ALGUNOS PROBLEMAS DE ÁLGEBRA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE EBAU EvAU PEBAU O COMO SE LLAME LA SELECTIVIDAD DE A 2 1 0

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1 ÁLGEBRA (Selectividad 017) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE ÁLGEBRA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE EBAU EvAU PEBAU O COMO SE LLAME LA SELECTIVIDAD DE Andalucía, junio 17 0 x Ejercicio 3- Considera las matrices A 1 0 y X y 0 0 z a) [1 punto] Determina los valores de para que la matriz A I no tiene inversa (I es la matriz identidad) b) [1,5 puntos] Resuelve AX 3X Determina, si existe, alguna solución con x = a) A I Esta matriz no tiene inversa cuando su determinante vale 0 0 A I b) AX 3X 6 0 = ; = ; = AX X O A I X O Da lugar al sistema: 1 0 x y 0 Sistema homogéneo con infinitas soluciones: la matriz de z 0 coeficientes es la correspondiente a = 3, que hace que A I no tenga inversa Queda el sistema equivalente: x t xy 0 Su solución es: y t z 0 z 0 Aragón, junio 17 B1 a) ( puntos) Sea A una matriz de dimensión 3 3 y denotamos por A el determinante de la matriz a1) (1 punto) Considere la matriz decir: A 1 B A Si B = 1, calcule el determinante de A, es x 1 1 a) (1 punto) Si A x1 0, determine los valores de x para los que se cumple que x 1 1 B = 1, siendo B A

2 ÁLGEBRA (Selectividad 017) 1 b) (1 punto) Determine las matrices cuadradas de dimensión de la forma M que verifiquen que MM, donde M representa la matriz traspuesta de M 0 4 n a1) Para una matriz cuadrada, A, de orden n se cumple: ka k A Por tanto, si A es de orden 3, se tiene que: B A A A A x y a) A x 1 1 x1 0 8 x 1 4x x 1 x x x b) MM x y x y x xy 1 0 yx y 0 4 x 0 y 3 Asturias, junio k 0 1 Sean las matrices A k, B a) Estudia, en función de los valores reales de k, si la matriz B A tiene inversa Calcúlala, si es posible, para k = 1 (1,5 puntos) a) Estudia, en función de los valores reales de k, si la matriz A B poses inversa (1 punto) 1 0 k 0 1 k 1 a) B A k 1 1 Tendrá inversa cuando BA 0 3 k 0 1 k 1 Como B A k k 3 0 para todo valor de k, la matriz B A siempre tendrá 3 k inversa 1 1 Para k = 1, BA 3 3 Su inversa será: BA b) 1 0 k 0 1 k 0 1 A B k 3k k k Tendrá inversa cuando AB 0

3 ÁLGEBRA (Selectividad 017) 3 k 0 1 A B 3k k k k k k k 0 para todo valor de k, la matriz A B Como no es invertible Cantabria, junio 17 (EXAMEN Nº 1) Ejercicio 1 t t 1 3 Consideremos la igualdad matricial A M B, donde A 1 t 1, B ) [0,5 PUNTOS] Cuantas filas y columnas debe tener la matriz M? ) [1,5 PUNTOS] Para qué valores de t es la matriz A invertible? 3) [1,5 PUNTOS] En el caso t = 1, despeje la matriz M en función de las matrices A y B y calcule su valor 1) El producto de matrices puede hacerse cuando el número de columnas de la matriz de la izquierda, A, es igual al número de filas de la otra matriz, M La matriz producto, B, tiene el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que M En esquema: An m Mm p Bn p Aquí, A3 3 Mm p B3 m = 3; p = Por tanto, en este caso, M deberá tener 3 filas y columnas ) La matriz A es inversible cuando su determinante es distinto de 0 t t t t A 1 t 1 C1 C3 0 t 1 t t La matriz A es inversible cuando t y t 1 1 3) A M B M A B 1 Para t = 1, A y A Su inversa es A matriz de los adjuntos de A 0 Adj A Luego, A / 1/ / 1/ Por tanto: M 0 1/ 1/ / 1 3 / 1/ 0 5 / 1 Adj( A) A t, siendo Adj A la

