Aplicaciones de las Derivadas

Transcripción

1 Tma : Aplicacions d las Drivadas..- Crciminto y dcrciminto d una función Sa f una función dfinida n l intrvalo I. Si la función f s drivabl sobr l intrvalo I, s vrifica: f s crcint n I f I f s dcrcint n I f I f s constant n I f I f s strictamnt crcint n I f > I f s strictamnt dcrcint n I f < I Una función no s simpr crcint ni simpr dcrcint, sino qu tin intrvalos n los qu s crcint, intrvalos n los qu s dcrcint. Para hallar los intrvalos d crciminto y dcrciminto d una función f dfinida n [a,b], hmos d considrar: os trmos a y b dl intrvalo os puntos dond f. os puntos dond no ist f Tndrmos así los posibls trmos d los intrvalos n los qu cambia d signo f. Ejmplo : allar los intrvalos d crciminto y dcrciminto d la función f o primro qu tnmos qu hacr s calcular la drivada d f f y la igualamos a cro para obtnr sus raics: f Dibujamos una lína rcta n la qu ponmos los puntos qu hacn la drivada, y los puntos dond no stá dfinida la drivada, - y. f > f < f < f < f < f > - f s crcint n l intrvalo,, f s dcrcint n l intrvalo,,, Simbolizamos con qu la función s crcint, y con qu s dcrcint. Matmáticas Vrano 8 Raúl G.M.

2 Máimos y Mínimos d una función. a función f tin n l punto o un máimo rlativo si ist un ntorno E d o tal qu para todo d E s vrifica: f < f o. a función f tin n l punto o un mínimo rlativo si ist un ntorno E d o tal qu para todo d E s vrifica: f > f o. También podmos dcir qu: a función f pos un máimo rlativo n l punto dond cambia d sr crcint a sr dcrcint. a función f pos un mínimo rlativo n l punto dond cambia d sr dcrcint a sr crcint. Si la función tin n o un máimo o mínimo, s dic qu f tin un trmo n o, y n s punto f. o Si la dsigualdad f < f o s vrifica para todo I, la función tin n o un máimo absoluto n I. Si la dsigualdad f >f o s vrifica para todo I, la función tin n o un mínimo absoluto n I. En l jmplo antrior: f tin un máimo n f tin un mínimo n f n l punto, f n l punto,..- Concavidad y Convidad: Sa f una función dos vcs drivabl n un intrvalo I, dcimos qu: a función f s conva si f a función f s cóncava si f A los puntos dond una función cambia d cóncava a conva o vicvrsa s ls llama puntos d inflión, y n llos ocurr qu f. En st jmplo, la función tin n un punto d inflión. Matmáticas Vrano 8 Raúl G.M.

3 En la función f Vamos a calcular ahora los puntos d inflión. Para llo trabajamos con la sgunda drivada. f. Calculamos f. 8 f y la igualamos a cro 8 f 8 f < f > Por tanto, la función f Tin un punto d inflión n l punto,..- TEOREMAS IMPORTANTES:...- Torma d Roll: Sa f una función ral qu cumpl las condicions: Está dfinida y s contínua n [a,b] Es drivabl n a,b fa fb ntoncs ist al mnos un punto c ] a, b[ tal qu fc Gométricamnt, quir dcir qu si s cump todas las propidads, ntoncs la curva d f tin n c una rcta tangnt qu s paralla al j OX. Ejmplo : Comprobar qu la función f - 5 cumpl las condicions d torma d Roll n l intrvalo [-,] y qu fctivamnt vrifica s torma. a función f s una función polinómica y por tanto contínua n todo, por tanto contínua n [-,], por sr polinómica s drivabl n y por tanto lo s también n -,. Calculamos f- y calculamos f, por tanto cumpl las trs propidads dl torma d Roll, ntoncs tin qu istir un c, dl intrvalo -, tal qu f C. Calculamos f - y la igualamos a.. Entoncs n l punto, la tangnt a la curva s paralla al j OX. Matmáticas Vrano 8 Raúl G.M. 5

