el moviment. 1.1 El mòbil puntual i la seva trajectòria 1.2 El temps

Transcripción

1 El moviment En el nostre temps, la velocitat es viu com una necessitat, com un plaer i com un espectacle. Però, quan no es domina, sempre és un perill. 1. El moviment. Moviment rectilini i uniforme 3. Moviment variat. L acceleració 4. Moviment rectilini uniformement variat 5. La caiguda lliure dels cossos 6. Moviment circular

2 1. El moviment La cinemàtica és la part de la física que estudia el moviment. Anomenem mòbil el cos del qual estem estudiant el moviment. El moviment consisteix en el canvi de posició d un mòbil en transcórrer el temps. Per poder estudiar un moviment, abans de tot, hem de saber determinar la posició del mòbil. Observa que, per descriure la posició de qualsevol objecte, hem d utilitzar expressions com ara «sobre la taula», «a la dreta de la finestra», «a un metre d altura»..., fent referència a altres cossos (la taula, la finestra, el terra...). La posició d un objecte sempre l expressem respecte a un cos o conjunt de cossos, els quals anomenem sistema de referència o element de referència. Quan un cos està en moviment, la distància que el separa dels elements de referència varia en transcórrer el temps. Així, doncs, el moviment d un cos sempre es verifica amb relació a un altre o altres cossos. Això s expressa dient que tot moviment és relatiu. Tot i que no té sentit parlar de moviment sense especificar quins són els elements de referència, a vegades L astronauta de la fotografia es mou lentament respecte a la nau espacial i, alhora, gira a una velocitat de km/h al voltant del nostre planeta. Per tant, el seu moviment és molt diferent segons si aquests no es mencionen, perquè se ls sobreentén. Per prenem com a sistema de referència la nau o la Terra. exemple, si ens diuen que un camió es desplaça, entenem que s ha pres com a referència el terra (o el que és el mateix, la Terra). Si a l interior d un tren en marxa, un passatger afirma que la seva maleta no es mou, suposem que aquesta està en repòs respecte al tren. El punt P indica la posició d un vaixell. Es considera que aquest és un mòbil puntual perquè la seva grandària, tot i ser molt gran, resulta insignificant comparada amb la distància que recorre. Alguns exemples de moviments curvilinis són el moviment circular, el parabòlic i l el líptic, les trajectòries dels quals són, respectivament, una circumferència, una paràbola i una el lipse. 1.1 El mòbil puntual i la seva trajectòria En aquest text considerarem únicament un tipus de mòbil, el mòbil puntual. S anomena així un mòbil tan petit, comparat amb el seu recorregut, que es considera un punt geomètric. També rep els noms de massa puntual, punt material o partícula. Els punts per on passa un mòbil quan es desplaça formen una línia que s anomena trajectòria. Els moviments es classifiquen en rectilinis (amb trajectòria recta) i curvilinis (amb trajectòria corba). 1. El temps Ja hem indicat que el moviment és el canvi de posició d un cos en transcórrer el temps. Per això, és important saber expressar el temps transcorregut. El temps comprès entre dos instants s anomena interval de temps. La seva durada s obté sempre restant els temps corresponents a l instant final (t) i a l inicial (t 0 ). Aquesta diferència se simbolitza per Δt, que es llegeix «increment de temps». Aquest increment sempre és positiu, ja que el temps únicament transcorre en un sentit. Δt = t t 0 6

3 1.3 La posició i el desplaçament La posició Vegem un dels mètodes per determinar la posició d un mòbil puntual quan coneixem prèviament quina és la trajectòria del seu moviment. Per fer això, haurem d escollir i senyalar sobre la trajectòria del mòbil els elements de referència següents: Un punt qualsevol, O, que anomenarem origen. Un sentit, indicat mitjançant una punta de fletxa, que considerarem sentit positiu. Suposem que un mòbil, la trajectòria del qual és rectilínia, es troba en un punt P (figura A). La seva posició s expressa per la longitud x de la porció de trajectòria compresa entre O i P. Per indicar a quin costat de l origen es troba el mòbil, assignarem valor positiu a la longitud x si el sentit O cap a P és el que hem escollit com a positiu. Si és el contrari, li assignarem un valor negatiu. O A. La longitud x de la porció de trajectòria compresa entre O i P determina la posició del mòbil puntual. x P El desplaçament Si el mòbil puntual es desplaça des de P 0 fins a P (figura B), el canvi de posició l expressarem mitjançant la longitud de la porció de trajectòria compresa entre les posicions inicial i final del mòbil, i en direm desplaçament. Per calcular el desplaçament, restarem les longituds corresponents a la posició final i a la posició inicial del mòbil. Aquesta diferència se simbolitza amb Δx, que es llegeix «increment de x». Δx = x x 0 B. El desplaçament del mòbil és x x 0 = Δx. EXEMPLE Calcula el desplaçament del mòbil de la figura quan es trasllada: de A a B, de B a C, i de C a D. Calcula n també el desplaçament total. De A a B: Δx = x B x A = 4 m 1 m = 3 m De B a C: Δx = x C x B = m 4 m = 6 m De C a D: Δx = x D x C = 4 m ( m) = m Desplaçament total: Δx = 3 m 6 m m = 5 m D C A B 4 m m 0 m m 4 m ACTIVITATS 1 Un mòbil parteix de la posició x 0 = 46 km i realitza successivament els desplaçaments següents: x 1 x 0 = 37 km, x x 1 = 4 km i x 3 x = 15 km. Calcula les posicions x 1, x i x 3 del vehicle en acabar cadascun dels seus desplaçaments. Quin és el desplaçament total que ha realitzat? Quina diferència hi ha entre posició i desplaçament? 7

