Física I. TEMA I. Vectores. Ing. Alejandra Escobar UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA

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1 Física I TEMA I. Vectores UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA Ing. Alejandra Escobar

2 TEMA I. VECTORES Magnitudes Una magnitud se define como toda aquella propiedad que se puede medir En física las magnitudes pueden ser clasificadas en escalares vectoriales. Magnitudes escalares: son aquellas que quedan perfectamente definidas por un valor numérico su correspondiente unidad. La longitud, la temperatura, la masa, la densidad, el tiempo el volumen, la superficie son ejemplos de magnitudes escalares. Magnitudes vectoriales: son aquellas donde se tiene que especificar además de su valor numérico, la dirección el sentido. Son magnitudes vectoriales: la fuerza, la velocidad, el desplazamiento, la cantidad de movimiento, la aceleración, etc. Las magnitudes vectoriales se representan mediante vectores. Vectores Un vector se define como un segmento de recta orientado dirigido, que tiene un origen un etremo. Se representa con una letra negrita cursiva con una flecha arriba (V ). Gráficamente, se dibuja un vector con un segmento de recta (una línea) con una punta de flecha en un etremo. Un vector posee características que lo definen las cuales son: Magnitud o Modulo: es la longitud del segmento dirigido que contiene al vector. Dirección: es la dirección de la recta que contiene a dicho vector. La dirección puede ser horizontal, vertical o inclinada. Origen: es el punto donde se considera aplicada la magnitud a quien el vector está representando.

3 Sentido: está indicado por la punta de la flecha colocada en el etremo. El sentido puede ser hacia la derecha, hacia la izquierda, hacia abajo o hacia arriba. Sentido Origen Tipos de Vectores Figura No. 1 Eisten diversas clases de vectores, las más utilizadas comunes en física son las siguientes: Vectores Opuestos: son dos vectores tales que, teniendo el mismo módulo la misma dirección, tienen sentidos opuestos. En la figura No. 2 a es puesto al vector a a a Figura No. 2 Vectores Paralelos: son dos vectores tales que, teniendo la misma dirección sentido sus magnitudes son proporcionales. a 2a Figura No. 3

4 Vectores Unitarios: son vectores sin dimensión, cua magnitud es igual a la unidad, los cuales son empleados para especificar una dirección dada. Ellos no poseen otro significado físico, simplemente se usan por conveniencia para describir una dirección en el espacio. Vectores Fundamentales: son los vectores unitarios (de magnitud igual a 1) cuas direcciones sentidos coinciden con los ejes coordenados. Ellos constituen un conjunto de vectores mutuamente perpendiculares, los cuales serán representados de la manera siguiente: i sobre el eje, j sobre el eje, k sobre el eje z. z i k j Figura No. 4 Dirección de un Vector en el Plano La dirección de un vector en el plano, es el ángulo que este forma con respecto a un eje de referencia. El método utilizado para dar la dirección de un vector en física se refiere a las direcciones convencionales norte, sur, este oeste. Así, por ejemplo, en la figura No. 5 se muestran varios vectores en un plano.

5 B N A O D E C S Figura No. 5 El vector A esta ubicado 45 al norte del este, el vector B esta ubicado 60 al norte del oeste, el vector C esta ubicado 70 al sur del oeste el vector D esta ubicado 30 al sur del este. Epresión Analítica de un Vector En el Plano Consideremos el vector A, el cual esta ubicado en el plano como se muestra en la figura No. 6. A A j i θ A Figura No. 6 El producto de la componente A el vector unitario i es el vector A i, el cual es paralelo al eje con magnitud A. De la misma forma el producto de la componente A el vector unitario j es el vector A j, el cual es paralelo al eje

6 con magnitud A. De esta manera, en términos de los vectores unitarios se puede escribir el vector A así: A = A i + A j Esta última es la epresión analítica del vector en función de los vectores unitarios i, j. En el Espacio Un vector en el espacio viene representado por tres componentes sobre los ejes. Sea V un vector que se encuentra en el espacio sean α, β θ los ángulos que forman el vector con los semiejes positivos,, z. z V z α θ V β V V Figura No. 7 El vector V puede ser escrito en función de los vectores unitarios de la siguiente manera: V = V i + V j + V z k Componentes Rectangulares de un Vector Consideremos el vector A en el plano, donde dicho vector tiene su origen ubicado en el origen del sistema de coordenadas rectangulares forman un ángulo con el eje positivo de las. Si desde el etremo del vector A se trazan sus proecciones sobre los ejes, se obtienen dos componentes A,

