Introducir los elementos básicos del cálculo diferencial e integral de funciones numéricas de una variable real.

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1 2003 en delnte MA 12-A CALCULO (Curso Anul - 20 U.D.) DISTRIBUCION HORARIA: 4.5 hrs. clses/semn 1.5 hrs. de ejercicios semnles 4.0 hrs. de trbjo personl REQUISITOS: no tiene OBJETIVOS: Introducir los elementos básicos del cálculo diferencil e integrl de funciones numérics de un vrible rel. PROGRAMA: 0.- Elementos de Geometrí Anlític en IR IR (3,0 hrs.) i) El plno crtesino IR 2. Ecución, como conjunto de puntos en IR 2. ii) Distnci entre dos puntos. iii) Ecución de un rect. Noción de pendiente de l rect. Rects perpendiculres y prlels. Distnci de un punto un rect. iv) Ecución de un circunsferenci y de un elipse. v) Ecución de un hipérbol. vi) Ecución de un prábol. 1.- Algunos Elementos de Teorí de Conjuntos (5,0 hrs.) i) Producto de dos conjuntos. ii) Funciones epiyectivs, inyectivs y biyectivs. Grfo de un función. iii) Funciones lineles de IR en IR. iv) Composición de funciones. v) Reunión e intersección de fmilis de conjuntos. vi) Conjuntos numerbles. vii) Inducción. Aplicciones operciones con conjuntos. 1

2 2.- El Conjunto IR de los Números Reles. (5,0 hrs.) i) Axioms de los números reles: cuerpo ordendo que verific l propiedd rquimedin y el principio de los intervlos cerrdos encjondos. ii) Alguns propieddes importntes del orden en IR. - x y, y < z x < z. - x < y, y z x < z. - Máximo y Mínimo de un prte finit de IR. - x i x + z y + z. - x y x y 0 0 y x y x. - x i 0i 1,..., n x x n 0. - x 0 nx 0 n IN. - si > 0 entonces x x. - x + y x + y. - y x y x. - x x n x x n. - z 0 y x y xz yz. - x 0 e y 0 xy 0. - x 0 e y 0 xy 0. - x 2 0. iii) El conjunto Q de los números rcionles. Numerbilidd de Q, densidd de Q en IR (entre dos reles s hy siempre un rcionl). iv) Cot Superior, Cot Inferior, Supremo, Infimo, Máximo y Mínimo de un prte de IR. 3.- Sucesiones en IR. (9,0 hrs.) i) Definición, ejemplos y motivción de ls sucesiones en IR Operciones con sucesiones. ii) Definición de sucesión convergente y de punto de cumulción de un sucesión. Definición de subsucesión. iii) Unicidd del límite de un sucesión. iv) Tod sucesión convergente es cotd. v) Teorem de Bolzno-Weierstrss: Si (u k ) es un sucesión en un intervlo [, b], entonces existe l menos un punto de cumulción de (u k ) en [, b]. esto es equivlente decir que (u k ) tiene un subsucesión convergente en [, b]. Corolrio: Tod sucesión cotd con un sólo punto de cumulción, es convergente. vi) (u k ) c, v k = u k k K (v k ) c. (u k ) 0, v k u k k K (v k ) 0. (u k ) c, (v k ) d, u k v k k K c d. vii) Estudio de ls sucesiones: (k ) donde Q +, (k p, r k ) donde p IN y r < 1. 2

