Integrales de lı nea y de superficie

Transcripción

1 EJERIIO DE A LULO II PARA GRADO DE INGENIERI A Elaborados por Domingo Pestana y Jose Manuel Rodrı guez, con Arturo de Pablo y Elena Romera Integrales de lı nea y de superficie Integrales sobre curvas y campos conservativos. Problema 4.1. Integra i f x, y = 2xy 2 sobre el primer cuadrante de la circunferencia de radio R. ii f x, y, z = x2 + y 2 + z 2 2 a lo largo del arco de he lice circular rt = cos t, sen t, 3t, desde el punto 1, 0, 0 hasta el punto 1, 0, 6π. Problema 4.2. Determina la longitud y la masa de un hilo cuya forma es el arco de para bola y = x2 desde 0, 0 hasta 2, 4 y cuya densidad es ρx, y = x. Problema 4.3. En los ejercicios que siguen, calcula la integral de lı nea del campo vectorial f a lo largo del camino que se indica: i f x, y = x2 2xy, y 2 2xy, a lo largo de la para bola y = x2 desde 1, 1 a 1, 1, ii f x, y = x2 + y 2, x2 y 2, a lo largo de la curva y = 1 1 x,desde 0, 0 a 2, 0, iii f x, y, z = y 2 z 2, 2yz, x2, a lo largo del camino descrito por rt = t, t2, t3, con t [0, 1], iv f x, y, z = 2xy, x2 + z, y, a lo largo del segmento que une 1, 0, 2 con 3, 4, 1 Problema 4.4. e considera la funcio n vectorial f x, y = x2, y. alcula la integral de lı nea de f desde 1, 0 hasta 1, 0 a lo largo de: i El segmento que une ambos puntos. ii Los dos recorridos posibles del recta ngulo [ 1, 1] [ 1, 1]. iii La semicircunferencia superior que une ambos puntos. Problema 4.5. alcula: Z i x ydx + x + ydy, siendo g el segmento que une 1,0 con 0,2. g Z x3 dy y 3 dx, siendo la circunferencia unidad. ii Z dx + dy, siendo Γ el cuadrado de ve rtices 1,0, 0,1, 1, 0 y 0, 1, recorrido en sentido Γ x + y contrario a las agujas del reloj. Z iv x + 2ydx + 3x ydy siendo ρ la elipse de ecuacio n x2 + 4y 2 = 4, recorrida en sentido iii ρ contrario a las agujas del reloj. Z 3 y dx xy 2 dy v, siendo R la curva x = 1 t2, y = t 1 t2, 1 t 1. 5 x R 1

2 2 Problema 4.6. alcula: i y dx x dy +z dz, siendo la curva de intersección del cilindro x 2 +y 2 = a 2 y el plano z y = a en sentido antihorario. ii F, siendo Fx, y, z = 2xy + z 2, x 2, 2xz y la intersección del plano x = y con la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2, recorrida en cualquiera de los dos sentidos. iii F, siendo Fx, y, z = y, z, x y la curva intersección de x 2 + y 2 = 2x con x = z, recorrida en sentido positivo. Problema 4.7. Una partícula de masa m se mueve desde t = 0 hasta t = 1 describiendo la curva: rt = t 2, sen t, cos t, t [0, 1]. Halla la fuerza que actúa sobre la partícula sabiendo que viene dada por la expresión Ft = mr t segunda ley de Newton. alcula también el trabajo total realizado por dicha fuerza. Problema 4.8. Halla el valor de b > 0 que minimiza el trabajo producido al mover una partícula sometida al campo de fuerzas Fx, y = 3y 2 + 2, 16x, desde 1, 0 hasta 1, 0, a lo largo de la semielipse b 2 x 2 + y 2 = b 2, y 0. Problema 4.9. onsidera el campo de fuerzas Fx, y = cxy, x 6 y 2, a, b, c > 0. alcula el parámetro a en términos de c para que el trabajo producido al mover una partícula a lo largo de la parábola y = ax b desde x = 0 hasta x = 1 no dependa de b. Problema alcula el trabajo producido al mover una partícula sometida al campo de fuerzas en polares Fr, θ = 4 sen θ, 4 sen θ, a lo largo de la curva r = e θ desde el punto 1,0 hasta el origen. Problema ea Fx, y, z = sen y + z, x cos y + e z, x + ye z. i Prueba que la integral sobre cualquier curva cerrada, regular a trozos, vale 0. ii Obtén el potencial de F, es decir, encuentra φ tal que F = φ. Problema alcula F, siendo Fx, y, z = 2xze x2 +y 2, 2yze x2 +y 2, e x2 +y 2 y la curva en R 3 dada por rt = t, t 2, t 3, 0 t 1. Problema ea la curva en R 3, t = e t2 + t1 e 1, sen 5 πt, cost 2 t, t [0, 1], y el campo vectorial Fx, y, z = y + z + x 4 sen x 5, x + z + arctg y, x + y + sen 2 z. i Halla F. ii Existe f tal que f = F? En caso afirmativo halla f. Problema ea la curva en R 3, Γ = { x 2 + y 2 = 1, z = y 2 x 2 }, y el campo vectorial Fx, y, z = y 3, e y, z. i Halla F. Γ ii Existe f tal que f = F? Problema Determina a y b de manera que el campo vectorial wx, y = e 2x+3y a sen x + a cos y + cos x, b sen x + b cos y sen y sea conservativo, y calcula la función potencial correspondiente.

