PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 00 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio 1, Opción B Reserva, Ejercicio 1, Opción A Reserva, Ejercicio 1, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio 1, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio 1, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción A

2 1 Considera la función f : definida por f ( ) e a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan). MATEMÁTICAS II. 00. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. a) Asíntota vertical: No tiene. Asíntota horizontal: 1 0 lim lim 0 y e 1. Asíntota oblicua: No tiene b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 1 1 ( 1) y ' e e 0 1 ; 1 ( 1) ( 1) (, 1) ( 1,1) (1, ) Signo y ' + Función D C D mínimo 1, e 1 Máimo (1, e )

3 9 Sea f la función definida por f( ) para 0 y. a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Con los datos obtenidos, esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 00. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. a) Asíntota vertical: 0 y. 9 9 Asíntota horizontal: lim lim 0 y 0. Asíntota oblicua: No tiene b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 9 ( ) ( ) (9 ) y ' 0 No ( ) ( ) (,0) (0, ) (, ) Signo y ' Función D D D La función es decreciente en su dominio. c)

4 Determina el valor de las constantes c y d sabiendo que la gráfica de la función f : definida por f ( ) c d tiene como recta tangente en su punto de infleión a la recta y 4. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. Calculamos el punto de infleión de la función. f c f '( ) 6 ; ''( ) A continuación, aplicamos las condiciones del problema. f c c '( 1) ( 1) 6 ( 1) 6 Pasa por P f d d ( 1,1) ( 1) 11 ( 1) ( 1) 6 ( 1) 5 Luego, la función será: f ( ) 6 5.

5 Sea f : 1,4 R una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura. (,) ( 1, ) (4, 1) a) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de f y determina los valores donde alcanza sus etremos relativos. b) Estudia la concavidad y conveidad de f. Tiene puntos de infleión la gráfica de f?. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA 1. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Calculamos la ecuación de la recta que pasa por (, ) y( 1, ). y 4 y, el punto de corte con el eje X es: 1 Calculamos la ecuación de la recta que pasa por (, ) y (4, 1). y 10 y, el punto de corte con el eje X es: 4 1 1,0 10,0 1 1, 1 10, 10,4 Signo y ' + Función D C D 10 1 Máimo en ; mínimo en 4 4 si 1 si 1 b) f '( ) f ''( ) 10 si 4 si 4 1,, 4 Signo y ' + Función C Cn Luego, tiene un punto de infleión en

6 Considera el recinto limitado por la curva y 1 y la recta y 9 y 9 De entre los rectángulos situados como el de la figura, determina el que tiene área máima. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. a) La función que queremos que sea máima es: S ma (9 y) b) Relación entre las variables: y c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. S ma 54 (9 ) d) Derivamos e igualamos a cero 54 6 S' 0 Luego, las dimensiones son: ; y. S ma (9 y) 6u

7 De entre todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas, determina las que son 1 tangentes a la curva de ecuación y 4 4. Calcula los puntos de tangencia 4 correspondientes. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. La ecuación de todas las rectas tangentes será: queremos que pasen por el punto (0,0), tenemos: a 4 ( ) ; y como 4 y a a a a a a 4a 4 4 (0 a) a 16a 16 a 16a a a a y y Punto ( 4) 6 ; (4, 4) 1 4 a y y Punto 4 4 ( 4) 4 ( 4) 4 4 ( 4) ; ( 4, 8)

8 sen si 0 Estudia la derivabilidad de la función f : definida por: f( ). 1 si 0 MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA. EJERCICIO 1. OPCIÓN B Si la función es derivable en 0, primero tiene que ser continua en dicho punto, luego: sen 0 cos lim lim lim lim lim Continua cos sen si 0 Calculamos la función derivada: f '( ) 0 si 0 f f '(0 ) 0 0 cos cos 0 cos f '(0 ) f '(0 ) 0 sen sen sen '(0 ) Luego, la función es derivable.

9 Considera la función f : definida por: a) Calcula: lim f( ) y lim f( ) f ( ) e. b) Calcula los intervalos de monotonía y los etremos locales de f (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan). MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A a) lim e 0 lim lim lim e e e 4 lim e b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 1 1 y e e e ' 0 0 ; 4, 4 4,0 0, Signo y ' + + Función C D C Máimo 4,16e mínimo 0,0

10 Sea f : la función definida por: f ( ) 5 5 y sea r la recta de ecuación y 6. a) Determina, si es posible, un punto de la gráfica de f en el que la recta tangente sea r. b) Hay algún punto de la gráfica de f en el que la recta normal a la gráfica sea r?. Justifica la respuesta. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. a) Si r es tangente se tiene que cumplir que: f '( ) ; Sólo el punto (1,4), pertenece a la recta y a la curva. 7 b) La recta y 6 corta a la función en el punto (,0), pero en ese punto la recta tangente tiene de pendiente y no 1, luego, no eiste ese punto.

11 a b si 0 Considera la función f : definida por: f( ). Determina a y b ( ab) e si 0 sabiendo que f es derivable. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. Si la función es derivable en 0, primero tiene que ser continua en dicho punto, luego: lim a b b b 1 0 ( ab) lim e 1 0 a si 0 Calculamos la función derivada: f '( ) ( ) ( a b) e a b si 0 Como es derivable en 0, se cumple que: f f '(0 ) a 1 a 1 a '(0 ) b

12 Considera la curva de ecuación y. a) Determina sus asíntotas. b) Corta la curva a alguna de sus asíntotas en algún punto?. Justifica la respuesta. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. Calculamos el dominio de la función: a) Asíntota vertical: 1 ;. D 0 1 ; 1, Asíntota horizontal: 6 lim lim lim No tiene. Asíntota oblicua: y lim m lim 1 5 n lim lim lim b) Calculamos el punto de corte de la asíntota oblicua con la función. y , y

13 Estudia la derivabilidad de la función f : (0, ) definida por: si 0 1 si 1 f( ) 1 4 Calcula la función derivada. MATEMÁTICAS II. 00. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. a) Vamos a estudiar primero la continuidad en 1 lim lim No es continua en 1, por lo tanto, no es derivable en 1 b) Calculamos la función derivada: f 1 si 0 1 '( ) 1 si 1

14 Considera la función f definida por f( ) para 1. 1 a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Estudia la posición de la gráfica de f respecto de sus asíntotas. MATEMÁTICAS II. 00. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Asíntota vertical es 1. Asíntota horizontal: lim 1 lim 1 1 No tiene. Asíntota oblicua: y 1 1 lim m lim 1 ; n lim lim lim b) Calculamos la posición de la gráfica respecto de las asíntotas: 1 1 lim ( 1) lim lim encima de la asíntota oblicua. luego, f ( ) está por 1 1 lim ( 1) lim lim debajo de la asíntota oblicua. luego, f ( ) está por

15 t 0 Considera la matriz A t 1. Calcula los valores de t para los que el determinante de A 0 1 es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante. MATEMÁTICAS II. 00. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. Calculamos el determinante t 0 A t t t Vemos que es una función cuadrática. Calculamos los puntos de corte con el eje X. A t t t t ; 4 Luego, para todos los valores de t( 1,4) A es positivo. Calculamos la derivada y la igualamos a cero. t 0 t Luego, el máimo se alcanza para t y vale A 5 4

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