Lección 1.1: Perímetro y área. Parte A - Figuras regulares e irregulares

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1 Unidad 7.5: Geometría Tema 1: Figuras bidimensionales Lección 1.1: Perímetro y área Parte A - Figuras regulares e irregulares Los polígonos Los ángulos son las regiones que forman los lados al cortarse. Los vértices son los puntos donde se cortan los lados. Se nombran con una letra mayúscula. Un polígono es una figura cerrada compuesta por segmentos de recta. La palabra polígono proviene del griego y significa muchos ángulos. Es importante considerar en la definición que debe ser una figura cerrada y compuesta por segmentos. Observa estos ejemplos: a) La siguiente figura es cerrada, pero no está compuesta de segmentos de recta. Por lo tanto, no es un polígono: b) La siguiente figura está formada por segmentos de recta, pero no es cerrada. Luego, no es un polígono: 1

2 Para que la figura sea considerada como polígono, tiene que cumplir con las dos propiedades, cerrada y compuesta por segmentos. Los polígonos se pueden clasificar según el número de lados en: Los polígonos son irregulares cuando no tienen sus ángulos o sus lados iguales. Y son regulares cuando todos sus lados y todos sus ángulos son iguales. Ejemplos: Elementos de un polígono 1) Lados: son los segmentos que lo limitan.

3 ) Vértices: son los puntos donde concurren dos lados. 3) Ángulos interiores de un polígono: son los determinados por dos lados consecutivos. La suma de ángulos interiores de un polígono para un polígono de n lados es: Suma de ángulos interiores de un polígono = (n ) 180 4) Diagonal: son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos. El número de diagonales de un polígono para un polígono de n lados es: Número de diagonales = n (n 3) Figura Cantidad de diagonales Representación Cuadrado 4 (4 3) = Pentágono 5 (5 3) = 5 Hexágono 6 (6 3) = 9 3

4 Clasificación de polígonos según sus ángulos: Convexos Todos los ángulos interiores son menores a 180. Y por lo tanto, todas sus diagonales son interiores. Cóncavos Hay al menos un ángulo interior mayor a 180. Luego, al menos una de sus diagonales es exterior. Resumen de la clasificación de polígonos Los polígonos se clasifican por el número de sus lados según la tabla adjunta, o bien por la forma de su contorno. Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina: 1) Simple: si ningún par de aristas no consecutivas se corta. ) Complejo: si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan. 3) Convexo: si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos, es el que tiene todos sus ángulos interiores menores que 180º. 4

5 4) Cóncavo: si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos; es el que tiene al menos un ángulo interior mayor que 180º. 5) Equilátero: si tiene todos sus lados iguales. 6) Equiángulo: si tiene todos sus ángulos iguales. 7) Regular: si es equilátero y equiángulo a la vez. 8) Irregular: si tiene sus ángulos y lados desiguales. Triángulos Los triángulos son polígonos con tres lados. Se pueden clasificarse según dos criterios: la medida de sus ángulos y la medida de sus lados. En el siguiente cuadro puedes observar los distintos tipos de triángulos: Escaleno: los 3 lados miden distinto. Clasificación según la medida de sus lados Isósceles: hay lados iguales y uno distinto. Equilátero: los 3 lados miden igual. 5

6 Acutángulo: los 3 ángulos son agudos (miden menos de 90 ). Clasificación según la medida de los ángulos Rectángulo: hay 1 ángulo de 90 (recto). Obtusángulo: hay 1 ángulo obtuso (mayor a 90 ). Los cuadriláteros Los cuadriláteros son polígonos de 4 lados, y vamos a clasificarlos en: paralelogramos, trapecios y trapezoides. Paralelogramo Trapecio Trapezoide Paralelogramos Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos, paralelos e iguales. 6

7 Los paralelogramos son el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide. En el siguiente cuadro se definen: Cuadrado Tiene 4 lados iguales y 4 ángulos rectos Rectángulo Tiene dos lados iguales y paralelos y 4 ángulos rectos. Rombo Tiene 4 lados iguales y ningún ángulo recto. Romboide Tiene lados y ángulos iguales, dos a dos. Trapecios y trapezoides Los trapecios solo tienen dos lados paralelos y los trapezoides, ninguno. Aquí se puede ver una clasificación: 7

8 Trapecio rectángulo Tiene dos ángulos rectos. Trapecio isósceles Tiene ángulos iguales dos a dos. Los lados no paralelos son iguales. Trapecio escaleno Tiene dos lados paralelos. Pero los 4 lados y los 4 ángulos son distintos. Trapezoide No hay lados paralelos. Ángulos interiores de polígonos Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura. Un polígono es una figura plana con lados rectos. 8

