TEMA 6 Movimiento oscilatorio

Transcripción

1 TEMA 6 Movimiento oscilatorio 1.- Movimiento armónico simple (M.A.S.).- Oscilaciones amortiguadas 3.- Oscilaciones forzadas. Resonancia

2 1.- Movimiento armónico simple Estudio dinámico del M.A.S Estudio cinemático del M.A.S. Posición, velocidad y aceleración Representación de Fresnel Estudio energético del M.A.S Ejemplos de M.A.S. Péndulo simple Péndulo físico Péndulo de torsión

3 1.1.-Estudio dinámico del M.A.S. El M.A.S. es la situación ideal de una oscilación perfecta, repetida de forma indefinida en el tiempo. Para hacer el estudio dinámico, veamos el ejemplo de una masa en un muelle, que ilustra muy bien el M.A.S. En esta situación de equilibrio F m a DSL kx mg mg-kx (sólo hay movimiento en una dirección, llamémosla x)

4 Si ahora estiramos adicionalmente el muelle (situación fuera del equilibrio): F m a mg-k(x + x ) m x o Por la condición de equilibrio mg kx o kx m x k kx m x x + x m

5 Siempre que tengamos una ecuación diferencial de la forma: cte. x + c x magnitud de posición derivada dos veces respecto al tiempo magnitud de posición sin derivar en que la aceleración sea proporcional al desplazamiento, estaremos ante un M.A.S., donde c se suele escribir como ω En el caso anterior: k x + x m x+ ω x con: ω k m ω k m

6 1..- Estudio cinemático del M.A.S. Posición, velocidad y aceleración La solución de la ecuación diferencial vista es: o también: ( ω + ϕ) x(t) A sen t x(t) C1 sen ωt + C cos ωt siendo: ω k m frecuencia angular (natural) del sistema (A, ϕ) ó (C 1, C ) constantes de integración (dependen de las condiciones iniciales)

7 - Analicemos la expresión que nos da la posición de la partícula: ( ω + ϕ) x(t) A sen t A amplitud máxima elongación (respecto a la posición de equilibrio) ϕ desfase (también llamado cte de fase, fase inicial, etc.)

8 Notemos que en t x(t)x A senϕ ϕ viene dado por las condiciones iniciales (c.i.) ( t) x(t) A sen ω Si el movimiento empieza en t: x(t)a senϕ senϕ ϕ Si la partícula en t está en la posición máxima: x(t)a A senϕ sen ϕ1 ϕ π/ Así: ϕ > adelanto de la onda x(t) A sen ( ω t + ) π

9 T periodo El tiempo que transcurre entre dos posiciones análogas (de máx. a máx., de mín. a mín., etc.) se denomina periodo. Puesto que se repite el valor de x, eso es equivalente a que la fase aumente en π: Así: ( ω t + ϕ + π) sen( ω t + ϕ) sen ω + T) + ϕ ω t + ϕ + π (t ω π T ν frecuencia T π ω periodo (en segundos) Se define como el nº de oscilaciones en un segundo. Así: 1 oscilación ν T (segundos) 1 s ν T ω 1 π ω πν (unidades S.I. de ν s -1 Hertz)

10 - A partir de la posición derivemos para obtener la velocidad de la partícula: Puesto que: derivando: ( ω + ϕ) x(t) A sen t ( ω + ϕ) x(t) A cos t v ( ω + ϕ) x A ω cos t De nuevo se trata de una sinusoide. Notemos que: cos( α) sen( α + π/) Así: ( ω t + ϕ) A ω sen( ω t + ϕ + /) v x A ω cos π Por tanto, la velocidad es una sinusoide: de amplitud A ω adelantada π/ respecto a la posición

11 - A partir de la velocidad derivemos para obtener la aceleración de la partícula: Puesto que: derivando: v ( ω + ϕ) x A ω cos t ( ω t + ϕ) A ω sen( ω + ϕ + π) a x A ω sen t La aceleración es por tanto una sinusoide: de amplitud A ω en oposición de fase a la posición

12 Cuestión 6.1 Considérese una masa de 1 g unida a un muelle (k1 N/m). En el instante inicial la posición de la masa está situada a 1 cm de la posición de equilibrio y tiene una velocidad hacia la izquierda de 5 cm/s. Escribir la ecuación del MAS correspondiente.

