteido que el úmero de miles de bacterias que hay e u cultivo de laboratorio viee dado por la fució: t t f t < t t Dode la variable, t, represeta el tiempo e horas. Determia: El úmero de bacterias que había al pricipio. El úmero de bacterias que hay al cabo de miutos. A partir de qué istate habrá meos de bacterias. Qué ocurrirá co el úmero de bacterias al cabo de mucho tiempo? e Es cotiua la fució ft? f. Al pricipio había bacterias. miutos, horas f,,86. Al cabo de miutos había 86 bacterias, aproimadamete. < < t t >. A partir de las horas habrá meos de bacterias. t f. Al cabo de mucho tiempo las bacterias desaparecerá. t t t e El puto que se debe estudiar es, ya que e este valor cambia la defiició de la fució. E el resto de putos la fució es cotiua. f La fució es cotiua e porque f, t y t f t t. t t Itroducció al cocepto de límite Uidad 79

25 6. Iree y Ricardo se propoe ahorrar para poder comprar material escolar para el próimo curso. Iree comieza co CENT, al día guiete añade otros los que añadió el día aterior. Ricardo comieza co CENT, al día guiete añade, y cada día va añadiedo u cétimo más de los que añadió el día aterior. CENT y cada día va añadiedo CENT más de Escribe los primeros térmios de la suceó que obtiee cada uo de ellos co el úmero de cétimos que va acumulado cada día. d. Calcula a, b, c y d. Llegaría algua vez a teer ahorrado Iree el doble de cétimos que Ricardo? El térmio geeral de cada ua es: I a b R c Iree:,, 8,,,,, 8, 7, 9... Ricardo:,, 6, 9,, 8,,, 9, 8 Como I e I, se platea el guiete stema: b a b a b I {aa b {a b Como R e R, se platea el guiete stema: d 7 c d c d c d 9 d c R c d c d c d { { Para comprobar Iree tedrá algua vez el doble de diero que Ricardo se platea la ecuació I R: 6 6 La ecuació o tiee solució. Por tato, Iree uca tedrá el doble de diero que Ricardo. 6. Si f ua fució estrictamete creciete e, codera las guietes afirmacioes: I. II. f III. f es cotiua e f IV. f puede estar acotada e Etoces se verifica: A. Todas so ciertas ecepto III C. Todas so falsas. B. La úica cierta es IV D. Todas so verdaderas. < es ua fució creciete e, pero o verifica I porque f La fució f es ua fució creciete e, pero o verifica i II i III porque f y La fució f la fució o es cotiua e. Por tato, la úica afirmació que se puede asegurar es que ua fució f cotiua e puede estar acotada. La respuesta correcta es la B. 66. La suceó racioal: uo. Su límite es: A. 6,,,... tiee por térmio geeral u cociete de poliomios de grado 7 B. El térmio geeral de la suceó es a C. D. 6 y su límite es. 7 La respuesta correcta es la C. 8 Uidad Itroducció al cocepto de límite

26 67. Si f y g el f g o puede ser: a a a A. B. C. Nigua de las dos D. Puede ser las dos cosas. Si f a y g a, etoces f g a a a a Si f y g a a, etoces f g a a a a a El límite f g puede ser cualquiera de las dos opcioes. a La respuesta correcta es la D. Ecuetra el error 68. Pilar ha hecho ua descripció de las discotiuidades de la guiete fució. Corrige lo que sea erróeo. Hay ua discotiuidad evitable e. Hay ua discotiuidad ievitable cuado tiede a por la derecha. Hay ua discotiuidad evitable e. El error está e coderar que hay ua discotiuidad evitable e. E hay ua discotiuidad ievitable de salto ifiito porque f. Itroducció al cocepto de límite Uidad 8