4 Observa que la velocitat mitjana únicament depèn de les posicions inicial i final del mòbil, però no de les seves posicions intermèdies. Per exemple, quan un mòbil realitza un recorregut i acaba tornant al punt de partida, diem que la seva velocitat mitjana en el recorregut complet és 0 (com si no s hagués mogut). 1.4 La velocitat Velocitat mitjana S anomena velocitat mitjana entre dos instants determinats el desplaçament que realitza un mòbil per unitat de temps entre aquests instants. Δx x x 0 v m = = Δt t t 0 On x i t representen, respectivament, els valors finals de la posició i el temps; x 0 i t 0 són els corresponents valors inicials. En el Sistema Internacional (SI), la unitat de longitud és el metre i la de temps, el segon. Per tant, la unitat de velocitat és el metre per segon (m/s). Un m/s és la velocitat d un mòbil que es desplaça un metre cada segon. A més de la unitat del SI, en la pràctica s utilitzen molt sovint altres unitats de velocitat; la més emprada és el quilòmetre per hora (km/h). Generalment, en l estudi dels moviments, emprarem més la velocitat instantània que la mitjana. Quan es menciona la velocitat d un mòbil sense especificar si es parla de la mitjana o de la instantània, s entén que és la velocitat instantània. Velocitat instantània Els velocímetres de les motos i dels cotxes no indiquen la velocitat mitjana del vehicle en un recorregut llarg, sinó la velocitat en cada instant, la qual denominem velocitat instantània. S anomena velocitat instantània la velocitat mitjana en un interval de temps molt curt. La rapidesa En la figura apareixen dos automòbils, A i B, que es mouen en sentits contraris. La velocitat del cotxe A, que es desplaça en sentit positiu, és de 0 m/s. Com que l automòbil B es mou en sentit contrari, la seva velocitat s ha de considerar negativa, de 0 m/s. En conseqüència, les velocitats dels vehicles A i B són diferents, ja que tenen diferent signe. Però podem dir que ambdós mòbils es mouen amb una rapidesa igual: 0 m/s. S anomena rapidesa el valor absolut de la velocitat. Per definició, la rapidesa no pot ser mai negativa. En el llenguatge comú s acostuma a confondre velocitat i rapidesa. A v = 0 m/s v = -0 m/s B Les velocitats dels dos cotxes són diferents; en canvi, es mouen amb una rapidesa igual. 8

5 . Moviment rectilini i uniforme Un moviment rep el nom de rectilini quan la seva trajectòria és una recta i uniforme quan la seva velocitat és constant. Això significa que la velocitat mitjana entre dos instants qualssevol sempre té el mateix valor. La velocitat mitjana i la instantània coincideixen. Per això, en el moviment uniforme, no es distingeix entre velocitat mitjana i velocitat instantània i parlem simplement de velocitat: Δx x x 0 v m = = Δt t t 0 L equació que expressa la posició del mòbil en funció del temps s anomena equació del moviment. L equació del moviment uniforme s obté aïllant x de l expressió anterior: x = x 0 + v (t t 0 ) = x 0 + v Δt Si un moviment té velocitat constant, però la seva trajectòria no és recta, direm que és un moviment curvilini uniforme. Les equacions anteriors també són vàlides per a aquest tipus de moviments. EXEMPLE Un vehicle es desplaça amb moviment uniforme, a una velocitat de 0 m/s, des d un punt A cap a un altre B, situat a 00 m de distància. a) Escriu l equació del seu moviment i calcula n la posició al cap de 15 s. b) Escriu l equació del moviment d un altre vehicle que, s més tard, surt de B i es desplaça cap a A a una velocitat de 30 m/s. a) Prendrem com a origen el punt A (per la qual cosa, x 0 = 0). Considerarem que el sentit del moviment és el positiu i que l instant en què el mòbil surt de A és t 0 = 0. Aplicant l equació x = x 0 + vδt, resulta: x = (t 0), és a dir, x = 0t. La posició al cap de 15 s s obté substituint t per aquest valor en l equació del moviment: x = 0 m/s 15 s = 300 m b) El segon mòbil surt de B (x 0 = 00 m), s després que el primer (en l instant t 0 = s). La seva velocitat és de 30 m/s. Aplicant l equació x' = x 0 + v Δt, resulta: x' = (t ), és a dir, x' = 60 30t. 3 ACTIVITAT Escriu les equacions dels moviments uniformes que tenen les característiques següents: Instant inicial Posició inicial Velocitat Mòbil 1 0 s 0m 4 m/s Mòbil 5 s 0 m 8 m/s Calcula les posicions dels dos mòbils en l instant t = s. 9

6 .1 Gràfiques del moviment rectilini i uniforme La gràfica velocitat-temps (v-t) La figura A representa les gràfiques velocitat-temps de dos mòbils amb moviments uniformes de sentits contraris. La velocitat del primer és de 5 m/s i la del segon és de 3 m/s. v m/s v m/s A. Gràfiques v-t de moviments uniformes. x/m x/m B. Gràfica posició-temps (x-t) d un moviment rectilini i uniforme amb velocitat positiva. La gràfica velocitat-temps d un moviment uniforme és sempre una recta paral lela a l eix de temps, ja que la velocitat té el mateix valor en tots els instants. En el primer exemple de la figura A, com que la velocitat és positiva, la recta es troba per sobre de l eix de temps. En el segon, el mòbil es desplaça en sentit contrari. És per això que la seva velocitat s ha de considerar negativa i la gràfica està per sota de l eix de temps. La gràfica posició-temps (x-t) Representem a continuació les gràfiques posició-temps dels dos mòbils de l exemple anterior. Suposem que el primer mòbil, que té una velocitat de 5 m/s, parteix de la posició x 0 = m en l instant t 0 = 0 s. L equació del seu moviment és: x = x 0 + v (t t 0 ) = + 5t x/m x/m Si donem diferents valors a t en l equació, obtindrem un conjunt de valors de x. Representant-los, s obté la gràfica B. La gràfica posició-temps d un moviment uniforme sempre és una recta, la inclinació de la qual depèn de la velocitat. Com més elevada sigui la velocitat, més gran serà l angle que forma la recta amb l eix de temps. Quan el mòbil es desplaça en sentit positiu, la velocitat és positiva i el valor de x augmenta amb el temps. Suposem que el segon mòbil, amb una velocitat de 3 m/s, parteix de la posició x 0 = 50 m en l instant t 0 = 0 s. 0 x = x 0 + v (t t 0 ) = 50 3t C. Gràfica posició-temps (x-t) d un moviment rectilini i uniforme amb velocitat negativa. Si donem valors diferents a t, obtindrem un conjunt de valors de x. Representant-los gràficament, s obté la gràfica de la figura C.