7 componente de A en la dirección de, A, componente de A en dirección de. A A θ A Figura No. 8 Las componentes e del vector A vienen dadas por: A = A cos θ, A = A sin θ La magnitud de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. En el plano, la magnitud o longitud de un vector en función de sus componentes viene dado por: A = (A ) 2 + (A ) 2 La dirección del vector viene dada por el ángulo que forma dicho vector con la dirección positiva del eje, medido en sentido contrario al avance de las manecillas del reloj. Este ángulo puede calcularse por la relación: tan θ = A A θ = tan 1 A A En general, los signos de las componentes rectangulares de un vector dependen del cuadrante donde el este localizado.

8 B B : B : + C : C : A A : + A : + D : + D : C D Figura No. 9 Componentes en el Espacio de un Vector Consideremos el vector V en el espacio z, donde dicho vector tiene su origen ubicado en el origen del sistema forman un ángulos con el ejes positivos,, z. Si desde el etremo del vector V se trazan sus proecciones sobre los ejes, se obtienen tres componentes V, componente de V en la dirección de, V, componente de V en dirección de, V z, componente de V en dirección de z. z V z α θ V β V V Figura No. 10 Los cosenos de los ángulos α, β θ los llamamos cosenos directores del vector, llamados así porque fijan la dirección del vector V en el espacio. Ellos quedan determinados a través de las relaciones siguientes:

9 cos α = V V, cos β = V V, cos θ = V z V Las componentes,, z del vector V vienen dadas por: V = V cos α, V = V cos β, V z = V cos θ La magnitud de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. En el espacio, la magnitud del vector viene dada por la epresión: V = (V ) 2 + (V ) 2 + (V z ) 2 Operaciones con Vectores Suma de Vectores Método Gráfico: para sumar dos vectores se pueden aplicar la regla del triángulo la regla del paralelogramo. Regla del Triangulo Regla del Paralelogramo B B B A + B A A A + B A A B Figura No. 11 Método Analítico: la suma analítica de varios vectores es igual a la suma de las componentes de los vectores en cada eje. Sean A B dos vectores dados por sus epresiones analíticas, los cuales son: A = A i + A j + A z k B = B i + B j + B z k

10 La suma es: A + B = (A + B )i + (A + B )j + (A z + B z )k Resta de Vectores Método Gráfico: para retar dos vectores se pueden aplicar la regla del triángulo. B B A A B A Figura No. 12 Método Analítico: la resta analítica de varios vectores es igual a la resta de las componentes de los vectores en cada eje. Sean A B dos vectores dados por sus epresiones analíticas, los cuales son: A = A i + A j + A z k B = B i + B j + B z k La resta es: A B = (A B )i + (A B )j + (A z B z )k Producto de un Escalar por un Vector Sea A un vector m un escalar. El producto del escalar m por el vector A es otro vector epresado como ma que cumple los siguientes requisitos: ma tiene la misma dirección sentido que A si m es positivo, ma tiene la misma dirección sentido opuesto de A si m es negativo, el módulo de ma es m veces el modulo de A.

11 Si el vector A = A i + A j + A z k su multiplicación por el escalar m es multiplicar cada componente del vector A por el escalar m, de la manera siguiente: ma = ma i + ma j + ma z k Producto Escalar o Producto Punto de Vectores El producto escalar de dos vectores, epresado analíticamente como A. B se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno otro vector. Otra manera de definir el producto escalar, es el producto de las magnitudes de dos vectores por el coseno del ángulo que se forma entre ellos, donde se obtiene una cantidad escalar. Si conocemos las epresiones analíticas de dos vectores, el producto punto entre ellos se obtiene aplicando la propiedad distributiva entre sus componentes haciendo uso de la siguiente tabla: i j k i j k Sean A B dos vectores dados por sus epresiones analíticas, los cuales son: A = A i + A j + A z k B = B i + B j + B z k El producto punto es: A. B = (A B )i. i + (A B )i. j + (A B z )i. k + (A B )j. i + (A B )j. j + (A B z )j. k + (A z B )k. i + (A z B )k. j + (A z B z )k. k A. B = A B + A B + A z B z