4 Torma dl Valor mdio d agrang. Sa f una función ral qu cumpl las condicions: Es contínua n [a,b] Es drivabl n a,b Entoncs: ist al mnos un punto c ] a, b[ f b f a tal qu fc b a Gométricamnt, l torma dl valor mdio nos dic qu ntr los puntos a y b ist un punto c n l qu ist una rcta tangnt a la curva qu s paralla a la rcta qu un los puntos a y b. Ejmplo : Aplicar l torma dl valor mdio a la función [,], dada por f-. alla l valor d C. a función s contínua y drivabl n todo R, por tanto n [a,b]. Calculamos f y f-. f b f a Entoncs ist c ] a, b[ tal qufc. b a Drivamos: f - igualamos a -; ncontramos.,5...- Torma d Cauchy: Si f y g son funcions qu cump las siguints condicions: Están dfinidas y son contínuas n [a,b] Son drivabls n a,b ga gb g no s anula n ningún punto d a,b ntoncs, ist al mnos un punto c ] a, b[ tal qu fc gc f b f a g b g a Ejmplo 5: S pud aplicar la fórmula d Cauchy a las funcions dfinidas por f y g n l intrvalo [-,]?. Ambas funcions son contínuas n [-,] y drivabls n -,, y tnmos qu g-- no s igual a g. Calculamos g, pro vmos qu s anula n, por tanto no podmos aplicar Cauchy....- Rgla d ôpital San f y g dos funcions rals qu cump las siguints condicions: o las funcions f y g son drivabls n un ntorno E dl punto a. o faga f o Eist a g Entoncs s cumpl qu: f f a g a g Matmáticas Vrano 8 Raúl G.M.

5 Si f a g a, sindo las funcions f y g drivabls n a, s pud aplicar otra vz la rgla d ôpital, y así sucsivamnt. sn Ejmplo : Calcular Est límit s una indtrminación dl tipo, como ambas funcions son drivabls n R, y admás son nulas n, podmos aplicar `ôpital, d forma qu: sn D las 7 formas indtrminadas qu vimos n l capitulo 8 d funcions y continuidad, la Rgla d ôpital solo s aplicabl n los casos indtrminacions pudn rducirs a stas dos.. Sin mbargo todas las otras Caso Indtrminación Si f y a g ntoncs: a rsolvr con la rgla d ôpital. f f g a a g, qu s pud Caso Indtrminación f g ; ntoncs [ f g ] a a a y a g f f g qu s pud rsolvr con ôpital. Caso d las indtrminacions:,, B B A Para stas utilizarmos: A, d modo qu las trs indtrminacions s rducn a formas,, qu s pudn rsolvr mdiant la rgla d ôpital..5.- Optimización d Funcions: os problmas d optimización son una d las aplicacions más inmdiatas intrsants dl cálculo d drivadas. El problma s dtrminar los trmos rlativos máimos ó mínimos d una función. Procdiminto a la hora d plantar un problma: a Eprsión d la magnitud qu s dsa optimizar. Por jmplo l ára b Si la prsión a optimizar tin más d una variabl, rlacionarlas mdiant las condicions dl nunciado. Matmáticas Vrano 8 Raúl G.M. 7

6 c Sustituir n la primra prsión, d forma qu sta solo dpnda d una variabl, y sta srá la función a optimizar fa. d Imponr la condición d trmo rlativo, sto s, primra drivada igual a cro y dspjar la variabl a. {f a y calcular valors d a}. Mdiant la sgunda drivada comprobar si l trmo s máimo o mínimo: a s mínimo Si f a > > a s máimo f Calcular l rsto d variabls y l valor d la función optimizada. Ejmplo 7: allar las dimnsions dl mayor rctángulo inscrito n un triángulo isóscls qu tin por bas cm y por altura 5 cm. a suprfici dl triángulo s calcula: S y. 5 y 5 y Al tnr dos triángulos smjants s cumpl qu:, d dond: 5 5 y Sustituimos n la prsión d S, y tnmos: S y 5y y Drivamos: S 5 y igualamos a cro: S 5 y 5 5 y D dond obtnmos: y y d, obtnmos l valor d : 5 <. Para vr si s máimo o mínimo, calculamos la sgunda drivada: y 5 Por tanto para qu l ára sa máima, ha d ocurrir qu 5 y..- Ejrcicios :.- Estudiar l crciminto y dcrciminto d la función f.- allar l conjunto d dfinición d la función f [ ].- Dmostrar qu la cuación no pud tnr dos raícs rals n l intrvalo -,. 5.- Dmostrar qu la cuación tin actamnt una raíz ral ntr y 5.- S considra la función f. Estudiar los intrvalos d crciminto, dcrciminto y los trmos rlativos..- Encontrar las funcions polinómicas d la forma f a b c d cuya sgunda drivada sa -. Cuáls d llas tinn un mínimo rlativo n l punto,. Matmáticas Vrano 8 Raúl G.M. 8