3 viii) Límite de l sum, del producto y del cuociente de dos sucesiones convergentes. itemix) (u k ) 0, (v k ) cotd (u k ) (v k ) 0. x) Criterio del cuociente en el estudio de l convergenci. xi) Estudio de ls sucesiones: ( kp ) donde p IN y > 1; ( k k k! ) donde IR. xii) Tod sucesión monóton y cotd es convergente. xiii) Estudio de ls sucesiones: ( k ) donde r ]0, 1[; ( k ) donde p IN. xiv) Estudio l sucesión ((1 + k )k ) donde IR + xv) lim(1 k )k = [lim(1 + k ) 1. xvi) Definición de l función exponencil: exp(x) = lim(1 + x k )k. i=1 De l iguldd en xiv) se ve que exp( x) = 1 exp(x) está contenido en IR +. xvii) exp(x + y) = exp(x) exp(y); exp(x y) = exp(x) exp(y). xviii) e exp(1) = 2 + lim k [[2.718, 2.719]. p=2 1 p! i=1 y que el rngo de l función exp xix) exp(r) = e r pr todo r Q. xx) exp es un función estrictmente creciente de IR en IR +. xxi) Definición de l función logritmo nturl: ln(x) = exp 1 (x) pr todo x rngo (exp). xxii) ln(x) + ln(y) = ln(xy). xxiii) Teorem de Cuchy: Un condición necesri y suficiente pr que un suc. (u k ) se convergente es que pr todo ɛ > 0 existe un K IN tl que u i u j ɛ pr todo i, j K. 4.- Funciones Contínus (11,0 hrs) i) Definición de función continu medinte sucesiones. Ejemplos. ii) Continuidd de l sum, del producto, del cuociente y de l composición de dos funciones continus. iii) Continuidd de un función polinomil, continuidd de l función exponencil. iv) Funciones hiperbólics. v) Funciones trigonométrics. propieddes elementles de ls funciones trigonométrics. vi) Teorem del vlor intermedio: Si I es un intervlo en IR y si f : I IR es un función continu, entonces f(i) es un intervlo en IR. vii) El rngo de l función exponencil es IR +. Existenci de un solución rel de un ecución cúbic. Teorem del punto fijo: f : [0, 1] [0, 1] es un función continu, entonces existe c [0, 1] tl que f(c) = c. viii) Teorem: si f : D IR es un función continu y si c D es un punto de cumulción de un sucesión (x k ) en D, entonces f(c) es un punto de cumulción de l sucesión (f(x k )). 3

4 ix) Teorem: Si f : [, b] IR es un función continu, entonces f([, b]) es un intervlo cotdo en IR. x) Teorem: Si f : [, b] IR es continu entonces f tiene un máximo y un mínimo en el intervlo [, b], esto equivle decir que f[, b] es un intervlo cerrdo y cotdo en IR. xi) Teorem: Si I es un intervlo en IR y si f : I IR es un función continu inyectiv entonces: ) f es monóton. b) f 1 : rngo (f) IR es continu y monóton. xii) L función ln : IR + IR es continu y monóton. Inverss de ls funciones trigonométrics. xiii) definición de l función f(x) = x, con > 0, medinte l fórmul x = exp(x ln). Es un función continu creciente. Estudio de f 1 : IR + IR, obtención de l fórmul f 1 (y) = (ln) 1 ln(y). l función f se denot usulmente por exp y l función f 1 por log. xiv) estudio de l función f(x) = x b, con b IR. xv) Crcterizción de l continuidd sin uso de sucesiones:f : D IR es continu en c D si y solo si pr todo intervlo de l form [f(c) ε, f(c) + ε] (con ε > 0), existe un intervlo de l form [c δ, c + δ] (con δ > 0) tl que f([c δ, c + δ] D) [f(c) ε, f(c) + ε] o dicho en otrs plbrs, si y solo si pr todo ε > 0 existe un δ > 0 tl que x D, c x ε f(c) f(x) ε. 5.- Límite de Funciones. (3,0 hrs.) i) Definición de punto interior y punto dherente de un prte de IR. Crcterizción de punto dherente medinte sucesiones. ii) Definición de conjunto bierto, de conjunto cerrdo, de interior y de dherenci (o cerrdur) de un prte de IR. iii) Dd un función f : d IR y un punto c D ( D design l dherenci del conjunto D), se dice que α es el límite de f(x) cundo x tiende c si pr tod sucesión (f(x k )) converge α = lim x c f(x). iv) Un función f : D IR es continu en c D si y solo si lim x c f(x) = f(c). v) Definición de límite por l derech y por l izquierd. vi) Crcterizción del límite sin uso de sucesiones: α es el límite de f(x) cundo x tiende c D si y solo si pr todo intervlo de l form [α ɛ, α + ɛ] (con ɛ > 0) existe un intervlo de l form [c δ, c+δ] tl que f([c δ, c+δ] D) [α ɛ, α+ɛ] o escrito de otro modo: si y solo si pr todo ɛ > 0 existe δ > 0 tl que x D, c x δ α f(x) ɛ. Dr un crcterizción nálog pr los límites por l derech y por l izquierd. vii) Límite de un sum, de un producto, de un cuociente y de l composición de dos funciones. 6.- Funciones Uniformemente Continus (1,0 hr) 4