27 PONTE A PRUEBA Iterés cotiuo Actividad resuelta El gasto e ocio y cultura El lues de septiembre de, la EAE Buess School Escuela de Admiistració de Empresas presetó el estudio sobre El Gasto e Ocio y Cultura e España e el que aalizaba la iveró e biees culturales y de ocio e España. Segú el aális realizado por EAE, e se ivirtiero e España 7 99 milloes de euros e ocio, cultura y espectáculos, u 7,8 % meos que el año aterior. El gasto ha caído u 7 % respecto a 6 y u % respecto a 7. Tambié desciede el gasto medio por hogar, que pasa a ser de 7 y cae u 8 % respecto a, y el gasto medio por persoa, que se túa e 67 auales y preseta ua caída del 7 % respecto del año aterior. E u colectivo de familias se hace u estudio particular relacioado el gasto mesual, G, co sus igresos mesuales,, ambos e miles de euros, y se obtiee ua relació que puede epresarse mediate la fució:, G,,7. < < Qué catidad se ivirtió e España e el año e ocio y cultura? Y e 7? Llamamos a la catidad ivertida e e España e ocio y cultura. 7,8 % de 7 99, , ,6 E España, e, se ivirtiero,6 milloes de euros e ocio y cultura. Llamamos y a la catidad ivertida e 7 e España e ocio y cultura. y % de y 7 99 y,y 7 99,76y 7 99 y 6 88,9 E España, e 7, se ivirtiero 6 88,9 milloes de euros e ocio y cultura.. Cuál fue el gasto medio por hogar e? Llamamos al gasto medio por hogar e e España e ocio y cultura. 8 % de 7,8 7,9 7 67,6 El gasto medio por hogar e fue de 67,6.. Cuál es el úmero medio de persoas por hogar e? Llamamos al gasto medio por persoa e e España e ocio y cultura. 7 % de 67,7 67,9 67 6,69 El gasto medio por persoa e fue de 6,69. Como el gasto medio e fue de 67,6 por hogar y de 6,69 por persoa etoces el úmero medio de 67,6 persoa por hogar e es,6. 6,69. Es cotiua la fució gasto G? Los putos que se debe estudiar so y, ya que e estos valores cambia la defiició de la fució. E el resto de putos la fució es cotiua. E la fució preseta ua discotiuidad ievitable de salto fiito e porque: G,, y G,,7,,7, E la fució preseta ua discotiuidad ievitable de salto fiito e porque: G,,7,,7, y G La fució gasto G es cotiua e [,,,. 8 Uidad Itroducció al cocepto de límite 6, 7

28 . Justifica que el gasto e ocio y cultura de ese colectivo es empre creciete co los igresos. Si < la fució G, es ua recta co pediete a, potiva. Por tato, la fució G es creciete. Si, G, y G,,7,,7,. Por tato, la fució G es creciete. Si < < la fució G,,7 es ua recta co pediete a, potiva. Por tato, la fució G es creciete. Si, G,,7, y G creciete. 6,. Por tato, la fució G es 7 es creciete porque < < < < < > < Si < la fució G G < G. < La fució G es creciete. 6. Justifica que, segú ese estudio, igua familia de ese colectivo realiza u gasto superior a mesuales e ocio y cultura. G La fució es creciete y, miles de euros. Por tato, igua familia de este colectivo realiza u gasto superior a. 7. Si los igresos de ua familia e fuero de, y e, de 9, se puede decir que la fució del colectivo de familias refleja la tuació descrita por la EAE?,,96 y G,9,,9,7,. Esta familia gastó, e, 9,6 e, ocio y cultura y, e el año,. Como G, Por tato, como 9,6,8, el gasto de esta familia e descedió u,8 % respecto al. 9,6 Este porcetaje es superior al 8 % que obtuvo la EAE e su estudio. AUTOEVALUACIÓN. Calcula los guietes límites de fucioes Idetermiació. Idetermiació Itroducció al cocepto de límite Uidad 8

29 . Halla los guietes límites e el ifiito Idetermiació Idetermiació Resuelve las guietes idetermiacioes.. Idetermiació. Idetermiació 8 7. Idetermiació. Idetermiació. 7 e e e e e. Idetermiació. Idetermiació Uidad Itroducció al cocepto de límite e

30 . Calcula los guietes límites de suceoes Idetermiació 8 8. Idetermiació.. Idetermiació Calcula los guietes límites Idetermiació Idetermiació. Idetermiació e e e e e. Idetermiació Estudia la cotiuidad y la discotiuidad de la fució: < f < 7 < E la fució preseta ua discotiuidad ievitable de salto ifiito porque f. E la fució preseta ua discotiuidad evitable porque f o eiste y f f. La fució f es cotiua e,,,. Itroducció al cocepto de límite Uidad 8