AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica Boletín n o 1 (Aplicaciones).

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Aarón Caballero Botella
hace 6 años
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1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica Boletín n o 1 (Aplicaciones). 1. La policía descubre el cuerpo de una profesora de ecuaciones diferenciales. Para resolver el crimen es decisivo determinar cuándo se cometió el homicidio. El forense llegó al medio día y de inmediato observa que la temperatura del cuerpo es de 30 grados Celsius. Espera una hora y observa que la temperatura del cuerpo ha disminuido a 29 grados Celsius. Asimismo, observa que la temperatura de la habitación es constante a 2 grados Celsius. Suponiendo que la temperatura de la víctima era normal en el momento de su fallecimiento (3 grados Celsius), determinar la hora en que se cometió el crimen. Para determinar la hora del crimen, hacemos uso de la ley de enfriamiento de Newton queestablecequelatasadecambiodelatemperaturat (t) de un cuerpo con respecto al tiempo t es proporcional a la diferencia entre T ylatemperaturaa del ambiente. La ecuación que rige esta ley se formula dt = (T A) con constante real. En nuestro caso tenemos que la ecuación diferencial viene dada por dt = (T 2) y, puesto que se trata de una ecuación de variables separables, es fácil calcular su solución general, la cual viene dada por T (t) =2+Ce t Ahora bien, observando las condiciones del problema, y considerando el medio día como t =0, tenemos que T (0) = 30 T (1) = 29 De aquí se obtiene que C =3y =ln 2 3 = Por tanto, T (t) =2+3e t 1

2 Teniendo ahora en cuenta que en el instante de su muerte, la temperatura de la victima erade3gradoscelsius, 3 = 2 + 3e t = t = ln Lo que se traduce en que la víctima murió tres horas antes del medio día, esto es, a las 9:00 horas. 2. Un cultivo tiene una cantidad inicial P 0 de bacterias. Cuando t =1h., la cantidad medida de bacterias es (3/2)P 0. Si la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad de bacterias presentes P (t) en el momento t, calcular el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de microorganismos. El problema de valores iniciales que modela el crecimiento de las bacterias viene dada por dp = P x (0) = P 0 Resolvemos la ecuación diferencial, la cual observamos que es separable ( y lineal) dp = P dp = P P (t) =Cet Cuando t =0, se tiene que P 0 = Ce 0 y por consiguiente, P (t) =P 0 e t Cuando t =1, tenemos que 3P 2 0 = P 0 e de donde =ln 3 = Así P (t) =P 2 0e t. Para establecer el momento en que triplica la cantidad de bacterias despejamos t de 3P 0 = P 0 e t obteniendo t = ln h 3. a) Supóngase que un tanque mezclador contiene 300 galones de salmuera. Otra solución de salmuera se bombea al tanque a razón de 3 galones por minuto; la concentración de la sal que entra es de 2 libras por galón. La solución bien agitada se desaloja a la misma razón. Si inicialmente había 50 libras de sal disueltas en los 300 galones. Cuánta sal habrá en el tanque pasado mucho tiempo? b) Repetir el ejercicio suponiendo que la solución bien agitada sale a un flujo de 2 galones por minuto. 2

3 a) Para hallar la cantidad de sal en cada instante A(t), tenemos en cuenta que donde da = A 1 A 2 A 1 = tasa de entrada de la solución =(3gal/min) µ (2 libras/gal) A A 2 = tasa de salida de la solución =(3gal/min) 100 libras/gal Así, debemos resolver el problema de valor inicial dado por da =2 3 A 100 A (0) = 50 Se trata de una E.D.O. lineal cuya solución general viene dada por A(t) =600+Ce t/100. Ahora bien, cuando t =0, se tiene que A =50, ydeaquíc = 550. Luego, la cantidad desaleneltanqueencadainstatet está dada por A(t) = e t/100. Tomando límite en la expresión anterior cuando t, se puede observar que la cantidad de sal pasado un largo tiempo debe ser de 600 libras. b) En este caso, la razón con que entra la solución al tanque no es la misma que la razón con la que sale, y de aquí el volumen de la solución es diferente en cada instante. El problema de valor inicial que se deriva de esta situación viene dado ahora por la ecuación diferencial ordinaria lineal da =2 3 2 A t junto con la condición inicial A (0) = 50. La solución de este problema viene dada por A(t) =600+2t (300 + t) 2 4. El periodo medio (en física) es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva y consiste en el tiempo que transcurre para que se desintegre o transmute la mitad de los átomos en una muestra inicial A 0 y se conviertan en átomos de otro elemento. Se sabe 3

4 que el periodo medio o semivida del C-14 radiactivo es.aproximadamente, 5600 años. Con estos datos, se analizó un hueso fosilizado y se encontró que contenía la milésima parte de la cantidad original de C-14. Determinar la edad del fósil. Si A(t) es la cantidad original de C-14 que queda en cualquier momento t, el problema de valor inicial que modela esta situación viene dado por da = A A (0) = A 0 cuya solución es A (t) =A 0 e t. Para calcular la constante de decaimiento se aplica el hecho de que el periodo medio del C-14 es, aproximadamente de 5600 años; es decir A(5600) = A 0 /2, obteniendo que = ln 2/5600 = , ydeaquí A (t) =A 0 e t Puesto que A (t) =A 0 /1000, entonces A 0 /1000 = e t y en consecuencia, despejando t, t = ln , 800 años Un acumulador de 12 voltios se conecta a un circuito en serie, con una inductancia de 1 2 henrios y una resistencia de 10 ohmios. Determinar la corriente i si la corriente inicial es cero. La ecuación que debemos resolver viene dada por 1 di +10i =12 2 junto con la condición inicial i(0) = 0. Es fácil comprobar que la solución de este problema de valores iniciales viene dada por i(t) = e 20t. 6. La velocidad v de caída de un cuerpo de masa m evoluciona dependiendo de la gravedad (g constante) que tira de él hacia abajo, y de la resistencia del aire, que tira hacia arriba 4