12 Producto Vectorial o Producto Cruz de Vectores Dados dos vectores V B, se define el producto vectorial de los dos vectores se denota como V B, como otro vector P que tiene las siguientes características: El modulo es igual al producto de los módulos de V B, multiplicado por el seno del ángulo que forman sus direcciones. V B = V. B. sin α La dirección es un ventor P, perpendicular al plano determinado por los vectores V B. El sentido este viene dado por la regla de la mano derecha. La cual consiste en Cuando se realiza un producto vectorial (V B ), el vector resultante P se obtiene en la dirección del dedo pulgar al cerrar la mano derecha desde el vector V hacia el vector B. El vector resultante es perpendicular al plano formado por los vectores multiplicados. Figura No. 13 El vector P se obtiene conociendo las epresiones analíticas de dos vectores, el producto cruz entre ellos se obtiene aplicando la propiedad distributiva entre sus componentes haciendo uso de la siguiente tabla:

13 i j k i 0 k j j k 0 i k j i 0 Sean A B dos vectores dados por sus epresiones analíticas, los cuales son: A = A i + A j + A z k B = B i + B j + B z k El producto punto es: A B = (A B )i i + (A B )i j + (A B z )i k + (A B )j i + (A B )j j + (A B z )j k + (A z B )k i + (A z B )k j + (A z B z )k k A B = (A B )k + (A B z )( j ) + (A B )( k ) + (A B z )i + (A z B )j + (A z B )( i ) A B = (A B z A z B )i + (A z B A B z )j + (A B A B )k Ejercicios 1. Calcular las componentes de los siguientes vectores a. Vector desplazamiento de magnitud 40 cm, ubicado a 35 al norte del este. A A = 40 cm. cos 35 = 32,77 cm A 35 A A = 40 cm. sin 35 = 22,94 cm

14 b. Vector fuerza de magnitud 25 Nw, ubicado a 60 con respecto al eje negativo en sentido anti horario. F F = 25 Nw. sin 60 = 21,65 Nw F 60 F F = 25 Nw. cos 60 = 12,5 Nw 2. Sean los siguientes vectores: A = 2i + 4j 6k B = 5i 2j 3k, hallar: a. A + B A + B = (2i + 4j 6k ) + (5i 2j 3k ) = (2 + 5)i + (4 2)j + ( 6 3)k A + B = 7i + 2j 9k b. A B A B = (2i + 4j 6k ) (5i 2j 3k ) = (2 5)i + (4 + 2)j + ( 6 + 3)k A B = 3i + 6j 3k c. 4. A 4. A = 4. (2i + 4j 6k ) = (4.2)i + (4.4)j + (4. ( 6))k 4. A = 8i + 16j 24k d. A. B A. B = (2i + 4j 6k ). (5i 2j 3k ) A. B = ( 2) + ( 6). ( 3) A. B = = 20

15 e. A B A B = (2i + 4j 6k ) (5i 2j 3k ) A B = 2.5(i i ) + 2. ( 2)(i j ) + 2. ( 3)(i k ) + 4.5(j i ) + 4. ( 2)(j j ) + 4. ( 3)(j k ) + ( 6). 5(k i ) + ( 6). ( 2)(k j ) + ( 6). ( 3)(k k ) A B = 10(0) 4(k ) 6( j ) + 20( k ) 8(0) 12(i ) 30(j ) + 12( i ) + 18(0) A B = ( 12 12)i + (6 30)j + ( 4 20)k = 24i 24j 24k 3. Un esquiador viaja 7,4 Km 45 al este del sur. Luego 2,8 Km 30 al norte del este por ultimo 5,2 Km 22 al oeste del norte. Hallar a que distancia sentido esta el esquiador de su punto de partida. Muestre los desplazamientos en un diagrama. D C A B 30 A = 7,4 Km. sin 45 A = 5,25 Km A = 7,4 Km. cos 45 A = 5,25 Km A = 5, 25i 5, 25j B = 2,8 Km. cos 30 B = 2,42 Km B = 2,8 Km. sin 30 B = 1,4 Km B = 2, 42i + 1, 4j C = 5,2 Km. sin 22 C = 1,95 Km C = 5,2 Km. cos 22 C = 4,82 Km C = 1, 95i + 4, 82j D = A + B + C = (5,25i 5,25j ) + (2,42i + 1,4j ) + ( 1,95i + 4,82j ) D = 5,70i + 0,99j D = (5,70) 2 + (0,99) 2 = 5,79 Km θ = tan 1 ( 0,99 5,70 ) = 9,85