3 3 Problema onsidera el campo vectorial logxy Fx, y =, x logxy, y definido para x > 0, y > 0, y sean a > 0, b > 0 dos constantes. i alcula F siendo el arco de la hipérbola xy = a con x 1 x x 2. ii i A es un punto cualquiera de la hipérbola xy = a, B es un punto cualquiera de la hipérbola xy = b, y es una curva cualquiera de clase 1, contenida en el primer cuadrante que une A con B, prueba que 4.2 Integrales sobre superficies. F = 1 2 logab logb/a. Problema alcula el área de las siguientes superficies: i esfera de radio R; ii cono circular parametrizado por ru, v = u cos v, u sen v, u, donde 0 u a y 0 v 2π. iii porción del paraboloide z = x 2 + y 2 que se encuentra dentro del cilindro x 2 + y 2 = a 2 ; iv porción del cilindro x 2 + z 2 = 16 limitada por el cilindro x 2 + y 2 = 16. Problema Halla el área de la superficie de la esfera x 2 +y 2 +z 2 = a 2 situada fuera de los cilindros x 2 + y 2 = ±ax. Problema i Deduce la fórmula del área de la superficie de revolución obtenida al girar la gráfica y = fx, 0 < a x b, alrededor del eje vertical: A = 2π b a x 1 + f x 2 dx, con la parametrización sr, θ = r cos θ, r sen θ, fr, donde a r b y 0 θ 2π. ii Obtén el área de la superficie del toro obtenido al girar la gráfica x R 2 + y 2 = c 2, 0 < c < R. iii Deduce la parametrización correspondiente para obtener la fórmula análoga en el caso de girar la gráfica y = fx, a x b, alrededor del eje horizontal. Problema ea el conjunto de R 3, W = {1 z x 2 +y 2 1/2 }. Demostrar que W tiene volumen finito pero su frontera tiene área infinita. Problema Halla el momento de inercia respecto de un diámetro de una lámina esférica homogénea de masa m y radio a. 4.3 Teoremas de Green, tokes y Gauss. Problema alcula 5 xy y 2 dx 2xy x 2 dy siendo el cuadrado de vértices 0,0, 1,0, 1,1 y 0,1, directamente y aplicando el teorema de Green. Problema ea f una función derivable en R. ean y P x, y = e x2, Qx, y = fy, 3 + exy y la frontera del cuadrado [0, 1] [0, 1] recorrida en sentido positivo. alcula P dx + Qdy.

4 4 Problema ean las funciones P x, y = y/x 2 + y 2 y Qx, y = x/x 2 + y 2. ea una curva cerrada, regular a trozos, que no pasa por el origen, con = D. i Demuestra que Q x = P y. ii i 0, 0 D, prueba que P dx + Q dy = ±2π, dependiendo de la orientación de. iii i 0, 0 / D, calcula P dx + Q dy. Problema Evalúa que contiene al punto 1,0 en su interior. Problema y dx + x 1 dy x y 2, siendo una curva cerrada, simple, regular a trozos, i ea A el área de un dominio D, acotado por curva cerrada, simple, regular a trozos, y orientada en sentido positivo contrario a las agujas del reloj. Prueba que A = 1 y dx + x dy, 2 y que en coordenadas polares es A = 1 2 r 2 θ dθ. ii alcula el área interior al bucle que forma la curva parametrizada como st = t 2 1, t 3 t. iii alcula el área de la cardioide en polares rθ = a1 cos θ, 0 θ 2π. Problema i alcula x + 2ydxdy, donde D es el dominio acotado por el intervalo [0, 2π] y la arcada de la D cicloide x = t sen t, y = 1 cos t, con 0 t 2π. ii alcula xy 2 dxdy, donde D es el dominio limitado por el astroide x = cos 3 t, y = sen 3 t, D 0 t π/2 y los ejes. iii alcula y 2 dxdy, donde D es el dominio limitado por la curva x = at sen 2 t, y = a sen 2 t, D 0 t π, y la recta que une sus extremos. Problema Utilizando el teorema de tokes calcula la integral donde está orientada según la normal exterior: i Fx, y, z = x 2 y 2, yz, xy y el paraboloide z = a 2 x 2 y 2, z 0. ii Fx, y, z = 1 zy, ze x, x sen z y la semiesfera superior de radio a. rot F en los siguientes casos, iii Fx, y, z = x 3 + z 3, e x+y+z, x 3 + y 3 y = { x 2 + y 2 + z 2 = 1, y 0 }. Problema onsidera el campo vectorial Fx, y, z = y, x 2, x 2 + y 4 3/2 sene xyz. alcula rot F n, donde n denota la normal interior al semielipsoide = {x, y, z : 4 x y z 2 = 36, z 0}. Problema ea Fx, y, z = 2y, 3z, x y T el triángulo de vértices A0, 0, 0, B0, 2, 0 y 1, 1, 1.