7 7.- Dada la función f a b c d, allar los coficints a,b,c,d sabindo qu la cuación d la tangnt a la curva n l punto d inflión, s y- y qu la función prsnta un trmum n l punto d abscisa. 8.- Dada la función f a b c d. allar los coficints a,b,c,d, sabindo qu la función tin un máimo n, un mínimo n y un punto d inflión n,. 9.- Dada la función dfinida n ], [ f, hallar sus máimos y mínimos..- Estudiar l crciminto y la concavidad d la función f.- Estudiar la concavidad d la función: f π.- Considrmos la función la función f a Dtrmina sus máimos, mínimos y puntos d inflión b Dtrmina sus intrvalos d crciminto y dcrciminto..- Calcula los siguints límits: a sn sn sn sn b sn f c g sn d h sn i c j k l m n sn ñ.- alla dos númros cuya suma s, sabindo qu su producto s máimo. Sol.:, 5.- Dtrmina dos númros cuya suma sa y tals qu l producto dl uno por l cubo dl otro sa máimo. Sol.: 8,.- Dscompón n dos sumandos tals qu l cuádruplo dl primro más l cuadrado dl sgundo sa mínimo. Sol.:98, 7.- alla la altura dl cono d volumn máimo qu pud inscribirs n una suprfici sférica d radio R. Sol.: R/ 8.- S quir vallar una campo rctangular qu stá junto a un camino. Si la valla dl lado dl camino custa 8 uros/m y la d los otros uro/m, halla l ára dl mayor campo qu pud crcars con 88 uros. Sol.:5m 9.- D todos los triángulos isóscls d cm d prímtro, halla las dimnsions d los lados dl qu tnga ára máima. Sol.:,,..- Dividir un sgmnto d cm n dos parts, con la propidad d qu la suma d las áras d los triángulos quilátros construidos sobr llas sa mínima. Sol.: cm y cm..- Entr todos los rctángulos inscritos n una circunfrncia d radio cm, calcula las dimnsions dl qu tnga ára máima. Razona l procso. Sol.: cuadrado. Matmáticas Vrano 8 Raúl G.M. 9

8 Solucions: f.- Estudiar l crciminto y dcrciminto d la función El dominio d dfinición d sta función s todo R. Calculamos la drivada d la función: f Igualamos a cro, y calculamos los posibls puntos d cambio monotonía. f f - f Min Por tanto la función f, s dcrcint n ] ] s crcint n [, [.- allar l conjunto d dfinición d la función f [ ] El conjunto dfinición son los valors d la variabl indpndint, para los qu la variabl indpndint f stá bin dfinida. En st caso los valors qu hacn qu -->. Por tanto -> y ->, d dond > Y -< y -< < Por lo tanto: Domf ], [ U ], [ Para los intrvalos d crciminto, calculamos su drivada: f f f - A.V. A.V. f A.V. No Dfinida A.V. Por tanto la función f s dcrcint n ],[ s crcint n ], [.- Dmostrar qu la cuación no pud tnr dos raícs rals n l intrvalo -,. Dfinimos la función f, como s polinómica su dominio d dfinición s todo R. Calculamos su drivada: f y la igualamos a cro: f ± Estos son los posibls puntos dond la drivada cambia d signo, y dond la función f cambiaria su monotonía y ninguno d llos s ncuntra dntro dl intrvalo -,. Por tanto la función f no cambia su monotonía n st intrvalo. Vamos como s la drivada n l por jmplo. Vmos qu f -, por tanto la función s dcrcint n st intrvalo. Entoncs la cuación n l intrvalo -, solo pud tnr una solución, porqu su monotonía no cambia, y solo podría cortar con l j OX n un punto. Matmáticas Vrano 8 Raúl G.M.