7 Podem observar que, quan un mòbil es desplaça en sentit negatiu, el valor de x disminueix en transcórrer el temps. La gràfica, al contrari que en el cas explicat en la pàgina anterior, resulta descendent (d esquerra a dreta). Si el mòbil estigués en repòs, la seva posició no variaria en transcórrer el temps. La gràfica resultaria, en aquest cas, una recta horitzontal. És útil representar dos o més moviments sobre els mateixos eixos per poder-los comparar fàcilment. Això ens permet de veure quina distància separa els mòbils en cada instant, determinar on i quan es creuen, etc. En la figura de la dreta s han representat sobre uns mateixos eixos les gràfiques x-t dels dos mòbils anteriors (figures B i C de la pàgina anterior). Podem comprovar, per exemple, que es creuen al cap de 5 s de començar a moure s, en un punt situat a 35 m de l origen (punt P de la gràfica D). x/m D. Gràfica x-t dels moviments anteriors (figures B i C), representada sobre els mateixos eixos. P EXEMPLE Un mòbil parteix de la posició x 0 = 0 m en l instant t 0 = 0 i es desplaça amb una velocitat constant v 1 = 0 m/s en sentit positiu. Un altre mòbil surt a perseguir-lo s més tard des de la posició x 0 = 0, a una velocitat v = 30 m/s. Determina gràficament quan i on, el segon vehicle atraparà el primer. L equació del moviment del primer mòbil és: La del segon mòbil és: x 1 = x 0 + v 1 (t t 0 ) = (t 0) = 0 + 0t x = x 0 + v (t t 0 ) = (t ) = 30t 60 En la figura apareixen les gràfiques corresponents. Les coordenades del punt on es tallen les dues rectes són la solució del problema. El segon mòbil atrapa el primer en l instant t = 8 s i en la posició x = 180 m. x/m Representa les gràfiques velocitat-temps i posició-temps per a un mòbil que, partint del punt x = 0, es desplaça a 7,5 m/s, des de l instant t 0 = 0 fins a t = 30 s. Dos punts, P i Q, disten 300 m. ACTIVITATS De P surt un mòbil i es dirigeix cap a Q a 15 m/s. Un altre mòbil surt de Q, 4 s més tard, i es dirigeix cap a P a 5 m/s. Determina i representa gràficament l instant i la posició en què es creuaran. a) Un vehicle es desplaça amb moviment uniforme, a una velocitat de 0 m/s, des d un punt A cap a un altre, B, situat a una distància de 00 m. Escriu l equació del seu moviment i calcula n la posició al cap de 15 s. b) Escriu l equació del moviment d un altre vehicle que, s més tard, surt de B i es desplaça cap a A amb una velocitat de 30 m/s. Accidents de trànsit per excés de velocitat Cada any, més d un milió de persones moren a tot el món a causa d accidents de trànsit, i 50 milions resulten ferides. La major part dels accidents són deguts a un excés de velocitat. La velocitat és un dels factors en els quals s està treballant més des de la Comissió Europea per aconseguir rebaixar el nombre de morts a les carreteres. 11

8 3. Moviment variat. L acceleració Fins aquí hem estudiat el moviment uniforme, en el qual la velocitat roman constant. Existeixen altres moviments, anomenats no uniformes o variats, en els quals la velocitat varia en transcórrer el temps. La velocitat no canvia mai instantàniament. Per passar d un valor a un altre, ha de prendre, necessàriament, tots els valors intermedis. Per estudiar els moviments variats, es defineix una magnitud, l acceleració, que relaciona el canvi de velocitat instantània d un mòbil amb el temps emprat a realitzar-lo. S anomena acceleració mitjana entre dos instants l increment de velocitat instantània que experimenta un mòbil en cada unitat de temps entre aquests instants. Segons aquesta definició, l acceleració mitjana és: Δv v v a 0 m = = Δt t t 0 La unitat d acceleració del SI és el m/s cada s, que es representa m/s. Podem definir diverses unitats d acceleració. Per exemple, si mesurem la velocitat en km/h i el temps en minuts, haurem d expressar l acceleració en quilòmetres per hora cada minut. Un mòbil tindrà una acceleració d 1 km/h min quan, cada minut, la seva velocitat incrementi 1 km/h. Un m/s és l acceleració d un mòbil que, en cada segon transcorregut, experimenta un increment de velocitat d 1 m/s. L acceleració mitjana corresponent a un interval de temps molt petit (que pràcticament es considera un instant), la denominarem acceleració instantània. EXEMPLE Un cotxe circula a 60 km/h quan el conductor accelera. Al cap de min la seva velocitat és de 0 km/h. Calcula l acceleració mitjana del cotxe expressada en km/h min i en m/s. L increment de velocitat és Δv = 0 km/h 60 km/h = 40 km/h. L acceleració expressada en km/h min és: Δv 40 km/h a m = = = 0 km/h min Δt min Per expressar l acceleració en m/s, hem de multiplicar-la per 3 factors de conversió: 0 km m 1 h 1 min a m = = 0,09 m/s h min 1 km s 60 s 7 ACTIVITATS Explica què signifiquen a i b i quina de les dues acceleracions és més gran. a) Una acceleració mitjana de 5 cm/s min. b) Una acceleració mitjana de 000 km/h. 8 Expressa l acceleració de km/h en m/s. 1

9 4. Moviment rectilini uniformement variat S anomena moviment rectilini uniformement variat (m.r.u.v.) el moviment d un mòbil que es desplaça sobre una recta amb acceleració constant. Això significa que, en qualsevol interval de temps, l acceleració mitjana del mòbil té el mateix valor. Per això, en el m.r.u.v. parlarem simplement d acceleració, sense que calgui especificar l interval de temps en què la velocitat ha variat. L expressió de l acceleració en el m.r.u.v. és: Δv v v a = = 0 Δt Δt Aïllant v s obté l expressió de la velocitat en el m.r.u.v.: v = v 0 + a Δt Mitjançant procediments matemàtics, que s estudien en cursos superiors, es calcula el desplaçament del mòbil en un interval de temps Δt: Δx = v 0 Δt + 1/ a (Δt) Aquesta expressió és l equació del moviment rectilini uniformement variat, perquè proporciona la posició del mòbil en funció del temps. De les dues equacions anteriors, se n dedueix una tercera, de gran utilitat en molts casos, en la qual no intervé el temps: v v 0 = aδx Si la rapidesa (mòdul de la velocitat) d un moviment està creixent, es diu que el moviment és accelerat. Per contra, quan la rapidesa està disminuint, diem que el moviment és retardat. Per exemple, si la velocitat d un mòbil varia des de m/s fins a 15 m/s, el seu moviment és accelerat (la rapidesa creix de m/s fins a 15 m/s). Si la velocitat canvia des de 8 m/s fins a m/s, el moviment també és accelerat (la rapidesa augmenta de 8 m/s a m/s). Cal tenir sempre present que les equacions exposades en aquest apartat únicament són vàlides per al moviment uniformement variat. És un greu error aplicar-les quan l acceleració no és constant. EXEMPLE Un cos, que parteix del repòs, es mou amb m.r.u.v. La seva acceleració és de 8 m/s. Quant de temps tardarà a recórrer 0 m? x x 0 = v 0 Δt + 1/ a (Δt) (1) Si: x 0 = 0; v 0 = 0; t 0 = 0, l expressió (1) es converteix en: x = 1/ at d on deduïm: x x t = ; t = a a Si x = 0 m i a = 8 m/s : 0 m t = = 5 s 8 m/s 9 ACTIVITAT Quina velocitat assolirà una nau espacial al cap de 4 min i s d enlairar-se si, durant aquest temps, es manté amb m.r.u.v. i la seva acceleració és de 3 m/s? Expressa el resultat en km/h. Quina distància recorre en el temps esmentat? 13