5 de forma proporcional a su velocidad, la cual se considera positiva hacia abajo, siguiendo la fórmula m dv = mg v i) Halla la solución particular de v sabiendo que v(0) = v 0 ii) Halla la solución particular de la distancia s(t) desde la que ha caído el cuerpo, sabiendo que s 0 (t) =v(t) yques(0) = s 0 (la distancia se considera positiva hacia abajo) iii) Si m =2g, v 0 =3m/s, g =9.8m/s 2, =0.5 en que instante valdrá la velocidad v =30m/s? y, cuándo se anulará? i) Resolvemos el problema de valor inicial dv = g m v v (0) = v 0 obteniendo que la solución viene dada por v(t) = mg ³ + v 0 mg e t/m ii) Teniendo en cuenta que s 0 (t) =v(t) tenemos que Z s(t) = v(t) = mg t m ³ y al ser s(0) = s 0 resulta s(t) = mg t m ³ v 0 mg v 0 mg e t/m + m e t/m + C ³ v 0 mg + s 0 iii) Si m =2g, v 0 =3m/s, g =9.8m/s 2, =0.5, entonces v(t) = µ e 0.5t/2 = e t/4 0.5 Para calcular en qué instante la velocidad vale 30, resolvemos la ecuación de donde, despejando t se obtiene e t/4 =30 t 5.48 segundos 5

6 . Un paracaidista cuya masa es de 5g se deja caer desde un helicóptero que está a 4000 m de altura. La fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea de caída, siendo =15g/s la constante de cuando el paracaídas está cerrado y =105g/s cuando está abierto. Si el paracaídas se abre un minuto después de saltar. Calcular la velocidad v(t) y la correspondiente posición s(t) en cada instante. Cuánto tarda en llegar a la superficie? Podemos observar que tenemos dos situaciones diferentes: una (P 1) antes de abrir el paracaidas y otra (P 2) después de abrir el paracaidas, al cabo de 60 s. Esto da lugar a dos problemas de valor inicial diferentes: = mg 15v m dv v (0) = 0 (P 1) m dv = mg 105v v (60) = v 1 (P 2) La solución del problema (P 1), queesválidapara0 t 60, viene dada por v(t) = mg 15 mg 15 e 15t/m =5g 1 e t/5 Haciendo uso de esta expresión, obtenemos que v(60) 49m/s = v 1. Podemos ahora resolver el problema (P 2), obteniendo que y, en consecuencia, v(t) = 5g 1+6e 84 t/5 ½ 5g 1 e t/5 si 0 t 60 v(t) = 1+6e 84 t/5 si t>60 5g Si calculamos el desplazamiento s(t) = R v (t), tenemos que, para 0 t 60, yteniendo en cuenta que s(0) = 0 (se mide a partir del posición del helicóptero), se obtiene que s(t) =5g t +5e t/5 5 Cuando t = 60, al abrir el paracaidas, se tiene que el espacio recorrido es s(60) = 5g (55 + 5e 12 ) 2695m Para t>60, laexpresióndes(t) viene dada por s(t) = 5g µt 5 6e84 t/

7 y, en consecuencia, ½ s(t) = 5g 5g t +5e t/5 5 si 0 t 60 t 30 e84 t/ si t>60 Por último, cuando llega al suelo debe ser s(t) = Por tanto, resolvemos la ecuación en t, 5g µt 30 e84 t/ = 4000 de donde µt 30 e84 t/5 =242 y, cuando t>60 se verifica que t 30 e84 t/5 t,luegot 242 segundos. 8. Supongamos que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a su escuela, donde hay 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional no sólo a la cantidad x de alumnos infectados, sino también a la cantidad de alumnos no infectados, determinar la cantidad de alumnos infectados seis días después, si se observa que a los cuatro días x(4) = 50. Suponiendo que nadie sale de la escuela durante la epidemia, debemos resolver el problema de valor inicial dado por el modelo logístico dx = x (1000 x) x (0) = 1 Para resolver la ecuación diferencial de primer orden observamos que se trata de una ecuación de variables separables. Por tanto, µ dx dx 1/1000 = x (1000 x) x (1000 x) = + 1/1000 dx = desc. en x 1000 x frac. simples Integrando ambos miembros, obtenemos ln x 1000 x = t + C 1

8 de donde x 1000 x = C 2e 1000t Despejando la variable x como función de t, tenemos x (t) = 1000C 2e 1000t 1+C 2 e 1000t = Ahora bien, puesto que x (0) = 1, obtiene que yademásx (4) = 50, de donde C 3 e 1000t 1= C 3 = C 3 =999 Entonces ydeaquí 50 = e = 1000 = 1 19 ln = x (t) = e t x (6) = 1000 =26alumnos e

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