9 5.- Dmostrar qu la cuación tin actamnt una raíz ral ntr y. 5 Como n l caso antrior, dfinimos una función f n l intrvalo [,], qu s contínua por sr polinómica. Calculamos su drivada igualamos a cro: f 5, como sta drivada s simpr positiva, la función s simpr crcint. Vamos a vr si corta al j. Aplicamos l torma d bolzano n l intrvalo [,], Como f s contínua n [,] y como f- y f, la función cambia d signo n st intrvalo, ntoncs sgún Bolzano: c, / f c Por tanto sta función solo corta al j X una vz por sr simpr crcint, y l punto d cort c stá n l intrvalo,. 5 Así qu la cuación tin solo una solución ral ntr y. 5.- S considra la función f. Estudiar los intrvalos d crciminto, dcrciminto y los trmos rlativos. El dominio d dfinición d sta función s R { } Esta drivada s cro: f, calculamos su drivada: f f - No dfinida - f Ma A.V. Min Por tanto la función f s dcrcint n [,[ U ],], U, Máimo Rlativo, Mínimo Rlativo, s crcint n ] ] [ [.- Encontrar las funcions polinómicas d la forma f a b c d cuya sgunda drivada sa -. Cuáls d llas tinn un mínimo rlativo n l punto,. Calculamos la primra drivada d f: f a b c Y dspués calculamos la sgunda drivada: f a b Igualamos ambas: a a a b Así qu las funcions cuya sgunda drivada s - son b b funcions d la forma: f c d Si admás tinn un mínimo n l,, ocurr qu f y qu f. Matmáticas Vrano 8 Raúl G.M.

10 Por tanto: f a b c 8 8 f 8a 8b c f c C- f a b c d f d d 8 d Por tanto la función d la forma f a b c d cuya drivada sgunda sa - y qu admás tinn un mínimo n, s: f 7.- Dada la función f a b c d, allar los coficints a,b,c,d sabindo qu la cuación d la tangnt a la curva n l punto d inflión, s y- y qu la función prsnta un trmum n l punto d abscisa. f f a b f a b Si, s punto d inflión: f f a b c d Si prsnta un trmun n f f a b c f c Si n tin una tangnt d pndint m- f - f a b c f a b c Con todas stas cuacions, tnmos qu: a b a b c d c a b c D - obtnmos qu: a a Sustituyndo n obtnmos b- Y d : d- Por tanto la función s f 8.- Dada la función f a b c d. allar los coficints a,b,c,d, sabindo qu la función tin un máimo n, un mínimo n y un punto d inflión n,. f f d Dl máimo n, f f a b c f c Dl mínimo n f f a b c f a b c f f a b c d Dl punto d inflión n, f f a b f a b Con todas stas cuacions tnmos: Matmáticas Vrano 8 Raúl G.M.

11 D dond: a b c d a b c d - a-- a Y d b- Por tanto la función s: f 9.- Dada la función dfinida n ], [ f, hallar sus máimos y mínimos. Calculamos su drivada, como s una función lvada a otra, aplicamos drivación logarítmica. Aplicamos logaritmos Drivamos: Dspjamos: f f f f f - f f f - f Ma.- Estudiar l crciminto y la concavidad d la función f El dominio d sta función s ], [ Por tanto la función f, s dcrcint n [ [ s crcint n ], ] Calculamos su drivada: f f f prsnta un máimo Absoluto n l punto, f - f Ma Por tanto la función f, s dcrcint n [ [ s crcint n ], ] f prsnta un máimo Absoluto n l punto Para studiar la concavidad y convidad utilizamos la ª drivada:, Matmáticas Vrano 8 Raúl G.M.

12 f f f Por tanto la función f s conva n, f - f P.Inflión s cóncava n, f prsnta un punto d inflión n l punto,.- Estudiar la concavidad d la función: f π El dominio d sta función s todo R. Calculamos su primra drivada: Ahora calculamos su sgunda drivada: f π f π π f ± - f - f P.Inflión P.Inflión π Por tanto la función s conva n ], ] [, [ Y s cóncava n [-,] a función prsnta puntos d inflión n, π y n, π.- Considrmos la función la función f a Dtrmina sus máimos, mínimos y puntos d inflión b Dtrmina sus intrvalos d crciminto y dcrciminto. El dominio d dfinición d sta función s todo R. Calculamos su drivada: f f f f Matmáticas Vrano 8 Raúl G.M.

13 Matmáticas Vrano 8 Raúl G.M. 5 a función s simpr crcint, por tanto no tin máimos ni mínimos. Para vr sus puntos d inflión calculamos la ª drivada: f f ± f Por tanto la función prsnta sndos puntos d inflión n los puntos d abscisas - y..- Calcula los siguints límits: a sn sn b sn sn sn sn sn sn c sn sn d sn sn sn f sn sn sn sn sn g h sn sn sn sn sn sn

14 Matmáticas Vrano 8 Raúl G.M. i sn sn sn sn sn sn sn c j k l m sn sn n sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn ñ