9 Triángulos: Los ángulos interiores de un triángulo suman = = 180 Cuadriláteros: Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman = = 360 Lo anterior se puede explicar porque al trazar una de las diagonales de un cuadrilátero, se obtienen dos triángulos. Veamos para el caso de un cuadrado. Y los de este cuadrado 360, ya que podemos ver que el cuadrado está hecho de dos triángulos. Pentágono Un pentágono tiene 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que sus ángulos interiores suman = 540. Y si es regular (todos los ángulos son iguales), cada ángulo interior mide =

10 Regla general: si se añade un lado más (de triángulo a cuadrilátero, a pentágono, etc.) sumamos otros 180 al total: Figura Lados Suma de los Si es un polígono regular, ángulos interiores cada ángulo interior mide: Triángulo /3 = 60 Cuadrilátero /4 = 90 Pentágono /5 = 108 Hexágono /6 = 10 Cualquier polígono n n 180 n 180 Ejemplo: calcula la medida de un ángulo interior de un polígono regular de 10 lados. La suma de los ángulos interiores es: (n-) 180 = (10-) 180 = = 1440 Y cada ángulo interior mide: 1440 /10 = 144. n Ángulos exteriores de polígonos Un ángulo exterior es un ángulo entre un lado de una figura y la línea que se extiende desde el lado siguiente. La suma de un ángulo interior y su respectivo ángulo exterior siempre es 180. Es decir, son suplementarios. Los ángulos exteriores de un polígono suman

11 En otras palabras, los ángulos exteriores suman siempre una vuelta completa. Veamos un ejemplo para el pentágono: Parte B Perímetro y Área El perímetro de un polígono se define es la suma de las longitudes de los lados de un polígono. Representa el contorno o borde de la figura y se mide en unidades lineales como: milímetro (mm), centímetro (cm), metro (m), pulgadas, pies, etc. El área de un polígono es la medida de la región o superficie encerrada por de un polígono. Se mide en unidades cuadradas como: milímetro cuadrado (mmm ), centímetro cuadrado (cm ), metro cuadrado (m ), pulgadas cuadradas, etc. Propiedad fundamental de los polígonos regulares En todos los polígonos regulares, el trazado de sus radios los divide en tantos triángulos como lados posean; cuyas alturas son iguales a la apotema del polígono, y cuyas bases sumadas son iguales al perímetro del polígono. 11

12 En consecuencia, la superficie de un polígono regular será igual a la suma de las superficies de los triángulos que lo forman. Extendiendo la fórmula de cálculo de la superficie del triángulo, se deduce: Área de un polígono regular Perímetro Apotema Triángulo El triángulo es un polígono con tres lados. El perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lados, y se representa con la letra P. Perímetro P b c d A la mitad del perímetro se le denomina semiperímetro y se denota con la letra p. El área de puede calcular de dos formas según los datos que se tengan: a) El área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de la base por la altura y se divide por 1

13 Área conociendo la base y la altura A bh b) O bien, calculando la siguiente raíz cuadrada positiva utilizando el concepto de semiperímetro: Área conociendo los lados A pp bp cp d La expresión anterior se conoce como la Fórmula de Herón. Ejemplos: Halla el área de los siguientes triángulos. b h 3m 4m 1m A A 6m La altura siempre es perpendicular a la base. En este triángulo se encuentra en su interior. b h.5m 6m 15m A A 7.5m 13

14 En este caso la altura está en el exterior del triángulo: b h 6cm3cm 18cm A A 9cm Rectángulo El rectángulo es el paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales (rectos), pero los lados adyacentes no son iguales. El perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lados: P = (b + b) + (h + h) = b + h Perímetro P b h Tomando factor común el, la fórmula del perímetro quedaría: P b h El área es el producto entre la base y la altura: Área A b h Ejemplo: un rectángulo mide 16 cm de base y 0 cm de altura. Calcula su área y perímetro. Solución: el área de un rectángulo es el producto de la base por la altura: A b h A 16cm 0cm A 30cm 14

15 El perímetro es la suma de los lados: P b h P 16cm 0cm 3cm 40cm P 7cm Se debe prestar atención a las unidades, siempre el perímetro se mide en unidades lineales como centímetros, metros, pulgadas, pies, etc. Y el área se mide en unidades cuadradas como centímetros cuadrados (cm ), metros cuadrados (m ), pulgadas cuadradas, etc. Cuadrado El cuadrado es un rectángulo especial en el que la base y la altura miden igual. Si llamamos L a la medida de cada alado del cuadrado, las fórmulas para calcular el perímetro y el área son: P b h b h L P L L P 4L A b h A L L A L Ejemplo: Determina el perímetro y el área de un cuadrado de 8 cm de lado. P 4 8cm P 3cm A 8cm A 64cm 15