13 Representación de Fresnel Veamos una representación interesante del MAS. Consideremos una partícula en una circunferencia de radio A con movimiento circular uniforme de velocidad angular ω (constante). Esta partícula se representa por su vector de posición o fasor. Al recorrer Q (extremo del fasor) la circunferencia, la proyección P recorre el eje x pasando por los extremos A y A de forma oscilatoria. La proyección de este movimiento sobre el eje x es: xa sen(ω t+ϕ)

14

15 La velocidad de la partícula Q tiene módulo ω A y es un vector tangente a la circunferencia en cada punto La aceleración de la partícula Q (aceleración centrípeta únicamente) es un vector de módulo ω A dirigido hacia el centro de la circunferencia en cada punto La proyección de este vector velocidad sobre el eje x es: va ω cos(ω t+ϕ) La proyección de este vector aceleración sobre el eje x es: a-a ω sen(ω t+ϕ)

16 1.3.- Estudio energético del M.A.S. La energía mecánica es (se trata de un sistema conservativo): E 1 mv 1 + kx m Ec + U donde: A sen( ω t + ϕ) ; v A ω cos( ω t + ϕ) x cte Así: E m 1 1 ka mv + 1 kx 1 [ cos ( ω t + ϕ) + sen ( ω t + ϕ) ] ka 1 ma ω cos ( ω t + ϕ) + ka sen ( ω t + ϕ) o 1 (ya que: ω kmω ) Tenemos entonces: k m 1 E m ka E m A

17 Cuestión 6. Un cuerpo de 1.5 kg que alarga un muelle en.8 cm respecto a su longitud natural cuando cuelga de él en reposo, oscila con una amplitud de. cm. Calcula la energía cinética máxima del cuerpo.

18 1.4.- Ejemplos de M.A.S. Péndulo simple Estudio dinámico: F m a Consideremos una masa unida a un hilo inextensible: 1.- Equilibrio: T mg T-mg.- Fuera del equilibrio: T n).- Fuera del equilibrio mgsenθ mgcosθ n) T mgcosθmv /L t) mg 1.- Equilibrio t) mgsenθ mat g θ + senθ L mlα

19 Esto no es un MAS. Sólo si θ muy pequeño se tiene: θ sen θ θ θ + g θ L M.A.S. Como ya hemos visto, la solución es: θ(t) θmaxsen ( ω t + ϕ) con: ω g L T π L g Estudio energético del péndulo simple: E C 1 mv 1 m L θ E m ctee C +U U mgh mg(l-l cos θ mgl(1 cos θ ) ) mglsen θ

20 Así: E m E EC + U + mglsen θ + mglsen 1 m L θ θ 1 ml θ cte θ dθ dt (E mglsen θ ) ml dt ml dθ (E mglsen θ ) 4g L dθ E mgl sen θ dt 1 L g E mgl dθ sen θ

21 Notemos que consiguiente: sen θ es una función periódica de límites y 1. Por θ U mglsen será: Nótese que: Si E>mgL movimiento no oscilatorio (movimiento circular) Si E<mgL movimiento oscilatorio Calculemos el periodo: T T dt 4 θ max 1 L g E mgl dθ sen θ θ max L g E mgl dθ sen θ π L g sen θ max sen 4 θ max +...

22 Péndulo físico Un péndulo físico es cualquier masa volúmica no puntual (sólido rígido) que oscila en torno a un cierto punto de sí misma. Estudio dinámico: tenemos una fuerza (el peso) aplicada en el C.M. que da lugar a un giro en torno al punto O: M I α M d θ I dt donde hacemos los cálculos respecto al punto O. El momento del peso respecto a O es: M d x F M mglsenθ Es un momento recuperador: si θ> M< Así: M mglsenθ d θ I dt mglsenθ θ + mgl senθ I

23 Esto tampoco es un M.A.S., excepto si θ muy pequeño, en cuyo caso: θ senθ θ θ + mgl θ I M.A.S. La solución es: θ(t) θ max sen ( ω t + ϕ) con: ω mgl I T π I mgl

24 Péndulo de torsión Un péndulo de torsión consiste en una masa unida a un hilo que está girado (torsionado). Debido a la torsión el hilo gira y se produce un movimiento oscilatorio. Con el giro se produce un momento recuperador (que es proporcional al ángulo girado): M θ siendo τ cte de M τθ torsión del hilo Estudio dinámico: Por tanto: M Iα d θ I M τθ dt τ θ + θ Ι MAS La solución es: τ con: ω I θ(t) θmaxsen ( ω t + ϕ) I T π τ

25 Cuestión 6.3 Un péndulo simple de.55 m de largo se mueve 7º a un lado y se suelta. Cuánto tarda la pesa del péndulo en alcanzar su velocidad máxima?