4 ÁLGEBRA (Selectividad 017) 4 5 Cantabria, junio 17 (EXAMEN Nº ) Ejercicio 1 Considere el sistema matricial x 1 1 a y 3a a a z 1 1) [1 PUNTO] Determine los valores de a para que el sistema sea compatible ) [,5 PUNTOS] Calcule todas las soluciones en el caso en el que sea compatible indeterminado y en el caso a = 3 1) Empezamos estudiando el rango de la matriz de coeficientes; para ellos calculamos su determinante: A 1 1 a F F1 0 0 a 1 a 1 a 3a a a 3a a a Si a 0 y a 1 A 0 y rango de A = 3 En este caso el sistema será compatible determinado (Como existe la matriz inversa de A, la solución puede calcularse despejando la matriz X de las incógnitas) x x y z Si a = 0 el sistema es y x y Evidentemente es z incompatible x x y z Si a = 1 el sistema es y x y z (Transformaciones de 3 z 1 3x y z 1 x y z x 3 Gauss) E E1 0 0 y t E3 E1 x 3 z 5 t ) El sistema es compatible indeterminado en el caso a = 1 Su solución es la indicada más arriba x x y z Para a = 3 el sistema es compatible determinado: y x y 3z z 1 9x 6y 6z 1 x y z x 11/ 3 (Transformaciones de Gauss) E E1 z 0 y 17 / 3 E3 6E1 3x 11 z 0

5 ÁLGEBRA (Selectividad 017) 5 6 Castilla La Mancha, junio 17 3A a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a R ax y z a 4 x y az a 1 (1,5 puntos) y z 3 b) Resuélvelo razonadamente para el valor a = 1 (1 punto) a) Sea A la matriz de coeficientes y M la matriz ampliada a 1 1 a 4 A 1 a a 1 M Si r(a) = r(m) = 3 sistema compatible determinado: solución única Si r(a) = r(m) < 3 sistema compatible indeterminado: infinitas soluciones Si r(a) < r(m) sistema incompatible: no tiene solución El determinante de A vale a 1 1 A 1 a a 1 a Con esto: Este determinante vale 0 si a = 0 o a = 1 Si a 0 y 1 r(a) = 3 = r(m) El sistema será compatible determinado Si a = 0 se tiene: A M (El rango de A es : A1 0 ) Como el menor M rango de M es 3 Sistema incompatible Si a = 1 se tiene: A M (El rango de A es ) El menor M rango de M es 3 Sistema incompatible b) Si a = 1 el sistema es compatible determinado Puede resolverse aplicando transformaciones de Gauss x y z 5 E1 E3: x 8 x y z E E3: x y 5 y z 3 y z 3

6 ÁLGEBRA (Selectividad 017) 6 x8 x8 E E3: x y 5 y 1/ y z 3 z 15 / 7 Castilla La Mancha, junio a) I3 B Como I3 B 1, dicha matriz tiene inversa b) X C A X B X X B AC X I X B AC X I B A C (multiplicando por I B 1 por la derecha) X A C I B 1 Cálculo de 1 I B 4 1 t Adj I B Adj I B I B I B Por tanto, como A C 1 3 0, se tendrá que: X A C I B Castilla León, junio 17 E1 a) Discutir el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro : x y z 1 x y z 1 (1,5 puntos) x y 4z b) Resolverlo para = 1 (1 punto) a) Sea A la matriz de coeficientes y M la matriz ampliada

7 ÁLGEBRA (Selectividad 017) A M 1 4 Si r(a) = r(m) = 3 sistema compatible determinado: solución única Si r(a) = r(m) < 3 sistema compatible indeterminado: infinitas soluciones Si r(a) < r(m) sistema incompatible: no tiene solución El determinante de A vale 1 A Este determinante vale 0 si = 1 Con esto: 1 4 Si 1 r(a) = 3 = r(m) El sistema será compatible determinado Si = 1 se tendrá: A M r(a) = r(m) =: compatible indeterminado 1 4 (Las dos primeras flas está repetidas) b) Si = 1 el sistema es compatible indeterminado; queda: x t x y z 1 x y 1 z x y 1 z z t y 1 3t x y 4z x y 4z E E1 y 13z z t 9 Cataluña, junio 17 a) Si el sistema tiene solución única necesariamente la matriz de coeficientes debe ser de 1 a 0 rango 3 Esto significa que A 1 0 a a 0 a b) Para a 0 puede aplicarse la regla de Cramer:

8 ÁLGEBRA (Selectividad 017) 8 1 a a 1 1 a a 1 1 a a a x 1 a 0 a 1 0 a 3 0 a 1 a a ; y ; 1 a 0 a 1 0 a x 1 Para a = 0 el sistema es Su solución es: y z 0 x 1 y t z t 1 a a a a z 1 a 0 a 1 0 a Cataluña, junio 17 a) Una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero x 1 Como M x y 1 es siempre positivo, la matriz M es invertible para y 1 x cualesquiera valores de x e y 1 1 b) Si x = 1 e y = 1, la matriz es M 1 ; con M 3 1 Su adjunta es Adj M 1 1 Por tanto, Adj M M M 3 1 t 11 Comunidad Valenciana, junio 17 Problema B1 Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: 5 4 a) La comprobación de que C C I, siendo C 1 1 e I la matriz identidad de orden 33, (,5 puntos), y el cálculo de la matriz C (,5 puntos) 4 b) El valor del determinante de la matriz A A, sabiendo que A es una matriz cuadrada de cuatro columnas cuyo determinante vale 1 (3 puntos)