16 Paralelogramo Observa que, en la siguiente figura, si recortamos el triángulo ABM del paralelogramo ABCD y lo colocamos a la derecha del lado CD, obtenemos el rectángulo MBCN que tiene la misma superficie que el paralelogramo original. Por tanto, el área de un paralelogramo cualquiera es el producto de la base por la altura. El área es: A b h. El perímetro, como en todo polígono, es la suma de los lados: P a b Realizando factor común el, la fórmula es: P a b Ejemplo: calcula el área y el perímetro del siguiente paralelogramo. Las medidas están expresadas en cm. 16

17 Área: A b h A 7cm 3cm A 1cm. Perímetro: P a b P 7cm 5cm P 4cm Rombo En la figura siguiente un rombo está inscrito en un rectángulo. Los vértices del rombo coinciden los puntos medios de los lados del rectángulo. Las medidas de los lados del rectángulo coinciden con las de las diagonales del rombo. 17

18 La figura la puedes construir fácilmente con un folio. Dobla el por la mitad en los dos sentidos del papel. Así obtienes los puntos medios de los bordes del folio. Dibuja con tu regla cuatro líneas rectas uniendo los puntos medios de los bordes consecutivos del folio. Con ello, has dibujado el rombo ABCD. Recorta con unas tijeras los cuatro triángulos y colócalos para cubrir el rombo. Es fácil observar la superficie de los cuatro triángulos coincide con la del rombo o, lo que es lo mismo, el área del rombo es la mitad que la del rectángulo. Por tanto, el área de un rombo es: A D d Donde D y d son las medidas de las dos diagonales del rombo. Como se ha visto, un rombo tiene los 4 lados iguales. Por lo tanto, para calcular el perímetro podemos aplicar la siguiente fórmula: Ejemplo: determina el área y el perímetro del siguiente rombo. 18

19 P 4L P 4 5cm 0cm D d 8cm 6cm A A 4cm Trapecio El trapecio es un cuadrilátero con dos lados paralelos. El perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lados, por lo tanto, es la suma de la base mayor B más la base menor b más los lados c y d: Perímetro P B b c d Para hallar el área de un trapecio puedes experimentar de la siguiente forma: Recorta con unas tijeras dos trapecios iguales de la forma que quieras. Dale la vuelta a uno de ellos y únelo al otro por uno de los lados no paralelos como en la siguiente figura: 19

20 Al hacer esta operación, obtienes un paralelogramo cuya base es la suma de los dos lados paralelos (llamados bases) del trapecio, B y b, y la altura h es la altura del trapecio. La superficie del trapecio es la mitad de la del paralelogramo. Por tanto, el área de un trapecio de bases B y b y altura h es igual a la semisuma de las bases por la altura: A B b h Ejemplo: calcula el área de un trapecio de 10 y 0 cm de bases y 15 cm de altura. Aplicando la fórmula: B b 0cm 10cm A h A 15cm 5 cm Trapezoide Los trapezoides son los cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo a otro. El perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lados y tenemos por tanto que: Perímetro P a b c d 0

21 Para calcular su área, se divide el trapezoide en dos triángulos, trazando una diagonal, con lo cual su área es igual a la suma de las áreas de los dos triángulos en los que lo hemos dividido. Área de los polígonos irregulares. Cualquier polígono irregular, puede descomponerse en triángulos, mediante el trazado de sus diagonales; o complementando estas con perpendiculares desde un vértice a una diagonal. Por lo tanto, conociendo la medida de las líneas que conformen las bases y alturas de esos triángulos, será posible calcular su superficie; y sumarla para obtener la superficie total del polígono irregular. 1

22 Enlaces de apoyo: d/book/tool/print/index.php?id=304 Referencias: Quintero, A. & Costas, N. (1994). Geometría. San Juan, P.R.: Editorial de la Universidad de Puerto Rico. Nogueira, G. (003). Problemas con medidas. Buenos Aires: Grulla.

23 Resumen de perímetro y área de figuras simples Triángulo: Figura Perímetro (P) y área (A) P a b c A b h Cuadrado: P 4 L A L Rectángulo: P b h A b h Paralelogramo: P a b A b h 3

24 Rombo: P 4 L A D d Trapecio: P a b c B A B b h Trapezoide: P a b c d A A1 A A3 A4 4