26 .- Oscilaciones amortiguadas.1.- Estudio dinámico con amortiguamiento..- Análisis del movimiento con amortiguamiento Amortiguamiento débil Amortiguamiento crítico Amortiguamiento supercrítico

27 .1.- Estudio dinámico con amortiguamiento Hasta ahora hemos considerado la situación ideal en la que el movimiento es indefinido, pero en realidad observamos que la oscilación cesa al cabo de unos segundos. El movimiento está amortiguado. Hay muchos tipos de amortiguamiento, dependiendo del rozamiento. Nosotros vamos a considerar una situación en la que la fuerza de rozamiento de la masa sujeta a un muelle sea proporcional a la velocidad: f -γ v donde γ es una constante. Dimensiones de γ: [F] [ γ ] [v] (Unidades en el S.I. kg.s -1 ) -1 MT

28 En esta situación (seguimos considerando el ejemplo de una masa unida a un muelle), la ecuación dinámica será: F m a mx kx γv + m x γ x+ kx γ k x + x + x m m x+ β x+ ω x β ω con: ω k m ; β γ m El parámetro β γ m se denomina parámetro de amortiguamiento. Dimensiones de β T -1 (Unidades de β en el S.I. s -1 )

29 ..- Análisis del movimiento con amortiguamiento Tenemos que resolver la ecuación dinámica que hemos obtenido: x+ β x+ ω x La solución de esta ecuación diferencial depende del valor de β(γ) frente a ω : Si β<ω amortiguamiento débil Si βω amortiguamiento crítico Si β>ω amortiguamiento supercrítico

30 Amortiguamiento débil ( β < ω ) - t En este caso la solución es: x(t) A e sen( ω't + ) β ϕ con: ω' ω β La amplitud no es constante (ya no es un M.A.S.) A(t) A e -βt El movimiento no es estrictamente periódico, no existe un periodo estricto, aunque se puede considerar: T π ω ' Matemáticamente, la amplitud se hace nula sólo en el infinito. Sin embargo, en la realidad se observa que el sistema pierde toda la energía y se para.

31 Amortiguamiento crítico ( β ω ) Si nos fijamos en la ecuación anterior, ω sería cero y no estaría definida una frecuencia. De hecho, la solución no es oscilatoria. La solución es: x(t) (A - t A β + 1 t)e A, A 1 constantes de integración (dependen de las c.i.) Interés: diseño de sistemas para que no haya vibraciones y se tienda rápidamente a una situación de equilibrio (amortiguadores, etc.)

32 Amortiguamiento supercrítico o sobreamortiguado ( β > ω ) De nuevo, si nos fijamos en la solución de ω de la situación 1, ω sería imaginario. Así, la solución no viene dada por funciones sinusoidales sino por funciones senh (que en esencia son exponenciales): x(t) A e 1 -ω t 1 + A e -ω t con: ω ω 1 β + β ω β β ω A 1, A constantes de integración (dependen de las c.i.)

33 Cuestión 6.4 El periodo de la oscilación lineal amortiguada de una masa de g que cuelga de un resorte ideal de constante 15 N/m es.5 s. Calcular la constante de amortiguamiento γ.

34 3.- Oscilaciones forzadas. Resonancia Estudio dinámico de las oscilaciones forzadas 3.- Análisis del movimiento de las oscilaciones forzadas Resonancia Resonancia en amplitud Resonancia en potencia

35 3.1.- Estudio dinámico de las oscilaciones forzadas Como hemos visto, en la situación real la oscilación de una partícula no se mantiene al provocar o dar una fuerza momentánea, ya que cesa al cabo de unos segundos (amortiguamiento). Si queremos mantener la oscilación debemos mantener la fuerza apliquemos una FF(t) Un caso concreto e interesante será una fuerza sinusoidal: Así, consideremos que FF(t) sea: F F(t) F senω t La ecuación dinámica (seguimos considerando el ejemplo de una masa unida a un muelle) es entonces: F m a m x kx γ x+ F(t)