10 a m/s A. Gràfica a-t d un m.r.u.v. L acceleració és constant i el seu valor és m/s Gràfiques del moviment rectilini uniformement variat En el moviment rectilini uniformement variat (m.r.u.v.), considerem tres tipus de gràfiques: Gràfica acceleració-temps (a-t). Gràfica velocitat-temps (v-t). Gràfica posició-temps (x-t). Suposem que una moto, quan es mou a m/s, incrementa la seva velocitat durant 8 s amb una acceleració constant de m/s. Vegem-ne les gràfiques del moviment durant aquests 8 s. Gràfica acceleració-temps (a-t) Com que l acceleració és constant, la gràfica que representa el seu valor en funció del temps resulta ser una recta horitzontal (figura A). v/m/s v m/s 30 0 Gràfica velocitat-temps (v-t) En un m.r.u.v., la velocitat del mòbil en funció del temps és: v = v 0 + a (t t 0 ) Com que en el cas que estem considerant v 0 = m/s, a = m/s i t 0 = 0, resulta: v = + t 0 B. Gràfica v-t d un m.r.u.v.; velocitat inicial: v 0 = m/s, acceleració: a = m/s. Donant diferents valors a t en l equació anterior, construïm la taula de la figura B. Si representem els valors d aquesta taula, s obté la gràfica v-t del moviment, que podem veure a la dreta de la taula. La gràfica velocitat-temps d un moviment uniformement variat és una recta. La seva inclinació depèn del valor de l acceleració. Com més gran sigui aquesta, major serà l angle que formi la recta amb l eix de temps. Quan l acceleració resulta negativa, la gràfica és una recta descendent. x/m x/m 00 0 Gràfica posició-temps (x-t) Per obtenir la gràfica posició-temps, suposarem que, per a t = 0, la posició de la moto és x 0 = 0. L equació del m.r.u.v. és: Com que v 0 = m/s i a = m/s, resulta: x = t + 1/ t, és a dir, x = t + t x x 0 = v 0 Δt + 1/ a (Δt) 0 C. La gràfica x-t del moviment uniformement variat és sempre un arc de paràbola; aquest arc serà diferent segons quin sigui el sentit del moviment i segons si la seva rapidesa augmenta o disminueix. Donant diferents valors a t en l equació de segon grau anterior, obtenim la taula de la figura C i la seva gràfica corresponent, que és un arc de paràbola. La gràfica posició-temps d un moviment uniformement variat és sempre un arc de paràbola. 14

11 EXEMPLE Interpreta el tipus de moviment en cadascun dels trams de la gràfica velocitat-temps representada en la figura del marge. Quin és el desplaçament total realitzat pel mòbil des de l instant t = 0 fins al t = s? En el primer tram (de l instant t = 0 al t = s), el moviment és rectilini i uniformement variat, ja que la seva gràfica és una recta ascendent. La velocitat del mòbil augmenta de 0 a 50 m/s i la seva acceleració és positiva. En el segon tram (de l instant t = s al t = 6 s), la velocitat és constant, de 50 m/s. Per tant, es tracta d un moviment rectilini i uniforme. L acceleració del mòbil és nul la. En el tercer tram (de l instant t = 6 s al t = s), novament el moviment és uniformement variat, però retardat. La velocitat del mòbil disminueix des de 50 m/s fins a 0. La seva acceleració és negativa. Per aquest motiu, la gràfica té una inclinació descendent en augmentar el temps. El moviment té el mateix sentit que en els trams anteriors, ja que la velocitat és positiva en tots els instants. Per conèixer el desplaçament Δx 1 del mòbil en el tram inicial, primer hem de calcular-ne l acceleració: v m/s Δv v v 0 (50 0) m/s 50 m/s a = = = = = 5 m/s Δt Δt ( 0) s s El desplaçament en aquest tram es calcula: 1 1 Δx 1 = v 0 Δt + a (Δt) = (5 m/s ) ( s) = 50 m El desplaçament, Δx, en el segon tram es pot aïllar de l equació del moviment uniforme v = Δx/Δt. Δx = v Δt = 50 m/s (6 ) s = 00 m En el tercer tram l acceleració és: Δv v v 0 (0 50) m/s 50 m/s a = = = = = 1,5 m/s Δt Δt ( 6) s 4 s I el desplaçament és: 1 Δx 3 = v 0 Δt + a (Δt) 1 Δx 3 = 50 m/s 4 s + ( 1,5 m/s ) (4 s) Fent operacions obtenim Δx 3 = 0 m. El desplaçament total realitzat pel mòbil en els tres trams del moviment és: Δx = 50 m + 00 m + 0 m = 350 m 15

12 v m/s EXEMPLE a) Determina l acceleració del mòbil la gràfica v-t del qual apareix en la figura del marge. b) Representa la gràfica x-t entre els instants t = 0 i t = s, si quan t = 0, x 0 = 0. a) En la gràfica podem veure que la velocitat inicial (en l instant t = 0) és 50 m/s i la velocitat final (en l instant t = 0 s), és m/s. L acceleració del mòbil és, per tant: Δv v v 0 ( 50) m/s 40 m/s a = = = = = m/s Δt Δt (0 0) s 0 s Observa que l acceleració resulta negativa. Per aquest motiu, la gràfica té una inclinació descendent quan augmenta el temps (d esquerra a dreta). b) Com que es tracta d un m.r.u.v., el desplaçament es calcula segons: 1 Δx = v 0 Δt + a (Δt) Com que v 0 = 50 m/s, x 0 = 0, a = m/s, resulta: 1 x = 50t + ( )t = 50t t Si assignem diferents valors a t, obtenim la taula i la gràfica corresponent. t (s) x (m) x m ACTIVITATS Escriu les equacions de la posició en funció del temps, per a cadascun dels moviments les característiques dels quals figuren en el quadre. Mòbil Posició inicial (m) Instant inicial (s) Velocitat inicial (m/s) Acceleració (m/s ) A B C D 5 0 E Dibuixa les gràfiques velocitat-temps de cadascun dels moviments de l activitat anterior. 16