9 ÁLGEBRA (Selectividad 017) 9 c) La matriz B que admite inversa y que verifica la igualdad BB B ( puntos) a) C C I Efectivamente se cumple que C C I 4 4 Como C C C C C I C I 4C 4C I 4 C I 4C I 4C 3I Por tanto: C b) Para una matriz M, cuadrada de orden n y no singular, se cumple: k 1) M M k ; ) M 1 1 ; 3) n pm p M ; 4) M N M N M Luego, si A es una matriz cuadrada de cuatro columnas cuyo determinante vale 1: 4 4 A A ; A 4 A Por tanto: A 4A La Rioja, junio Sean las matrices A 1, B i) Halle, si existe, A 1 ii) Determine, si existe, la solución X e la ecuación matricial A AXA B 1 Adj( A) t i) La inversa de A es A, siendo Adj A la matriz de los adjuntos de A A La inversa existe si A 0 Como La matriz de los adjuntos es: A ij 3 5 A 6 5 1, existe 1 1 A Luego 1 5 A 1 3 ii) 1 A AXA B 1 AXA A B A AXA A A A B A X A A B A 1

10 ÁLGEBRA (Selectividad 017) Como A B X X X Madrid, junio 17 x ay z a Dado el siguiente sistema de ecuaciones x 4 y ( a 1) z 1, se pide: 4y az 0 a) ( puntos) Discutirlo en función de los valores del parámetro real a b) (0,5 puntos) Resolver el sistema para a = 1 c) (0,5 puntos) Resolver el sistema para a = a) Hay que estudiar el rango de las matrices de coeficientes, A, y ampliada, M a 1 a Estas matrices son: A 1 4 a 1 1 M 0 4 a 0 a 1 El determinante de A, A 1 4 a 1 8 a 4 a a Este determinante vale 0 si a = ±; y es distinto de 0 si a ± Con esto: Si a y r(a) = 3 = r(m) El sistema será compatible determinado 1 Si a = se tendrá, sustituyendo en las matrices: A M En este caso: El rango de A es, pues El rango de M es 3, pues M Como r(a) < r(m) el sistema será incompatible 1 Para a = e tiene: A M Como la columna 4ª es igual a la 1ª, ambas matrices tienen rango El sistema será compatible determinado

11 ÁLGEBRA (Selectividad 017) 11 x y z 1 b) Para a = 1 el sistema queda: x 4y z 1 Como se ha dicho, es compatible 4y z 0 determinado: con solución única Puede resolverse por Gauss: x y z 1 4E1 E8x 5z 4 4E1 5E 3x 1 x 1/ 3 x 4y z 1 E E3 x z 1 x z 1 y 1/ 3 4y z 0 4yz 0 4y z 0 z 4 / 3 x y z c) Para a = el sistema queda x 4y 3z 1, que es compatible indeterminado 4y z 0 x 4y 3z 1 x 4y 3z 1 x 4y 6y 1 x 1 y Equivalente a: 4yz 0 z y z y z y x1t Si se hace y = t la solución es: y t z t 14 Navarra, julio 17 7 t B1) Encuentra la matriz X que verifica 7AA BB X, siendo A y 0 1 B ( puntos) Se hacen algunas potencias de A A A A ; A A A ; A A A ; A A A n 1 0 Aunque no se pide, se podría observar que A n Por tanto: 7A A t BB Como 7 t t A A BB X X BB AA X X Su inversa es: 1 1 t BB X

12 ÁLGEBRA (Selectividad 017) 1 15 País Vasco, junio 17 Ejercicio A Calcular la potencia A de la matriz A a) Si A A A A A ; A A A I (Se trata de una matriz periódica de periodo 3) n Como A I A A; A A ; A A ; A A I Es evidente que A I 017 Por tanto, como 017 = A A A I A A 16 País Vasco, junio 17 Ejercicio B5 Un autobús transporta 60 viajeros de tres tipos Hay viajeros que pagan el billete entero, que vale 1, euros Otro grupo de viajeros abona el 80% y un tercer grupo abona el 50% La recaudación del autobús fue de 46,56 euros Calcular el número de viajeros de cada clase sabiendo que el número de los viajeros con mayor descuento es el doble que el número del resto de viajeros Sean x los pasajeros que pagan el billete entero; y, los que pagan el 80%; z, los que pagan el 50% Por el enunciado se deduce que: x y z 60 x y z 60 1, x 0,80 1, y 0,50 1, z 46,56 1, x 0,96 y 0, 6z 46,56 z x y x y z 0 Se transforma el sistema: x y z 60 x y x 14 E 1, E10,4 y 0,6z 5,44 0,4 y 4 5,44 y 6 y 6 E3 E1 3z 10 z 40 z 40 z 40