5 i) Definición de continuidd uniforme. ii) teorem: Si f : [, b] IR es un función continu, entonces f es uniformemente continu. iii) Sum y producto de dos funciones uniformemente continus. 7.- Sucesiones de Funciones (3,0 hrs.) i) Convergenci simple (o puntul) y uniforme de un sucesión de funciones definids en un prte D de IR. ii) Teorem: si (f k ) es un sucesión de funciones continus (resp. uniformemente continus) convergente uniformemente un función f, entonces f es continu (resp. uniformemente continu). iii) Teorem: un condición necesri y suficiente pr que un sucesión de funciones (f k ) converj uniformemente un función f es que pr todo ɛ > 0 exist un nturl K tl que f i (x) f j (x) ɛ pr todo x D y todo i, j K. iv) Polinomio de Bernstein de orden n socido un función continu f : 0, 1 IR y Teorem de Weierstrss. 8.- Series de IR (3,0 hrs.) i) Definición de un serie como sucesión de sums prciles, sum de dos series y producto de un serie por un esclr. ii) Series convergentes. Convergenci de l sum de dos series convergentes. Convergenci del producto de un serie convergente por un esclr. iii) Tod serie de números positivos y cotd es convergente. iv) Series bsolutmente convergentes. Tod serie bsolutmente convergente es convergente. v) Algunos criterios de convergenci: - si Σu k es convergente y si v k Cu k k K, entonces Σv k es bsolutmente convergente. - si existe r ]0, 1[ tl que u k+1 r u k k K, entonces Σu k es bsolutmente convergente. - si existe r ]0, 1[ tl que u k K, entonces Σu k es bsolutmente convergente. - si (u k ) es un sucesión monóton decreciente convergente cero, entonces Σ( 1) k 1 u k es convergente (no necesrimente bsolutmente convergente). vi) exp(x) = 1 + k=1 x k k!. 9.- Derivción de Funciones. (15,0 hrs.) i) Definición: Un función f : D IR se dice derivble (o diferencible) en un punto D (interior del conjunto D) si existe un número d tl que lim f (x) = d donde x 5

6 f es l función definid en D\{} por l iguldd f (x) = f(x) f() x. Interpretción geométric del número d que se llmrá derivd de l función f en el punto y se denotrá por f (). Estudio del crecimiento y decrecimiento de un función. Aproximción linel de un función en un punto. ii) L función derivd de un función f. iii) Teorem: Un función f : D IR es derivble en D si y solo si existe un número d y un función θ : [ δ, + δ] IR (con δ > 0) tl que f(x) = f() + d(x ) + (x )θ(x) pr todo x [ δ, + δ] y demás lim θ(x) = 0. x iv) Derivd de un función polinomil. v) Teorem: si f es derivble, en un punto ell es continu en ese punto. vi) Derivd de l sum, del producto y del cuociente de dos funciones derivbles. vii) Regl de l cden: derivd de l composición de dos funciones derivbles. viii) Derivd de l función invers de un función inyectiv. ix) Derivd de l función exp, ln, exp ylog. x) Derivd de ls funciones f(x) = x r, con r IR. xi) Derivd de ls funciones trigonométrics y sus inverss. xii) Teorem del vlor medio: Dd un función f : [, b] IR derivble, entonces existe un punto t ], b[ tl que f (t) = f(b) f() b. Corolrio: Dd un función f :], b[ IR derivble, si l función f es nul en ], b[ entonces f es un función constnte en ], b[. xiii) Condición necesri de los puntos máximos y mínimos de un función derivble: Si f : D IR es derivble y si c D es un máximo o mínimo de f en D, entonces f (c) = 0. Est mism condición es válid si c es un máximo locl o un mínimo locl. Definición de punto de inflexión. xiv) Funciones convexs. Crcterizción de l convexidd medinte el uso de l función derivd. Condición suficiente de punto mínimo de un función convex. xv) Función dos veces derivble y derivd de segundo orden en un punto. Teorem: Un función f : D IR será dos veces derivble en un punto D si y solo si ell es derivble en y existe un número s y un función θ : [ δ, + δ] IR tl que f(x) = f() + f ()(x ) (x )2 s + (x ) 2 θ(x) pr todo x [ δ, + δ] y demás lim θ(x) = 0. Interpretción geométric de l derivd de segundo orden: x concvidd de un función, proximción cudrátic de un función en un punto. xvi) L función derivd de segundo orden de un función f. xvii) Crcterizción de l convexidd de un función medinte el uso de l derivd de segundo orden. xviii) Condiciones necesris y suficientes de máximos y mínimos locles medinte el uso de l derivd de segundo orden. xix) Regl de l Hôpitl pr el cálculo del límite de un cuociente de funciones. xx) Derivds de orden superior y desrrollo de Tylor. xxii) Método de Newton pr l proximción del mínimo de un función y l proximción de ls ríces de un ecución. 6