13 5. La caiguda lliure dels cossos Quan un cos cau, la resistència a causa del fregament amb l aire pot exercir un efecte important i frenar-ne notablement el moviment. Això és el que passa quan deixem caure un cos molt lleuger i de gran superfície, com per exemple, un full de paper. En canvi, el fregament de l aire afecta poc un cos pesant i de superfície petita, com ara una bola de plom. Si, mentre un cos cau, únicament actua sobre aquest el seu propi pes, diem que la caiguda és lliure. Aquest fenomen es produeix quan els cossos cauen en el buit o quan el fregament amb l aire pràcticament no els afecta. S ha observat que, en caiguda lliure, tots els cossos pròxims a la superfície de la Terra es mouen amb una acceleració constant, el valor de la qual és 9,81 m/s. Aquesta acceleració, denominada acceleració de la gravetat, se simbolitza amb g. El seu valor varia lleugerament en els diferents punts de la superfície terrestre i disminueix amb l altitud. Però, com que les diferències són molt petites, s accepta el valor de 9,81 m/s per a tots els punts situats al nivell del mar o a poca altitud. És important saber que el signe de l acceleració de la gravetat ha de ser sempre el que correspongui al sentit cap avall. Ens pot semblar estrany que tots els cossos (siguin lleugers o pesants) caiguin amb una acceleració igual. Ens fa la impressió que els cossos més pesants cauen més ràpidament. Però això es deu al fet que el fregament amb l aire els afecta menys que als cossos lleugers. EXPERIÈNCIA Existeix una experiència que ho demostra clarament. En l interior d un tub de vidre ample introduïm alguns petits objectes de pesos molt diferents, com ara una ploma, un suro i una boleta de plom (1). Si col loquem el tub en posició vertical i li donem la volta molt ràpidament, podrem observar com els cossos més lleugers triguen més a caure pel tub que els cossos més pesants (). 1 Extracció de l aire amb una bomba de buit El paracaigudista no baixa amb moviment accelerat, sinó uniforme. Això es deu a la força de fregament amb l aire, que contraresta el pes de l home i el seu equip. A continuació, amb una bomba de buit, extraiem tot l aire de l interior del tub i repetim l experiència. Llavors els cossos cauen amb una acceleració igual i arriben al fons del tub simultàniament (3). 1 ACTIVITATS Què s entén per acceleració de la gravetat? 3 13 Calcula quant temps tarda a arribar al terra una bola de plom que es deixa caure sense velocitat inicial des d una altura de 0 m. Considera negligible la resistència de l aire. 17

14 EXEMPLE Llancem una bola de plom verticalment cap amunt amb una velocitat inicial de 0 m/s. Suposant negligible la resistència de l aire, calcula: a) L altura màxima que aconseguirà. b) El temps que tardarà a tornar a la posició inicial. a) Prendrem com a origen el punt de partida del mòbil i el sentit positiu cap amunt. L instant zero serà el del llançament. Per tant, serà: x 0 = 0, t 0 = 0; v 0 = 0 m/s L acceleració de la gravetat sempre té el signe corresponent al sentit cap avall. Com que hem pres el sentit positiu cap amunt, l acceleració serà negativa: a = g = 9,81 m/s Si el fregament amb l aire és negligible, el moviment serà uniformement variat. Aplicant la fórmula v v = a Δx entre el punt de partida i el punt 0 més alt (on v = 0), resulta: v v 0 0 (0 m/s) 400 m /s Δx = = = = 0,4 m g ( 9,81 m/s ) 19,6 m/s b) Quan el mòbil torna al punt de partida, el desplaçament total (Δx) és nul. Aplicant l equació del moviment uniformement variat: 1 Δx = v 0 Δt + a (Δt) Resulta: 1 0 = 0t + ( 9,81)t Dividint aquesta equació per t, tenim: 0 = 0 4,905t, d on deduïm t = 0/4,905 = 4,08 s La bola tardarà 4,08 s a tornar al punt de partida. 14 ACTIVITATS Quina de les tres gràfiques correspon al moviment d un cos que és llançat verticalment cap amunt, arriba a una certa altura i torna a caure cap al punt de partida? Justifica per què dues de les gràfiques són incorrectes. v v v a) t b) t c) t Des de dalt d un gratacels es llança verticalment cap avall una pedra amb velocitat inicial de m/s. Si la pedra arriba a terra al cap de 5 s calcula l altura del gratacels (suposem nul la la resistència de l aire). Es llança verticalment cap amunt una pedra amb una velocitat inicial de 30 m/s. Quina velocitat tindrà quan arribi a una altura de m? (Suposem negligible la resistència de l aire.) 18

15 6. Moviment circular Anomenem moviment circular el que té com a trajectòria una circumferència. Per determinar la posició del mòbil, es pren com a referència un punt P 0 de la circumferència. Si el mòbil es troba en el punt P (figura A), la seva posició es pot donar per mitjà de: a) La longitud de l arc s amb origen P 0 i extrem a P. b) L angle θ que formen els radis OP 0 i OP. P s O P 0 s r 1 rad r A. La posició del mòbil P es determina amb l arc s o l angle θ. B. Un angle d un radian. La longitud de l arc s és igual a la del radi. La circumferència es pot recórrer en dos sentits. Habitualment, es considera positiu el sentit contrari al del gir de les busques d un rellotge, com s indica en la figura A. En aquest cas, seran positius tant l arc s com l angle θ, ja que, per traslladar-se des de l origen O fins al punt P, cal recórrer-los en sentit positiu. En el Sistema Internacional, l angle θ s expressa en radians (rad). Un radian és un angle que, quan té el seu vèrtex en el centre d una circumferència, abasta un arc de longitud igual a la del radi (figura B). Una circumferència completa té 360º i la seva longitud és πr, és a dir, π radis. Per tant, 360º equivalen a π rad. Un radian equival aproximadament a 57º 18. Imaginem un angle de θ radians amb vèrtex en el centre d una circumferència de radi r. Segons la definició de radian, aquest angle comprendrà un arc s la longitud del qual contindrà θ vegades el radi. Per tant, es pot escriure: s = θ r La mateixa relació es compleix entre l arc recorregut (Δs) i l angle girat (Δθ) pel mòbil: Δs = Δθ r 19

