UNIDAD I MATEMÁTICA 3 A

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1 UNIDAD I MATEMÁTICA 3 A NÚMEROS REALES (R) Números Racionales Expresiones Decimales El Conjunto Q de los números racionales está formado por todos aquellos números que pueden expresarse en forma de fracción, es decir son de la forma, donde a y b son números enteros, con b 0. Los números racionales pueden expresarse como fracciones, o bien por su desarrollo decimal. Para hallar la expresión decimal de una fracción se divide el numerador por el denominador. Si al efectuar la división en algún paso se obtiene resto cero, la expresión decimal es exacta o finita. Si al efectuar la división no se obtiene resto cero, entonces una o algunas cifras se repiten indefinidamente después de la coma, la expresión decimal es periódica. Todo número racional tiene una expresión decimal finito o periódico. A) Expresiones Decimales Finitas A cada expresión decimal finita o exacta corresponde una fracción que tiene por denominador una potencia de 10. A las fracciones que tienen por denominador una potencia de 10 corresponden a expresiones decimales finitas. Cómo reconocer las fracciones decimales? Una fracción irreducible es decimal si su denominador tiene solamente los factores primos 2 y/o 5. 1

2 B) Expresiones Decimales Periódicas Cuando el cociente entre numerador y denominador no tiene resto igual a cero, la expresión decimal es periódica. El período es el número o bloque de números que se repiten. Las expresiones decimales periódicas pueden ser puras, si todas las cifras decimales componen el período; o mixtas, si hay una parte decimal no periódica delante del período ubicada inmediatamente después de la coma decimal. Puras Expresiones Decimales Periódicas Mixtas Todas las cifras decimales componen el período Ej. 3, = 0, = Hay una parte decimal no periódica delante del período Ej. 0, = Ej. 0, = Conversión de una expresión decimal periódica pura a fracción Menos su parte entera, y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período. Conversión de una expresión decimal periódica mixta a fracción Colocamos en el numerador todas las cifras del número, sin la coma, menos la parte entera seguida de la parte decimal no periódica (también denominada anteperíodo); y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica. Restamos y luego, si es posible, simplificamos. TRABAJO PRÁCTICO N 1 1) Escribir la fracción irreducible correspondiente a: Descomponer los denominadores en factores primos, y saca conclusiones. 2) Identificar las fracciones decimales sin hallar la expresión decimal. 3) Expresar como fracción los siguientes números decimales. a) e) b) f) c) 2 i) j) k)

3 d) g) l) h) Observen los casos anteriores en los que el período es 9. Qué conclusiones pueden sacar? 4) Resolver a) ( ( ) b) ( ( ( ) c) d) ( f) g) ( ) h) ( ) i) ( ) j) ( ) *( + k) ( ) l) ( ) m) ( ) n) ( ) e) ( ) El Conjunto de los números Reales NÚMEROS IRRACIONALES El Conjunto de los números reales (R) está formado por el conjunto de los números racionales (Q) y el de los irracionales (I). En símbolos: R Q I Q Gráficamente: De este modo, podemos hablar de completitud de la recta numérica: cada punto de la recta representa un número real, y todo número real está representado en la recta. Radicación. Raíz n-ésima de un número N Z R I Definición: Dado un número real a y un entero positivo n, se llama raíz n-ésima de a, a otro número real b, tal que, b elevado a n es igual a a. En símbolos: ( Casos particulares: 3

4 Propiedades de la Radicación 1) Exponentes racionales Lenguaje Formal ( ) N 1) ( ) Ejemplos 2) Distributiva en multiplicación y división N 2) 3) Raíz de raíz 3) 4) Simplificación de radicales 4) ( ( Extracción de factores fuera del radical Teniendo en cuenta las propiedades de la radicación, pueden extraerse factores fuera del radical, cuando los factores que figuran en el radicando sean potencias de exponente mayor o igual que el índice de la raíz. En algunos casos es necesario factorear el radicando. Por ejemplo:. Descomponer el ocho en factores primos.. Descomponer el exponente en suma de potencias de igual base.. Distribuir el radical en cada factor, y simplificar índice y exponente.. El factor 2 queda fuera del radical y éste queda reducido a su mínima expresión. Nota Importante! Cuando aplicamos el procedimiento antes descripto, el número sigue siendo el mismo (por eso se utiliza el signo igual entre las expresiones); lo único que logramos es cambiar el aspecto, o sea la forma de expresarlo. Puede verificarse con la calculadora que: Otros ejemplos: Radicales semejantes Se llaman radicales semejantes a aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Únicamente pueden diferir sus coeficientes. 4