36 m x+ kx + γ x F(t) F + ωx + β x senωt α senωt m x con: α F m La solución consta de dos partes: Solución de la parte homogénea x+ β x+ ω o x La solución de esta ecuación ya la hemos visto, depende del tipo de amortiguamiento. Consideremos el caso de amortiguamiento débil (β<ω ): x h (t) A e o -βt sen( ω't + ϕ) ω' ωo β

37 Solución particular (t) x p Asen( ωt δ) Si se sustituye en la ecuación diferencial, se obtiene: A ( ω ω α ) + 4β ω ( ω ω α ) γω + m tgδ βω γω ω ω m( ω ω ) Como vemos, tenemos: ω, m dependen del sistema β(γ) depende del amortiguamiento ω, α características de la fuerza externa (Para ωω δ vale siempre π/)

38 3..- Análisis del movimiento de las oscilaciones forzadas La solución general es, por tanto: x(t) -βt A e sen( ω ' t + ϕ) + Asen( ωt δ) (A, ϕ c.i.) parte temporal transitorio ( si t ) parte permanente parte temporal parte permanente La frecuencia permanente o estacionaria es la de la fuerza aplicada (ω)

39 3.3.- Resonancia Resonancia en amplitud Al cabo de un cierto tiempo la parte temporal de la solución de la amplitud se hace muy pequeña y sólo permanece la solución permanente: Nótese que: A ( ω (t) x permanente ω α ) γω + m Asen( ωt δ) Así, A es máxima, y se tiene la situación de resonancia en amplitud, cuando el denominador es mínimo: d dω γω ( ω ω ) + m ω γ max ω ω m β Esta ω max recibe el nombre de frecuencia de resonancia.

40 Notemos que la resonancia en amplitud se produce para un valor de ω menor que ω (excepto si β, en cuyo caso ωω ). Cuando β es muy pequeño (amortiguamiento débil), ω max ω resonancia en amplitud, con valor de ésta, teóricamente, infinito. Cuanto menor es el amortiguamiento β, más pronunciada es la resonancia. k m y hay

41 Resonancia en potencia Calculemos la potencia transferida al sistema por la fuerza externa: donde: P Fv F F senωt v x siendo x Asen( ωt δ) v Aωcos( ωt δ) Aωsen( ωt δ + π/) Aωsen( ωt φ) con: φ δ π/ Notemos que: F F senωt x Asen( ωt δ) v Aω sen( ωt φ) x está atrasada δ respecto a F v está atrasada φ respecto a F

42 La potencia es: P Fv F F senωtaω(senωtcos φ cos ωtsenφ) F Aω(sen senωtaωsen( ωt φ) ωtcos φ senωtcos ωtsenφ) lo que nos da una función periódica de frecuencia ω, que muestra dependencia con el término cosφ, conocido como factor de potencia. Calculemos la potencia media transferida: < sen ωt > 1 < sen ωt >< cos ωt > 1 < P > F Aωcos φ 1 αβω Operando: < P > F ω ( ω ω ) + 4β ω

43 Veamos esta función (<P> función de ω): Se obtiene una potencia máxima transferida (resonancia en potencia) para el valor ωω (que corresponde con tgδ δπ/ φ) En el diagrama de fasores tendremos: En condiciones de resonancia (φ) la velocidad y la fuerza están en fase, de modo que la partícula se mueve siempre en la misma dirección que la fuerza. Esta es evidentemente la condición mas favorable para transferir potencia al sistema oscilante.

44 Analogía eléctrica Circuito oscilante Sintonizador de radio Proceso de resonancia condiciones más favorables para la transferencia de energía de un sistema a otro L d dt Q dq Q + R + Emaxsenωt I Imaxsen t dt C ( ω δ)

45 Cuestión 6.5 Un oscilador amortiguado está caracterizado por su masa m1 g, su constante elástica k.36 N/m y su constante de amortiguamiento γ4 g/s. Se le aplica al oscilador una fuerza impulsora de frecuencia angular 15 rad/s y de N de amplitud. a) Determinar el tipo de amortiguamiento; b) calcular el desfase angular entre la posición y la fuerza aplicada y entre la velocidad y la fuerza aplicada; c) calcular la amplitud de la elongación; d) calcular la "amplitud" de la velocidad.