16 EXEMPLE Una roda ha girat º. Calcula la longitud de l arc recorregut per un punt A de la roda situat a 50 cm del centre. Sabem que una circumferència completa té 360º i la seva longitud és πr. La longitud de l arc recorregut, Δs, serà: πr 3,14 50 Δs = º = 360º 360 cm = 5 cm 6.1 Moviment circular uniforme Quan un mòbil recorre una circumferència amb velocitat constant, es diu que el seu moviment és circular uniforme. En el moviment circular uniforme es defineix la velocitat lineal (v) i la velocitat angular (ω). La velocitat lineal, en un moviment circular uniforme, és la longitud de l arc recorregut pel mòbil en cada unitat de temps. Δs v = Δt La velocitat angular, en un moviment circular uniforme, és l angle que gira el mòbil per unitat de temps. Δθ ϖ = Δt En el Sistema Internacional, la velocitat angular s expressa en radians per segon (rad/s). Un radian per segon és la velocitat angular d un mòbil que gira un radian cada segon. Altres unitats de velocitat angular molt emprades són les revolucions per segon (rev/s) i les revolucions per minut (rev/min o rpm). Una revolució és el mateix que una volta i equival, per tant, a π rad. La relació entre la velocitat lineal i l angular es pot trobar a partir de la igualtat següent: Δs = Δθ r 0

17 Dividint-la per Δt resulta: Δs Δθ r = Δt Δt Però com que: Δs Δθ = v i = ω Δt Δt Per tant: v = ω r En un moviment circular uniforme, la velocitat lineal és igual a la velocitat angular multiplicada pel radi. EXEMPLE Un punt d una roda, que gira amb moviment circular uniforme, està situat a 0 cm de l eix de rotació i té una velocitat lineal de 8 m/s. Calcula la velocitat lineal d un altre punt B, de la mateixa roda, que és a 30 cm de l eix. Calculem primer la velocitat angular de la roda. De l expressió v = ω r, es dedueix: ω = v/r. Com que en el punt A, v = 8 m/s i r = 0, m: 8 m/s ω = = 40 rad/s 0, m Tots els punts de la roda tenen una velocitat angular igual, ja que giren el mateix angle en cada unitat de temps. Si en el punt B, r = 0,3 m, la seva velocitat és: v = ω r = 40 rad/s 0,3 m = 1 m/s 17 ACTIVITATS Els punts de la perifèria d una roda, que està girant, tenen una velocitat lineal de 54 km/h. Si la roda té un radi de 40 cm, quina és la velocitat angular? Expressa el resultat en rev/min Calcula la velocitat angular en rad/s de les busques horàries d un rellotge, la dels minuts i la dels segons. Una roda gira a 30π rad/s. Calcula quantes voltes fa en 15 minuts. 1

18 El moviment consisteix en el canvi de posició d un mòbil en transcórrer el temps. La posició d un objecte sempre l expressem respecte a un cos o conjunt de cossos als quals anomenem sistema de referència o element de referència. Els punts per on passa un mòbil quan es desplaça formen una línia denominada trajectòria. El desplaçament és la longitud de la porció de trajectòria compresa entre les posicions inicial i final del mòbil. Se simbolitza amb Δx. La velocitat mitjana entre dos instants donats és el desplaçament que fa un mòbil per unitat de temps entre aquests instants. La velocitat instantània és la velocitat mitjana en un interval de temps molt curt. La rapidesa és el valor absolut de la velocitat. RESUM Un moviment s anomena uniforme quan la seva velocitat és constant i rectilini quan la seva trajectòria és una recta. L equació del moviment rectilini i uniforme és: x = x 0 + v Δt La gràfica velocitat-temps d un moviment uniforme és sempre una recta paral lela a l eix de temps, ja que la velocitat té el mateix valor en tots els instants. La gràfica posició-temps d un moviment uniforme és sempre una recta, la inclinació de la qual depèn de la velocitat. L acceleració mitjana entre dos instants determinats és l increment de velocitat instantània que experimenta un mòbil en cada unitat de temps entre aquests instants. Un m/s és l acceleració d un mòbil que, en cada segon transcorregut, incrementa la seva velocitat en 1 m/s. S anomena moviment rectilini uniformement variat (m.r.u.v.) el d un mòbil que es desplaça sobre una recta amb acceleració constant. L expressió de l acceleració en el moviment rectilini uniforme variat és: a = Δv/Δt L equació del m.r.u.v. és: Δx = x x 0 = v 0 Δt +1/ a (Δt) La gràfica velocitat-temps d un moviment uniformement variat és una recta. La gràfica posició-temps d un moviment uniformement variat és sempre un arc de paràbola. En caiguda lliure, tots els cossos pròxims a la superfície de la Terra es mouen amb una acceleració constant de 9,81 m/s. Aquesta acceleració rep el nom d acceleració de la gravetat i se simbolitza amb g. Un radian és un angle que, quan té el seu vèrtex en el centre d una circumferència, abasta un arc de longitud igual que la del radi. Un radian equival aproximadament a 57º 18. Quan un mòbil recorre una circumferència amb velocitat constant, es diu que el seu moviment és circular uniforme. La velocitat lineal, en un moviment circular uniforme, és la longitud de l arc recorregut pel mòbil en cada unitat de temps: v = Δs/Δt La velocitat angular, en un moviment circular uniforme, és l angle que gira el mòbil per unitat de temps: ω = Δθ/Δt En un moviment circular uniforme, la velocitat lineal és igual a la velocitat angular multiplicada pel radi.