5 Por ejemplo: Adición y sustracción (Suma algebraica) La suma algebraica de números irracionales semejantes, es otro irracional semejante a los dados, cuyo coeficiente es la suma algebraica de los coeficientes de cada uno de ellos. Ejemplos: ( ) En los cinco términos los radicales son semejantes. Suma algebraica de coeficientes. Los radicales no son semejantes aparentemente. Factorear los radicandos. Descomponer los exponentes en sumas para poder extraer factores del radical. Distribuir los radicales en el producto y simplificar índice y exponente. Multiplicar los coeficientes. Como los radicales ya se transformaron en semejantes puedo operar con los coeficientes. Los radicales no son semejantes aparentemente. Factorear los radicandos. Distribuir y simplificar. Se asocian los radicales que no se simplificaron totalmente, porque son de igual índice. Los radicales no son todos semejantes. Agrupo los que son semejantes y opero con sus coeficientes La adición de radicales no semejantes queda indicada. 5

6 TRABAJO PRÁCTICO N 2 1) 2) 3) 4) 5) Realizar las siguientes sumas algebraicas entre radicales: a) b) c) d) e) f) 6

7 Analicemos estos datos: NOTACIÓN CIENTÍFICA Volumen del Sol= m 3 = 1, m 3 Diámetro del sol= km = 1, km Distancia a la tierra= km = 1, km Peso de una molécula de H=0, g = 2, g Tamaño del virus de la gripe= 0,0001 m = m Un número de muchas cifras puede escribirse en forma abreviada, mediante el uso de potencias de 10, utilizando la llamada notación científica. Un número está representado en notación científica cuando se expresa como el producto de un número comprendido entre 1 y 10, por una potencia de 10. Los exponentes positivos se usan para escribir números muy grandes, y los exponentes negativos se utilizan para escribir números muy pequeños. Cómo pasamos un número de Notación decimal a Notación Científica? Primero se escribe el primer dígito distinto de cero, seguidamente se coloca la coma y luego, el resto de los dígitos significativos que componen el número (o sea, distintos de cero). Luego lo multiplicamos por 10 elevado a la potencia que representa la cantidad de lugares que se corrió la coma. Para determinar el signo del exponente, tenemos en cuenta la siguiente regla: Si el número original es mayor que uno, el exponente queda positivo. Si es menor que uno, el exponente queda negativo. Ej. Pasar a N.C. el número ) 1,82 2) 1, ) > 1 exponente positivo Ej. Pasar a N.C. el número 0, ) 5,64 2) 5, ) 0, < 1 exponente negativo 4) Cómo se pasa un número de Notación Científica a Notación Decimal? CORRIENDO LA COMA DE LUGAR Y LA POTENCIA DE 10 DESAPARECE Si el exponente es negativo, corro la coma para la izquierda la cantidad de lugares que dice el exponente. Si el exponente es positivo, corro la como para la derecha la cantidad de lugares que dice el exponente. 7

8 Ej. Notación Científica Notación Decimal 1, ,5 7, , , , TRABAJO PRÁCTICO N 3 1) Escribir los siguientes números en N.C. i ii. 0,00021 iii iv. 0,00005 v. 0,02 vi. 1543,5 vii. Doscientos millones viii. 0,00021 ix. Cien mil millones x xi xii. 0, xiii. 0, xiv xv. Ciento cuarenta y seis mil millones xvi. 0, xvii. 0, xviii. 0,41 xix ) Escribir los siguientes números en Notación Decimal i. 5, ii. 3, iii iv. 9, v. 7, vi. 2, vii. 8, viii. 1, ix x. 7, xi. 7, xii. 6, xiii. 1, xiv. 5, , xv. 4, xvi. 6, xvii. 5, xviii. 1, ) Pasar los números a N.C. y luego resolver los cálculos a) b) ( c) d) g) h) i) e) f) j) k) ( ( l) ( ( 8