Análisis de Resultados con Errores

Transcripción

1 Análss de Resultados con Errores Exsten dos tpos de errores en los expermentos Errores sstemátcos errores aleatoros. Los errores sstemátcos son, desde lejos, los más mportantes. Errores Sstemátcos: Exsten errores que se pueden elmnar medante el mejoramento del procedmento expermental (no necesaramente mejorando el nstrumento. Ejemplos de lo anteror son: errores en el cero en un mcrómetro, luz ambente ncdendo en el detector, o el error ntroducdo en una medcón de precsón usando una regla de acero debdo a cambos en la temperatura ambente. Estos son normalmente constantes o varían mu lentamente dentro de la escala de tempo en que se realza el expermento. Estos son errores que en general pueden ser controlados. Gran parte de la habldad nvolucrada en la físca expermental resde en poder aslar elmnar los errores sstemátcos. Por ejemplo, una sere de datos que decrece constantemente en el tempo revela un error sstemátco. Los errores sstemátcos no se pueden trabajar con las ecuacones mostradas a contnuacón. La maoría de los errores que usted tendrá en el laboratoro serán sstemátcos. Errores Aleatoros: Estos son los errores que quedan una vez que todos los errores sstemátcos se han removdo. Estos pueden surgr de ambgüedades o ncertezas en el método de medcón debdo por ejemplo a la precsón del aparato o debdo a fluctuacones aleatoras que son demasado rregulares o rápdas como para ser observadas en detalle. Las ecuacones a contnuacón sólo se aplcan a errores aleatoros. Suponga que hace n déntcas medcones de una cantdad x. La mejor estmacón del valor verdadero es el promedo de las medcones. (x x = 1 + x +...x n n La mejor estmacón de la desvacón estándar de la muestra está dada por σ = n ( x x n 1 A veces ésta es llamada σ n 1 es una medda de la precsón del aparato usado en la medcón. Tambén dce cuan cerca del valor real, se encontrará una sola medcón hecha con el msmo aparato.

2 El error estándar de la medcón es, δx δx= σ /n 1/ Este dce cuán cerca un conjunto de n medcones se encuentra del valor real. Notar que s ben σ no camba sgnfcatvamente a medda que n crece, (es la desvacón estándar de la muestra, δx decrece como n 1/. Esto demuestra que se puede aumentar la precsón a sea aumentando la precsón del aparato o aumentando el número de medcones hechas. El valor de x debe ser mostrado como x ± δx se debe ndcar cuántas medcones se tomaron (n s fue un número pequeño. Combnacón de Errores. En muchos expermentos, se trata de medr una cantdad, a, que es funcón de otras cantdades, b, c, d, etc..., cada una de las cuales tene un error asocado. El error de a obvamente depende de los errores de b, c, d, etc... Fórmula General: S a =f(b,c,d, δb es el error en b... entonces: a b a c ( δa = δb + δc +... donde a b es la dervada parcal de a con respecto de b. Casos Específcos: Usando la fórmula anteror, se puede demostrar fáclmente, que: Para a= nb + mc, ( δa = ( xδb + ( δc +... a=b n c m a, a b = n b c + m (m n constante c

3 Errores en los Gráfcos. S la cantdad a medr varía lnealmente con otra cantdad (o alguna funcón de esta cantdad entonces es aconsejable hacer un gráfco. Los datos no concdrán exactamente con una línea recta debdo a los errores en las medcones. Sn embargo exste la línea de tendenca, dada por =a+bx, que es la línea recta que se ajusta lo mejor posble a los datos. Los coefcentes a b de la línea de tendenca son los que tenen el valor mínmo del cuadrado de las desvacones de cada punto de la línea recta. Para encontrar los valores de a b es necesaro maxmzar la probabldad de obtener el conjunto de medcones observado. Este es el método de los mínmos cuadrados. Para un conjunto de n datos (a decr n valores dferentes de x con sus valores respectvos de cuando el error es en la varable, los coefcentes a b sus errores son dados por las ecuacones sguentes. = a + bx a = b = 1 ( Σx Σ 1 ( nσx Σx Σx Σx Σ = NΣx Σx ( δ = σ σ b = n a Σx δ donde σ = Σ( a bx n El alumno debe leer entender el procedmento para obtener dchos resultados. Para hacer el análss sugero que haga una planlla de cálculo en Excel para obtener los coefcentes.

4 Ejemplo de Análss. Una alumna realza un expermento para medr la constante de un resorte. Ella cuelga varas masas de un resorte mde el largo L, de él. Así encuentra el largo del resorte como funcón de la fuerza aplcada. La teoría dce que kl=f donde k es la constante del resorte, L=L-L 0 (L 0 es el largo del resorte sn fuerza aplcada F=mg. Como resultados ella obtene Mass, m (kg Largo L (cm Luego calcula la constante del resorte el largo del resorte sn fuerza aplcada. Se puede suponer que el error en la masa es nsgnfcante que g=9.800 m/s² k L = k L L = mg ( 0 por lo tanto g L = L 0 + m k Entonces un gráfco de L contra m debería tener la forma de una línea recta con pendente g/k corte L 0. La tabla 1 muestra una forma convenente de una planlla de cálculo para calcular los valores de la pendente corte de la línea de tendenca sus errores. Tabla 1 x =m (kg =L (m x x ( -(a+b x E E E E E E E E-06 Σ E-05 Utlzando las ecuacones de arrba se obtenen para la línea de tendenca a= ± 0.00 b= ± = a + bx

5 Fgura 1 muestra el gráfco de los datos la línea de tendenca con los valores de a b calculados L (m m (kg Fgura 1: Gráfco del largo del resorte (L en funcón de la masa colgada (m con la línea de tendenca. g La ecuacón de la línea recta es L = L 0 + m k largo del resorte con cero fuerza aplcada. L 0 = a δl 0 = δa. L 0 corresponde al Y g g b = k = k b = = además δk k δb = b δ k = kδb b = = 9.8 Entonces el valor de la constante del resorte es 160±10 Nm -1 el largo del resorte sn fuerza aplcada es ±0.00 m. N 1

6 Puntos para Recordar Cuando se hace un expermento se debe tratar de encontrar qué medcón es la que está causando el maor error, para mejorar su precsón. Generalmente, no se debe mostrar más de 1 cfra sgnfcatva en el valor del error. Esto tambén determna el número de cfras sgnfcatvas hasta el cual el resultado debe ser mostrado. El resultado mostrado, no debe contener más cfras sgnfcatvas que aquellas que garantza el error, de esta manera, 1.63±0.08 es correcto, NO ± Sn embargo s la prmera cfra sgnfcatva en el error es pequeña, se lo puede escrbr con dos cfras sgnfcatvas, por ejemplo 1.635± Nótese que el valor promedo el error se escrben con la msma precsón. Recuerde que aunque su calculadora le brnde 10 cfras sgnfcatvas, su resultado NO es así de precso. En mu pocos casos la precsón de una medcón estará dada por la precsón del nstrumento, por ejemplo, un multímetro puede ser precso hasta un 0.5% pero varas medcones de una cantdad pueden tener un error maor a éste debdo a otras fuentes de error. En sus cuadernos e nformes sempre debe mostrar los cálculos de los errores. Un resultado con un error grande, pero justfcable, que nclua el valor aceptado dentro de su rango, es mejor que un resultado con un error pequeño que no nclua el valor aceptado. Esto muestra que se pensó cudadosamente en el procedmento expermental de manera de justfcar dcho error. Prof. I Mtchell