19 ACTIVITAT EXPERIMENTAL Caiguda lliure dels cossos Objectiu Observar que quan un cos cau, la resistència a causa del fregament amb l aire pot frenar-ne notablement el moviment. Material Moneda d un euro Paper Cartró Tisores PROCEDIMENT Prepara un disc de paper i un de cartró una mica més petits que la moneda. Agafa la moneda entre els dits polze i índex, col loca-la horitzontalment i deixa-la caure des d una certa altura (A). Repeteix l operació amb el disc de cartró (B) i després amb el de paper (C). Podràs observar que la moneda arriba a terra abans que el disc de cartró i aquest abans que el de paper. Ara col loca, successivament, el disc de cartró i el de paper sobre la moneda i deixa ls caure. L aire no frena el cartró ni el paper. La velocitat de caiguda és la mateixa que la de la moneda sola (D). Amb aquesta experiència podem observar que un objecte lleuger cau amb la mateixa velocitat que un de més pesant si aconseguim que el fregament de l aire afecti poc. A B C D ACTIVITAT Descriu l experiència que demostra que, en el buit, tots els cossos, pesants o lleugers, cauen amb la mateixa acceleració. 3

20 ACTIVITATS FINALS Explica el significat dels termes següents: a) Mòbil puntual. b) Sistema de referència. Quina diferència hi ha entre posició i desplaçament? Ajuda t amb un esquema. Quin símbol emprem per representar la posició i el desplaçament d un mòbil puntual sobre la seva trajectòria? Defineix els termes següents: velocitat mitjana, velocitat instantània i rapidesa. Les velocitats de quatre mòbils són: 7 8 Determina la posició del mòbil, en l instant t = 0, en els moviments uniformes les equacions dels quals són les següents: a) x 1 = t b) x = 1 8t c) x 3 = 0 (t 3) d) x 4 = 150 (t + 8) Troba la velocitat del mòbil en cada cas. (Expressa el temps en segons i la posició del mòbil x en metres.) Interpreta les diferents parts de la gràfica x-t representada en la figura. Mòbil A: v A = 15 m/s Mòbil B: v B = 1 m/s Mòbil C: v C = 0 m/s Mòbil D: v D = 8 m/s Calcula la velocitat del mòbil en cadascun dels trams de la gràfica i representa la gràfica velocitat-temps corresponent. x/km Ordena ls de menor a major: a) segons la velocitat i b) segons la rapidesa En la taula següent s indica la posició d un mòbil en diferents instants. 0 Temps () Posició (x/m) 0 1 t/h Un mòbil, la posició del qual és x 0 = 4 m en l instant zero, es desplaça amb moviment rectilini i uniforme en sentit positiu. 6 Calcula n la velocitat mitjana: Entre els instants t = 0 s i t = 5 s. Entre els instants t = s i t = 0 s. Entre els instants t = 0 s i t = 0 s. Escriu les equacions dels moviments uniformes que tenen les característiques següents: La seva velocitat és de 15 m/s. Expressa n la posició en funció del temps i dibuixa la gràfica corresponent. Un ciclista inicia una carrera des d un lloc determinat i, després d avançar amb una velocitat constant de 45 km/h durant mitja hora, descansa min i torna al punt de partida. Mòbil 1 Mòbil Instant inicial s 0 s Posició inicial 0 m 15 m Velocitat 4 m/s 3 m/s La tornada la fa també a velocitat constant, però tarda 45 min. Representa les gràfiques velocitat-temps i posició-temps des que surt fins que torna. Mòbil 3 5 s 0 m 6 m/s Mòbil 4 8 s 130 m m/s 4

21 11 Escriu les equacions dels moviments de dos mòbils A i B, que es desplacen sobre la mateixa recta amb moviments uniformes. El mòbil A surt de l origen en l instant zero i es desplaça a 4 m/s en sentit positiu. El mòbil B surt 6 s més tard del punt x = 80 m i es mou amb una rapidesa igual que A, però en sentit contrari. En quin instant es creuaran? 17 Quines són les equacions dels moviments representats en la figura? Interpreta aquestes gràfiques. x/m Dos mòbils A i B surten simultàniament de dos punts que disten 00 km, i es dirigeixen en línia recta l un cap a l altre amb velocitats de 60 km/h i 40 km/h, respectivament. Dibuixa sobre els mateixos eixos les gràfiques posiciótemps d ambdós mòbils, i dedueix en quin punt i en quin instant es creuaran. Un automòbil, amb velocitat constant de 60 km/h, passa per un punt. Mitja hora més tard passa pel mateix punt una moto, que es desplaça en la mateixa direcció i sentit amb una velocitat de 90 km/h. Al cap de quant temps i a quina distància del punt esmentat la moto atraparà l automòbil? Escriu les equacions dels dos moviments, les gràfiques posició-temps dels quals s han representat en la figura adjunta. Interpreta les gràfiques: a) En quins instants surten els mòbils? b) De quins punts surten? c) En quin sentit es desplacen? Un mòbil, que recorre una recta, es mou a una velocitat de 0 m/s en l instant t = 0. En l instant t = 30 s, la seva velocitat és de 5 m/s. a) Calcula n l acceleració suposant que és constant. b) Si continua movent-se amb la mateixa acceleració, quina serà la seva velocitat a t = 40 s i a t = 60 s? Representa les gràfiques velocitat-temps i posició-temps d un mòbil que es mou amb una velocitat inicial de m/s i que frena amb una acceleració constant de 0,8 m/s fins que s atura. Representa, des de t = 0 fins a t = 8 s, la gràfica del moviment d un mòbil que parteix en l instant t = 0 del punt x = 0 m, amb una velocitat inicial de 6 m/s i una acceleració constant de m/s. x/m 60 1 Un tren augmenta la seva velocitat de 6 km/h a 80 km/h en min. Calcula n l acceleració mitjana en aquest interval de temps, expressada en km/h i en m/s Calcula l acceleració i el desplaçament total realitzat en 40 s pels dos mòbils, les gràfiques v-t dels quals s han representat en la figura. v m/s Defineix: 0 a) Acceleració mitjana. Escriu-ne la fórmula. b) Moviment rectilini uniformement variat (m.r.u.v.). 16 Què significa que l acceleració d un mòbil té un valor d 1 cm/s?