5 5 i Da una orientación a la superficie del triángulo T y la inducida en la frontera. ii alcula la integral de línea del campo F sobre la frontera de T. Problema e consideran la función Fx, y, z = y senx 2 + y 2, x senx 2 + y 2, z3 2y y el dominio W = {x, y, z R 3 / x 2 + y 2 + z 2 1, z 0}. alcula F, si W se orienta con la normal exterior. Problema Verificar el teorema de tokes para i Fx, y, z = y 2, xy, xz, en el paraboloide z = a 2 x 2 y 2, z 0. ii Fx, y, z = y 3, x 3, z 3 en = { z = y, y 0, x 2 + y 2 1 }. Problema alcula la integral F, donde se orienta con la normal que apunta hacia arriba con tercera componente positiva en el apartado i, y con la normal exterior en los apartados ii iii iv: i Fx, y, z = 18z, 12, 3y, y es la región del plano 2x + 3y + 6z = 12 situada en el primer octante. ii Fx, y, z = x 3, x 2 y, x 2 z, y es la superficie cerrada que consta del cilindro x 2 + y 2 = a 2, 0 z b, y sus tapas superior e inferior. iii Fx, y, z = 4xz, y 2, yz, y es la superficie que limita el cubo 0 x, y, z 1. iv Fx, y, z = x, y, z, y es una superficie cerrada simple. Problema ea el cuadrado de vértices 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 y 0, 1, 1 orientado con la normal de primera coordenada positiva. e considera también el campo vectorial alcular Fx, y, z = xy 2, 2y 2 z, 3z 2 x. rot F n de dos maneras distintas directamente y utilizando el Teorema de tokes. Problema e consideran la superficie = { x, y, z R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1, y 0 } orientada con la normal exterior a la esfera unidad, y la función Fx, y, z = x + z, y + z, 2z. i alcula F n. ii alcula rot F n. Problema alcula el flujo del campo vectorial Fx, y, z = y 2, yz, xz a través de la superficie del tetraedro acotado por x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1, orientada según la normal exterior. Problema upongamos que la temperatura en cada punto del espacio sea proporcional al cuadrado de la distancia al eje vertical, y consideremos el dominio V = { x, y, z R 3 : x 2 + y 2 2z, z 2 }. i alcula el volumen de V. ii alcula la temperatura promedio en V. iii alcula el flujo del gradiente de temperatura a través y hacia fuera de V. Problema alcula F n en los siguientes casos, donde n denota la normal exterior en los apartados i iii iv, y la normal que apunta hacia arriba con tercera componente positiva en el apartado ii: i Fx, y, z = x 2, y 2, z 2 y la frontera del cubo 0 x, y, z 1. W

6 6 ii Fx, y, z = xy, x 2, x+z y la porción del plano 2x+2y +z = 6 situada en el primer octante. iii Fx, y, z = xz 2, x 2 y z 2, 2xy + y 2 z y la semiesfera superior z = a 2 x 2 y 2. iv Fx, y, z = 2x 2 + cos yz, 3y 2 z 2 + cosx 2 + z 2, e y2 2yz 3 y la superficie del sólido engendrado por el corte del cono z x 2 + y 2 y la bola x 2 + y 2 + z 2 1. Problema ea la esfera de radio a orientada con su vector normal exterior, y sea el campo vectorial Fx, y, z = sen yz + e z, x cos z + log1 + x 2 + z 2, e x2 +y 2 +z 2. alcula F n. Problema ea = 1 2, donde 1 y 2 son las superficies 1 = { x 2 + y 2 = 1, 0 z 1 } 2 = { x 2 + y 2 + z 1 2 = 1, z 1 }, y sea el campo vectorial Fx, y, z = zx + z 2 y + x, z 3 yx + y, z 4 x 2. i alcula rot F n utilizando el teorema de tokes. ii alcula la misma integral utilizando el teorema de la divergencia. Problema ea h : R 2 R una función diferenciable. Halla F n, donde n es el vector normal unitario interior a Ω, y Fx, y, z = e y2 +z 2 + x 1 Ω e t2 +y 2 t 2 + y dt, 2 senx2 + e z, hx, y, Ω = { x, y, z R 3 : x 2 + y 2 1, 0 z x 2 + y 2, x 0, y 0 }. Problema onsidera el campo vectorial alcula Ω Fx, y, z = y e z, x 0 e t2 +cos z dt, zx 2 + y 2. F n, donde n denota la normal exterior a la frontera del dominio Ω = {x, y, z : x 2 + y 2 + z 2 < a 2, x 2 + y 2 < z 2 }.