7 10.- Integrción. (20,0 hrs.) i) Integrl de Riemnn de un función cotd definid en un intervlo [, b]. Interpretción geométric (definición de Are) e interpretciónfísic. Algunos ejemplos. ii) Tod función continu por trmos en [, b] es integrble. Tod función monóton y cotd en [, b] es integrble. iii) Definición de l integrl entre b y cundo > b. Integrl de l sum de dos funciones y del producto de un función por un esclr. iv) Propieddes de l integrl: Si f y g son dos funciones integrbles en un intervlo [, b] se tendrá c f(x)dx + (b ) inf f(x) x [,b] c f(x)dx = g(x) f(x) pr todo x [, b] f(x)dx si es f es continu con vlores en IR + entonces x [, b] si f y g son continus entonces f(x)g(x)dx f(x)dx f(x)dx (b ) sup f(x) x [,b] f(x) dx (f(x)) 2 dx g(x)dx f(x)dx f(x)dx = 0 f(x) = 0 pr todo (g(x)) 2 dx v) Teorem fundmentl del cálculo. vi) Fórmul de l medin: Si f : [, b] IR es continu, entonces pr tod función continu φ : [, b] IR + (o IR ), existe un constnte µ, con min f(x) µ x [,b] mx f(x), tl que b f(x)g(x)dx = µ φ(x)dx. Escribir l iguldd pr el cso x [,b] prticulr en que φ(x0 = 1 pr todo x [, b]. vii) Cmbio de vrible. viii) Integrción por prtes. ix) Integrción de frcciones rcionles

8 x) Aplicciones: Cálculo de áres, cálculo del volumen de un sólido de revolución, cálculo del vlor medio ponderdo de un función, cálculo de l ms de un vrill no homogéne, cálculo del centro de grvedd de un vrill no homogéne, cálculo del momento de inerci de un vrill no homogéne con respecto un eje, cálculo de l presión hidrostátic. xi) Curvs en IR N y vector tngente, definición de longitud de rco, integrl de un cmpo esclr sobre un curv. Definición de integrl de líne de un cmpo vectoril. Ejemplos. xii) Integrl de un función sobre un intervlo no cotdo. xiii) Integrl de un función no cotd. xiv) Integrción numéric El Espcio Vectoril Normdo IR n. (6,0 hrs.) i) Norms en IR n. Equivlenci de ls tres norms usules. ii) Bol biert y bol cerrd. iii) Sucesiones en IR n. Operciones con sucesiones. Convergenci y punto de cumulción de un sucesión. iv) Un sucesión ( x k ) en IR n es convergente un punto si y solo si ls sucesiones prciles ((x 1 ) k ), ((x 2 ) k ),..., ((x n ) k ) convergen, 2,..., n respectivmente. v) Punto interior y punto dherente de un prte de IR n. Crcterizción de los puntos dherentes medinte sucesiones. vi) Interior y dherenci de un prte de IR n. Conjunto bierto y conjunto cerrdo en IR n. vii) Límite de l sum de dos sucesiones convergentes y límite del producto por un esclr de un sucesión convergente. viii) Teorem de Bolzno-Weierstrss: Si C es un prte cerrd y cotd en IR n y si ( x k ) es un sucesión en C, entonces ( x k ) tiene l menos un punto de cumulción en C. ix) Teorem de Cuchy: Un condición necesri y suficiente pr que un sucesión ( x k ) en IR n se convergente, es que pr todo ɛ > 0 exist un nturl K tl que x i x j ɛ pr todo i, j K. BIBLIOGRAFIA - APOSTOL, T., Cálculo, Vol. I, Reverté, (1965). - CARTAN, H., Clculus Diferencil, Omeg, (1972). - FRIEDMAN, A., Advnced Clculus, Holt-Rinehrt nd Winston, (1971). - KITCHEN, J., Clculus of One Vrible, Addison-Wesley, (1968). - LANG, S., Anlysis I, Addison-Wesley, (1968). - SPIVAK, M., Cálculo Infinitesiml, Reverté, (1970). 8