22 3 4 Un mòbil passa per la posició x 0 = 30 m en l instant t 0 = 4 s amb una velocitat v 0 = 15 m/s. a) Expressa n la posició i la velocitat en funció del temps, si es mou amb una acceleració constant de 6 m/s. b) Calcula n la posició en l instant en què la velocitat és de 45 m/s. a) Determina l acceleració del mòbil la gràfica v-t del qual apareix en la figura. b) Calcula el seu desplaçament en l interval de temps representat en la gràfica. c) Podem trobar la seva posició per a t = 0 s? v m/s Quant de temps tarda a arribar al terra un objecte pesant que es deixa caure, sense velocitat inicial, des d una altura de m? Considera negligible la resistència de l aire. Amb quina velocitat cal llançar una pedra verticalment cap avall, des de la boca d un pou de 50 m de profunditat, per tal que arribi al fons en s? Amb quina velocitat arribarà? Suposa nul el fregament amb l aire. Llancem un cos verticalment cap amunt amb una velocitat inicial de 90 km/h. Si considerem insignificant la resistència de l aire, calcula quina altura aconseguirà i quant temps tardarà a arribar de nou al punt de partida. Què és un radian? Ajuda t amb un esquema. Expressa una velocitat angular de 00 rpm (revolucions per minut) en rad/s Calcula l angle girat i l arc recorregut en 5 min per l extrem de l aspa d un ventilador que descriu una circumferència de 0 cm de radi amb una velocitat angular de 80 rad/s Interpreta la gràfica velocitat-temps representada en la figura. Calcula el desplaçament total realitzat pel mòbil. 34 Dos cavalls d uns cavallets estan situats, respectivament, a 3 m i a 1,8 m del centre de la plataforma circular. Calcula la diferència de velocitat lineal entre ells quan els cavalls estiguin girant amb una velocitat angular de 6 rev/min. v m/s Un tren, que parteix del repòs, triga 40 s a aconseguir una velocitat de m/s, amb moviment uniformement variat. Calcula n l acceleració i l espai que recorre en els 40 s. Explica el significat dels termes següents: a) Caiguda lliure d un cos. b) Acceleració de la gravetat Un automòbil descriu una corba, que és un arc de circumferència de 45º i 0 m de longitud. Quant mesura el radi de la corba? Calcula la velocitat angular en voltes/min de les busques horàries d un rellotge, la dels minuts i la dels segons. 37 Dos punts A i B d una plataforma giratòria es troben, respectivament, a m i a 3,5 m de l eix de rotació. Si la velocitat lineal de A és de 6 m/s, quina és la de B? 6

23 ACTIVITATS DE SÍNTESI 1. Un mòbil té una acceleració de m/s. Explica el que això significa.. Explica què és un moviment circular uniforme. 3. En la taula següent figuren les posicions d un automòbil en quatre instants diferents: Temps (min) 0,00 0,01 8,00 8,01 Posició (km) 57,00 57,4 68,000 68,150 a) Calcula n la velocitat mitjana entre els instants t = 0 s i t = 8 s. b) Calcula n la velocitat instantània en l instant t = 8 s. 4. Dues estacions ferroviàries, M i N, estan separades entre elles per una distància de 48 km. A les 8 h surt de M cap a N un tren, que viatja amb moviment rectilini uniforme, a una velocitat de 45 km/h. A les 8,15 h surt un altre tren de N i es dirigeix cap a M a 60 km/h. En quin punt es creuaran? Resol el problema numèricament i gràficament, prenent M com a origen i sentit positiu de M a N. 5. Un mòbil, que parteix del repòs, es mou amb una acceleració constant de 8 m/s. a) Quant de temps tardarà a recórrer 0 m? b) Quina serà la velocitat en l instant en què arribi a aquesta distància? v m/s En la figura superior s ha representat la gràfica velocitat-temps d un moviment. Determina la velocitat inicial i l acceleració. Expressa la posició del mòbil en funció del temps suposant que, en l instant t = 0, es troba en l origen. 7. Un disc gira a 33,3 revolucions per minut. Expressa la seva velocitat angular en rad/s. Calcula la velocitat lineal d un punt de la vora del disc si el radi és de 15 cm. 8. Una roda de 80 cm de radi fa dues voltes i mitja. Expressa l angle que ha girat en radians i calcula la longitud de l arc descrit per un punt de la perifèria de la roda. 7

24 ciència, tècnica i societat Efectes del moviment sobre l organisme Un avió acostuma a viatjar a una velocitat aproximada de 900 km/h, sense que els passatgers ho notin ni pateixin cap efecte sobre el seu cos. De fet, la Terra es mou per l espai amb una velocitat més elevada i nosaltres, que ens movem amb ella, ni tan sols ho percebem. No passa el mateix quan parlem d acceleració. Quan varia la velocitat del vehicle en què viatgem, experimentem una sensació com si una força actués sobre tot el nostre cos. Quan el vehicle accelera, aquesta força té sentit contrari al del moviment i, quan frena, el mateix sentit del moviment. Generalment, aquesta força és feble perquè l acceleració és petita. Però si l acceleració arriba al valor de g (9,81 m/s ), llavors la força que experimentem iguala el nostre pes. Els astronautes, quan són llançats cap a l espai, estan sotmesos a acceleracions de l ordre 4g (és a dir, 4 vegades l acceleració de la gravetat). En aquests moments experimenten la sensació que el seu pes és 5 vegades més elevat que l habitual. Les grans acceleracions provoquen trastorns en l organisme. Entre 4g i 5g pot produir-se una pèrdua momentània de la visió. Entre 5g i 7g es pot experimentar vertigen. Les acceleracions superiors poden provocar síncopes o, fins i tot, la mort. L efecte depèn de la intensitat del fenomen i, sobretot, de la durada. L ésser humà pot suportar acceleracions molt elevades si són molt breus. Després de llançar-se des d un trampolí alt d una piscina, en ser frenat per l aigua, s experimenta una acceleració que pot ser superior a g. Existeixen casos d accidents en què algunes persones han arribat a suportar acceleracions molt breus de fins a 500 vegades la de la gravetat. Els mareigs que pateixen algunes persones quan viatgen amb cotxe o amb vaixell és a causa dels canvis continus que experimenta l acceleració del vehicle. També la ingravidesa, estat en el qual un cos no sent l atracció de la gravetat, provoca molts trastorns en l organisme dels astronautes durant la seva estada a l espai. En la ingravidesa, els astronautes floten dins la nau i a la llarga es produeix atrofia muscular, osteoporosi, disminució del nombre de glòbuls rojos, problemes cardiovasculars, etc. Les estacions espacials permanents efectuen canvis periòdics de la tripulació per evitar situacions d ingravidesa massa prolongades. ACTIVITAT A trobaràs una llista de pàgines web que et poden ajudar a resoldre aquesta activitat. 1. A l agost del 007 es va enviar a l espai una nau espacial que comptava entre la seva tripulació amb una mestra d escola. Informa t d aquest fet.